Đang tải... (xem toàn văn)
Luận văn Thạc sĩ - Chưa phân loại | Hanoi University of Science, VNU tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đ...
THÔNG TIN VỀ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: Dư Thành Hưng Giới tính: Nam Ngày sinh: 08/11/1982 Nơi sinh: Hà Nội Quyết định công nhận học viên số: , ngày tháng 11 năm 2007 Các thay đổi trình đào tạo: Không Tên đề tài luận văn: Về đa thức Jones nút Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 60 46 10 10 Cán hướng dẫn khoa học: TS Vũ Thế Khôi – Viện Toán Học 11 Tóm tắt kết luận văn: Lý thuyết nút lĩnh vực hấp dẫn Tôpô, nghiên cứu tính chất Tô pô nút không gian ba chiều Để phân loại nút, nhà toán học xây dựng sử dụng bất biến chúng: Hai nút không họ chúng có bất biến khác Cuối kỉ 19, nhà toán học Peter Tait đề xuất giả thuyết nhằm phân loại nút thay phiên Trong 80 năm tiếp theo, dù đạt nhiều thành tựu, nhà Tôpô chứng minh giả thuyết Năm 1984, nhà toán học New Zealand Vaughan Jones tìm bất biến đa thức nút, ngày gọi đa thức Jones Jones tìm bất biến mang tên dựa vào lý thuyết Đại số toán tử Lý thuyết biểu diễn nhóm bện Ngay sau đó, Kauffman tìm cách xây dựng đa thức Jones sơ cấp Bên cạnh hàng loạt ứng dụng khác toán học vật lý, đa thức Jones sử dụng để chứng minh thành công giả thuyết Tait Với việc tìm đa thức mang tên mình, Jones trao huy chương Fields năm 1990 Nội dung luận văn đa thức Jones giả thuyết Tait Luận văn bao gồm ba chương Chương thứ trình bày ngắn gọn khái niệm Lý thuyết nút, tập trung vào khía cạnh tổ hợp nút link Ba kết đáng ý chương là: - Mọi link có biểu đồ - Định lý Reidemeister đẳng luân hai link suy từ hai biểu đồ phép biến đổi Reidemeister phù hợp - Phần bù biểu đồ tô màu kiểu bàn cờ Cuối chương mục nhỏ đồ thị phẳng, thứ sử dụng để chứng minh giả thuyết Tait Nội dung chương hai đa thức Jones, đối tượng luận văn Chúng trình bày đa thức Jones dựa cách tiếp cận Kauffman Các tính chất ngoặc Kauffman, đa thức Jones trình bày chứng minh chi tiết Đa số chúng sơ cấp Kết đáng ý việc đa thức Jones thỏa mãn quan hệ skein Điều dẫn đến việc ta có thêm cách tính đa thức Jones, phương pháp sử dụng ngoặc Kauffman Các ví dụ tính toán thực cách cẩn thận Cuối chương đưa ví dụ để thấy đa thức Jones bất biến nút hoàn hảo Bài toán khả phân biệt link tầm thường đa thức Jones nhắc tới, bao gồm kết Eliahou, Kauffman, Thistlethwaite phát biểu sau: - Tồn vô số m-link định hướng (m>1) có đa thức Jones trùng với đa thức Jones m-link tầm thường Chương ba ứng dụng đẹp đẽ đa thức Jones Chúng trình bày cách mà đa thức Jones áp dụng để giải giả thuyết Tait đề xướng từ cuối kỉ 19 Cụ thể, giả thuyết Tait phát biểu sau: - Nếu nút K có biểu đồ thay phiên với n điểm cắt, không điểm cắt bỏ qua được, biểu đồ K có không n điểm cắt (tức c(K) = n) Sự thực, định lý chương suy kết luận mạnh giả thuyết Tait Ngoài ra, hai hệ lý thú khác liên quan đến số điểm cắt link thay phiên trình bày 12 Khả ứng dụng thực tiễn: Hiện chưa biết đa thức Jones có ứng dụng thực tiễn Chỉ biết đa thức Jones có nhiều ứng dụng Lý thuyết trường lượng tử, học thống kê, Sinh học phân tử Gần xuất Khoa học máy tính, cụ thể toán P NP 13 Những hướng nghiên cứu tiếp theo: Mối liên hệ đa thức Jones với bất biến khác Lý thuyết nút đa thức Alexander, đa thức Conway, bất biến Arf, … Vai trò đa thức Jones Tô pô ba chiều Vật lý, đặc biệt bất biến lượng tử Các tổng quát hóa khác đa thức Jones đa thức HOMFLY, đa thức Jones tô màu, bất biến Jones-Witen, đặc biệt đối đồng điều Khovanov 14 Các công trình công bố có liên quan đến luận văn: Không có Ngày tháng năm 2012 Học viên (Kí ghi rõ họ tên) INFORMATION ON MASTER’THESIS Full name: Du Thanh Hung Sex: Male Date of birth: 08/11/1982 Place of birth: Ha Noi Admission decision number: Dated: 02/11/2007 Changes in academic process: No Official thesis title: On the Jones polynomial of knots Major: Geometry and Topology 9.Code: 60 46 10 10 Supervisors: Dr Vu The Khoi - Institute of Mathematics 11 Summary of the finding of the thesis: The theory of knots, which is one of the most fascinating chapters of topology, studies topological properties of knots in the 3-dimensional space In order to classify knots, mathematicians used their invariants: Two knots are different if they have one different invariant In the late 19th century, the mathematician Peter Tait made a conjecture to classify alternating knots During 80 years later, topologists hadn’t been able to prove the conjecture In 1984, a New Zealand mathematician whose name is Vaughan Jones invented a polynomial invariant of knots which is nowadays called after his name He found out the polynomial invariant basing on the theory of operator algebras and the representation theory of braid groups Soon later, Kauffman found out an elementary way of building Jones polynomial Beside a lot of applications in mathematics and physics, Jones polynomial was used to prove Tait conjecture Because of inventing the polynomial invariant, Jones was awarded Fields medal in 1990 The main content of the thesis is Jones polynomial and Tait conjecture The thesis includes three chapters: In the first chapter, we introduce shortly basic concepts of knot theory, focus on combinatorial aspect of knots and links The most important results are: Ba kết đáng ý chương là: - Every link has a diagram - The Reidemeister theorem which allow we use digrams to prove two given links are isotopy - Complement of any diagram always can be coloured chessboarding The chapter is ended by a small section on planar graph, which will be used in the prove of Tait conjecture The second chapter dicusses the Jones polynomial of oriented link, which is the theme of this thesis We introduce Jones polynomial depend on the Kauffman’s approach Properties of Kauffman bracket and Jones polynomial are explained and proved detailedly Almost they are rather elementary The most remarkable result in the chapter is the satisfying skein relation of Jones polynomial That thing led to a new jones polynomial calculating method which don’t use Kauffman bracket Calculations are done arefully In the end of the chapter, we provide examples to show that the Jones polynomial is not a complete invariant The question on the Jones polynomial’s unknot-detector ability is also mentioned, include a rather new result of Eliahou, Kauffman, and Thistlethwaite which states the following: - If m>1, then exist infinitely oriented m-link whose the same Jones polynomial with the trivial m-link The third chapter is devoted a nice application of the Jones polynomial e describe the way that the Jones polynomial is applied to solve a important conjecture which is established by Tait in the end of 19th century Concretely, Tait conjecture states the following: - If a knot K has an alternating n-crossing diagram so that all crossings are not removeble, then there is no diagram of K with less than n crossings (e.g c(K) = n) In fact, the main theorem in thí chapter let to a result stronger than Tait conjecture In addition, two interested consequences of that theorem, wich concern crossing number of alternating link, are also provided 12 Practical applicability: Nowaday, we still have know nothing practical applicability of the Jones polynomial However, the polynomial was applied in many science areas, for examples: Quantum field theory, statistic mechanics, molecular biology, etc Recently, the Jones polynomial was also applied in computer science 13 Further research directions: The relations between the Jones polynomial and the other invariants in knot theory The role of the invariant in 3-dimensional topology and quantum field theory The generalizations of the Jones polynomial For examples: HOMFLY polynomial, colored Jones polynomial, etc, and especially Khovanov cohomology 14 Thesis-related publications: Nothing Date: Signature: Full name: ... The Khoi - Institute of Mathematics 11 Summary of the finding of the thesis: The theory of knots, which is one of the most fascinating chapters of topology, studies topological properties of knots... Sex: Male Date of birth: 08/11/1982 Place of birth: Ha Noi Admission decision number: Dated: 02/11/2007 Changes in academic process: No Official thesis title: On the Jones polynomial of knots Major:... khả phân biệt link tầm thường đa thức Jones nhắc tới, bao gồm kết Eliahou, Kauffman, Thistlethwaite phát biểu sau: - Tồn vô số m-link định hướng (m>1) có đa thức Jones trùng với đa thức Jones m-link