ĐĂNG KÝ MUA TRỌN BỘ TRẮC NGHIỆM WORD 12 Liên hệ HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975120189 https://www.facebook.com/duckhanh0205 Bài 03 HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT I H9M SỐ LOGARIT Định nghĩa Cho a số thực dương a ≠ Hàm số y = log a x gọi hàm số logarit số a Đạo hàm hàm số logarit y = log a x  →y'= y = ln x  →y'= ; x ln a ; x y = log a u ( x )  →y' = u '(x ) u ( x ).ln a Khảo sát hàm số logarit Tập xác định: hàm số logarit y = log a x (a > 0, a ≠ 1) (0;+∞) Chiều biến thiên: a > : Hàm số đồng biến < a < : Hàm số nghịch biến Tiệm cận: Trục tung Oy đường tiệm cận đứng Đồ thị: Đồ thị qua điểm M (1;0) , N (a;1) nằm phía bên phải trục tung II H9M SỐ MŨ Định nghĩa Cho a số thực dương a ≠ Hàm số y = a x gọi hàm số mũ số a Đạo hàm hàm số mũ y = a x  → y ' = a x ln a ; y = e x  → y ' = ex ; y = a u( x )  → y ' = u ' ( x ) ln a.a u( x ) Khảo sát hàm số mũ Tập xác định: hàm số mũ y = a x (a > 0, a ≠ 1) ℝ Chiều biến thiên: a > : Hàm số ln đồng biến < a < : Hàm số ln nghịch biến Tiệm cận: Trục hồnh Ox đường tiệm cận ngang Đồ thị: Đồ thị qua điểm (0;1) , (1;a ) nằm phía trục hồnh Nhận xét Đồ thị hàm số y = a x đồ thị hàm số y = log a x đối xứng với qua đường thẳng y = x CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA H9M SỐ Câu (ĐỀ MINH HOẠ 2016 – 2017) Tìm tập xác định D hàm số y = log ( x − x − 3) A D = (−∞;−1] ∪ [3; +∞) B D = [−1;3] C D = (−∞;−1) ∪ (3; +∞) D D = (−1;3) x > Lời giải Hàm số xác định ⇔ x − x − > ⇔   x < −1  Vậy tập xác định hàm số D = (−∞;−1) ∪ (3; +∞) Chọn C Câu Tìm tập xác định D hàm số y = log A D = (0;1) B D = (1; +∞) Lời giải Hàm số xác định ⇔ x −1 x C D = ℝ \ {0} D (−∞;0) ∪ (1; +∞) x > x −1 >0⇔  Chọn D x < x  Câu (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm tập xác định D hàm số y = log A D = (−2;3) B D = (−∞;−2) ∪ [3; +∞) C D = ℝ \ {−2} D D = (−∞;−2) ∪ (3; +∞) Lời giải Hàm số xác định ⇔ x −3 x +2  x < −2 x −3 Chọn D >0⇔  x > x +2  Câu Tìm tập xác định D hàm số y = − ln (ex ) A D = (1;2) B D = (1; +∞) C D = (0;1) D D = (0;e ]  x > ex >  x > Lời giải Hàm số xác định ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ < x ≤ e Chọn D  2 − ln (ex ) ≥ ex ≤ e  x ≤ e  Câu Tìm tập xác định D hàm số y = log ( x + 1) −1 A D = (−∞;1] B D = (3; +∞) C D = [1; +∞) D D = ℝ \ {3}  x > −1  x > −1  x + > Lời giải Hàm số xác định ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ x ≥ Chọn C   x + ≥  x ≥ log ( x + 1) ≥  Câu Tìm tập xác định D hàm số y = ln ( x − + − x ) A D = ℝ \ {5} B D = ℝ C D = (−∞;5) D D = (5; +∞) Lời giải Hàm số xác định ⇔ x − + − x > ⇔ x − > x − ⇔ x − < ⇔ x < Chọn C Chú ý: A > A ⇔ A < Câu Tìm tập xác định D hàm số y = log x + − log (3 − x ) − log ( x −1) A D = (1;3) B D = (−1;1) C D = (−∞;3) D D = (1; +∞)  x + >  x > −1   Lời giải Hàm số xác định ⇔  → D = (1;3) Chọn A 3 − x > ⇔  x < ⇔ < x <     x −1 >  x > Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = ln ( x − mx + m ) có tập xác định ℝ A m < ; m > B < m < C m ≤ ; m ≥ D ≤ m ≤  a > Lời giải Ycbt ⇔ x − 2mx + m > 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ⇔ < m < Chọn B  ∆ ' = m − m < Câu (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = log ( x − x − m + 1) có tập xác định ℝ A m ≥ B m < C m ≤ D m >  a >  Lời giải Ycbt ⇔ x − x − m + > 0, ∀x ∈ ℝ ⇔  ⇔ m < Chọn B  ∆ ' = + m −1 < Câu 10 Tìm tập xác định D hàm số y = ln (1 − log x ) A D = (2; +∞) B D = (−∞;2 ) C D = (0;2) D D = (−2;2)  x > Lời giải Hàm số xác định ⇔   1 − log x >  x >  x > ⇔  ⇔  ⇔ < x < Chọn C log x <  x < Câu 11 Tìm tập xác định D hàm số y = log  log ( x − 1) − 1 A D = (−∞;3) B D = (3; +∞) C D = [3; +∞) D D = ℝ \ {3}  x −1 >  x >  x > Lời giải Hàm số xác định ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ x > Chọn B  log ( x −1) >  x −1 >  x >  Câu 12 Tìm tập xác định D hàm số y = + ln ( x − 1) 2−x A D = ℝ \ {2} B D = (1;2) C D = [ 0; +∞) D D = (−∞;1) ∪ (2; +∞)  x −1 >  x > ⇔  ⇔ < x < Chọn B Lời giải Hàm số xác định ⇔   2 − x >  x < Câu 13 Tìm tập xác định D hàm số y = ( x + x + 1).log ( x + 2) A D = (−2; +∞) B D = [−2;−1] C D = (−2; −1) D D = (−2;−1]  x + >  x > −2  Lời giải Hàm số xác định ⇔  ( x + x + 1) log ( x + ) ≥ ⇔ log ( x + ) ≥   1  2   x > −2  x > −2 ⇔ ⇔ ⇔ −2 < x ≤ −1 Chọn D  x + ≤  x ≤ −1 Câu 14 Tìm điều kiện x để hàm số y = log (1 − x + x ) có nghĩa x A x > B x ≥  x > C   x ≠ D x > 1 − x + x >   x ≠    x >  >0 Lời giải Hàm số có nghĩa ⇔  ⇔  x > ⇔  Chọn C   x ≠  x ≠  x    ≠  x Câu 15 Hàm số có tập xác định đoạn [−1;3] ? A y = ln (3 + x − x ) B y = C y = + x − x D y = Lời giải + 2x − x + 2x − x Hàm số y = ln (3 + x − x ) hàm số y = + 2x − x xác định + x − x > ⇔ ( x + 1)( x − 3) < ⇔ −1 < x < : khơng phù hợp Hàm số y =  x ≠ −1 xác định + x − x ≠ ⇔   x ≠ 3 + 2x − x Hàm số có tập xác định D = ℝ \ {−1;3} : khơng phù hợp Hàm số y = + x − x xác định + x − x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ : thỏa mãn Chọn C Câu 16 Tìm tập xác định D hàm số y = A D = ℝ \ {0} B D = ℝ ex e x −1 C D = ℝ \ {1} D D = ℝ \ {e } Lời giải Hàm số xác định ⇔ e x − ≠ ⇔ e x ≠ ⇔ x ≠ Chọn A Câu 17 Tìm tập xác định D hàm số y = − 3x A D = [ 2;3] −5 x +6 B D = (−∞;2 ] ∪ [3; +∞) C D = [1;6 ] D D = (2;3) Lời giải Hàm số xác định ⇔ − 3x −5 x + ≥ ⇔ 3x −5 x + ≤1 ⇔ x − x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ Chọn A x −3 x 2 Câu 18 Tìm tập xác định D hàm số y =     A D = [ 0;3] − B D = (−∞;1] ∪ [ 2; +∞) C D = [1;2 ] D D = [−1;2 ]  x Lời giải Hàm số xác định ⇔     −3 x  x ≥ ⇔     −3 x  −2 ≥   ⇔ x − x ≤ −2   ⇔ x − x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ Chọn C Câu 19 Đẳng thức x = 3log3 x có nghĩa khi: A x > B Với x C x ≥ D x > Lời giải Điều kiện: x > Lơgarit số hai vế x = 3log3 x , ta log x = log (3log3 x ) ⇔ log x = log x log 3 ⇔ log x = log x : ln ∀x > Chọn A Câu 20 Cho a số thực dương khác Tìm điều kiện x để x = log a a x xảy A Với x B x > C x ≥ D x > → x = log a N (với < a ≠ ) Lời giải Đặt N = a >  x Khi x = log a a x ⇔ log a N = log a a x ⇔ N = a x ⇔ a x = a x : ln ∀x ∈ ℝ Chọn A Vấn đề TÍNH ĐẠO H9M Câu 21 Tính đạo hàm hàm số y = (2 x + x −1)3 (4 x + 1) A y ' = x + x −1 (4 x + 1) C y ' = (4 x + 1) B y ' = 3 (2 x + x −1) (4 x + 1) D y ' = 2 x + x −1 (2 x + x −1) / − / Lời giải Áp dụng cơng thức (u α ) = α.u α−1 u / , ta có y / = (2 x + x −1) (2 x + x −1) (4 x + 1) Chọn A = ( x + 1) = 3 x + x −1 3 x + x −1 Câu 22 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tính đạo hàm hàm số y = 13 x A y ' = x 13x −1 B y ' = 13x ln13 C y ' = 13x D y ' = 13x ln13 Lời giải Áp dụng cơng thức (a x ) = a x ln a , ta có y ' = (13x ) = 13x ln13 Chọn B / / Câu 23 Tính đạo hàm hàm số y = x 2 A y ' = x 21+ x ln B y ' = x 21+ x ln C y ' = x ln x D y ' = x 21+ x ln Lời giải Áp dụng cơng thức (a u ) = u / a u ln a , ta có y / = ( x ) x ln / / = x x ln = x 21+ x ln Chọn B 2 Câu 24 Tính đạo hàm hàm số y = e A y ′ = e 2x 2x B y ′ = Lời giải Ta có y ′ = ( ′ x e ) e 2x x 2x = 2x C y ′ = 2 2x e 2x = e 2x 2x 2x e 2x D y ′ = x e Chọn C Câu 25 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tính đạo hàm hàm số y = A y ' = C y ' = − ( x + 1) ln 2x − ( x + 1) ln 4x B y ' = D y ' = / + ( x + 1) ln 22 x + ( x + 1) ln 4x x +1 4x / / ( x + 1) x − ( x + 1).(4 x )  x + 1 Lời giải Ta có y ' =  x  =   (4 x ) = x − ( x + 1).4 x ln x (4 ) = − ( x + 1).ln 4 x ln = ln  →y' = x x =(22 ) = 22 x − ( x + 1) ln 22 x Chọn A Câu 26 Tính đạo hàm hàm số y = 3e −x + 2017e cos x A y ' = −3e − x + 2017 sin xe cos x B y ' = −3e − x − 2017 sin xe cos x C y ' = 3e − x − 2017 sin xe cos x D y ' = 3e −x + 2017 sin xe cos x 2x  e −x / = −e − x ( ) Lời giải Ta có  → y ' = −3e − x − 2017.sin x e cos x  / cos x  cos x cos x cos sin e = x e = − x e ( )  Chọn B Câu 27 Tính đạo hàm hàm số y = x x với x > A y ' = x.x x −1 B y ' = ( ln x + 1) x x C y ' = x x ln x D y ' = xx ln x Lời giải Viết lại y = x x = e x ln x Suy y ' = ( x ln x ) ' e x ln x = (ln x + 1).e x ln x = ( ln x + 1) x x Chọn B Câu 28 Tính đạo hàm hàm số y = f ( x ) = x π π x điểm x = A f ' (1) = π B f ' (1) = π + ln π C f ' (1) = π + π ln π D f ' (1) = Lời giải Đạo hàm f ' ( x ) = ( x π ) π x + x π (π x ) = π.x π−1 π x + x π π x ln π / / Suy f ' (1) = π + π ln π Chọn C Câu 29 Cho hàm số y = f ( x ) = x 5x Tính f / (0) A f / (0) = 10 B f / (0) = 1 ln10 C f / (0) = D f / (0) = ln10 Lời giải Viết lại f ( x ) = x 5x = 10 x Suy f / ( x ) = (10 x ) = 10 x ln10 / Vậy f ' (0) = 10 0.ln10 = 1.ln10 = ln10 Chọn D Câu 30 Cho hàm số f ( x ) = 5e x Tính P = f ' ( x ) − x f ( x ) + A P = B P = C P = f (0 ) − f ' (0 ) D P = Lời giải Ta có f ' ( x ) = 10 x e Do f ' (0) = f (0) = x2 Vậy P = f ' ( x ) − xf ( x ) + 2 1 f (0) − f ' (0) = 10 xe x − x.5e x + − = Chọn A 5 Câu 31 Cho hàm số f ( x ) = x A T = −2 +1 Tính T = 2− x B T = Lời giải Ta có f ' ( x ) = ( x + 1) 2 / −1 f ' ( x ) − x ln + C T = x +1 ln = x ln 2.2 D T = x +1 − x ln + = x ln − x ln + = Chọn B 1 Câu 32 Cho hàm số f ( x ) = + Trong khẳng định sau, có + x + 2− x khẳng định đúng? 1) f ′ ( x ) ≠ với x ∈ ℝ Vậy T = − x −1 x ln 2.2 x +1 2) f (1) + f (2) + + f (2017) = 2017 3) f ( x ) = 1 + + x + 4− x A B C D Lời giải Ta có −2 x ln 2−x ln • f '(x ) = + Tại x = ta có f ' ( x ) = nên khẳng định sai 2 (3 + x ) (3 + 2−x ) • f (x ) = x + 2− x + (3 + x )(3 + 2−x ) nên khẳng định sai = x + 2− x + 3.(2 x + 2−x ) + 10 <  → f (1) + f (2) + + f (2017) < 2017 • f (x ) = + 2x + + 2− x ≠ 1 + với x = chẳng hạn nên khẳng định 3 + x + 4−x sai Do khơng có khẳng định Chọn A Câu 33 Cho < a ≠ + hàm f ( x ) = a x + a−x a x − a −x , g (x ) = Trong 2 khẳng định sau, có khẳng định đúng? 1) f ( x ) − g ( x ) = 2) g (2 x ) = g ( x ) f ( x ) 3) f ( g (0)) = g ( f (0)) 4) g ′ (2 x ) = g ′ ( x ) f ( x ) − g ( x ) f ′ ( x ) A B C D Lời giải Ta có  a x + a −x 2  a x − a − x 2  −   =  • f ( x ) − g ( x ) =  → khẳng đinh 2     x −x x −x a x − a −2 x (a − a )(a + a ) a x − a −x a x + a− x = = = g ( x ) f ( x )  → 2 2 khẳng đinh   f ( g (0)) = f (0) =  •   → f ( g (0)) ≠ g ( f (0))  → khẳng định sai a−  a −1 a  g ( f (0)) = g (1) = = 2a  • g (2 x ) = • Do g (2 x ) = g ( x ) f ( x ) , lấy đạo hàm hai vế (để ý  g (u ) ′ = u ′g ′ (u ) ), ta có:  g (2 x ) ′ =  g ′ ( x ) f ( x ) + g ( x ) f ′ ( x ) ⇔ g ′ (2 x ) =  g ′ ( x ) f ( x ) + g ( x ) f ′ ( x )       ⇔ g ′ (2 x ) = g ′ ( x ) f ( x ) + g ( x ) f ′ ( x ) → khẳng định sai Vậy có khẳng định Chọn C Câu 34 Tính đạo hàm hàm số y = log 2017 x A y ' = ln 2017 x B y ' = Lời giải Áp dụng ( log a x ) = / log 2017 e x C y ' = x log 2017 D y ' = 2017 x ln 2017 log 2017 e 1 , ta y ' = = Chọn B x ln a x ln 2017 x Câu 35 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tính đạo hàm hàm số y = log (2 x + 1) A y ' = x +1 B y ' = x +1 C y ' = (2 x + 1) ln D y ' = (2 x + 1) ln / Lời giải Áp dụng ( log a u ) = / (2 x + 1) u' , ta y ' = = Chọn C u ln a (2 x + 1) ln (2 x + 1).ln Câu 36 Tính đạo hàm hàm số y = log x 1 A y / = B y / = C y / = x ln x ln10 x ln10 ln x Lời giải Viết lại y = log x = = ln x ln10 ln10 / Suy y ' = D y / = 1 (2 x ) / ( ln x ) = = = Chọn B ln10 ln10 x ln10 x x ln10 ln10 x Câu 37 Tính đạo hàm hàm số y = ln + x + ( A y ′ = x +1 1+ x +1 ( ) C y ′ = ( x +1 + x +1 ) ) B y ′ = 1+ x +1 D y ′ = ( x +1 + x +1 ) ′ + x +1 u′ Lời giải Áp dụng cơng thức ( ln u )′ = , ta y ′ = u + x +1 ( ′ Mà + x + = ( )  → y′ = x +1 ( x +1 + x +1 ) ) Chọn A Câu 38 Cho hàm số f ( x ) = ln x Tính đạo hàm hàm số g ( x ) = log ( x f ′ ( x )) ln x D g ' ( x ) = x ln  1 Lời giải Ta có f / ( x ) =  → g ( x ) = log ( x f ′ ( x )) = log  x  = log x  x  x Suy g ' ( x ) = Chọn B x ln ln( x +1) Câu 39 Tính đạo hàm hàm số y = A g ' ( x ) = x B g ' ( x ) = x ln C g ' ( x ) = ln ( x +1) A y ′ = x +1 ln( x +1) x ln C y ′ = x +1 ln ( x Lời giải Ta có y ′ =  ln ( x + 1) ′   Câu 40 Hàm số g ( x ) = x A f ( x ) = x 2 ( ) B y ′ = ln x +1 D y ′ = x ( ) ln x +1 ( x + 1) ln 2x ln( x +1) ) ln = 2 ln Chọn C x +1 +1 (6 x + 3).ln đạo hàm hàm số sau ? + x +1 B f ( x ) = x + x +1 C f ( x ) = x + x +1 + x +1 D f ( x ) = 83 x +3 x +1 Lời giải Thử đạo hàm hàm số đáp án đáp án B ( Thật vây: Ta có x = (2 x + 1).8 x + x +1 + x +1 / ) = (x ln = x 2 / + x + 1) x + x +1 ln (6 x + 3).ln Chọn B + x +1 Câu 41 Tính đạo hàm hàm số y = ln ( ln x ) điểm x = e A y / (e ) = e B y / (e ) = C y / (e ) = e D y / (e ) = Lời giải Nhận thấy có dạng u α  → (u α ) = α.u α−1 u / với u = ln (ln x ) / / Áp dụng, ta y / = 2.ln (ln x )  ln (ln x ) (1) / u/ / Tính  ln ( ln x ) Nhận thấy có dạng ( ln u ) = với u = ln x u / ln x ) ( / = x = Áp dụng, ta  ln ( ln x ) = (2 ) ln x ln x x ln x ln (ln x ) ln (ln e ) ln1 Từ (1) (2) , ta có y / =  → y / (e ) = = = Chọn D x ln x e ln e e.ln e Câu 42 Cho hàm số f ( x ) = ln x − + x + x − x với x ≥ Tính giá trị ( ) biểu thức P = f ( ) −  f ' (8) ln A P = ln B P = ln Lời giải Ta có f ' ( x ) = ( C P = ln )+ x −4 + x ' x −4 + x x −2 = x −4x D P = ln x x −4x Khi f ' (8) = f (4 ) = ln Vậy P = f (4 ) −  f ' (8) ln = ln − ( ) ln = 2.ln Chọn A Câu 43 Cho hàm số y = e cos x Mệnh đề sau đúng? A y '.cos x + y.sin x + y '' = B y '.sin x + y.cos x + y '' = C y '.sin x − y ''.cos x + y ' = D y '.cos x − y.sin x − y '' =  y ' = − sin x e Lời giải Ta có  Thay vào đáp án ta   y '' = sin x e cos x − cos x e cos x  đáp án B Thật vậy: Ta có y '.sin x + y.cos x + y '' cos x = − sin x e cos x sin x + e cos x cos x + sin x e cos x − cos x e cos x = Chọn B Câu 44 Cho hàm số y = x e −x Mệnh đề sau đúng? A (1 − x ) y ' = x y B x y ' = (1 + x ) y C x y ' = (1 − x ) y Lời giải Ta có y ' = e D (1 + x ) y ' = ( x − 1) y −x − x e −x = (1 − x ) e −x Nhân hai vế cho x , ta x y ' = x (1 − x ).e − x = (1 − x ) y Chọn C Câu 45 Cho hàm số y = e − x sin x Mệnh đề sau đúng? A y '+ y ''− y = B y ''+ y '+ y = C y ''− y '− y = D y '− y ''+ y = Lời giải Ta có y ' = −e sin x + e cos x = e − x (cos x − sin x ) −x −x Lại có y '' = −e − x (cos x − sin x ) + e − x (− sin x − cos x ) = −2e − x cos x Ta thấy y ''+ y '+ y = −2e − x cos x + 2e − x (cos x − sin x ) + 2e − x sin x = Chọn B Câu 46 Cho hàm số y = 2016.e x ln Mệnh đề sau đúng? A y '+ y ln = B y '+ y ln = /  1 Lời giải Ta có y ' = 2016. x ln  e  8 x ln C y '− y ln = = 2016.ln e x ln D y '+ y ln = = ln y = −3 ln y Suy y '+ ln y = Chọn B Câu 47 Cho hàm số y = x e A xy = (1 + x C xy = (1 − x − x2 Mệnh đề sau đúng? B x y ' = (1 + x ) y )y' ) y ' Lời giải Ta có y ' = e − D xy ' = (1 − x ) y x2 x2 x2 x2 x2  −  − − −   + x −xe  = e − x e = (1 − x ) e   Nhân hai vế cho x , ta x y ' = x (1 − x ) e Câu 48 Cho hàm số y = A xy = y ' ( y ln x + 1) − x2 = (1 − x ) y Chọn D Mệnh đề sau đúng? + x + ln x B xy ' = y ( y ln x − 1) C xy = y ( y ' ln x − 1) D xy ' = y ( y ln x + 1) x +1 x Lời giải Ta có y ' = − =− 2 x (1 + x + ln x ) (1 + x + ln x ) 1+ Suy xy ' = − (1 + x + ln x ) − ln x ln x =− + = − y + ln x y 2 + x + ln x (1 + x + ln x )2 (1 + x + ln x ) ⇔ xy ' = y ( y ln x − 1) Chọn B Câu 49 Tìm giá trị lớn M hàm số f ( x ) = e x A M = e B M = e −3 x + đoạn [0;2] C M = e D M = e Lời giải Hàm số f ( x ) xác định liên tục đoạn [0;2] Đạo hàm f ' ( x ) = (3 x − 3) e x −3 x +1  x = ∈ [0;2 ]  → f ' ( x ) = ⇔ x − = ⇔   x = −1 ∉ [0;2 ]   f (0) = e  → max f ( x ) = f (2) = e Chọn D Ta có  f (1) = e  [0;2]   f (2) = e  Câu 50 Gọi m M giá trị nhỏ lớn hàm số f ( x ) = e 2−3x đoạn [0;2 ] Mệnh đề sau đúng? A m + M = B M − m = e C M m = e2 D M = e2 m Lời giải Hàm số f ( x ) xác định liên tục đoạn [0;2 ] Đạo hàm f ' ( x ) = −3e 2−3 x < 0, ∀x ∈ ℝ Do hàm số f ( x ) nghịch biến [0;2 ] max f ( x ) = f (0) = e  [0;2] 1 Suy   → m = , M = e  → M m = Chọn C  min f x = f = e e ( )  [0;2] ( ) e  ln x Câu 51 Tìm tập giá trị T hàm số f ( x ) = với x ∈ 1; e  x 1   1   A T = [ 0;e ] B T =  ;e  C T = 0;  D T = − ;e   e   e   e  Lời giải Hàm số f ( x ) xác định liên tục đoạn 1;e  − ln x Đạo hàm f ' ( x ) =  → f ' ( x ) = ⇔ − ln x = ⇔ x = e ∈ 1; e  x2    f (1) =   1 1 Ta có  f (e ) =  → min2 f ( x ) = 0, max2 f ( x ) =  → T = 0;  Chọn C     x ∈ 1;e  x ∈ 1; e  e e  e        f (e ) =  e2 Câu 52 Biết hàm số f ( x ) = x ln x đạt giá trị lớn đoạn [1;e ] x = x Mệnh đề sau đúng? 3   3 A x ∈ 1;  B x ∈  ; e   e  e   C x ∈  e ;2    D x ∈ (2; e ] Lời giải Hàm số xác định liên tục đoạn [1;e ] Đạo hàm f ' ( x ) = / ( x ) ln x + / x ( ln x ) = ln x x + x = ln x + 2 x Câu 65 Cho a số thực dương khác mệnh đề sau: 1) Hàm số y = log a x liên tục ℝ 2) Nếu log a < a > 3) log a x = log a x Hỏi có mệnh đề đúng? A B Lời giải C D Hàm số y = log a x xác định (0;+∞) Do 1) sai 2 < ⇔ log a < log a  → a > Do 2) 3 Ta có log a x = log a x Do 3) sai Ta có log a Vậy có 2) Chọn A Câu 66 Mệnh đề sau sai? A Hàm số y = e x khơng chẵn khơng lẻ B Hàm số y = ln x + x + hàm số lẻ ( ) C Hàm số y = e có tập giá trị (0;+∞) x D Hàm số y = ln x + x + khơng chẵn khơng lẻ ( ) Do A ex f ( x ) = e x > 0, ∀x ∈ ℝ; lim e x = +∞ Do C Lời giải Ta có f (−x ) = e − x = x →+∞ ( ) Xét hàm số y = ln x + x + Ta có x + x + > x + x = x + x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ( ) Do hàm số y = ln x + x + có TXĐ: D = ℝ Rõ ràng ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D ( ) ( Ta có y (−x ) + y ( x ) = ln −x + (−x ) + + ln x + x +  x + − x + ln x + x + = ln   hay y (−x ) = − y ( x ) = ln ( ) ( ) ( x +1 − x )( )  x + + x  = ln1 =  ) Suy hàm số y = ln x + x + hàm số lẻ Do đáp án D sai Chọn D ( ) Câu 67 Cho hàm số y = x ln x + + x − + x Mệnh đề sau sai? ( ) A Hàm số có đạo hàm y ' = ln x + + x ( ) B Hàm số tăng khoảng (0;+∞) C Tập xác định hàm số D = ℝ D Hàm số giảm khoảng (0;+∞) Lời giải Ta có x + x + > x + x = x + x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ Do hàm số có tập xác định D = ℝ Suy C x 1+ x 1+ x Đạo hàm y ' = ln x + + x + x − = ln x + + x Do A 2 x + 1+ x 1+ x  + x > ⇒ + x > − x hay x + + x > Trên khoảng (0;+∞) , ta có   1 − x <  ( ) ( ) Suy y ' = ln x + + x > 0, ∀x ∈ (0; +∞) Do B đúng, D sai Chọn D ( ) Câu 68 Cho a số thực dương khác mệnh đề sau: 1) Hàm số y = (−5) hàm số mũ x 2) Nếu π α < π α α < 3) Hàm số y = a x có tập xác định ℝ 4) Hàm số y = a x có tập giá trị (0;+∞) Hỏi có mệnh đề đúng? A B C D Lời giải Hàm số y = (−5) khơng phải hàm số mũ số −5 < Do 1) sai x Vì số π > nên từ π α < π α ⇒ α < 2α ⇔ < α Do 2) sai Hàm số y = a x xác định với x Do 3) Vì a x > 0, ∀x ∈ ℝ lim a x = +∞ nên hàm y = a x có TGT (0;+∞) Do 4) x →+∞ Vậy có 3) 4) Chọn B Câu 69 Cho a số thực dương khác mệnh đề sau: 1) a x > với x ∈ ℝ 2) Hàm số y = a x đồng biến ℝ 3) Hàm số y = e 2017 x hàm số đồng biến ℝ 4) Đồ thị hàm số y = a x nhận trục Ox làm tiệm cận ngang Hỏi có mệnh đề đúng? A B C D Lời giải Rõ ràng 1) theo định nghĩa Hàm số y = a x đồng biến a > , nghịch biến < a < Do 2) sai Vì số e > nên hàm số y = e 2017 x hàm số đồng biến ℝ Do 3) Rõ ràng 4) theo định nghĩa SGK Vậy có 1), 3) & 4) Chọn C Câu 70 Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn a − b = a.2b − b.2a Tính giá trị biểu a + 2b thức P = 2017 a − 2017 b A P = B P = 2016 C P = 2017 D P = −1 a a.2 − b.2 Lời giải Từ giả thiết, ta có a − b = ← → (a − b )(2 a + b ) = a.2 b − b.2 a a + 2b ← → a.2 a + a.2 b − b.2 a − b.2 b = a.2 b − b.2 a ⇔ a.2 a = b.2 b (∗) b Xét hàm số f ( x ) = x x với x > , có f ′ ( x ) = x + x x ln = x (1 + x ln 2) > 0; ∀x > Suy hàm số f ( x ) đồng biến khoảng (0;+∞) Nhận thấy (∗) ⇔ f (a ) = f (b ) ⇒ a = b Khi a = b 2017 a − 2017 b = 2017 a − 2017 a = Chọn A Cách trắc nghiệm Chọn a = b = thỏa điều kiện Khi P = 20171 − 20171 = Vấn đề ĐỒ THỊ Câu 71 Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? x  x A y = B y =     y ( ) C y = x + x x -1 1 D y =     O Lời giải Dựa vào hình dáng đồ thị từ trái sang phải ta thấy: x tăng y giảm Suy hàm số tương ứng đồ thị hàm nghịch biến Loại A, C Đồ thị hàm số qua điểm có tọa độ (−1;3) nên có D thỏa mãn Chọn D Câu 72 Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? x 1 A y = −2 x B y =     y x O -1  x D y = −    C y = x Lời giải Đồ thị nằm phía trục hồnh Loại B, C Lấy đối xứng đồ thị qua trục hồnh ta đồ thị hàm số đồng biến Chọn A y Câu 73 Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? O A y = log x B y = log ( x + 1) -1 x C y = log x + D y = log ( x + 1) Lời giải Dựa vào đồ thị thấy có tiệm cận đứng x = −1 Loại đáp án A, C Đồ thị hàm số qua điểm có tọa độ (2;1) nên có D thỏa mãn Chọn D Câu 74 Cho hàm số y = x ( 2) có đồ thị Hình Đồ thị Hình hàm số đây? y y x O Hình A y = x ( 2) B y = − x O Hình x ( 2) C y = ( 2) x D y = − x ( 2) Lời giải Từ đồ thị ta thấy: Đồ thị Hình có lấy đối xứng đồ thị Hình (phần x ≥ ) qua trục Oy Do hàm số đồ thị Hình hàm số chẵn Chọn C Câu 75 Cho hàm số y = ln x có đồ thị Hình Đồ thị Hình hàm số đây? y y x O 1 x e O A y = ln x Hình B y = ln x e Hình C y = ln ( x + 1) D y = ln x + Lời giải Đồ thị Hình suy từ đồ thị Hình cách: ● Giữ ngun phần y ≥ ● Lấy đối xứng qua Ox phần y < Chọn B Câu 76 Cho a, b, c số thực dương khác y y = bx y = cx Hình vẽ bên đồ thị ba hàm số y = a , x y = b x , y = c x Khẳng định sau đúng? A a > b > c B a < b < c C c > a > b D a > c > b y = ax x O Lời giải Ta thấy hàm y = c x có đồ thị từ trái sang phải theo hướng lên nên hàm đồng biến  → c > Còn hàm số y = a x y = b x hàm nghịch biến  → a, b < Từ loại đáp án A, D Từ đồ thị hàm số ta thấy giá trị x < đồ thị hàm số y = b x nằm   x = −1  x <  x = −1 x    đồ thị hàm số y = a hay  x ⇔  1 → b < a  → b < a Ví dụ  −1 b > a x b > a−1  >  b a Vậy c > a > b Chọn C Cách trắc nghiệm Kẻ đường thẳng x = cắt đồ thị hàm số y = a x , y = b x , y = c x điểm có tung độ y = a, y = b, y = c Dựa vào đồ thị ta thấy c > a > b y y = bx y = ax c a b O Câu 77 Cho a, b, c số thực dương khác Hình y = cx x y = log b x y vẽ bên đồ thị ba hàm số y = log a x , y = log b x , y = log c x Khẳng định sau đúng? A a < c < b B a < b < c C b < a < c D b > a > c y = log c x x O y = log a x Lời giải Ta thấy hàm y = log a x có đồ thị từ trái sang phải theo hướng xuống nên hàm nghịch biến  → < a < Còn hàm số y = log b x y = log c x hàm đồng biến  → b, c > Từ loại đáp án C, D Từ đồ thị hàm số ta thấy giá trị x > đồ thị hàm số y = log b x nằm  x > đồ thị hàm số y = log c x hay   →b < c  log b x > log c x Vậy a < b < c Chọn B Cách trắc nghiệm Kẻ đường thẳng y = cắt đồ thị y hàm số y = log a x , y = log b x , y = log c x điểm có hồnh độ x = a, x = b, x = c Dựa vào đồ thị ta thấy a < b < c y = log b x y = log c x x O a b c y = log a x Câu 78 Cho a số thực tùy ý b, c số thực dương khác Hình vẽ bên đồ thị ba hàm số y = log b x , y = log c x y = x a , x > Khẳng định sau đúng? A a < c < b B a < b < c C a > b > c D a > c > b Lời giải Nhận thấy hàm số y = x a nghịch biến  → a < Do ta loại đáp án C & D (vì b, c số thực dương khác ) Kẻ đường thẳng y = cắt đồ thị hai hàm số y = log b x , y = log c x điểm có hồnh độ x = b x = c hình vẽ Dựa vào hình vẽ ta thấy < b < c Vậy a < b < c Chọn B Câu 79 Cho đồ thị ba hàm số y = x α , y = x β , y = x γ khoảng (0;+∞) hệ trục tọa độ hình vẽ bên Mệnh đề sau ? A γ < β < α < B < γ < β < α < C < γ < β < α D < α < β < γ < Lời giải Dựa vào đồ thị, ta có ● Với < x < x α < x β < x γ < x  →α > β > γ >1 ● Với x > x < x γ < x β < x α  →1 < γ < β < α Vậy với x > , ta có α > β > γ > Chọn C Nhận xét Ở so sánh thêm với đường y = x = x1 Câu 80 Cho hàm số y = log a x y = log b x có đồ y thị hình vẽ bên Đường thẳng x = cắt trục hồnh, đồ thị hàm số y = log a x y = log b x A, B C Biết CB = AB Mệnh đề sau đúng? A a = b B a = b C a = b y = log b x C y = log a x B A x O D a = 5b x =5 Lời giải Theo giả thiết, ta có A (5;0), B (5;log a 5), C (5;log b 5) Do CB = AB  → CB = BA ↔ log a − log b = 2.(− log a 5) ← → 3log a = log b ← → log a = log b ← → log a = log b3  → a = b Chọn C Câu 81 Cho hàm số y = 5x có đồ thị (C ) Hàm số sau có đồ thị đối xứng với (C ) qua đường thẳng y = x A y = 5− x B y = log x C y = − log x D y = − 5− x Lời giải Dựa vào lý thuyết '' Đồ thị hàm số y = a x đồ thị hàm số y = log a x đối xứng với qua đường thẳng y = x '' Chọn B x Câu 82 Cho hàm số y = có đồ thị (C ) Hàm số sau có đồ thị đối xứng với (C ) qua đường thẳng y = x A y = log x B y = log x x C y = log     x Lời giải Trước tiên ta đưa hàm số dạng chuẩn: y = = D y = x ( 3) log x Dựa vào lý thuyết '' Hai hàm số y = a x y = log a x có đồ thị đối xứng qua đường phân giác góc phần tư thứ y = x '' Chọn A Câu 83 Cho hàm số y = − log x có đồ thị (C ) Hàm số sau có đồ thị đối xứng với (C ) qua đường thẳng y = x A y = x B y = x C y = 2−x x D y = 2 Lời giải Trước tiên ta đưa hàm số dạng chuẩn: y = − log x = log x  x Suy hàm số cần tìm y =   = 2−x Chọn C   Câu 84 Biết hai hàm số y = a x y = f ( x ) có đồ thị y = ax y = −x y hình vẽ đồng thời đồ thị hai hàm số đối xứng qua đường thẳng d : y = −x Tính f (−a ) A f (−a ) = −a −3 a y = f (x ) B f (−a ) = − -1 C f (−a ) = −3 O x D f (−a ) = −a 3a Lời giải Giả sử M ( x M ; y M ) điểm thuộc hàm số y = a x ; N ( x ; y0 ) điểm đối xứng M qua đường thẳng y = −x  x + x y M + y0  → I  M Gọi I trung điểm MN  ;    2  y M + y0 x + x0  =− M  x = − y M I ∈ d  2  → ⇔ ⇔  Vì M , N đối xứng qua d   MN nd  x M − x  y0 = −x M y M − y0  =   xM x Ta có M ( x M ; y M ) ∈ đồ thị y = a nên y M = a Do x = − y M = −a x M = −a− y0  →− y0 = log a (−x ) ⇔ y0 = − log a (−x ) Điều chứng tỏ điểm N thuộc đồ thị hàm số f ( x ) = − log a (−x ) Khi f (−a ) = − log a a = −3 Chọn C Cách Lấy đối xứng đồ thị hàm số y = a x qua Oy đồ thị hàm số  x y = a − x =    a  Lấy đối xứng đồ thị hàm số y = f ( x ) qua Oy đồ thị hàm số y = f (−x ) Theo giả thiết, ta có đồ thị hai hàm số y = a x y = f ( x ) đối xứng qua đường x 1 thẳng y = −x nên suy đồ thị hai hàm số y =   y = f (−x ) đối xứng  a  qua đường thẳng y = x (1) Theo lý thuyết (SGK) đồ thị hai hàm số y = a x y = log a x đối xứng qua đường thẳng y = x (2 ) x =a → f (−a ) = log a = −3 Từ (1) (2) , suy f (−x ) = log x  a a Câu 85 Đối xứng qua trục hồnh đồ thị hàm số y = log x đồ thị đồ thị có phương trình sau đây? A y = log x B y = x C y = log x  x D y =     Lời giải Dựa vào lý thuyết '' Đồ thị hàm số y = f ( x ) đối xứng qua trục hồnh ta đồ thị hàm số y = − f ( x ) '' Do đồ thị hàm số y = log x đối xứng qua trục hồnh ta đồ thị hàm số y = − log x Chưa thấy đáp án nên ta biến đổi: y = − log x = log x Chọn A Câu 86 Cho hàm số y = a x (0 < a ≠ 1) có đồ thị (C ) Mệnh đề sau sai? A Đồ thị (C ) ln qua M (0;1) N (1; a ) B Đồ thị (C ) có tiệm cận y = C Đồ thị (C ) ln nằm phía trục hồnh D Hàm số ln đồng biến Lời giải Với x = ⇒ y = a = x = ⇒ y = a1 = a Do A Ta có lim y = < a < lim y = a > Suy y = tiệm cận x →+∞ x →−∞ ngang Do B Vì a x > 0, ∀x ∈ ℝ Do C Hàm số y = a x đồng biến a > , nghịch biến < a < Do D sai Chọn D Câu 87 Cho hàm số y = log x ( x ≠ 0) có đồ thị (C ) Mệnh đề sau đúng? A Hàm số có tập xác định D = ℝ B Hàm số nghịch biến khoảng tập xác định C Đồ thị (C ) nhận Oy làm trục đối xứng D Đồ thị (C ) khơng có đường tiệm cận Lời giải Tập xác định: D = ℝ \ {0} Do A sai Với x > , ta có y = log x  → y đồng biến Với x < , ta có y = log (−x )  →y' = −1 (−x ) ln < 0, ∀x <  → y nghịch biến Do B sai ∀x ∈ D ⇒ (−x ) ∈ D Ta có  ⇒ hàm số y = log x chẵn tập xác định   y (−x ) = log −x = log x = y ( x )  nên nhận Oy làm trục đối xứng Do C Chọn C Đáp án D sai Ta có lim+ log x = lim− log x = −∞ Suy x = tiệm cận đứng x →0 x →0 Câu 88 Cho a số thực dương khác Mệnh đề sau đúng? x 1 A Đồ thị hai hàm số y = a x y =   đối xứng qua trục hồnh  a  B Đồ thị hai hàm số y = log a x y = log x đối xứng qua trục tung a C Đồ thị hai hàm số y = e x y = ln x đối xứng qua đường phân giác góc phần tư thứ D Đồ thị hai hàm số y = a x y = log a x đối xứng qua đường thẳng y = −x Lời giải  x Đồ thị hai hàm số y = a x y =   đối xứng qua trục tung  a  Do A sai Đồ thị hai hàm số y = log a x y = log x đối xứng qua trục hồnh Do a B sai Dựa vào lý thuyết '' Đồ thị hai hàm số y = a x y = log a x đối xứng qua đường y = x '' Do C Chọn C Đồ thị hai hàm số y = a x y = log a x đối xứng qua đường thẳng y = x Do D sai Câu 89 Cho hai hàm số y = f ( x ) = log a x y = g ( x ) = a x (0 < a ≠ 1) Xét mệnh đề sau: 1) Đồ thị hai hàm số f ( x ) g ( x ) ln cắt điểm 2) Hàm số f ( x ) + g ( x ) đồng biến a > , nghịch biến < a < 3) Đồ thị hàm số f ( x ) nhận trục Oy làm tiệm cận 4) Chỉ có đồ thị hàm số f ( x ) có tiệm cận Hỏi có tất mệnh đề đúng? A B C D Lời giải Chọn a = chẳng hạn, f ( x ) g ( x ) đồng biến Mà hai hàm đồng biến khơng kết luận số nghiệm phương trình f ( x ) = g ( x ) vơ nghiệm, có nghiệm, có hai nghiệm,….Do 1) sai Tổng hai hàm đồng biến hàm đồng biến, tổng hai hàm nghịch biến hàm nghịch biến Do 2) Dựa vào lý thuyết, đồ thị hàm số y = log a x nhận trục Oy làm tiệm cận đứng Do 3) Đồ thị hàm số y = a x nhận trục Ox làm tiệm cận ngang Do 4) sai Vậy có mệnh đề 2) 3) Chọn B Câu 90 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có diện tích 36, đường thẳng chứa cạnh AB song song với trục Ox , đỉnh A, B C nằm đồ thị hàm số y = log a x , y = log a x y = log a x với a số thực lớn Tìm a A a = B a = C a = D a = Lời giải Do AB Ox  → A, B nằm đường thẳng y = m (m ≠ 0) Lại có A, B nằm đồ thị hàm số y = log a x , y = log  m  Từ suy A (a m ; m ) , B a ; m   m Vì ABCD hình vng nên suy xC = x B = a  m 3m   Lại có C nằm đồ thị hàm số y = log a x , suy C a ;   m   a m − a =   AB =  Theo đề S ABCD = 36  →   →  BC =  3m  −m =  m = −12  m = 12 ← →  Chọn D  a = < 1( loại) a =   a x Vấn đề TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Câu 91 Cho x + 9−x = 23 Tính giá trị biểu thức P = + 3x + 3− x − 3x − 3− x B P = C P = D P = − 2 Lời giải Đặt t = x + 3− x  → t = x + 9− x + = 25 ← → t = ±5 x −x x Vì + > nên t > Do ta chọn t = hay + 3− x = 5+5 Thay x + 3− x = vào P , ta P = = − Chọn D 1− Câu 92 Cho số thực x thỏa mãn log  log (8 log x ) = Tính ln x A P = A ln x = 2125 ln B ln x = 2126.ln C ln x = 2127.ln Lời giải Ta có log  log (8 log x ) =  → log (8 log x ) = 28  → log (8 log x ) = 64  → log x = 64  → log x = 2125 D ln x = 2128 ln (2125 ) (2125 )  →x =  → ln x = ln = 2125 ln Chọn A x 1 Câu 93 Cho hàm số f ( x ) =   biểu thức P = f ( x −1) + f ( x − 2) Mệnh đề   sau đúng? A P = f ( x ) B P = f ( x ) C P = −3 f ( x ) x −1 1 Lời giải Ta có P = f ( x −1) + f ( x − 2) =     D P = −8 f ( x ) x −2 1 +      x  x  x = 2.  + 4.  =   = f ( x ) Chọn B       Câu 94 Cho hàm số f ( x ) = 2017 x Tính P = f ( x ) f ( x + 1) f ( x + 2) f (3 x ) A P = 2017 x B P = 3.2017 C P = D P = 20173 x x +1 x +2 f ( x ) f ( x + 1) f ( x + 2) 2017 2017 2017 Lời giải Ta có P = = f (3 x ) 20173 x = 20173 x +3 = 20173 Chọn D 20173 x Câu 95 Cho hàm số f ( x ) = A S = 2016 4x Tính tổng S = +2 x B S = 1008   f  +  2017  C S = 1007   f   + +  2017  D S = 2017 Lời giải Sử dụng tính chất '' Nếu a + b = f (a ) + f (b ) = '' Thật vậy: ● f (a ) =  2016  f    2017  4a 2.4 a = + 2.4 a + a a 41−a 4 ● a + b =  → b = − a Do f (b ) = f (1 − a ) = 1−a = = 4 +2 + 2.4 a + 4a a 2.4 Suy f (a ) + f (b ) = + =1 a 2.4 + 4 + 2.4 a    2016  2016 + = nên f   + f  =1   2017   2017  2017 2017   1008     2016      2015   + f   + +  f  + f  + f   +  2017   2017    2017   2017    2017     Áp dụng: Ta có  Vậy S =  f  = + + + = 1008 Chọn B Bài tốn tổng qt: Nếu f ( x ) = Câu 96 Cho hàm số f ( x ) = A S = 2016 Mx x M + M ( M > ) f ( x ) + f (1 − x ) = 9x Tính tổng S = +3 x B S = 2017  1009   f   2017     f  +  2017    f   + +  2017  C S = 1008  2016  f    2017  D S = 1007 Lời giải Ta có     + f S =  f    2017    1008    2016      2015   + f  1009    +  f   + +  f  + f           2017   2017    2017   2017    2017    = + + + = 1008 Chọn C 4x Câu 97 Cho hàm số f ( x ) = x góc α tùy ý Tính S = f (sin α ) + f (cos α ) +2 A S = B S = C S = D S = sin a Lời giải Do sin α + cos α = nên S = f (sin α ) + f (cos α ) = Chọn A 2 2 9x Biết a + b = , tính S = f (a ) + f (b − 2) +3 A S = B S = C S = D S = 4 Lời giải Ta có a + (b − ) = a + b − = − =  → f (a ) + f (b − 2) = Chọn A Câu 98 Cho hàm số f ( x ) = x 9t với m tham 9t + m2 số thực Gọi S tập hợp tất giá trị m cho f ( x ) + f ( y ) = với Câu 99 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét hàm số f (t ) = x , y thỏa mãn e x + y ≤ e ( x + y ) Tìm số phần tử S A B C D Vơ số Lời giải Xét hàm số g (t ) = e t − et , ∀t ∈ ℝ Ta có g ' (t ) = e t − e  → g ' (t ) = ⇔ t = Lập bảng biến thiên ta thấy g (t ) ≥ 0, ∀t ∈ ℝ đẳng thức xảy ⇔ t = Ta có g ( x + y ) = e x + y − e ( x + y ) ≥ ⇔ e x + y ≥ e ( x + y ) Kết hợp với giải thiết e x + y ≤ e ( x + y ) , suy e x + y = e ( x + y ) ⇔ x + y = Chọn x = y = 1 theo giả thiết, có f   +   1 f   = ⇔ = ⇔ m = ±   + m2 Vậy có hai giá trị m thỏa mãn u cầu Chọn C  x + 1 Câu 100 Cho hàm số f ( x ) = ln 2017 − ln  Tính S = f ' (1) + f ' (2) + + f ' (2017)  x  A S = 4035 2018 B S = 2017 C S = 2016 2017 D S = 2017 2018 /  x + 1 −1   x  1 Lời giải Ta có f ' ( x ) = − =− x = = − x +1 x + x ( x + 1) x x + x x Khi S = f ' (1) + f ' (2) + + f ' (2017) 1  1   1  1 2017  = − =  − − = Chọn D + −  + +  1 + 1  2 + 1  2017 2017 + 1 2017 + 2018 Câu 101 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét số ngun dương a, b cho phương trình a ln x + b ln x + = có hai nghiệm phân biệt x1 , x phương trình log x + b log x + a = có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn x1 x > x x Tính giá trị nhỏ Smin S = a + 3b A Smin = 30 B Smin = 25 C Smin = 33 D Smin = 17 Lời giải Điều kiện x > Phương trình a ln x + b ln x + = có hai nghiệm phân biệt ⇔ b > 20 a Phương trình log x + b log x + a = có hai nghiệm phân biệt ⇔ b > 20 a Ta có t = ln x a ln x + b ln x + =   → at + bt + = u = log x (1) (2 ) log x + b log x + a =  → 5u + bu + a = Với nghiệm t có nghiệm x , nghiệm u có nghiệm x b  b b  x x = e t1 e t2 = e t1 +t2 = e − a − − a Ta có  , kết hợp giả thiết x x > x x  → e > 10 b  −  x x = 10u1 +u2 = 10 b b a ∈ℤ+  →− > − ln10 ⇔ a >  →a ≥ a ln10 b ∈ℤ Suy b > 20a ≥ 60  →b ≥ + a = Vậy S = a + 3b ≥ 2.3 + 3.8 = 30 , suy Smin = 30 đạt  Chọn A b = Câu 102 Cho a, b số thực thỏa mãn a + b > log a +b a + b ≥ Tìm giá trị lớn Pmax biểu thức P = 2a + 4b − A Pmax = 10 B Pmax = 10 C Pmax = 10 D Pmax = 10 Lời giải 2  1  1 Do a + b > nên log a2 +b (a + b ) ≥ ⇔ a + b ≥ a + b ⇔ a −  + b −  ≤ (1)    2   1  Ta có a + 2b = a −  + b −  + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có   2  2 2    1  1  1  a −  + b −  ≤ (12 + 2 ) a −  + b −   ≤ =         2 2     1 1 10 10 Do a −  + b −  ≤  → a + 2b ≤ +  → P = 2a + 4b − ≤ 10   2 2 2 + 10 + 10 ; b= Chọn A 10 10 1 1 Cách Ta thấy (1) hình tròn tâm I  ;  , bán kính R =  2  Dấu " = " xảy ⇔ a = Ta có P = 2a + 4b − ⇔ ∆ : 2a + 4b − − P = Xem phương trình đường thẳng Để đường thẳng hình tròn có điểm chung ⇔ d [ I , ∆] ≤ R 1 + − − P 2 ⇔ ≤ ⇔ P ≤ 10  → P ≤ 10 + 16 Câu 103 Xét số thực a, b thỏa mãn a ≥ b >1 Biết P = giá trị lớn b = a k Khẳng định sau đúng?  3 3  A k ∈0;  B k ∈(−1;0) C k ∈ ;2     Lời giải Ta có P = a + log a đạt log(ab ) a b D k ∈(2;3) a + log a = log a (ab ) + − log a b = + log a b + − log a b log(ab ) a b Khi b = a k  → P = + k + 1− k  2 9 Đặt t = − k (k ≤ 1) , ta P = −t + t + = −t −  + ≤   4  3 → k = ∈ 0;  Chọn A Dấu '' = '' xảy ⇔ t =    Cách trắc nghiệm Ta chọn a = ⇒ b = k Khi P = Sử dụng MODE7 khảo sát hàm f ( X ) = log 2.2 X + log k log 2.2k 2 Start = −1  + log X với End =  2 Step = 0,2  3 Dựa vào bảng giá trị dễ dàng thấy k ∈ 0;  f ( X ) lớn   Câu 104 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Xét số thực a, b thỏa mãn a > b > a Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = log 2a (a ) + log b   b  b A Pmin = 19 B Pmin = 13 C Pmin = 14 D Pmin = 15     a a Lời giải Ta có P = log 2a (a ) + log b   = 2 log a a  + log b    b   b  b b     a  a  a  =  log a  b  + log b   = 1 + log a b  + log b    b  b    b  b  b     3 Đặt t = log a b > (vì a > b > ) Khi P = (1 + t ) + = t + 8t + + t t b  1 Xét hàm f (t ) = 4t + 8t + + (0;+∞) , ta P = f (t ) ≥ f   = 15 Chọn D 2 t Cách CASIO Cho b = 1,1 coi a X Start = 1,1    X        Dùng MODE khảo sát f ( X ) =  log X ( X ) + log1,1   với  End =    1,1 1,1 Step = 0,1 Quan sát bảng giá trị, ta thấy f ( X ) nhỏ 15 X = 1,3 Câu 105 Xét số thực a, b thỏa mãn a ≥ b b > Tìm giá trị nhỏ a biểu thức P = log a a + log b b b A Pmin = B Pmin = C Pmin = D Pmin = − log a b a > 1 + Lời giải Từ điều kiện, suy  Ta có P = b > 1 − log a b log a b Đặt t = log a b > Do a ≥ b  → log b a ≥ log b b =  → t = log a b ≤ 1− t Khi P = + = f (t ) t 1− t  1 1 Khảo sát hàm f ( t )  0;  , ta P = f ( t ) ≥ f   = Chọn C  2 2 t 1− t 1− t + t 1− t − t Cosi Cách P = + = + = 1+ + ≥ + = 1− t t 1− t t 1− t t Cách CASIO Cho a = < b ≤ 4 Dùng MODE khảo sát f ( X ) = log 4 + log X   với Start = 1,1, End = 2, Step = 0,1  X  X Quan sát bảng giá trị, ta thấy f ( X ) nhỏ X = Câu 106 Xét số thực a, b thỏa mãn điều kiện b > a  P = log a a + log b   đạt giá trị khỏ khi:  b  b A a = b B a = b a > Lời giải Từ điều kiện, suy   b > Ta có P = C a = b a ≤ b < a Biểu thức D a = b 1 + ( log b a −1) = + −4 − log a b − log a b log a b Đặt t = log a b > Do a ≤ b < a  → log a a ≤ log a b < log a a  → ≤ t < + − = f (t ) 1− t t 1  Khảo sát f (t )  ;1 , ta f (t ) đạt giá trị nhỏ t =   Khi P = 2  → log a b = ↔ a = b Chọn B 3 (1 − t ) − t + t (1 − t ) + 4t t Cách P = + −4 = + − = 1+ + ≥ + 2.2 = 1− t t 1− t t 1− t t Với t = Cách trắc nghiệm Dễ dàng nhận thấy đáp án C & D khơng thỏa mãn điều kiện Thử đáp án A với a = b , ta P = log b b + log b b = + = a Thử đáp án B với a = b , ta P = log a a + log b   = log a2 a + log  b  b b = log b b + log b  a     b  2 b  b = + = So sánh hai đáp án, ta thấy ứng đáp án B P có giá trị nhỏ Câu 107 Xét số thực a, b thỏa mãn a > > b > Tìm giá trị lớn biểu thức P = log a2 (a b ) + log b a3 A Pmax = + B Pmax = −2 Lời giải Ta có P = log a2 a b + log C Pmax = −2 b a3 = D Pmax = − 3 log a a b log a a log a b + + = + log a a log a b log a b Đặt t = log a b Do a > > b >  → log a b < log a =  → t <  t  Cauchy t +2 t Khi P = + = + + = − − −  ≤ − Chọn D  t  t t Cách CASIO Cho b =  a2  P = log a   − log a   Start = 1,1  X    − log X với End = Dùng MODE khảo sát f ( X ) = log X     Step = 0,3 Quan sát bảng giá trị f ( X ) so sánh với đáp án ta chọn D Câu 108 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = e log x y + 12 với < x ≠ y > y ln x A Pmin = B Pmin = e C Pmin = D Pmin = Lời giải Ta có y ln x = y log x e = e log x y (ở sử dụng a logb c = c logb a ) Suy ta P = e log x y + 12 log x y log x y t =e   → P = t3 + 12 , t > t e 12 Xét hàm f (t ) = t + (0;+∞) , ta P = f (t ) ≥ f t ( 2) = Chọn C Câu 109 Cho x , y số thực dương thỏa mãn ln x + ln y ≥ ln ( x + y ) Tìm giá trị nhỏ P = x + y A Pmin = B Pmin = 2 + C Pmin = + D Pmin = 17 + Lời giải Ta có ln x + ln y ≥ ln ( x + y ) ⇔ ln ( xy ) ≥ ln ( x + y ) ⇔ xy ≥ x + y 2 Nếu < x ≤ y ≥ xy ≥ x + y ⇔ ≥ x : mâu thuẫn x2 x2 Vậy P = x + y ≥ x + x −1 x −1  +  x2  = 2 + Chọn B Xét f ( x ) = x + (1;+∞) , ta f ( x ) = f  (1;+∞) x −1   Nếu x > xy ≥ x + y ⇔ y ( x −1) ≥ x ⇔ y ≥ Câu 110 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét số thực dương x , y thỏa mãn log − xy = xy + x + y − Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P = x + y x +2y A Pmin = 11 −19 B Pmin = 11 + 19 C Pmin = 18 11 − 29 21 D Pmin = 11 − Lời giải Điều kiện: x > 0, y > 0, xy < 1 − xy − xy = xy + x + y − ⇔ + log = 3xy + x + y − x +2y x +2y − xy ⇔ log = xy − + x + y ⇔ log (3 − 3xy ) + − xy = log ( x + y ) + x + y (*) x +2y + > 0, ∀t ∈ (0; +∞) Xét hàm f (t ) = log t + t (0;+∞) , ta có f ' (t ) = t ln 3− x 3− x Từ suy (*) ⇔ − xy = x + y  →y=  →P = x + 3x + 3x +  −2 + 11  11 − 3− x  = Xét f ( x ) = x + (0;3) , ta f ( x ) = f  Chọn D 0;3 ( ) 3x + 3   Ta có log Nhận xét Do y = 3− x , mà y >  → x < Kết hợp giả thiết ta có x ∈ (0;3) 3x + ... =  ) Suy hàm số y = ln x + x + hàm số lẻ Do đáp án D sai Chọn D ( ) Câu 67 Cho hàm số y = x ln x + + x − + x Mệnh đề sau sai? ( ) A Hàm số có đạo hàm y ' = ln x + + x ( ) B Hàm số tăng khoảng... 68 Cho a số thực dương khác mệnh đề sau: 1) Hàm số y = (−5) hàm số mũ x 2) Nếu π α < π α α < 3) Hàm số y = a x có tập xác định ℝ 4) Hàm số y = a x có tập giá trị (0;+∞) Hỏi có mệnh đề đúng?... Vậy có 2) Chọn A Câu 66 Mệnh đề sau sai? A Hàm số y = e x khơng chẵn khơng lẻ B Hàm số y = ln x + x + hàm số lẻ ( ) C Hàm số y = e có tập giá trị (0;+∞) x D Hàm số y = ln x + x + khơng chẵn