Đang tải... (xem toàn văn)
ANH XA VA GIAI TICH TO HOP tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực k...
Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấp II ÁNH XẠ VÀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP ÁNH XẠ VD1 : Cho ánh xạ f : R R xác định bơi f(x)=2x3+1 Tìm f(0), f(1), f 1 (1), f 1 ([1;17]), f([0;1]) Giải : 3 -1 f(0)=2.0 +1=1; f(1)=2.1 +1=3; f (1)= x R / f (x) 1 = x R / 2x 1 0 f 1 ([1;17])= x R /1 f (x) 7 = x R /1 2x 17 = x R / 2x 16 x R / x 8 = x R x 2 [0;2] f([0;1])= f (x) / x 1 Ta có: x x 2x 2x Vây f([0;2])=[1;3] VD : Chứng minh ánh xạ f : R R xác định f(x)=2x3+1 song ánh tìm ánh xạ ngược Giải : x , x R mà x1 x 2x13 2x 32 2x13 2x 32 f (x1 ) f (x ) f đơn ánh.(1) y R,f (x) y 2x y 2x y x Vậy, y R, x y 1 y 1 y 1 x 2 f toàn ánh (2) Từ (1) (2), suy f song ánh Ánh xạ ngược : f 1 R R y ánh xạ ngược f Cách : y 1 Như y R, y R, xét phương trình y=f(x) y 2x x y 1 phương trình y=f(x) có nghiệm x nên f song ánh VD3 : cho ánh xạ f : R R y x x f (x) 3x x a) f có phải làm song ánh không ?Tại ? b) Tìm f(0), f(1),f([0,1]) ; f 1 ([0;2]) Giải : b 1 1 ) f ( 3 2a 36 12 Với y= -3, xét phương trình f(x)=-3 3x x 3 3x x =0 a) Ta có : f ( Người soạn : Trương Thành Phú-K8 Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấp 4.3 pt vô nghiêm Như với y=-3, pt f(x)=-3 vô nghiệm nên f làm toàn ánh f làm song ánh + Xét tính đơn ánh : x1 Ta có : f(x)=-2 3x x 2 3x x x(3x 1) x2 Như với x1 0, x ta có x1 x f (x1 ) f (x ) 2 Vậy f không 2 phải làm đơn ánh b) f (0) 2, f (1) , f (0,1) f (x), max f(x) 0;1 0;1 25 25 Trong : min(fx)=min f (0), f (1), f ( ) = 2,0, 0,1 12 12 Max f(x)=max f (0), f (1), f ( ) =0 25 Vậy f( 0;1) ;0 12 0,1 f 1 (0; 2) x R / f (x) 0, 2 x R / f (x) 2 2 x x 3x x 2 1 Ta có : f (x) x 1; 1; 3 4 3x x 1 x Vậy f 1 (0; 2) 1; 1; 3 3 VD4 : Ánh xạ f :R R xác định f(x)= 3x có phải đơn ánh, toàn ánh không x2 ? Giải + Xét tính đơn ánh : 3x1 3x 3x1 (x 2 1) 3x (x12 1) 2 x1 x x1x 2 x1 x x12 x (x1 x ) x1x (x x1 ) =0 (x1 x ) x1x (x x1 ) x1 , x , ta có: f (x1 ) f (x ) x1 x (x x1 ) x1x (x x1 ) (x x1 )(1 x1x ) x1x Người soạn : Trương Thành Phú-K8 Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấp Chọn x1=3 x2= , ta có x1 x 9 f (x1 ) f (3) , f (x ) f ( ) f (x1 ) f (x ) nên f đơn ánh 10 10 + Xét tính toàn ánh : 3x yx 3x y y , xét phương trình y = f(x) y x 1 + Nếu y = phương trình có nghiệm x = + Nếu y 4y , chọn y = ta có nên pt vô nghiệm Vậy với y = pt f(x) = vô nghiệm Nên f toàn ánh Bài tập : Bài : Cho f : R R,f (x) x 3x a) Hỏi f có phải làm đơn ánh, toàn ánh, song ánh không ? Tại ? 1 b) Tìm f ( 1; 2);f 1 ( 1; 2) , f ( 1;1) Giải ( Phú làm) 2 b 3 9 a) Ta có : f ( ) f ( ) ( ) = 2 2a 2 4 Với y = -2, xét phương trình f(x)=-2 x 3x 2 x 3x 32 4.1.3 3 pt vô nghiệm Như với y =-2 pt f(x)=-2 vô nghiệm nên f làm toàn ánh Suy ra, f làm song ánh + Xét tính đơn ánh : x1 x Với y=1, Ta có : f(x)=1 x 3x x 3x x(x 3) Như với x1 0, x Ta có x1 x f (x1 ) f (x ) Vậy f làm đơn ánh b) + f([-1 ;2])=[min f(x);max f(x)] 1; 2 1; 2 5 Trong : f(x)= f (1), f (2), f ( ) = 5, 1, 1; 2 4 4 Max f(x)= max f (1), f (2), f ( ) = 5, 1, 5 4 1; 2 Vậy f([-1;2])=[ ;5 ] 1 + f ( 1; 2) = x R / f (x) 1; 2 x R / f (x) 2 x x 2 x 3x 1 x 3x Ta có 1 f (x) 13 13 x x 3x x 3x Người soạn : Trương Thành Phú-K8 Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấp 13 13 x ;1 2; 13 13 Vậy f 1 ( 1; 2) ;1 2; + f ( 1;1) = x R / f (x) 1;1 x R / f (x) 1 1 x 3x 1 x 3x x x Ta có 1 f (x) 0 x x 3x x 3x x 0;1 2;3 Vậy f 1 ( 1; 2) 0;1 2;3 Bài : Cho ánh xạ f :R ánh tìm ánh xạ ngược R , xác định f(x)= 5x Chứng minh f song Giải y , xét phương trình y=f(x) y2 y2 3 x Như y , phương Ta có : y= 5x x 5 y2 trình y=f(x) có nghiệm x nên f song ánh Ánh xạ ngược : f 1 :R R y2 Bài : Cho ánh xạ f : R R với f (x) 3x chứng minh f song ánh 1 Tìm f (0;2),f (0;2) , f ( 2; ) y x Giải y , xét phương trình y=f(x) y2 y2 3 x Như y , phương Ta có : y= 3x x 3 y2 trình y=f(x) có nghiệm x nên f song ánh + f ( 0;2) f (x) / x 2 3 Ta có : x x 3x 24 3x 26 Vậy f (0;2) 2;26 Người soạn : Trương Thành Phú-K8 Ôn thi ĐHTX- Phần toán cao cấp + f (0;2) x 1 x / f (x) 2 = / 3x 2 ...http://123fullpdf.blogspot.com/ ... nên f không song ánh - Xét tính to n ánh : y=1, xét pt f(x)=1 x x 1 ( vô nghiệm) f không to n ánh Bài 12 : f : : f (x) x Xét tính đơn anh, to n ánh, song ánh Giải - Xét tính... ánh + Xét tính to n ánh : Người soạn : Trương Thành Phú-K8 Ôn thi ĐHTX- Phần to n cao cấp Với y =5,xét pt f(x)=5 5x 5x 5x 0x 3 ( vô nghĩa) x 1 Vậy f không to n ánh, nên f... (x) x Xét tính đơn anh, to n ánh, song ánh Giải - Xét tính đơn ánh : Ta có x1 1, x 1, x1 x f(x1)=f(x2) f không đơn ánh, nên f không song ánh - Xét tính to n ánh : y=-1, xét pt f(x)=-1