Effect of heat conduction of penny-shaped crack interior on thermal stress intensity factors Anh hưởng dẫn nhiêt qua vết nứt lỗ khí lên hệ số cường độ ứng suất nhi ệt Abstract ( Tóm tắt ) This paper annalyzes the thermal stress induced by a penny-shaped crack in an elestic solid with uniform steady heat flux Air inside an opening crack is taken as a thermally conducting medium and the crack is partially insulated The Hankel transform technique is applied to convert the problem to a system of dual integral equations Heat flux is the opening crack or temperature gradient across the crack depends on the crack opening displacement Explicit expression for the whole temperature change field and heat flux at any position in the cracked medium are given in terms of elementary functions Thermal stresses and displacements are presented for a solid with a partially insulated crack under remote tensile loading and uniform heat flux Stress intensity factors ( SIFs) are determind The mode-I SIFs depend only on external tensile loading, and are free of the material properties The mode-II SIFs are related to both mechanical of thermal loading , in addition to the material properties Numerical result for a cracked thermoelastic material are presented to show in the influence of the thermal conductivity of air of the crack interior on the mode-II SIFs, and indicate that heat conduction of crack affects thermal SIFs Insulated and isothermal crack are two limiting cases of a partially insulated crack Mục phân tích ảnh hưởng lỗ khí vật liệu ảnh hưởng đến ừng suất lên vật rắn đàn hồi chịu tác dụng liên tục đồng dòng nhiệt Khí bên đ ược xem môi trường dẫn nhiệt phía lỗ khí xem lớp vỏ cách nhi ệt Phương pháp biến đổi Hankel áp dụng để biến đổi hệ hàm nhị nguyên Dòng nhiệt vết nứt hay vùng chênh lệch nhiệt độ qua vết nứt phụ thuộc vào bề rộng vết nứt Biểu thức tường minh dùng hàm để tính lượng nhi ệt dòng nhiệt vị trí cho trước Các ứng suất nhiệt chuyển vị trình bày vết nứt vật liệu chịu tải kéo dòng nhiệt đồng Hệ số cường độ ứng suất nhiệt (SIFs) xác định Dạng I (vết nứt dạng mở rộng) - Hệ số cường độ ứng suất nhiệt (SIFs) phụ thuộc vào tải kéo giải phóng đặc tính vật liệu Dạng II (dạng trượt )- Hệ số cường độ ứng suất nhiệt (SIFs) liên quan tới ca tác động học tải nhi ệt , thêm vào giải phóng đặc tính vật liệu Thông số kết cho vật liệu đàn hồi kháng nứt trình bày thấy ảnh hưởng độ dẫn nhiệt không khí tới vết n ứt bên dạng II, xác định ảnh hưởng SIFs tới việc dẫn nhiệt qua vết n ứt Vết nứt giữ nhiệt đẳng nhiệt trường hợp đặc biệt vết nứt cách nhiệt Keywords: Penny-shaped crack – vết nứt dạng lỗ khí Heat flux – thông lượng nhiệt Thermal stress intensity factor – thông số cường độ ứng suất nhiệt Hankel transform – Phép biến đổi Hankel Partially insulated crack- Vết nứt bọc Heat conduction of crack- dẫn nhiệt qua vết nứt 1/ Introduction Thermally induced machanical failure is one of the most typical failure and frequently encountred in electronic and photonic systems widely used in electronic devices To promote structural riliability and lengthen service priod of electronic devices, thermal stress analysis is major concern in design and fabrication of electronic production Accordingly, the ability to understand the mechanical behavior of electronic structures induced by thermal effect in of quite importance In particular, the presence of inclusion and defect in structures gives rise to thermal stress concentration and degrade the performance of structure [1,2] Nhiệt học yếu tố phổ biến ảnh hưởng gây hư hại đến phận quang – điện tử thiết bị điện tử Để tiến sản phẩm kéo dài tuổi thọ c thiết bị điện tử, việc phân tích ứng suất nhiệt nhiệt mối quan tâm lớn thi ết kế chế tạo linh kiện điện tử Bên cạnh đó, khả để xác định tác động h ọc lên vi mạch gây ứng suất nhiệt nhiệt bên có vai trò quan tr ọng Đặc bi ệt, s ự diện bọt khí khiếm khuyết cấu trúc dẫn đến hội tụ ứng suất nhiệt nhiệt làm giảm chất lượng cấu trúc vật liệu Thermal stress analysis of an elastic medium with crack hs recived considerable attention Along this line, a great number of investigations have been done For example, Sih [3] applied a complex variable method to determine the singular behavior thermal stress near a crack tip in a two-dimensional elastic medium For a three-dimensional elastic solid, Olesiak and Sneddon [4] gave an analysis of a penny-shaped crack embedded in an isotropic homogeneous solid where heat flux or temperature change at the crack surface is given This problem is symetric with respect to the crack plane On contrary , Florence and Goodier [5} analyzed an antisymetric problem are determined thermal stresses disturbed by a penny – shaped crack when a simple uniform steady heat flux is given Furthermore, thermal stresses in a semi-infinite elastic solid containing a penny-shaped crack has been studied by Srivasatava and Palaiya [6] For a transversly isotropic thermoelastic medium containing a penny-shaped crack, such symmetric and antisymmetric problems have been analyzed Thermal stresses disturbed by a crack under heat flow has been determined [7] When the temperature change at the crack surface is penny-shaped crack is given , a fundamental solution has been obtained [8] For an interface crack problem Lee and Shul [9] determined thermal stress intensity factor for an interface crack under vertical uniform heat flow for a two-dimensional thermoelasticity problem Similar three-dimensional thermoelastic problems for a penny-shaped crack lying at the interface of a bi-material with imperfect and perfect contact near the crack front have been dealt with a closed-form solutions have been derived, respectively [10,11] For a bimaterial periodically-layered space, a thermoelastic problem related to an interface crack under heat flow has been solve [12] Due to a distinct interface of two bonded bi-material have been studied [ 13 -15] Considering the drawback of the classical Fourier law, Sherief and El-Maghraby [16] used a generalized thermoelasticity coupling theory to analyze the response of thermal stresses for a penny-shaped crack Wang and Han [17] used non-Fourier heat conduction to study a crack problem in a finite solid Hu and Chen [18] applied dual-phase-lag theory to investigate transient heat conduction in a cracked half plane Phân tích ứng suất nhiệt nhiệt môi trường đàn hồi với vết nứt nhận nhi ều s ự ý Trong suốt thời gian dài, số lượng lớn nghiên cứu đ ược ti ến hành Ví d ụ, Sih [3] tiến hành phân tích để xác định điểm ứng suất nhi ệt nhi ệt kỳ d ị g ần mũi vết nứt môi trường đàn hồi hai chiều Đối với vật rắn đàn hồi chi ều, Olesiak Sneddon [4] phân tích vết nứt lỗ khí xét cho trường hợp đặt vùng rắn có dòng nhiệt đẳng hướng đồng nhiệt độ bề mặt cho trước Vấn đề ngược lại so với vết nứt bề mặt phẳng Ngược lại, Florence Goodier [5] phân tích toán ngược xác định ứng suất nhiệt nhiệt bị dao động vết nứt lỗ khí đ ưa vào dòng nhiệt ổn định phân bố khắp vật liệu Hơn nữa, ứng suất nhiệt nhiệt vật rắn đàn hồi bán vô hạn có chứa vết nứt lỗ khí nghiên cứu trước đât Srivastava Palaiya [6] Đối với dòng nhiệt đẳng hướng môi trường đàn hồi theo ph ương ngang chứa vết nứt lỗ khí, yếu tố đối xứng phản đối xứng phân tích Ứng suất nhiệt nhiệt bị dao dao động vết nứt dòng nhiệt lúc xác định [7] Khi nhiệt độ bề mặt vết nứt lỗ khí cho trước, lúc phương pháp đ ưa [8] Đối với vấn đề bề mặt nứt , Lee Shul [9] xác dịnh SIFs cho b ề mặt n ứt dạng dòng nhiệt dọc phân bố đề giải toán chiều nhiệt phân bố môi trường đàn hồi Tương tự nhiệt đàn hồi chiều cho vết n ứt lỗ khí, nằm tại bề mặt với dạng tiếp xúc hoàn toàn tiếp xúc không hoàn toàn tiếp xúc gần với phía đưa dạng giải tích tương đương [10,11] Đối với vùng lưỡng kim bất kì, vấn đề nhiệt đàn hồi liên quan đến bề mặt nứt tác dụng dòng nhiệt đ ược giải [12] Đã có nghiên cứu ghép nối vật liệu khác biệt [13-15] Xem xét hạn chế định luật Fourier cổ điển, Sheriep El-Maghraby [16] sử d ụng lí thuyết khớp nhiệt đàn hồi tổng quát để phân tích phản ứng ứng suất nhiệt nhi ệt với vết nứt lỗ khí Wang Han [17] sử dụng hàm dẫn nhiệt không Fourier đ ể nghiên cứu rạn nứt chất rắn hữu hạn Hu Chen [18] áp dụng lí thuyết trễ pha kép để nghiên cứu dẫn nhiệt thông qua nửa bề mặt nứt For smart materials and structures with crack, the analysis of thermal stresses have been made Shang at el [19] handled a symmetric thermopiezoelectric problem related to a penny shaped crack Similarly , for uniform heat flux , thermal stress analysis corresponding to an antisymmetric problem has been coped with and the exact solution has been derived for a penny shaped crack by Wang and Noda [20] Further investigation for a magneto-electro-thermo-elastic material with a penny shaped crack under uniform heat flow can be found in [21-23] Ueda [24] treated a dynamic thermoelectroelastic response a functionallygraded piezoelectric strip with a penny-shaped crack Đối với vật liệu thông minh cấu trúc với vết nứt, phân tích ứng suất nhiệt thực Shang mục [ 19 ] xử lý vấn đề điện áp nhiệt liên quan đến vứt nứt dạng lỗ khí Tương tự , dòng nhiệt thống , phân tích ứng suất nhiệt tương ứng với vấn đề phản đối xứng lưu lại với giải pháp xác áp dụng cho vết nứt dạng lỗ Wang Noda [ 20 ] Tiếp tục phân tích đ ối với loại vật liệu điện –từ ,nhiệt đàn hồi với vết nứt dạng lỗ khí tác dụng dòng nhi ệt tìm thấy [ 21-23 ] Ueda [ 24 ] điều trị phản ứng nhiệt điện động phân loại theo dải áp điện với vết nứt dạng lỗ khí In the above-mentioned researches, the thermal boundary conditions at the crack surfaces are assumed either insulated or isothermal As we know, due to the presence of crack, the temperature continuity cannot be met when crack is open Meanwhile, air inside crack can transfer heat, but with thermal conductivity differing from that of the cracked medium Accordingly, the above two cases are extremely ideal assumptions Barber [25] considered amore realistic heat conductivity for a crack and solved a penny-shaped crack problem The effect of the crack surface on thermal conductivity and thermal stress intensity factors were further analyzed by Hasselman [26] and Kuo [27] Since air inside crack has lower heat conductivity than the cracked material, Lee and Park[28] analyzed a paritally insulated interface crack under thermo-machanical loading Zhong and Lee [30] proposed a new thermal boundary condition at the crack surface, and solved a thermoelastic problem of a crack in a two-dimensional elastic medium Trong nghiên cứu nói trên, điều ki ện biên nhiệt bề mặt vết nứt giả thiết hai trường hợp cách nhiệt đẳng nhiệt Như biết, diện vết nứt, tính liên tục miền nhiệt độ không đáp ứng vết nứt bị hở Bên cạnh đó, không khí bên vết nứt trao đổi nhiệt, với độ dẫn nhiệt khác Theo đó, hai trường hợp nêu giả định điều kiện lý tưởng Barber [25] coi trường hợp dẫn nhiệt thực tế vết nứt giải vấn đề vết nứt lỗ khí Ảnh hưởng bề mặt vết nứt dẫn nhiệt yếu tố cường độ ứng suất nhiệt phân tích sâu phương pháp Hasselman [26] Kuo [27] Từ thời điểm không khí bên vết nứt có độ dẫn nhiệt thấp so với vật liệu bị n ứt, Lee Park [28] phân tích giao diện nứt đặc trưng cách nhiệt nhiệt học sinh Zhong Lee [30] đề xuất điều kiện biên nhiệt điện bề mặt vết nứt, gi ải vấn đề nhiệt đàn hồi vết nứt môi trường đàn hồi hai chiều This paper further develops the partial insulation crack model and analyzes the effect of heat conduction of a penny-shaped crack on stress intensity factors in a three-dimensional thermoelastic material By means of the Hankel transform technique, the problem is reduced to a system of coupled dual integral equations Singular thermal stresses are derived and stress intensity factors are determined The effects of the thermal conductivity of the air inside an opening crack on thermal stress intensity factors are presented graphically for a cracked solid Mục tiếp tục phát triển mô hình vết nứt cách nhiệt phần phân tích tác động dẫn nhiệt vết nứt lỗ khí vào yếu tố cường độ ứng suất vật liệu đàn hồi nhiệt ba chiều Bằng phương pháp phân tích Hankel, toán đưa phương trình tích phân kép Ứng suất nhiệt dẫn xuất yếu tố cường độ ứng suất xác định Những ảnh hưởng độ dẫn nhiệt không khí bên vết nứt mở cường độ ứng suất nhiệt trình bày đồ thị cho nứt rắn Statement of the problem Consider a penny-shaped crack embeded in an infinite homogenerous isotropic thermoelastic solid which is subjected to simple uniform tensile loading and heat flux The crack is located at the circular region in the xoy-plane , i.e.r