Đang tải... (xem toàn văn)
TT cotuc2016 tamungcotuc2017 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực...
GIẢI TÍCH (CƠ BẢN)Tài liệu ôn thi cao học năm 2005Phiên bản đã chỉnh sửaPGS TS. Lê Hoàn HóaNgày 3 tháng 12 năm 2004Phép Tính Vi Phân Của Hàm NhiềuBiến (tt)5 Công thức Taylor5.1 Đạo hàm riêng bậc caoĐịnh nghĩa 1 Cho D là tập mở trong Rn, f : D → R. Giả sử đạo hàm riêng∂f∂xi(x), i =1, 2, . . . , n tồn tại với mọi x ∈ D. Khi đó∂f∂xi: D → R biến x ∈ D thành∂f∂xi(x) là hàm số thựctheo n biến số thực và được gọi là hàm đạo hàm riêng của f theo biến xi. Ta có thể đề cập đếnđạo hàm riêng của hàm∂f∂xitheo biến xj∂∂xj∂f∂xi(x) = limt→0∂f∂xi(x + tej) −∂f∂xi(x)t≡∂2f∂xi∂xj(x)và gọi là đạo hàm riêng bậc hai của f theo biến xi, xj, theo thứ tự, tại x.Tổng quát, khi thay đổi thứ tự lấy đạo hàm riêng thì giá trị của đạo hàm sẽ thay đổi.Thí dụ: Chof(x, y) =xyx2−y2x2+y2x2+ y2> 00 x = y = 0Ta sẽ có:∂2f∂x∂y(0, 0) = −1 và∂2f∂y∂x(0, 0) = 1.Thật vậy, ta có:∂f∂x(0, 0) = limt→0f(t, 0) − f(0, 0)t= 0 và∂f∂y(0, 0) = limt→0f(0, t) − f(0, 0)t= 0∂f∂x(0, y) = limt→0f(t, y) − f(0, y)t= limt→0ty(t2− y2)t(t2+ y2)= −y∂f∂y(x, 0) = limt→0f(x, t) − f(x, 0)t= limt→0tx(x2− t2)t(x2+ t2)= x1 Suy ra∂2f∂x∂y(0, 0) = limt→0∂f∂x(0, t) −∂f∂x(0, 0)t= −1∂2f∂y∂x(0, 0) = limt→0∂f∂y(t, 0) −∂f∂y(0, 0)t= 1Định lí 1 (Định lý Schwartz) Nếu các đạo hàm riêng∂2f∂xi∂xj,∂2f∂xj∂xiliên tục tại x thì∂2f∂xi∂xj(x) =∂2f∂xj∂xi(x)5.2 Công thức TaylorCho D là tập mở trong Rn, f : D → R và f ∈ Ck(D) (nghĩa là các đạo hàm riêng hỗnhợp bậc bé thua hay bằng k liên tục). Cho x ∈ D và h = (h1, h2, . . . , hn) ∈ Rnsao cho:x + th ∈ D,∀t ∈ [0, 1]. Khi đó tồn tại θ ∈ (0, 1) sao cho:f(x + h) = f (x) +n1hi∂∂xif(x) +12!n1hi∂∂xi2f(x) + ···+1(k − 1)!n1hi∂∂xik−1f(x) +1k!n1hi∂∂xikf(x + θh)Số hạng1k!n1hi∂∂xikf(x + θh) là dư số Lagrange.Hoặc là:f(x + h) = f (x) +n1hi∂∂xif(x) +12!n1hi∂∂xi2f(x) + ···+1(k − 1)!n1hi∂∂xik−1f(x) +1k!ϕ(h)hktrong đó số hạng1k!ϕ(h)hklà đại lượng vô cùng bé bậc lớn hơn hk, được gọi là dư số Peano.Trường hợp n = 2, h = (s, t), ta có công thức:f (x + s, y + t) = f (x, y) +∂f∂x(x, y) s +∂f∂y(x, y) t+12∂2f∂x2(x, y) s2+ 2∂2f∂x∂y(x, y) st +∂2f∂y2(x, y) t2+ ···+1k!ki=1Ciksitk−i∂kf∂xi∂yk−i+ os2+ t2k/2trong đó o(s2+ t2)k/2là lượng vô cùng bé bậc lớn hơn (s2+ t2)k/2.2 5.3 Tính duy nhấtCho D là tập hợp mở trong Rn, 0Rn∈ D và f : D → R. Giả sử f ∈ Ck(D) và thỏa mãnf(x) = P (x) + R(x),∀x ∈ Dtrong đó P (x) là đa thức bậc bé thua hay bằng k theo các biến x1, x2, . . . , xnvà|R(x)| q(x)xkvới limx→0Rnq(x) = 0Khi đó P (x) chính là khai triển Taylor của f gần 0Rn, nghĩa làP (x) = f(0) +n1xi∂∂xif(0) +12n1xi∂∂xi2f(0) + ··· +1k!n1xi∂∂xikf(0)Thí dụ: 1) Cho f(x, y) = x sin(x2+ xy) thì f ∈ Ck(R2) với mọi k ∈ N. Dùng khai triển thànhchuổi Taylorsin t =∞0(−1)kt2k+1(2k + 1)!ta đượcf(x, y) = x sinx2+ xy= x.∞0(−1)k(x2+ xy)2k+1(2k + 1)!Số hạng (−1)k(x2+xy)2k+1x(2k+1)!là tổng của các đơn thức bậc (4k + 3) theo hai biến x, y tương ứngvới số hạng (4k + 3) trong công thức Taylor của f là:1(4k + 3)!ni=0Cinxiyn−i∂nf(0, 0)∂xi∂yn−ivới n = 4k + 3.Nghĩa là1(4k + 3)!ni=0Cinxiyn−i∂nf(0, 0)∂xi∂yn−i= (−1)kx (x2+ xy)2k+1(2k + 1)!, n = 4k + 3.Dùng công thức này ta có thể tính:i)∂19f(0, 0)∂x16∂y3: ứng với k = 4, đồng nhất hệ số của số hạng x16y3ở hai vế:119!C1619∂19f(0, 0)∂x16∂y3=19!C69Suy ra:∂19f(0, 0)∂x16∂y3=16!6!ii)∂nf(0, 0)∂xi∂yn−i= 0 nếu n = 4k + 3, thí dụ∂20f(0, 0)∂xi∂y20−i= 0 với mọi i từ 1 đến 20.3 2) Cho f(x, y) = y2cos(x2+ y) thì f ∈ Ck(R2) với mọi k ∈ N. Dùng khai triển thành chuổiTaylor:cos t =∞0(−1)kt2k(2k)!ta được:f(x, y) = y2cosx2+ y= y2.∞0(−1)k(x2+ y)2k(2k)!Cần khai triển Taylor của f đến bậc 10 ở vế trái trong tổng y2∞0(−1)k(x2+ y)2k(2k)!. Gọi B làtổng các đơn thức bậc bé CONG TY CP T ~P DoAN THEP TIENLEN CONG HOA XA HOI CHU NGHIA VIET NAM DOC L~P - TV' DO - H~NH PHUC 00000 000 S6 : 04/2017 ITTr- HDQT Bien Hoa , 12 Thang 03 Ndm 2017 TO TRINH CHI TRA CO Tire NAM 2016 vA TAM ifNG CO Tire NAM 2017 - Can cu Ludt Doanh nghiep s6 68120141QH11 duac Qu6c hoi nutrc CHXHCN Vi?t Nam thong qua 2611112014,· - Can etc DiJu I? T6 chuc va hoat dong cua Cong ty C6 phdn T4p doan Thep Len; - Can cu VaG kit qua hoat dong san xudt kinh doanh nam 2016 dd duac Cong ty TNHH H dng Ki~m toan (AASC) ki~m toan; - Can ctr VaG ki hoach san xudt kinh doanh ndm 2016 aii dirac Dai hoi a6ng c6 dong thuong nien ndm 2016 thong qua,· HQi d6ng quan tri Cong ty C6 phan T~p doan Thep TiSn Len kinh trinh Dai hoi d6ng c6 dong thong qua voi nhirng noi dung chinh nhir sau: Bao cao k~t qua kinh doanh nam 2016: tie» D