ĐÁP ÁN TOÁN CHUYÊN THI THỬ LẦN NĂM 2017 Bài a) = a ( b + c − a ) − b ( c + a − b ) = ( a − b ) c − ( a + b ) ( a − b ) ( = ( a − b ) ac + bc − a − b ) ( b − c ) ( ba + ca − b − c ) = ( c − a ) ( cb + ab − c − a ) = Tương tự ta có (1) (2) (0.5) (3) Nếu có hai số nhau, giả sử a = b , từ (2) suy b = c ⇒a=b=c ( b − c ) ca − c = ⇒  a = c ( ) (0.25) Nếu a , b, c khác đôi ac + bc − a − b = 0; ba + ca − b − c = 0; cb + ab − c − a = 2 Nên = 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ca 2 = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ( Vô lý) V ậy a = b = c (0.25) x =1 b) x3 − 3x + ( a + ) x − a = ( x − 1) x − x + a = ⇔   x − 2x + a = ( ) (0.25) Phương trình x − x + a = có hai nghiệm có tổng nên có nghiệm nhỏ nghiệm lớn ⇒ x1 < = x2 < x3 x1 , x3 nghiệm phương trình x − x + a = (0.5) Do S = ( x3 − x1 )( x3 + x1 ) + x1 = ( x3 − x1 ) + x1 = ( x1 + x3 ) = (0.25) Bài a)Giả sử x1 số lớn nhất, x5 số bé x1 , x , x , x , x ( ) Ta có x12 = x4 + x5 ≤ x1 ⇒ x1 ≤ x52 = x3 + x4 ≥ x5 ⇒ x5 ≥ (0.5) ⟹ ≥ x1 ≥ x5 ≥ ⇒ x1 = x5 = Vậy hệ có nghiệm ( 2;2;2;2;2 ) (0.5) (Nếu xi số lớn nhất, xJ số bé chứng minh tương tự) b) Ta có a1 + a2 + + a6 ≤ 6a6 a7 + a8 + a9 + a10 ≥ 4a6 ⇒ ( a1 + a2 + + a6 ) ≤ ( 6a6 ) = ( 4a6 ) ≤ ( a7 + + a10 ) ⇒ 10 ( a1 + a2 + + a6 ) ≤ ( a1 + + a10 ) a1 + + a a1 + + a10 ≤ 10 (1đ) Bài 3.a) Phương trình (1)luôn có nghiệm phân biệt x1 , x2 x12 + x 22 + x1 + x +17 = a +1+ 2a + = a + 2a + (0.25) Tồn k nguyên dương cho ⇒ k ⇔ k a + 2a + = k ⇔ k − ( a +1) = ⇔ ( k − a −1) ( k + a +1) = ( 0.25) k = − a −1 = ( k + a +1 > k − a −1 > 0) ⇔  + a +1 = a = (0.5) b) Tồn b nguyên dương cho a + 3a = b ⇒ b − a b + a = 3a ( )( Nên + = − = với k số tự nhiên Vì b − a < b + a ⇒ k < a − k ⇒ a − 2k ≥ Nếu a − 2k = 2a = ( a + b ) − ( b − a ) = a−k k k ( a −2 k −3 =3 ) (0.25) − 1) = 3k ( − 1) = 2.3k k ⟹ a = 2k + = 3k = (1 + ) = + 2k + ≥ 2k + ⇒ k = k = a = a = (0.25) x = Với a = ta có phương trình x − x = ⇔  x = x = Khi a = ta có phương trình x − x + = ⇔  x = (0.25) Nếu a − 2k > ⇒ a − 2k ≥ ⇒ k ≤ a − k − Nên 3k ≤ 3a− k − a −k k a−k a −k −2 = 3a −k −2 32 − = 3a −k −2.8 Do 2a = ( a + b ) − ( b − a ) = − ≥ − ( = (1 + ) a−k −2 = 1 + ( a − k − ) +  ≥ 1 + ( a − k − )  = 16a − 16 k − 24 ⇒ 8k + 12 ≥ 7a mà a ≥ 2k + ⇒ 7a ≥ 14k + 14 (mâu thuẫn) Bài ) (0.25) a) Ta có: (cùng ch chắn cung BD) ( chắn cung CD) Do Nên tứ giác ABEC nội tiếp.( 1đ) b) Gọi O tâm đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC ED cắt (O) E T ⇒ AT / / BC Ta có ⇒ T cố định hay ED qua T cố địịnh.( 1đ) c) OI vuông góc BE cắt BE tạii K, OJ vuông góc CE cắt CE H (1)( 0.25) OJ cắt (J) P (J thuộc đoạnn OP) OP), tứ giác DEPC nội tiếp (J) Do (2) Từ (1) (2) ta có ⇒ tứ giác OIEJ nội tiếp hay đường ng tròn ngoại tiếp tam giác IEJ qua O cố c định (0.75) Bài { } Tuấn chọn basố m tập Bi = 10 − i ;10 + i ; (10 − i ) (10 + i ) vớii nguyên dương ≤ i ≤ , nên có số Tuấnn không th thể chọn tập Do Tuấn Tu chọn không 91 số (0.5) Mặt khác xét tập A = {10,11,12, ,100} , c = a b ≥10.11 = 110 > 100 với a ≠ nên Tuấn chọn tất 91 số tập A Vậy Tuấn chọn nhiều 91 số.( 0.5) thuộc A ... a − k ⇒ a − 2k ≥ Nếu a − 2k = 2a = ( a + b ) − ( b − a ) = a−k k k ( a 2 k −3 =3 ) (0 .25 ) − 1) = 3k ( − 1) = 2. 3k k ⟹ a = 2k + = 3k = (1 + ) = + 2k + ≥ 2k + ⇒ k = k = a = a = (0 .25 ) x = Với... nghiệm phân biệt x1 , x2 x 12 + x 22 + x1 + x +17 = a +1+ 2a + = a + 2a + (0 .25 ) Tồn k nguyên dương cho ⇒ k ⇔ k a + 2a + = k ⇔ k − ( a +1) = ⇔ ( k − a −1) ( k + a +1) = ( 0 .25 ) k = − a −1 = (... + = ⇔  x = (0 .25 ) Nếu a − 2k > ⇒ a − 2k ≥ ⇒ k ≤ a − k − Nên 3k ≤ 3a− k − a −k k a−k a −k 2 = 3a −k 2 32 − = 3a −k 2. 8 Do 2a = ( a + b ) − ( b − a ) = − ≥ − ( = (1 + ) a−k 2 = 1 + ( a −