ĐẶNG NGỌC HOÀNG THÀNH ĐẶNG NGỌC HOÀNG THÀNH GIÁO TRÌNH TOÁN RỜI RẠC Huế, 2011 CHƯƠNG MỞ ĐẦU MỤC LỤC CHƯƠNG MỞ ĐẦU 1.1 Tập hợp 1.2 Phép chứng minh quy nạp to|n học 10 1.3 Sơ lược tổ hợp 16 CHƯƠNG BÀI TOÁN ĐẾM 29 2.1 Giới thiệu b{i to|n 29 2.2 Nguyên lý bù trừ 31 2.3 Công thức truy hồi 33 CHƯƠNG BÀI TOÁN TỒN TẠI 41 3.1 Giới thiệu b{i to|n 41 3.2 Phương ph|p phản chứng 44 3.2 Nguyên lý Dirichlet 46 CHƯƠNG BÀI TOÁN LIỆT KÊ 48 4.1 Giới thiệu b{i to|n 48 4.2.Thuật to|n quay lui 49 CHƯƠNG BÀI TOÁN TỐI ƯU 53 5.1 Ph|t biểu b{i to|n 53 5.2 Thuật to|n nh|nh v{ cận 53 CHƯƠNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 72 6.1 Sơ lược lý thuyết đồ thị 72 6.1.1 C|c kh|i niệm Đồ thị 73 6.1.2 Đồ thị 76 6.1.3 C|c phép tìm kiếm đồ thị 81 6.1.4 Hành trình chu trình 82 6.2 Đồ thị ph}n đôi v{ C}y 90 6.2.1 Đồ thị ph}n đôi v{ c}y 90 6.2.2 C}y khung đồ thị 93 6.2.3 C|c phép duyệt c}y 95 6.3 Đồ thị Euler v{ Đồ thị Hamilton 96 6.3.1 Đồ thị Euler 96 6.3.2 Đồ thị Hamilton 97 6.4 Đồ thị phẳng 98 CHƯƠNG MỞ ĐẦU TÀI LIỆU THAM KHẢO 101 CHƯƠNG MỞ ĐẦU CHƯƠNG MỞ ĐẦU 1.1 Tập hợp 1.1.1 Khái niệm tập hợp Tập hợp l{ kh|i niệm nguyên thủy Người ta thừa nhận kh|i niệm n{y lẽ tất yếu m{ không đưa định nghĩa cụ thể C|c đối tượng giới hợp th{nh tập hợp Tập c|c sinh viên lớp học Tập c|c số tự nhiên Tập c|c đường thẳng mặt phẳng Tập c|c quốc gia ch}u lục Tập c|c c}y rừng Tập c|c ph}n tử nước giọt nước… V{ h{ h{ng sa số ví dụ tập hợp Trong tập hợp, c|c yếu tố bên xem l{ phần tử tập hợp Một tập hợp không chứa phần tử n{o, chứa hữu hạn phần tử vô hạn c|c phần tử Một tập hợp gọi tắt tập Ví dụ tập hợp A hay tập A Cho tập hợp A, phần tử a tập hợp A Ta nói rằng, phần tử a thuộc tập hợp A Kí hiệu Đọc l{: phần tử A thuộc tập hợp A phần tử a thuộc tập A Ngược lại, phần tử b l{ phần tử tập hợp A ta nói rằng, phần tử b không thuộc tập hợp A kí hiệu Các cách biểu diễn tập hợp Để biểu diễn tập hợp, thông thường người ta sử dụng hai c|ch sau: a) Liệt kê c|c phần tử tập hợp Đối với phương ph|p n{y, ta liệt kê tất phần phần tử tập hợp * + - Tập số tự nhiên chẵn * b) Sử dụng c|c mô tả tập hợp + – Tập kí tự a, b v{ c CHƯƠNG MỞ ĐẦU Thông thường, c|ch mô tả tập hợp n{y |p dụng cho tập có vô hạn c|c phần tử Ta không liệt kê tất phần tử mà nêu tính chất đặc trưng tập hợp * + Hay * + 1.1.2 Tập hợp con, Tập hợp rỗng Tập hợp bao trùm a Tập hợp Tập hợp A gọi l{ tập hợp B, phần tử tập hợp A thuộc vào tập hợp B Kí hiệu Nếu tập hợp A tập hợp B, ta gọi tập hợp B cha tập hợp A Khi đó, kí hiệu thay kí hiệu ( Nếu tập hợp Nếu tập hợp ) ( ta nói tập ) ta nói A tập B kí hiệu Trong nhiều trường hợp, người ta gọi – tập A tập B – tập A l{ tập B hay nằm lọt B b Tập hợp rỗng Một tập hợp không chứa phần tử n{o, chứa hữu hạn phần tử vô hạn c|c phần tử Trong trường hợp không chứa phần tử, ta gọi tập hợp n{y l{ tập hợp rỗng *+ c Tập hợp bao trùm Tập hợp chứa tất c|c tập hợp kh|c gọi l{ tập hợp bao trùm (hay tập vũ trụ) Tập hợp bao trùm thường kí hiệu Theo định nghĩa tập hợp rỗng tập bao trùm, ta có số ý sau đ}y: + Tập hợp rỗng tập hợp tập hợp rỗng không chứa phần tử + Mọi tập hợp tập tập bao trùm CHƯƠNG MỞ ĐẦU Lực lượng tập hợp Số lượng phần tử tập hợp gọi lực lượng tập hợp Kí hiệu - đọc lực lượng tập hợp A Một tập hợp có n phần tử, có tập hợp Ví dụ: Cho tập hợp A = {1, 2, 3} Khi đó, có tập A Các tập hợp bao gồm: ** + * + * + * + * +* +* Tập tập hợp tập hợp A kí hiệu +* ++ ( ) 1.1.3 Các phép toán tập hợp Để minh họa cho c|c phép to|n tập hợp, ta sử dụng giản đồ sau đ}y để minh họa (còn gọi l{ giản đồ Venn) A B Hình 1.1 – Minh họa c|c phép to|n Tập hợp a Phép toán hợp Hợp hai tập hợp A v{ B l{ tập hợp chứa tất c|c phần tử tập hợp A v{ c|c phần tử tập hợp B Kí hiệu * + Trong hình minh họa trên, hợp hai tập hợp A B tập hợp chứa ba phần 1, Ví dụ: Giả sử ta có tập hợp A B Yêu cầu tìm hợp hai tập hợp A B * + * + * + CHƯƠNG MỞ ĐẦU Cần lưu ý rằng, tập hợp ph}n biệt thứ tự c|c phần tử Nếu tập hợp A l{ tập hợp B, hợp hai tập hợp A v{ B l{ tập hợp B b Phép toán giao Giao hai tập hợp A v{ B l{ tập hợp chứa c|c phần tử chung hai tập hợp Kí hiệu * + Trong hình minh họa trên, giao hai tập hợp A B tập hợp chứa phần Ví dụ: Giả sử ta có tập hợp A B Yêu cầu tìm hợp hai tập hợp A B * + * + * + * + Nếu tập hợp A l{ tập hợp B, giao hai tập hợp A v{ B l{ tập hợp A c Phép toán hiệu Hiệu hai tập hợp A v{ B l{ tập hợp chứa c|c phần tử thuộc tập hợp A m{ không thuộc tập hợp B Kí hiệu \ – Trong số gi|o trình có phân biệt hai kí hiệu này1 * + Trong hình minh họa trên, hiệu hai tập hợp A B tập hợp chứa phần Ví dụ: Giả sử ta có tập hợp A B Yêu cầu tìm hiệu hai tập hợp A B * + * + * + * + Nếu tập hợp A tập hợp B, hiệu hai tập hợp A B tập hợp rỗng Phần bù tập hợp Giả sử tập hợp A tập hợp B nằm lọt hẳn tập hợp B Nếu A Nếu hiệu A B kí hiệu A\B hiệu A B kí hiệu A-B CHƯƠNG MỞ ĐẦU B A Hình 1.2 – Minh họa phần bù Tập hợp Khi đó, gi| trị gọi l{ phần bù tập hợp A tập hợp B (hay đơn giản phần bù B) Kí hiệu Nếu tập hợp B tập bao trùm, ta kí hiệu phần bù tập hợp A d Phép toán hiệu đối xứng Hiệu đối xứng hai tập hợp A v{ B l{ tập hợp chứa phần tử thuộc tập hợp A mà không thuộc tập hợp B phần tử thuộc tập hợp B mà không thuộc tập hợp A Kí hiệu ( ) ( ) Trong hình minh họa trên, hiệu đối xứng hai tập hợp A v{ B l{ tập hợp chứa phần Ví dụ: Giả sử ta có tập hợp A B Yêu cầu tìm hiệu đối xứng hai tập hợp A B * + * + * + * + ( ) ( ) * + Nếu tập hợp A l{ tập hợp B, hiệu đối xứng hai tập hợp A v{ B l{ phần bù tập hợp A tập hợp B 1.1.4 Các tính chất phép toán tập hợp CHƯƠNG MỞ ĐẦU Chúng ta thừa nhận số tính chất sau đ}y c|c phép to|n tập hợp m{ không chứng minh Việc chứng minh c|c tính chất n{y thực theo c|c luật logic mệnh đề Định lý Giả sử A, B, C tập hợp E tập bao trùm Khi đó, ta có tính chất sau đ}y: a) Luật giao hoán b) Luật kết hợp ( ) ( ) ( ) ( ) c) Luật phân phối + Phân phối trái ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + Phân phối phải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) Luật đồng e) Luật nuốt f) Luật làm đầy g) Luật lũy đẳng CHƯƠNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Chý ý: Nếu bước lặp n{o đó, có hai cạnh có trọng số nhau, ta ưu tiên theo thứ tự bảng chữ c|i 6.2.3 Các phép duyệt a) Duyệt theo thứ tự trước  Duyệt gốc  Duyệt nh|nh bên tr|i sang theo thứ tự trước b) Duyệt theo thứ tự  Duyệt nh|nh bên tr|i theo thứ tự  Duyệt gốc  Duyệt c|c nh|nh lại theo thứ tự c) Duyệt theo thứ tự sau  Duyệt c|c nh|nh theo thứ tự sau từ tr|i sang  Duyệt gốc Ví dụ Cho c}y sau: a b e f g k j n d c l o h m p Hình 6.21 – C|c phép duyệt c}y  Duyệt c}y theo thứ tự trước: abejknopfcdglmhi  Duyệt c}y theo thứ tự giữa: jenkopbfaclgmdhi  Duyệt c}y theo thứ tự sau: jnopkefbclmghida 95 i CHƯƠNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 6.3 Đồ thị Euler Đồ thị Hamilton 6.3.1 Đồ thị Euler Định nghĩa  Chu trình đơn chứa tất cạnh đồ thị gọi chu trình Euler  Đường đơn chứa tất cạnh đồ thị gọi đường Euler  Đồ thị gọi đồ thị Euler chứa chu trình Euler  Đồ thị gọi nửa Euler chứa đường Euler Ví dụ 𝑮𝟐 𝑮𝟏 𝑮𝟑 Hình 6.22 – Đồ thị vô hướng tính Euler Đồ thị l{ đồ thị Euler Đồ thị 𝐻 l{ đồ thị nửa Euler 𝐻 𝐻 Hình 6.23 – Đồ thị có hướng tính Euler Đồ thị l{ đồ thị Euler Đồ thị đồ thị nửa Euler Định lý Một đa đồ thị vô hướng liên thông đồ thị Euler đỉnh có bậc chẵn Hệ Một đa đồ thị vô hướng liên thông có đường Euler (và chu trình Euler) có hai đỉnh bậc lẻ 96 CHƯƠNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Định lý Một đa đồ thị có hướng liên thông yếu đồ thị Euler đỉnh có bậc vào bậc Định lý Một đa đồ thị có hướng liên thông yếu đồ thị nửa Euler tồn hai đỉnh x y cho: ( ) ( ) Trong đó, ( ) ( ) ( ) ( ) 6.3.2 Đồ thị Hamilton Định nghĩa  Chu trình đơn chứa tất đỉnh đồ thị gọi chu trình Hamilton  Đường đơn chứa tất đỉnh đồ thị gọi đường Hamilton  Đồ thị gọi đồ thị Hamilton chứa chu trình Hamilton Ví dụ 𝐺 𝐺 𝐺 Hình 6.24 – Đồ thị vô hướng tính Hamilton Đồ thị có chu trình Hamilton nên l{ đồ thị Hamilton Đồ thị Hamilton Đồ thị Bổ đề Nếu chu trình Hamilton lẫn đường Hamilton đồ thị Hamilton, đó, với tập khác rỗng ( Định lý ORE Cho đồ thị có cấp ( ) , ta có ) , giả sử hai đỉnh không liền kề G thỏa mãn Khi đó, có đường ( ) đồ thị Hamilton 97 , CHƯƠNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Hệ Giả sử đơn đồ thị liên thông có cấp Khi đồ thị Hamilton bậc đỉnh Định lý Mọi đồ thị có hướng đầy đủ đồ thị nửa Hamilton Định lý Dirac Đơn đồ thị liên thông n đỉnh G đồ thị Hamilton bậc đỉnh ⌊ ⌋ Hệ Nếu G đơn đồ thị có n đỉnh đỉnh G có bậc không nhỏ ⌊ ⌋ G đồ thị nửa Hamilton Định lý Nếu G đồ thị phân đôi với hai tập đỉnh bậc đỉnh lớn Định lý Đồ thị đầy đủ có số đỉnh G đồ thị Hamilton với n lẻ có chu trình Hamilton phân biệt 6.4 Đồ thị phẳng Định nghĩa Một đồ thị đồ thị phẳng, biểu diễn mặt phẳng mà cạnh không giao Ví dụ Đồ thị ph}n đôi ho{n chỉnh l{ đồ thị phẳng Hình 6.25 – Đồ thị phẳng Định nghĩa Một cạnh gọi bị chia nhỏ (hay phép phân chia sơ cấp cạnh ), thay hành trình  Một đồ thị gọi phôi nhận từ sau dãy phép phân chia sơ cấp  Hai đồ thị gọi đồng phôi chúng nhận từ đồ thị sau số phép phân chia sơ cấp Ví dụ 98 CHƯƠNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Hình 6.26 – Phép ph}n chia sơ cấp Bổ đề Một đồ thị l{ phẳng v{ c|c đồ thị ph}n nhỏ l{ phẳng Đồ thị phẳng cực đại Định lý Nếu đồ thị phẳng với bậc không chứa đồ thị Hơn nữa, , Định lý Heawood Nếu G đồ thị phẳng, ( ) Định nghĩa Một đồ thị phẳng gọi cực đại, đồ thị phẳng với Định lý Đồ thị không đồ thị phẳng Định lý Kuratowski Một đồ thị phẳng không chứa đồ thị đồng phôi với Ví dụ Đồ thị l{ đồ thị phẳng với chứa đồ thị đồng phôi với Đồ thị Với đồ thị , nên hiển nhiên chúng không l{ đồ thị phẳng Hình 6.27 – Đồ thị ph}n đôi 99 không l{ đồ thị phẳng chứa đồ thị BÀI TẬP TỔNG HỢP PHẦN BÀI TOÁN ĐẾM 1) Trong tổng số 2504 sinh viên khoa công nghệ thông tin, có 1876 theo học môn ngôn ngữ lập trình Pascal, 999 học môn ngôn ngữ Fortran v{ 345 học ngôn ngữ C Ngo{i biết 876 sinh viên học Pascal v{ Fortran, 232 học Fortran v{ C, 290 học Pascal v{ C Nếu 189 sinh viên học môn Pascal, Fortran v{ C trường hợp có sinh viên không học môn n{o môn ngôn ngữ lập trình kể 2) Một họp gồm 12 người tham dự để b{n vấn đề Có người ph|t biểu vấn đề I, người ph|t biểu vấn đề II v{ người ph|t biểu vấn đề III Ngo{i ra, có người không ph|t biểu vấn đề n{o Hỏi nhiều l{ có người ph|t biểu vấn đề 3) Chỉ có người số 25 triệu người có tên họ viết tắt chữ c|i sinh ng{y năm (không thiết năm) 4) Một tay đô vật tham gia thi đấu gi{nh chức vô địch 75 Mỗi có trận đấu, to{n có không qu| 125 trận Chứng tỏ có liên tiếp đ~ đấu 24 trận 5) Cho n l{ số nguyên dương Chứng minh lấy từ n số đ~ cho số số hạng thích hợp cho tổng chúng chia hết cho n 6) Trong lấy ý kiến vấn đề, người hỏi ghi v{o phiếu trả lời sẵn c|ch để nguyên phủ định c|c c}u trả lời tương ứng với vấn đề đ~ nêu Chứng minh với 1153 người hỏi tìm 10 người trả lời giống hệt 7) Có 17 nh{ b|c học viết thư cho trao đổi vấn đề Chứng minh tìm người trao đổi vấn đề 8) Trong kỳ thi kết thúc học phần to|n học rời rạc có 10 c}u hỏi Có c|ch g|n điểm cho c|c c}u hỏi tổng số điểm 100 v{ c}u điểm 9) Phương trình x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 21 có nghiệm nguyên không }m? 10) Có x}u kh|c lập từ c|c chữ c|i từ MISSISSIPI, yêu cầu phải dùng tất c|c chữ? 11) Một gi|o sư cất sưu tập gồm 40 số b|o to|n học v{o ngăn tủ, ngăn đựng 10 số Có c|ch cất c|c tờ b|o v{o c|c ngăn nếu: a) Mỗi ngăn đ|nh số cho ph}n biệt được; b) C|c ngăn l{ giống hệt nhau? 12) Tìm hệ thức truy hồi cho số thứ tự Dn 13) Tìm hệ thức truy hồi cho số c|c x}u nhị ph}n chứa x}u 01 14) Tìm hệ thức truy hồi cho số c|ch lên n bậc thang người bước một, hai ba bậc lần 15) Giải c|c b{i to|n sau: a) Tìm hệ thức truy hồi m{ Rn thoả m~n, Rn l{ số miền mặt phẳng bị ph}n chia n đường thẳng hai đường n{o song song v{ đường n{o qua điểm b) Tính Rn phương ph|p lặp 16) Tìm nghiệm hệ thức truy hồi an = 2an-1 + 5an-2 - 6an-3 với a0 = 7, a1 = -4, a2 = PHẦN CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ 1) Cho G l{ đồ thị có v đỉnh v{ e cạnh, M, m tương ứng l{ bậc lớn v{ nhỏ c|c đỉnh G Chứng tỏ m 2e  M v 2) Chứng minh G l{ đơn đồ thị ph}n đôi có v đỉnh v{ e cạnh, e  v2/4 3) Trongmột phương |n mạng kiểu lưới kết nối n=m2 xử lý song song, xử lý P(i,j) kết nối với xử lý (P(i1) mod m, j), P(i, (j1) mod m), cho c|c kết nối bao xung quanh c|c cạnh lưới H~y vẽ mạng kiểu lưới có 16 xử lý theo phương |n n{y 4) H~y vẽ c|c đồ thị vô hướng biểu diễn ma trận liền kề sau: 1 1     a)  4 , b)      0 1 0 1   1 0 , c)   1  0 0  4 4  0 1 1  0 2  3 5) Nêu ý nghĩa tổng c|c phần tử h{ng (t.ư cột) ma trận liền kề đồ thị vô hướng ? Đối với đồ thị có hướng ? 6) Tìm ma trận liền kề cho c|c đồ thị sau: a) Kn , b) Cn, c) Wn , d) Km,n , e) Qn 7) Có đơn đồ thị không đẳng cấu với n đỉnh khi: a) n=2, b) n=3, c) n=4 8) Hai đơn đồ thị với ma trận liền kề sau đ}y có l{ đẳng cấu không?  1  1      1 0 1 1 0 1  0  , 1 0      1 1 1     9) Hai đơn đồ thị với ma trận liền kề sau đ}y có l{ đẳng cấu không? 101 1 0   0    1 1   1  0 1  , 1 0     1  1 10) C|c đồ thị G v{ G’ sau có đẳng cấu với không? a) 1  0 0   b) 11) Cho V={2,3,4,5,6,7,8} E tập hợp c|c cặp phần tử (u,v) V cho u