Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Bùi Tuấn Khang Hàm Biến Phức Phơng Trình Vật Lý - Toán Đại học Đà nẵng 2004 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Lời nói đầu Giáo trình đợc biên soạn nhằm trang bị tri thức toán học cốt yếu để làm công cụ học tập nghiên cứu môn học chuyên ngành cho sinh viên ngành kỹ thuật thuộc Đại học Đà nẵng Nội dung giáo trình gồm có chơng với thời lợng 60 tiết (4 đơn vị học trình) đợc chia làm hai chuyên đề nhỏ Chuyên đề Hàm biến phức gồm chơng Chơng Các khái niệm số phức, d y trị phức, hàm trị phức tập tập số phức Chơng Các khái niệm hàm trị phức, đạo hàm phức, hàm giải tích sơ cấp phép biến hình bảo giác Chơng Các khái niệm tích phân phức, định lý tích phân Cauchy hệ Chơng Các khái niệm chuỗi hàm phức, khai triển Taylor, khai triển Laurent, lý thuyết thặng d ứng dụng Chơng Các khái niệm bản, tính chất, phơng pháp tìm ảnh - gốc ứng dụng biến đổi Fourier biến đổi Laplace Chuyên đề Phơng trình vật lý Toán gồm có chơng Chơng Các khái niệm lý thuyết trờng : Trờng vô hớng, trờng vectơ, thông lợng, hoàn lu toán tử vi phân cấp Chơng Các toán phơng trình vật lý - toán, toán Cauchy toán hỗn hợp phơng trình truyền sóng Chơng Bài toán Cauchy toán hỗn hợp phơng trình truyền nhiệt, toán Dirichlet toán Neumann phơng trình Laplace Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp GVC Nguyễn Trinh, GVC Lê Phú Nghĩa GVC TS Lê Hoàng Trí đ dành thời gian đọc thảo cho ý kiến đóng góp để hoàn thiện giáo trình Giáo trình đợc biên soạn lần đầu có nhiều thiếu sót Rất mong nhận đợc ý kiến đóng góp bạn đọc gần xa Đà nẵng 2004 Tác giả Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chơng Số phức Đ1 Trờng số phức Kí hiệu = ì = { (x, y) : x, y } Trên tập định nghĩa phép toán cộng phép toán nhân nh sau (x, y), (x, y) (x, y) + (x, y) = (x + x, y + y) (1.1.1) (x, y) ì (x, y) = (xx - yy, xy + xy) Ví dụ (2, 1) + (-1, 1) = (1, 2) (2, 1) ì (-1, 1) = (-3, 1) Định lý (, +, ì ) trờng số Chứng minh Kiểm tra trực tiếp công thức (1.1.1) Phép toán cộng có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tử không (0, 0) (x, y) , (x, y) + (0, 0) = (x, y) Mọi phần tử có phần tử đối -(x, y) = (-x, -y) (x, y) , (x, y) + (-x, -y) = (0, 0) Phép toán nhân có tính giao hoán, tính kết hợp, có phần tử đơn vị (1, 0) (x, y) , (x, y) ì (1, 0) = (x, y) y Mọi phần tử khác phần tử nghịch đảo (x, y)-1 = ( x , ) x + y x + y2 (x, y) - {(0, 0)}, (x, y) ì ( y x , ) = (1, 0) x + y x + y2 Ngoài phép nhân phân phối với phép cộng Trờng (, +, ì ) gọi trờng số phức, phần tử gọi số phức Theo định nghĩa số phức cặp hai số thực với phép toán thực theo công thức (1.1.1) Trên trờng số phức phép trừ, phép chia phép luỹ thừa định nghĩa nh sau (n, z, z) ì ì * với * = - { (0, 0) } z z - z = z + (- z), = z ì (z)-1 z0 = 1, z1 = z zn = zn-1 ì z (1.1.2) z' Bằng cách đồng số thực x với số phức (x, 0) Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chơng Số Phức x (x, 0), (1, 0) (0, 0) tập số thực trở thành tập tập số phức Phép cộng phép nhân số phức hạn chế lên tập số thực trở thành phép cộng phép nhân số thực quen thuộc x + x (x, 0) + (x, 0) = (x + x, 0) x + x, Ngoài tập số phức có số số thực Kí hiệu i = (0, 1) gọi đơn vị ảo Ta có i2 = (0, 1) ì (0, 1) = (-1, 0) -1 Suy phơng trình x2 + = có nghiệm phức x = Nh trờng số thực (3, +, ì) trờng thực trờng số phức (, +, ì) Đ2 Dạng đại số số phức Với số phức z = (x, y) phân tích (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1) Đồng đơn vị thực (1, 0) đơn vị ảo (0, 1) i, ta có z = x + iy (1.2.1) Dạng viết (1.2.1) gọi dạng đại số số phức Số thực x = Rez gọi phần thực, số thực y = Imz gọi phần ảo số phức z = x - iy gọi liên hợp phức số phức z Kết hợp công thức (1.1.1) - (1.2.1) suy dạng đại số phép toán số phức (x + iy) + (x + iy) = (x + x) + i(y + y) (x + iy) ì (x + iy) = (xx - yy) + i(xy + xy) x + iy xx + yy x y xy = + i , x + iy x + y x + y (1.2.2) Ví dụ Cho z = + 2i z = - i z + 2i = =i z' 2i z2 = (1 + 2i) ì (1 + 2i) = -3 + 5i, z3 = z2 ì z = (-3 + 5i) ì (1 + 2i) = -13 - i z ì z = (2 + 2) + i(-1 + 4) = + 3i, Từ định nghĩa suy z =z z3 z = - z z i3 z=z z + z = 2Rez z - z = 2iImz z z = Re2z + Im2z Ngoài liên hợp phức có tính chất sau Định lý (n, z, z) ì ì Trang Giáo Trình Toán Chuyên Đề (1.2.3) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chơng Số Phức z + z' = z + z' zz' = z z' z n = (z ) n z = ( z ) z z = z z Chứng minh Suy từ định nghĩa Ta có zz' = (x + iy) ì (x + iy ) = (xx - yy) - i(xy + xy) z z' = (x - iy) ì (x - iy) = (xx - yy) + i(-xy -xy) Qui nạp suy hệ thức thứ hai Ta có zz = z z = z = ( z )-1 Suy z / z = z(z ) = z z Với số phức z = x + iy, số thực | z | = x + y gọi module số phức z Nếu z = x | z | = | x | Nh module số phức mở rộng tự nhiên khái niệm trị tuyệt đối số thực Từ định nghĩa suy | Rez |, | Imz | | z | | z | = | -z | = | z | = | - z | z z = z z = | z |2 z = z(z)-1 = z z' z-1 = z (1.2.4) z' |z| | z' | Ngoài module số phức có tính chất sau Định lý (n, z, z) ì ì |z|0 |z|=0z=0 | z z | = | z || z | | zn | = | z |n z |z| = | z-1 | = | z |-1 z | z | | z + z | | z | + | z | Chứng minh Suy từ định nghĩa || z | - | z|| | z - z | Ta có | zz |2 = zz zz' = (z z )(z z ) = (| z || z| )2 Qui nạp suy hệ thức thứ hai Ta có | z z-1 | = | z || z-1| = | z-1 | = / | z | Suy | z / z | = | z (z)-1 | = | z | | (z)-1 | Ta có z z + z z = 2Re(z z ) | z z = | z || z| Suy | z + z = (z + z)( z + z' ) = z + 2Re(z z ) + | z|2 (| z | + | z|)2 Đ3 Dạng lợng giác số phức Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chơng Số Phức Với số phức z = x + iy * tồn số thực (-, ] cho y x cos = sin = (1.3.1) |z| |z| Tập số thực Argz = + k2, k gọi argument, số thực argz = gọi argument số phức z Chúng ta qui ớc Arg(0) = Kí hiệu r = | z | từ công thức (1.3.1) suy x = rcos y = rsin Thay vào công thức (1.2.1) nhận đợc z = r(cos + isin) (1.3.2) Dạng viết (1.3.2) gọi dạng lợng giác số phức Từ định nghĩa suy argz = arg(-z) = - , arg z = - arg(- z ) = - x > 0, argx = x < 0, argx = y > 0, arg(iy) = /2 y < 0, arg(iy) = -/2 Ngoài argument số phức có tính chất sau (1.3.3) Định lý (n, z, z) ì ì arg(zz) = argz + argz [2] arg(zn) = n argz [2] arg(z-1) = - argz [2] arg(z / z) = argz - argz [2] Chứng minh Giả sử z = r(cos + isin) z = r(cos + isin) Suy zz = rr[(coscos - sinsin) + i(sincos + cossin)] = rr[cos( + ) + isin( + )] Qui nạp suy hệ thức thứ hai Ta có arg(zz-1) = arg(z) + arg(z-1) = [2] arg(z-1) = - arg(z) [2] Suy arg(z / z) = arg(zz-1) = argz + arg(z-1) Ví dụ Cho z = + i z = + i Ta có zz = [ (cos + isin )][2(cos + isin )] = 2 (cos + isin ) 4 6 12 12 z100 = ( )100[cos(100 ) + isin(100 )] = -250 4 Với số thực 3, kí hiệu ei = cos + i sin Trang Giáo Trình Toán Chuyên Đề (1.3.4) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chơng Số Phức Theo kết có định lý sau Định lý (n, , ) ì ì ei ei = = k2 ei(+) = eiei (ei)-1 = e-i Chứng minh Suy từ công thức (1.3.4) kết e i = e-i (ei)n = ein Hệ (n, ) ì (cos + isin)n = cosn + isinn (1.3.5) 1 cos = (ei + e-i) sin = (ei - e-i) (1.3.6) 2i Công thức (1.3.5) gọi công thức Moivre, công thức (1.3.6) gọi công thức Euler n Ví dụ Tính tổng C = cos k S = k =0 n Ta có C + iS = e k =0 Suy C= ik = e n sin k k =0 i ( n +1) e i cos( n + 1) cos n + cos 1 sin( n + 1) sin n sin S = cos cos Số phức w gọi bậc n số phức z kí hiệu w = n z z = wn Nếu z = w = Xét trờng hợp z = rei w = ei Theo định nghĩa wn = nein = rei Suy n = r n = + m2 Hay = n r = + m với m n n Phân tích m = nq + k với k < n q Ta có + m + k [2] n n n n Từ suy định lý sau Định lý Căn bậc n số phức khác n giá trị khác wk = n r [cos ( + k ) + isin( + k )] với k = (n - 1) n n n n (1.3.7) Ví dụ Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chơng Số Phức (cos + isin ) có bậc sau 4 w0 = (cos + isin ), w1 = (cos + isin ), w2 = (cos 17 + isin 17 ) 12 12 12 12 12 12 2 Giải phơng trình x - x +1 = Số phức z = + i = Ta có = -3 < phơng trình có nghiệm phức x1,2 = Hệ Kí hiệu k = e ik n i , k = (n - 1) bậc n đơn vị k = n-k k = (1)k n k =0 Ví dụ Với n = 3, kí hiệu j = e i k =0 = Suy = j2 = j + j + j2 = Đ4 Các ứng dụng hình học phẳng Kí hiệu V mặt phẳng vectơ với sở trực chuẩn dơng (i, j) Anh xạ : V, z = x + iy v = xi + yj (1.4.1) song ánh gọi biểu diễn vectơ số phức Vectơ v gọi ảnh số phức z, số phức z gọi toạ vị phức vectơ v kí hiệu v(z) Kí hiệu P mặt phẳng điểm với hệ toạ độ trực giao (Oxy) Anh xạ : P, z = x + iy M(x, y) (1.4.2) song ánh gọi biểu diễn hình học số phức Điểm M gọi ảnh số phức z số phức z gọi toạ vị phức điểm M kí hiệu M(z) Nh hình bên, M(z) với z = x + iy, M1(- z ), M2(-z) M3( z ) M M1 Nếu z = x điểm M(z) (Ox), z = iy điểm M(z) (Oy) Do mặt phẳng (Oxy) gọi mặt phẳng phức, trục (Ox) trục thực trục (Oy) trục ảo Sau M2 M3 đồng số phức với vectơ hay điểm mặt phẳng ngợc lại Định lý Cho vectơ u(a), v(b) V, số thực điểm M(z) P |u|=|a| (i, u) = arg(a) (a + b) = u + v | OM | = | z | Chứng minh Trang 10 (i, OM ) = arg(z) Giáo Trình Toán Chuyên Đề Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chơng Số Phức Suy từ công thức (1.4.1) (1.4.2) Hệ Trong mặt phẳng cho điểm A(a), B(b), C(c) D(d) AB (b - a), AB = | b - a |, (i, AB ) = arg(b - a) dc ( AB , CD ) = (i, CD ) - (i, AB ) = arg ba Chứng minh Suy từ định lý 1 1 Ví dụ Cho z - {-1, 0, 1} A(1), B(-1), M(z), N( ) P( (z + )) Chứng minh z z đờng thẳng (MN) phân giác góc ( PA , PB ) Ta có (i, AP ) = arg( 1 (z 1) (z + ) - 1) = arg 2z z 1 (z + 1) (i, BP ) = arg( (z + ) + 1) = arg 2z z Suy (i, AP ) + (i, BP ) = arg M P B O A N (z 1) (z + 1) = 2arg(z - ) = 2(i, MN ) 2z 2z z Hệ Với kí hiệu nh Hai đờng thẳng (AB) // (CD) Hai đờng thẳng (AB) (CD) Ba điểm A, B, C thẳng hàng dc dc = [] ba ba dc dc arg = [] i3 ba ba ca ca arg = [] ba ba arg Chứng minh Suy từ hệ thức hệ Ví dụ Trong mặt phẳng tìm điểm A(z) cho ba điểm A(z), B(iz) C(i) thẳng hàng Kí hiệu z = x + iy, ta có iz i A, B, C thẳng hàng = k -y + i(x - 1) = (kx) + ik(y - 1) zi k k ( k 1) y = kx x= ,y= với k x = k ( y ) k +1 k +1 ánh xạ : P P, M N gọi phép biến hình Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 11 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chơng Số Phức Phép biến hình M N = M + v gọi phép tĩnh tiến theo vectơ v Phép biến hình M N = A + k AM (k > 0) gọi phép vi tự tâm A, hệ số k Phép biến hình M N cho ( AM , AN ) = gọi phép quay tâm A, góc Tích phép tĩnh tiến, phép vi tự phép quay gọi phép đồng dạng Định lý Cho phép biến hình : M N z = z + b với b Phép biến hình phép tĩnh tiến Phép biến hình phép vi tự z = a + k(z - a) với k 3+, a Phép biến hình phép quay z = a + ei(z - a) với 3, a Phép biến hình phép đồng dạng z = az + b với a, b Chứng minh Suy từ định nghĩa phép biến hình toạ vi phức Ví dụ Cho A(a), B(b) C(c) Tìm điều kiện cần đủ để ABC tam giác i ABC tam giác thuận (a - b) = e (c - b) (a - b) = - j2(c - b) a + jb + j2c = Tơng tự, ACB tam giác nghịch B (a - b) = - j(c - b) a + jc + j2b = Suy ABC tam giác (a + jb + j2c)(a + jc + j2b) = a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca A + C Đ5 D y trị phức ánh xạ : , n zn = xn + iyn (1.5.1) gọi d y số phức kí hiệu (zn)n D y số thực (xn)n gọi phần thực, d y số thực (yn)n phần ảo, d y số thực dơng (| zn |)n module, d y số phức ( z n )n liên hợp phức d y số phức D y số phức (zn)n gọi dần đến giới hạn a kí hiệu lim zn = a n + > 0, N : n > N | zn - a | < D y số phức (zn)n gọi dần vô hạn kí hiệu lim zn = n + M > 0, N : n > N | zn | > M D y có giới hạn module hữu hạn gọi d y hội tụ D y không hội tụ gọi d y phân kỳ Trang 12 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt Tìm đợc hàm ( 2(-1) k e ( k ) t e t 2 k(4 k 1) Suy nghiệm toán Tk(t) = u(x, t) = xe-t + + k =1 ) với k ( * ) 2(-1) k ( k ) t e e t sin kx 2 k(4 k 1) Nhận xét Bằng cách kéo dài liên tục, công thức sử dụng đợc trờng hợp hàm f g có đạo hàm liên tục khúc Đ6 Bài toán Dirichlet hình tròn Xét toán tử vi phân Laplace mặt phẳng u(x, y) = 2u u + x2 y2 Đổi biến toạ độ cực x = rcos, y = rsin Theo công thức đạo hàm hàm hợp u r u u u u = = cos sin + x r x x r r u r u u u u = + = sin + cos y r y y r r 2 2u u u 2u u 2 u = cos cos sin + cos sin + sin + sin r r r r r x2 r r 2 2u u 1 2u 2u u u = sin + cos sin cos sin + cos + cos r r r r r y2 r r Suy biểu thức toạ độ cực toán tử Laplace u(r, ) = u u u u u + + = r + r r r r 2 r r r r 2 Bài toán DE1a Cho miền D = [0, R] ì [0, 2] hàm g C([0, 2], 3) Tìm hàm u C(D, 3) thoả m n phơng trình Laplace u(r, ) = với (r, ) D0 điều kiện biên u(R, ) = g() Trang 144 Giáo Trình Toán Chuyên Đề (8.6.1) (8.6.2) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt Tìm nghiệm toán DE1a dạng tách biến u(r, ) = V(r)() Thế vào phơng trình (8.6.1) nhận đợc hệ phơng trình vi phân () + () = (8.6.3) r V(r) + rV(r) - V(r) = 0, với (8.6.4) Phơng trình (8.6.3) có họ nghiệm riêng trực giao, tuần hoàn chu kỳ T = k(x) = Akcosk + Bksink, k = k2 với Ak, Bk 3, k Thay vào phơng trình (8.6.4) tìm họ nghiệm riêng độc lập bị chặn Vk(r) = Ckrk với Ck 3, k Suy họ nghiệm riêng độc lập toán DE1a u0 = a0 , uk(r, ) = rk(akcosk + bksink) với ak = CkAk , bk = CkBk , k * Tìm nghiệm tổng quát toán DE1a dạng chuỗi hàm + u(r, ) = a0 + r k (a k cos k + b k sin k) (8.6.5) k =1 Thế vào điều kiện biên (8.6.2) + u(R, ) = a0 + R k (a k cos k + b k sin k) = g() k =1 Nếu hàm g khai triển thành chuỗi Fourier a0 = 1 g()d , ak = R k g() cos kd , bk = R k g() sin kd (8.6.6) Định lý Cho g C1([0, 2], 3) thoả m n g(0) = g(2) Chuỗi hàm (8.6.5) với hệ số ak bk tính theo công thức (8.6.6) nghiệm ổn định toán DE1a Chứng minh Lập luận tơng tự nh toán CP1 Ví dụ Giải toán DE1 u = với u(R, ) = 2Rsin Hàm g() = 2Rsin thoả m n điều kiện định lý Theo công thức (8.6.6) ak = bk = 2R R k 2 sin sin kd = 0 k = với k * k Suy nghiệm toán u(r, ) = 2rsin 2y Kí hiệu u(z) = u(r, ) với z = rei D0 Theo kết Đ8, chơng suy toán DE1a có nghiệm theo công thức sau + z g( ) u(z) = Re F( )d = ReI(z) (8.6.7) d = Re i ||= R z i ||= R Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 145 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt Giả sử hình tròn B(0, R) hàm g có cực điểm khác không ak với k = n Theo công thức tính tích phân Cauchy (4.7.6) ta có n I(z) = ResF(z) + ResF(0) + Re sF(a k =1 k ) (8.6.8) u = với u(R, ) = 2Rsin Ví dụ Giải toán DE1 Chuyển qua toạ vị phức i -i R2 + z R2 g() = 2R (e - e ) = F() = 2i i i z Ta có I(z) = Res[f, z] + Res[f, 0] = 2( z R ) R + = -2iz iz iz Suy nghiệm toán u(z) = Re(-2iz) = 2y Bài toán DE1b Cho miền D = [, R] ì [0, 2] hàm g, h C([0, 2], 3) Tìm hàm u C(D, 3) thoả m n phơng trình Laplace u(r, ) = với (r, ) D0 điều kiện biên u(, ) = g(), u(R, ) = h() (8.6.9) (8.6.10) Lập luận tơng tự toán DE1a, tìm nghiệm toán DE1b dạng tách biến u(r, ) = V(r)() Thay vào phơng trình (8.6.9) nhận đợc họ nghiệm riêng độc lập u0 = a0 + b0lnr uk(r, ) = (akrk + bkr-k)cosk + (ckrk + dkr-k)sink với ak , bk , ck , dk 3, k * Tìm nghiệm tổng quát toán DE1b dạng chuỗi hàm u(r, ) = a0 + b0lnr + + [(a k =1 k r k + b k r k ) cos k + (c k r k + d k r k ) sin k] (8.6.11) Thế vào điều kiện biên (8.6.10) + u(, ) = a0 + b0ln + [(a k k + b k k ) cos k + (c k k + d k k ) sin k] = g() k =1 + u(R, ) = a0 + b0lnR + [(a k R k + b k R k ) cos k + (c k R k + d k R k ) sin k] = h() k =1 Nếu hàm g khai triển thành chuỗi Fourier Trang 146 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt a0 + b0ln = g()d a0 + b0lnR = akk + bk-k = g() cos kd ckk + dk-k = g() sin kd h()d akRk + bkR-k = h() cos kd ckRk + dkR-k = h() sin kd 2 (8.6.12) Định lý Cho hàm g, h C1([0, 2], 3) thoả m n g(0) = g(2), h(0) = h(2) Chuỗi hàm (8.6.11) với hệ số ak , bk , ck dk xác định từ hệ phơng trình (8.6.12) nghiệm ổn định toán DE1b Đ7 Bài toán Dirichlet hình chữ nhật Bài toán DE2a Cho miền D = [0, l] ì [0, d] hàm ga C([0, l], 3) Tìm hàm u C(D, 3) thoả m n phơng trình Laplace u = 2u u + = với (x, y) D0 x2 y2 (8.7.1) điều kiện biên u(x, 0) = ga(x), u(x, d) = u(0, y) = u(l, y) = (8.7.2) Tìm nghiệm toán DE2a dạng tách biến u(x, y) = X(x)Y(y) Thay vào phơng trình (8.7.1) đa hệ phơng trình vi phân X(x) + X(x) = Y(y) - Y(y) = X(0) = X(l) = Y(d) = với Bài toán (8.7.3) có họ nghiệm riêng độc lập (8.7.3) k k k x , Yk(y) = Bksh (d y) , k = với k * l l l Suy có họ nghiệm riêng độc lập toán DE2a k k uk(x, y) = ak sh (d y) sin x với ak = AkBk 3, k * l l Xk(x) = Aksin Tìm nghiệm tổng quát toán DE2a dạng chuỗi hàm Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 147 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt + u(x, y) = u k =1 + k (x, y ) = a k =1 k sh k k (d y) sin x l l (8.7.4) Thế vào điều kiện biên (8.7.2) + kd k u(x, 0) = a k sh sin x = ga(x) l l k =1 Nếu hàm ga khai triển thành chuỗi Fourier đoạn [0, l] k g a (x) sin xdx ak = kd l lsh l l (8.7.5) Định lý Cho hàm ga C1([0, l], 3) thoả m n ga(0) = ga(l) = Chuỗi hàm (8.7.4) với hệ số ak tính theo công thức (8.7.5) nghiệm ổn định toán DE2a Lập luận tơng tự nh trên, giải toán sau Bài toán DE2b Cho miền D = [0, l] ì [0, d] hàm gb C([0, d], 3) Tìm hàm u C(D, 3) thoả m n phơng trình Laplace u = với (x, y) D0 điều kiện biên u(l, y) = gb(y), u(x, d) = u(0, y) = u(x, 0) = Định lý Cho hàm gb C1([0, d], 3) thoả m n gb(0) = gb(d) = Bài toán DE2b có nghiệm ổn định xác định theo công thức + u(x, y) = b k sh k =1 k k x sin y với bk = d d k g b (y ) sin ydy kl d dsh d d (8.7.6) Bài toán DE2c Cho miền D = [0, l] ì [0, d] hàm gc C([0, l], 3) Tìm hàm u C(D, 3) thoả m n phơng trình Laplace u = với (x, y) D0 điều kiện biên u(x, d) = gc(x), u(0, x) = u(x, 0) = u(l, y) = Định lý Cho hàm gc C1([0, l], 3) thoả m n gc(0) = gc(l) = Bài toán DE2c có nghiệm ổn định xác định theo công thức + u(x, y) = c k sh k =1 Trang 148 k k k g c (x) sin xdx y sin x với ck = kd l l l lsh l Giáo Trình Toán Chuyên Đề l (8.7.7) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt Bài toán DE2d Cho D = [0, l] ì [0, d] hàm gd C([0, d], 3) Tìm hàm u C(D, 3) thoả m n phơng trình Laplace u = với (x, y) D0 điều kiện biên u(0, y) = gd(y), u(x, 0) = u(l, y) = u(x, d) = Định lý Cho hàm gd C1([0, d], 3) thoả m n gd(0) = gd(d) = Bài toán DE2d có nghiệm ổn định xác định theo công thức + k k u(x, y) = d k sh (l x) sin y d d k =1 k g d (y) sin ydy kl d dsh d d với dk = (8.7.8) Bài toán DE2 Cho miền D = [0, l] ì [0, d], hàm g1 , g3 C([0, l], 3) g2 , g4 C([0, d], 3) Tìm hàm u C(D, 3) thoả m n phơng trình Laplace u = với (x, y) D0 điều kiện biên u(x, 0) = g1(x), u(l, y) = g2(y), u(x, d) = g3(x), u(0, y) = g4(y) Tìm nghiệm toán DE2 dới dạng u(x, y) = u0(x, y) + uâ(x, y) + ub(x, y) + uc(x, y) + ud(x, y) Trong u(x, y) nghiệm toán DE2 Hàm u0(x, y) = A + Bx + Cy + Dxy (8.7.9) nghiệm toán DE cho u(x, y) triệt tiêu đỉnh hình chữ nhật Do tính liên tục hàm u(x, y) biên D u(0, 0) = g4(0) = g1(0) = A u(l, 0) = g1(l) = g2(0) = A + Bl u(l, d) = g2(d) = g3(l) = A + Bl + Cd + Dld u(0, d) = g3(0) = g4(d) = A + Cd Giải hệ phơng trình suy g (d ) g (0) g (l) g1 (0) A = g4(0) = g1(0), B = ,C= l d g (l) g3 (0) g1 (l) + g1 (0) g (d ) g (0) g (d ) + g (0) D= = (8.7.10) ld ld Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 149 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt Thế vào điều kiện biên suy x (g1(l) - g1(0)) l x gc(x) = uc(x, d) = g3(x) - g3(0) - (g3(l) - g3(0)) l y gb(y) = ub(l, y) = g2(y) - g2(0) - (g2(d) - g2(0)) d y gd(y) = ud(0, y) = g4(y) - g4(0) - (g4(d) - g4(0)) d ga(x) = ua(x, 0) = g1(x) - g1(0) - (8.7.11) Kết hợp công thức (8.7.4) - (8.7.8) nhận đợc công thức + k k k u(x, y) = u0(x, y) + a k sh (d y) + c k sh y sin x l l l k =1 + + b k =1 k sh k k k x + d k sh (l x) sin y d d d (8.7.12) Định lý Cho hàm g1 , g3 C1([0, l], 3) g2 , g4 C1([0, d], 3) thoả m n g4(0) = g1(0), g1(l) = g2(0), g2(d) = g3(l), g3(0) = g4(d) Chuỗi hàm (8.7.12) với hàm u0(x, y) xác định theo công thức (8.7.9) - (8.7.10) hệ số ak , bk , ck dk xác định theo công thức (8.7.5) - (8.7.8) hàm ga , gb , gc gd xác định theo công thức (8.7.11) nghiệm ổn định toán DE2 Đ8 Bài toán Neumann Bài toán NE1 Cho miền D = [0, R] ì [0, 2] hàm h C([0, 2], 3) Tìm hàm u C(D, 3) thoả m n phơng trình Laplace u = u u = với (r, ) D0 r + r r r r 2 điều kiện biên u (R, ) = h() r Tìm nghiệm toán NE1 dạng tách biến u(r, ) = V(r)() Trang 150 Giáo Trình Toán Chuyên Đề (8.8.1) (8.8.2) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt Thay vào phơng trình (8.8.1) nhận đợc hệ phơng trình vi phân () + () = r2V(r) + rV(r) - V(r) = 0, (8.8.3) Bài toán (8.8.3) có họ nghiệm riêng độc lập u0 = a0, uk(r, ) = rk(akcosk + bksink) với ak = CkAk , bk = CkBk , k * Tìm nghiệm tổng quát toán NE1 dạng chuỗi hàm + u(r, ) = a0 + r k (a k cos k + b k sin k) (8.8.4) k =1 Thế vào điều kiện biên (8.8.2) + u (R, ) = kR k (a k cos k + b k sin k) = h() r k =1 Nếu hàm h khai triển thành chuỗi Fourier a0 = u(0, ) ak = kR k h() cos kd , bk = kR k h() sin kd (8.8.5) Định lý Cho h C1([0, 2], 3) thoả m n h(0) = h(2) Chuỗi hàm (8.8.4) với hệ số ak bk tính theo công thức (8.8.5) nghiệm ổn định toán NE1 Lập luận tơng tự nh toán DE2 chung ta giải toán sau Bài toán NE2b Cho miền D = [0, l] ì [0, d] hàm hb C([0, d], 3) Tìm hàm u C(D, 3) thoả m n phơng trình Laplace u = 2u u + = với (x, y) D0 x2 y2 điều kiện biên u(x, d) = u(0, y) = u(x, 0) = 0, u (l, y) = hb(y) x Định lý Cho hàm hb C1([0, d], 3) Bài toán NE2b có nghiệm ổn định xác định theo công thức k k u(x, y) = b k sh x sin y với bk = d d k =1 + kch d h kl b (y) sin k ydy (8.8.6) d d Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 151 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt Bài toán NE2d Cho miền D = [0, l] ì [0, d] hàm hd C([0, d], 3) Tìm hàm u C(D, 3) thoả m n phơng trình Laplace u = với (x, y) D0 điều kiện biên u u(x, 0) = u(l, y) = u(x, d) = 0, (0, y) = hd(y) x Định lý Cho hàm hd C1([0, d], 3) Bài toán NE2d có nghiệm ổn định xác định theo công thức + k k u(x, y) = d k sh (l x) sin y d d k =1 k h d (y) sin ydy kl d kch d d với dk = (8.8.7) Bài toán NE2 Cho miền D = [0, l] ì [0, d] hàm g1 , g3 C([0, l], 3) h2 , h4 C([0, d], 3) Tìm hàm u C(D, 3) thoả m n phơng trình Laplace u = với (x, y) D0 điều kiện biên u u u(x, 0) = g1(x), u(x, d) = g3(x) (l, y) = h2(y), (0, y) = h4(y) x x Tìm nghiệm toán NE2 dới dạng u(x, y) = u0(x, y) + ua(x, y) + ub(x, y) + uc(x, y) + ud(x, y) (8.8.8) Trong hàm ua(x, y) uc(x, y) nghiệm toán DE2a DE2c, hàm ub(x, y) ud(x, y) nghiệm toán NE2b NE2d, hàm u0(x, y) = A + Bx + Cy + Dxy (8.8.9) nghiệm toán DE cho u(x, y) triệt tiêu đỉnh hình chữ nhật Lập luận tơng tự nh toán DE2 suy A = g1(0) g3 (0) g1 (0) d Thế vào điều kiện biên suy C= Trang 152 g1 (l) g1 (0) l g (l) g1 (l) g3 (0) + g1 (0) D= ld B= Giáo Trình Toán Chuyên Đề (8.8.10) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt x (g1(l) - g1(0)) l x g3(x) - g3(0) - (g3(l) - g3(0)) l h2(y) - (B + Dy) g (l) g1 (0) y g3 (l) g1 (l) g3 (0) + g1 (0) h2(y) - l d l h4(y) - (B + Dy) g (l) g1 (0) y g3 (l) g1 (l) g3 (0) + g1 (0) h4(y) - l d l ga(x) = g1(x) - g1(0) gc(x) = hb(y) = = hd(y) = = (8.8.11) Kết hợp công thức (8.7.4), (8.7.6), (8.8.6), (8.8.7) (8.8.8) suy công thức + k k k u(x, y) = u0(x, y) + a k sh (d y) + c k sh y sin x l l l k =1 + + b k =1 k sh k k k x + d k sh (l x) sin y d d d (8.8.12) Định lý Cho hàm g1 , g3 C1([0, l], 3) g2 , g4 C1([0, d], 3) thoả m n ga (0) = hd(0), ga (l) = hb(0) gc (0) = hd(d), gc (l) = hb(d) Chuỗi hàm (8.8.12) với hàm u0(x, y) xác định theo công thức (8.8.9) - (8.8.10) hệ số ak ck xác định theo công thức (8.7.5) (8.7.7) hệ số bk dk xác định theo công thức (8.8.6) (8.8.7) với hàm ga , gc , hb hd xác định theo công thức (8.8.11) nghiệm ổn định toán NE2 Bài tập chơng Giải toán Cauchy 2u u = a2 t x ut=0 = xex 2u u = a2 + 3xt2 t x ut=0 = sinx u u =a + xe-t t x ut=0 = cosx 2u u = a2 + te-x t x ut=0 = sinx Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 153 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt Giải toán giả Cauchy 2u u = a2 + xsint t x ut=0 = sinx, u(0, t) = u u =a + tsinx t x ut=0 = xcosx, u(0, t) = et 2u u = a2 + te-x t x ut=0 = cosx , u (0, t) = sint x 2u u = a2 + xe-t t x ut=0 = sinx , u (0, t) = cost x Giải toán hỗn hợp sau 2u u = a2 t x ut=0 = x(l - x), u(0, t) = u(l, t) = 10 2u u = a2 + tsinx t x ut=0 = sinx, u(0, t) = u(l, t) = 11 u 2u = a2 + tcosx t x ut=0 = cosx , u(0, t) = 0, u(l, t) = t 12 2u u = a2 + 3xt2 t x ut=0 = 0, u(0, t) = 0, u(l, t) = Asint 13 u u =a + (1 - x)et t x 14 2u u = a2 + xet t x ut=0 = 1, u(0, t) = et, u(l, t) = ut=0 = 2x, u(0, t) = 0, u(l, t) = et Giải toán Dirichlet hình tròn 15 u = với (r, ) [0, 2] ì [0, 2] 16 u = với (r, ) [0, 2] ì [0, 2] 17 u = với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] 18 u = với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] 19 u = với (r, ) [0, R] ì [0, 2] và và ur=2 = x2 - xy + u(2, ) = A + Bsin u(1, ) = sin3 u(1, ) = cos4 u(R, ) = Giải toán Dirichlet hình vành khăn 20 u = với (r, ) [1, 2] ì [0, 2] u(1, ) = A, u(2, ) = B 21 u = với (r, ) [1, 2] ì [0, 2] u(1, ) = + cos2, u(2, ) = sin2 22 u = với (r, ) [0, R] ì [0, ] u(r, 0) = u(r, ) = 0, u(R, ) = A Trang 154 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chơng Phơng Trình Truyền Nhiệt Giải toán Dirichlet hình chữ nhật 23 u = với (x, y) [0, a] ì [0, b] u(0, y) = Ay(b - y), u(a, y) = 0, u(x, 0) = Bsin 24 25 x , u(x, b) = a u = với (x, y) [0, ] ì [-1, 1] u(0, y) = u(, y) = 0, u(x, -1) = u(x, 1) = sin2x u = với (x, y) [0, a] ì [0, +) x u(0, y) = u(a, y) = 0, u(x, 0) = A(1 - ), u(x, +) = a Giải toán Neuman hình tròn 26 27 29 u (2, ) = A r u u = với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] (1, ) = 2cos r u u = với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] (1, ) = - sin r u = với (r, ) [0, 2] ì [0, 2] Giải toán hỗn hợp hình chữ nhật 29 u = với (x, y) [0, a] ì [0, b] u u u(0, y) = A, u(a, y) = By, (x, 0) = (x, b) = y y 30 u = với (x, y) [0, a] ì [0, b] u u u(0, y) = A, u(a, y) = By, (x, 0) = (x, b) = y y 31 u = với (x, y) [0, ] ì [0, ] u u u(x, 0) = A, u(x, ) = Bx, (0, y) = cosy, (, y) = siny x x u = -2 với (x, y) [0, a] ì [-b, b] u(0, y) = u(a, y) = u(x, 0) = u(x, b) = 32 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 155 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Tài Liệu Tham Khảo [1] Đặng Đình Ang - Trần Lu Cờng - Huỳnh Bá Lân - Nguyễn Văn Nhân (2001) Biến đổi tích phân, NXB Giáo dục, Hà nội [2] Đậu Thế Cấp (1999) Hàm biến phức, NXB Giáo dục, Hà nội [3] Dơng Tôn Đảm (1992) Phơng trình vật lý - toán, NXB Đại học & GDCN, Hà nội [4] G.M Fichtengon (1972) Cơ sở giải tích toán học, Tập 2, NXB Đại học & THCN, Hà nội [5] Phan Bá Ngọc (1980) Hàm biến phức phép biến đổi Laplace, NXB Đại học & THCN, Hà nội [6] B.V Sabat (1979) Nhập môn giải tích phức, Tập 1, NXB Đại học & THCN, Hà nội [7] Nguyễn Thuỷ Thanh (1985) Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học & THCN, Hà nội [8] Nguyễn Đình Trí - Nguyễn Trọng Thái (1977) Phơng trình vật lý - toán, NXB Đại học & THCN, Hà nội [9] A.V Oppenheim & A.S Willsky (1997) Signals & Systems, Prentice Hall, New Jersey [10] J Monier (1997) Analyse et Analyse 4, Dunod, Paris [11] W Rudin (1998) Analyse réelle et complexe, Dunod, Paris [12] H. Pc (1978) , 2, H, Trang 156 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Mục lục Lời nói đầu Chơng Số phức Đ1 Trờng số phức Đ2 Dạng đại số số phức Đ3 Dạng lợng giác số phức Đ4 Các ứng dụng hình học phẳng 10 Đ5 D y trị phức 12 Đ6 Hàm trị phức 14 Đ7 Tập tập số phức 16 Bài tập chơng 19 Chơng Hàm biến phức 22 Đ1 Hàm biến phức 22 Đ2 Giới hạn liên tục 23 Đ3 Đạo hàm phức 25 Đ4 Hàm giải tích 27 Đ5 Hàm luỹ thừa 28 Đ6 Hàm mũ 30 Đ7 Hàm lợng giác 31 Đ8 Biến hình bảo giác 32 Đ9 Hàm tuyến tính hàm nghịch đảo 34 Đ10 Hàm phân tuyến tính hàm Jucop 36 Đ11 Các ví dụ biến hình bảo giác 37 Bài tập chơng 40 Chơng Tích Phân Phức 43 Đ1 Tích phân phức 43 Đ2 Các tính chất tích phân phức 44 Đ3 Định lý Cauchy 46 Đ4 Công thức tích phân Cauchy 48 Đ5 Tích phân Cauchy 50 Đ6 Định lý trị trung bình 52 Đ7 Hàm điều hoà 54 Bài tập chơng 57 Chơng CHUỗI hàm PHứC Thặng d 59 Đ1 Chuỗi hàm phức 59 Đ2 Chuỗi luỹ thừa phức 61 Đ3 Chuỗi Taylor 63 Đ4 Không điểm hàm giải tích 64 Đ5 Chuỗi Laurent 66 Đ6 Phân loại điểm bất thờng 67 Đ7 Thặng d 69 Đ8 Thặng d Loga 71 Đ9 Các ứng dụng thặng d 73 Bài tập chơng 76 Chơng Biến đổi fourier Biến đổi laplace 79 Đ1 Tích phân suy rộng 79 Đ2 Các bổ đề Fourier 81 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 157 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Đ3 Biến đổi Fourier .83 Đ4 Tính chất biến đổi Fourier 85 Đ5 Tìm ảnh, gốc biến đổi Fourier 87 Đ6 Biến đổi Laplace 91 Đ7 Biến đổi Laplace ngợc 92 Đ8 Tính chất Biến đổi Laplace .94 Đ9 Tìm ảnh, gốc biến đổi Laplace 96 Bài tập chơng 99 Chơng Lý thuyết trờng 101 Đ1 Trờng vô hớng 101 Đ2 Gradient .102 Đ3 Trờng vectơ 103 Đ4 Thông lợng 104 Đ5 Hoàn lu 106 Đ6 Toán tử Hamilton 107 Đ7 Trờng .108 Đ8 Trờng ống 110 Bài tập chơng 111 Chơng Phơng trình truyền sóng .113 Đ1 Phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 113 Đ2 Phơng trình vật lý - toán 116 Đ3 Các toán .118 Đ4 Bài toán Cauchy 120 Đ5 Bài toán Cauchy không 122 Đ6 Bài toán giả Cauchy .124 Đ7 Bài toán hỗn hợp 126 Đ8 Bài toán hỗn hợp không .128 Bài tập chơng 131 Chơng Phơng trình truyền nhiệt 133 Đ1 Bài toán Cauchy 133 Đ2 Bài toán Cauchy không 135 Đ3 Bài toán giả Cauchy .137 Đ4 Bài toán hỗn hợp 140 Đ5 Bài toán hỗn hợp không .142 Đ6 Bài toán Dirichlet hình tròn 144 Đ7 Bài toán Dirichlet hình chữ nhật 147 Đ8 Bài toán Neumann 150 Bài tập chơng 153 Tài Liệu Tham Khảo .156 Mục lục 157 Trang 158 Giáo Trình Toán Chuyên Đề ... phơng trình vật lý - toán, toán Cauchy toán hỗn hợp phơng trình truyền sóng Chơng Bài toán Cauchy toán hỗn hợp phơng trình truyền nhiệt, toán Dirichlet toán Neumann phơng trình Laplace Tác giả xin... Laplace Chuyên đề Phơng trình vật lý Toán gồm có chơng Chơng Các khái niệm lý thuyết trờng : Trờng vô hớng, trờng vectơ, thông lợng, hoàn lu toán tử vi phân cấp Chơng Các toán phơng trình vật lý - toán, ... 22 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chơng Hàm BiếnPhức trị biến mặt phẳng (z) thành nhiều tập rời mặt phẳng (w) Trong giáo trình