DẠNG CÂU HỎI 1 ĐIỂMCâu1 : (1đ) Cho hàm số z = arctgyx chứng minh z’’xx + z’’yy= 0Z = artagyx⇒Z’X =)2)(1(1yxy+ = 22yxy+ 222)(11.2'yxxyxyxyz+−=+−= Nên ⇒ ')22(''xyxyxxz+= = -y.2)22(22)22(2yxxyyxx+−=+ yyxxyyz'22)(''+−= = 222222)(2)()2(.yxxyyxyx+=+−− Vậy ⇒ =+yyzxxz '''' .02)22(22=++−yxxyxy (đpcm )Câu 3 : (1đ) Cho hàm số z = x + f(xy) với f(t) là hàm số khả vi, CMR xz’x-yz’y=xZ =x + f(xy) vì f(t) khả vi ⇒∃ f’(t) = f’(xy)⇒=+=xxyfxxz')((' )('.')(1 xyfxxy+ (a); Z’Y = )('.')(0'))('( xyfyxyyxyfx+=+ )('. xyfx= (b) Thay (a) và (b) ta có =−yzyxzx'.'.))(.())(1(''xyfxyxyyfx−+==−+ )(')('xyxyfxyxyfxx (đpcm)Câu 4 : (1đ) Cho hàm số z = y f (x2-y2), với f(t) là hàm số khả vi CMR 2'1'1yzzyzyyx=+)22( yxyfz+= )(.2)(.).()((22'22''22'22'yxfxyyxfyxyyxyfzxxx−=−−=−=và)(.2)()(.)()())((22'22222''2222'22'yxfyyxfyxfyxyyxfyxyfyzyy−−−=−−+−=−=Khi đó ⇒ =+yzyxzx'.1'.1 ))(2)(.(1)(2.122'22222'yxfyyxfyyxxyfx+−−+− = yyxf )22(+ (đpcm)Câu 5 : (1đ) Cho hàm số z = ln(1/r) với r=22 yx+ CMR z’’xx + z’’yy=0rrz ln1ln−==,với 2yxr+= Ta có:rxyxxxr=+=2222' ryyxyyr =+=2222'2/.1'.1)ln('rxrxrrrrzxxx−=−=−=−=⇒)(2 2.'2.1)'(''42242422arrxrrrxxrrrrxrrxzxxxx−=+−=+−=−=⇒Với vai trò của x và y là tương đương nhau trong biểu thức → tính tương tự ta được :)(4222'' brryyyz−= Cộng 2 vế (a) và (b) → 42224224222)(222''''rryxrryrrxzzyyxx−+=−+−=+ = 0 (đpcm )Câu 6 : (1đ) Cho hàm sốxyxxyyxarctgxyxyxyxarctgzyxyxxarctgzx22)(11.1.'22222−++=−++=⇒−−=Khi đó )(2'.2222ayxyxxyxxarctgzxx++−=)(2'.22)(11 '222222222byyxyxzyyyxxyyxyxxzyy−+−=⇒−+−=−+−=Cộng 2 vế của (a) và (b) ta được)('')(222'.'222222222yxzyzxzyxyxxarctgyyxyxxyxxarctgzyxzyxyx+−=+⇔+−=−+−+−=+ Câu 7 : (1đ) )2,1,1222(A,zyxu++=Ta có :2z2y2xx2z2y2x2x2xu++=++=∂∂ 2z2y2xy2z2y2x2y2yu++=++=∂∂ 2z2y2xz2z2y2x2z2zu++=++=∂∂212)2(21211x)A(u=++=∂∂⇒ 212)2(21211y)A(u=++=∂∂⇒ 222)2(21212z)A(u=++=∂∂⇒Biết rằng: AOl=tạo với 3 trục của Oxyz cỏc gúc γβα,,cosin Chỉ phương:212)2(21211cos=++=α 212)2(21211cos=++=β 222)2(21212cos=++=γVậy:1 .cos)(cos)(cos)()(222221212121=++=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαlAuyAuxAulAuCâu 8 : (1đ) Cho trường vô hướng A(1,0),T¹i TÝnh u)1,1()ln(.2−=−−+∂∂lyxyxxulBg: Ta có yx21yxx)yxln(2xu−−+++=∂∂yx21yxx2xu−++=∂∂( )230121011)01ln(.2)(=−−+++=∂∂⇒xAu250121011.2y)A(u=−++=∂∂Biết rằng ⇒−=)1,1(lvéctơ Chỉ phương 21)1(1121)1(1102222coscos)cos,(cos−−+−−+=======lylxlβαβαBiết rằng βαcosy)A(ucosx)A(ul)A(u∂∂+∂∂=∂∂2221252123 −−=+=Câu 9 : (1đ) Cho trường vô hướng(gradu). div TÝnh)3x2y(eu2xy−+=Bg: Ta có ( )yuxu gradu kh¸c MÆt∂∂∂∂∂∂∂∂=+−+=+−+=+−+=+−+=;)232.(.2)32(.)232(.2)32(.22232yxxxyeeyxyexyxyyeexyeyxyxyxyxuxyxyxyxuvà x yeyyx yyx yeyxu.2)2323(.22++−+=∂∂)y4y3xy2y(e224xy+−+)24233222423224(22)24233222()22()23222(.22++−+++−+=∂∂+∂∂=⇒++−+=++++−+=∂∂xyxxxyyyxyyxyexuyuxyxxxyxyexyxyeyxxxyxyexyu22 (gradu) div Câu 10 : (1đ) Cho hàm ẩn ),( yxzz =Có PTxzyarctgxz−=− Ta có ydyzdxxzyxzd ''),(+= mà 0),,(=−+−=⇔−=−zxxzyarctgFxzyarctgxzzyx2)(22)(11.1'2)(22)(212)(212)(11.2)('xzyxzxzyxzyFxzyxzyyxzyyxzyxzyxF−+−= =−+−=−+−++= =+−+=+−+−=2 2)(2)2)(2(2)(2)2)(2(12)(212)(11.2)('xzyxzyyxzyxzyyxzyyxzyxzyzF−+−++−=−+−++−=−−+−=−−+−−=2222222222)('''1)())(()())(('''xzyyxzFFzxzyxzyyxzyxzyyFFzzyyzxx−++−=−==−+−++−−+−++−=−=→ nnª VËydyxzyyxzdxdyzdxzdyxyxz22),()(''−++−+=+= dã, DoCâu 11 : (1đ) cho hàm ẩn),( zyxx=có PT :23xyxx4z+−= Víi243),,(xyxxzzyxF−−+=⇔ 1'2'43'22=−=−−=zFxyFyxFdyx ã, Khi2222431'''432'''yxFFxyxx yFFxxzzxyy−−−=−=−−=−=⇒Như vậy =dzyxdyyxxydzxdyxdzyzyx2222),(431432''−−−−−=+=Câu 12 : (1đ) cho hàm ẩn),( zyxx =có PT )y2yx(ez2x2++=ozyyxeF CHƯƠNG I – ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN BÀI 1: TẬP HỢP PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP I Tóm tắt lý thuyết Trong toán học, đời sống, ta thường gặp ví dụ tập hợp: Tập hợp học sinh lớp, tập hợp số tự nhiên, tập hợp chữ : a; b; c… Mỗi đối tượng tập hợp phần tử tập Kí hiệu a phần tử tập hợp A); tập hợp A) b∉ A a∈ A (a thuộc A (b không thuộc A b không phần tử Tập hợp minh họa vòng tròn, phần tử tập hợp biểu diễn dấu chấm bên Hình minh họa tập hợp gọi bi ểu đồ Ven (Hình 1.1) Một tập hợp có phần tử, có nhiều phần tử, có vô số phần tử, có th ể phần tử Tập hợp phần tử gọi tập hợp rỗng Kí hi ệu ∅ Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B tập hợp A tập hợp tập hợp B Kí hiệu A⊂ B Nâng cao: Mọi tập hợp đểu tập hợp Quy ước Nếu ∅⊂ A A⊂ B với A B⊂ A A = B II Các dạng tập Nguyễn Công Hạnh Dạng 1: Viết tập hợp cho trước Phương pháp giải: Dùng chữ in hoa dấu ngoặc nhọn, ta viết tập hợp theo hai cách: - Liệt kê phần tử - Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử Dạng 2: Sử dụng kí hiệu ∈ ∉ Phương pháp giải: Nắm vững ý nghĩa kí hiệu Kí hiệu Kí hiệu ∈ ∉ ∈ ∉ đọc “là phần tử của” “thuộc” đọc “không phải phần tử của” “không thuộc” Dạng 3: Minh họa tập hợp cho trước hình vẽ Phương pháp giải: Sử dụng biểu đồ Ven Đó đường cong khép, không t ự đ ộng căt, m ỗi phần tử tập hợp biểu diễn điểm bên đường cong III Bài tập rèn luyện: 1;5;9;13; Bài 1: Cho dãy số a) Nêu quy luật dãy số b) Viết tập hợp B phần tử số hạng dãy s ố Bài 2: a) Viết tập hợp M chữ “GANG” b) Với tất phần tử tập hợp M viết thành chữ thuộc loại danh từ Bài 3: Cho tập hợp D = {0;1;2;3 ;20} a) Viết tập hợp D cách tính chất đặc trưng cho phần tử b) Tập hợp D có phần tử Nguyễn Công Hạnh c) Viết tập hợp E phần tử số chẵn D (số chẵn số chia hết cho 2) T ập h ợp E có phần tử? d) Viết tập hợp E phần tử số lẻ D (số lẻ số không chia hết cho 2) Tập hợp E có phần tử? A = {a;b};B={1;2;3} Bài 4: Cho Viết tập hợp có ba phần tử phần tử thuộc tập hợp A; hai phần tử thuộc tập hợp B ⊂; = Bài 5: Dùng dấu để thể mối quan hệ tập hợp sau để thể quan hệ tập hợp sau: P tập hợp số tự nhiên x mà Q tập hợp số tự nhiên x mà R tập hợp số tự nhiên x mà Bài 6: ¥ tập hợp số tự nhiên, Hãy điền kí hiệu ¥ ∈ ; ∉ ¥* x + ≤ 10 x.3 = x.3 < 24 tập hợp số tự nhiên khác thích hợp vào ô vuông sau: ¥* ; ¥* ;8 ¥ Bài 7: Viết tập hợp sau cách tính chất đặc trưng cua ph ần tử c nó: a) b) c) A = {1;4;7;10;13;16;19} B = {1;8;27;64;125} C = {2;6;12;20;30;42} Bài 8: Cho A={1;2;3} Tìm tất tập hợp A? Bài 9: Trong lớp học, học sinh học tiếng Anh tiếng Pháp Có 25 người học tiếng Anh, 27 người học tiếng Pháp, 18 người học hai tiếng Hỏi lớp học có học sinh Bài 10: Nhìn vào hình 3; 4; viết tập hợp A, B, M, H Nguyễn Công Hạnh BÀI 2: TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN I Tóm tắt lý thuyết 1) Tập hợp ¥ tập hợp ¥* Tập hợp số tự nhiên kí hiệu ¥ ¥ = {0;1;2;3; } : Tập hợp số tự nhiên khác kí hiệu ¥ * = {1;2;3;4 } Mỗi số tự nhiên biểu diễn ểm tia số Điểm bi ểu di ễn s ố tự nhiên a tia số gọi điểm a (hình vẽ 1.2) 2) Thứ tự tập hợp số tự nhiên a) Trong hai số tự nhiên khác có số nhỏ s ố Trên tia số, điểm biểu diễn số nhỏ bên trái điểm biểu diễn số lớn Nguyễn Công Hạnh b) Nếu a