S GIO DC V O TO THANH HO TRNG THPT YấN NH SNG KIN KINH NGHIM PHT HIN TNH CHT C TRNG CA HèNH HC PHNG P DNG VO BI TON HèNH HCGII TCH TRONG MT PHNG LP 10 Ngi thc hin: Lờ Bỏ Tuõn Chc v: Giỏo viờn SKKN thuc mụn: Toỏn THANH HO NM 2017 MC LC M U Lý chn ti Mc ich nghiờn cu i tng thi gian nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu NI DUNG C s lý lun 2 Thc trng 17 Cỏc gii phỏp ó t chc thc hin Hiu qu ca ti 18 18 KT LUN V KIN NGH Kt lun Kin ngh 19 19 M U 1.1 Lớ chn ti Trong chng trỡnh hỡnh hc lp 10 cú mt phn rt quan trng ca hỡnh hc ph thụng ú l phng phỏp to mt phng õy l phn tip ni ca hỡnh hc phng cp Trung hc c s nhng c nhỡn di quan im i s v gii tớch Nh vy, mi bi toỏn hỡnh hc to mt phng u mang bn cht ca mt bi toỏn hỡnh hc phng no ú Tuy nhiờn, gii cỏc bi toỏn hỡnh hc to hc sinh thng khụng chỳ trng n bn cht hỡnh hc ca bi toỏn y, mt phn vỡ hc sinh ngi hỡnh hc phng vỡ c ngh hỡnh hc phng l khú, mt phn vỡ giỏo viờn dy cng khụng chỳ trng khai thỏc hng dn cho hc sinh Do ú, hiu qu gii toỏn khụng cao m s phõn loi dng toỏn, phng phỏp gii toỏn cng khụng rừ rng Thc t yờu cu vic ging dy ch phi trang b cho hc sinh mt h thng cỏc phng phỏp suy lun gii toỏn hỡnh hc to mt phng Vi ý nh ú, sỏng kin kinh nghim ny tụi mun nờu mt cỏch nh hng tỡm li gii bi toỏn hỡnh hc to mt phng da trờn bn cht hỡnh hc phng ca bi toỏn ú Vỡ vy, vi trỏch nhim ca mỡnh, tụi thy cn phi xõy dng thnh chuyờn t ú rốn luyn k nng nhn dng, nõng cao nng lc gii toỏn cho hc sinh cỏc em khụng cũn e ngi hay lỳng tỳng gp cỏc dng toỏn ny Qua quỏ trỡnh tớch ly tụi vit sỏng kin kinh nghim: Phỏt hin tớnh cht c trng ca hỡnh hc phng ỏp dng vo bi toỏn hỡnh hc gii tớch mt phng lp 10 1.2 Mc ich nghiờn cu Nhm h thng cho hc sinh mt s dng toỏn ca phng phỏp ta mt phng v gúp phn giỳp cỏc em gii quyt tt cỏc bi toỏn v hỡnh hc gii tớch Giỳp hc sinh nõng cao c t duy, k nng tớnh toỏn T ú cung cp cho hc sinh mt dng toỏn nh b sung vo hnh trang kin thc bc vo cỏc kỡ thi, c bit l kỡ thi chn hc sinh gii tnh Thanh Hoỏ Kt hp gia nh tớnh v nh lng nhm giỳp cỏc em h thng t hn kin thc ó hc v giỳp cỏc em hng thỳ hn hc toỏn Giỳp cho bn thõn v ng nghip cú thờm t liu ụn cho hc sinh 1.3 i tng nghiờn cu Tớnh cht c trng ca hỡnh hc phng, bi toỏn hỡnh hc gii tớch mt phng lp 10 Mt s thi chn hc sinh gii tnh Thanh Hoỏ t 2012 n 1.4 Phng phỏp nghiờn cu - Nghiờn cu ti liu Toỏn lp 10 v lp 12 - ỏnh giỏ kt qu hc tp, kt qu cỏc kỡ thi i hc, cao ng v thi hc sinh gii cp tnh mụn Toỏn ca hc sinh lp 12A1, 12A2 nm hc 2015-2016 Lp 12A6, 12A7 nm hc 2016-2017 trng THPT Yờn nh - Phõn tớch, ỏnh giỏ, tng hp cỏc dng toỏn liờn quan n bi toỏn v phng phỏp to mt phng c bit l cỏc bi toỏn, dng toỏn liờn quan n hỡnh hc gii tớch mt phng cỏc kỡ thi tuyn sinh i hc, cao ng, cỏc kỡ thi hc sinh gii tnh Thanh Húa cỏc nm gn õy NI DUNG 2.1 C s lý lun a Mt s kờt qu hỡnh hc phng thng dựng Tớnh cht Cho t giỏc ABCD ni tip ng trũn tõm I, tip tuyn Cx ti C 1ã ã ã ã = BDC = BCx = BIC Khi ú BAC [5] Tớnh cht Cho hỡnh vuụng ABCD, gi M, N ln lt l trung im ca BC v CD Khi ú AM BN [4] Tớnh cht Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn tõm I Cú trc tõm H, uuuu r uuur M l trung im ca BC Khi ú AH = IM [5] Tớnh cht Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn tõm I Gi H, K ln lt l chõn ng cao k t B, C xung cỏc cnh AC, BC Khi ú IA HK [5] Tớnh cht Cho tam giỏc ABC cú trc tõm H Gi D l giao im th hai ca ng thng AH vi ng trũn ngoi tip ABC v M l giao im ca AH vi BC Khi ú M l trung im ca HD [5] Tớnh cht Cho tam giỏc ABC cú tõm ng trũn ni tip J Gi D l giao im th hai ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC vi ng thng AJ v I l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Khi ú D l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc JBC v ID BC [5] Tớnh cht Cho ABC cú trc tõm H; E, D ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca C, B lờn cỏc cnh AB v AC Gi P l trung im ca AH, M l trung im ca BC Khi ú PM ED [5] Tớnh cht Cho tam giỏc ABC cú trc tõm H Gi D, E, F ln lt l chõn ng cao k t A, B, C xung cỏc cnh BC, CA, AB Khi ú H l tõm ng trũn ni tip DEF [5] Chỳ ý: Cn c bit chỳ ý quan h vuụng gúc, s bng nhau, quan h v gúc ca hỡnh vuụng, hỡnh thoi v cỏc tam giỏc c bit Cỏc cụng thc din tớch, khong cỏch, cụng thc tớnh gúc, cỏc nh lý sin, cosin tam giỏc b Cỏc vớ d in hỡnh Cỏc vớ d mt bi toỏn hỡnh hc to cú th c gii theo mt ba hng chớnh sau: Hng 1: Gii hon ton theo quan im hỡnh hc gii tớch Hng 2: Gii hon ton theo quan im hỡnh hc phng sau ú ỏp dng vo to Hng 3: Khai thỏc cỏc yu t hỡnh hc phng gii toỏn hỡnh gii tớch Mi hng gii toỏn u cú nhng u th riờng cho tng bi toỏn nhng núi chung hng thng hiu qu hn c Dng S dng quan h vuụng gúc gii toỏn Bi toỏn c bn Cho hỡnh vuụng ABCD, gi M, N ln lt l trung im ca BC v CD Chng minh rng AM BN Bi toỏn c bn Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn tõm I Gi H, K ln lt l chõn ng cao k t B, C xung cỏc cnh AC, BC Chng minh rng IA HK Chng minh K tip tuyn Ax ca ng ngoi tip tam giỏc ã = ãACB = sd ằAB ABC ti A KAx (1) ã ã Do BHC = BKC = 900 nờn t giỏc BKHC ni tip ã ã suy AKH (2) (cựng bự vi gúc BKH ) = ãACB ã T (1) v (2) KAx = ãAKH HK / /Ax m IA Ax IA HK (pcm) Bi toỏn c bn Cho tam giỏc ABC cú tõm ng trũn ni tip J Gi D l giao im th hai ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC vi ng thng AJ v I l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Chng minh rng D l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc JBC v ID BC Chng minh àA B ã = + Ta cú DJB 2 (gúc ngoi tam giỏc) (1) à àA B B ã m B = A DBJ ã DBJ = +B = + (2) 3 2 2 ã ã T (1) v (2) suy DJB hay tam giỏc = DBJ DJB cõn ti D hay DJ=DB (3) ả DB = DC m àA1 = A (2 gúc ni tip bng chn cung bng nhau) (4) T (3) v (4) suy DB=DJ=DC hay D l tõm ng trũn ngoi tip JBC (pcm) Ta cú DB = DC nờm ID l ng trung trc ca BC DI BC (pcm) IB = IC = R Bõy gi ta xột mt s vớ d in hỡnh Vớ d Trong mt phng oxy cho hỡnh vuụng ABCD cú nh B(0;4) Gi M v 5 N ln lt l trung im ca BC v CD Gi H ( ; ) l giao im ca AM v BN Xỏc nh to cỏc nh ca hỡnh vuụng ABCD bit nh A thuc ng thng (d) : x +2y +4 =0 Hng dn gii +PT ng thng BN: 3x+y-4=0 +PT ng thng AM BN s cú PT : x y + = + im A l giao im ca AM & d nờn ta im A l nghim ca h: x 3y + = A(4;0) PT (BC): x+y-4=0 x + y + = + im M l giao im ca AM & CB nờn ta im M l nghim ca h: x + y = M (2;2) C 4;0), D(0; 4) x 3y + = Vớ d Trong mt phng Oxy cho hỡnh ch nht ABCD cú BC=2BA Gi 4 5 F(1;1) l im trờn cnh BC cho BE = BC im H ( ; ) l giao im ca BD v AF Xỏc nh ta cỏc nh ca hỡnh ch nht ABCD, bit B nm trờn ng thng (d): x+2y-6=0 Hng dn gii + Vit PT ng thng AF qua H v F + Vit PT ng thng BD qua H v vuụng gúc vi AF + im B l giao im ca (d) vi BD Ta cú uuur uuur BF = BC C + Vit PT ng thng AB qua B v vuụng gúcrvi BF uuur uuu + im A l giao im ca AF vi AB; DC = AB D Vớ d Cho hỡnh vuụng ABCD cú hai im M, N ln lt l trung im ca AB, BC, bit CM ct DN ti I ( 22 11 ; ) Gi H l trung im DI, bit ng thng 5 AH ct CD ti P( ;1) Bit xA < , tỡm to cỏc nh ca hỡnh vuụng Hng dn gii M A B I E N H D P C Ta chng minh tam giỏc AIP vuụng ti I MBC = NCD CM DN T giỏc AMID ni tip ng trũn tõm E( vi E l trung im ca AH) suy ED = EI, m H l trung im ca DI EH DI AH DN , m CM DN suy CM // AH, mt khỏc AM // CP nờn t giỏc AMCP l hỡnh bỡnh hnh, ú P l trung im DC t giỏc AMPD l hỡnh ch nht IE = 1 DM = AP AIP vuụng ti I 2 Ta cú ADI cõn ti A AI = AD = DC = IP ( tam giỏc DIC vuụng ti I) AI = IP ng thng AI qua I v vuụng gúc vi PI nờn cú phng trỡnh 3x + y 22 = t = 2 12 A AI A(2 4t; + 3t ) t + ữ + 3t + ữ = t = Do xA < nờn A(2; 4) suy pt(AP): x + y = DN AP suy pt(DN): x 2y = 16 H = DN AP H ; ữ D(2;1), C(5;1), B(5; 4) 5 Vy A(2; 4), D(2;1), C(5;1), B(5; 4) Vớ d 4.Trong mt phng Oxy cho ABC ngoi tip ng trũn tõm J(2;1) Bit ng cao xut phỏt t nh A ca tam giỏc cú phng trỡnh : x + y 10 = v D(2 ;-4) l giao im ca ng thng AJ vi ng trũn ngoi tip ABC Tỡm ta cỏc nh ca ABC bit B cú honh õm v B thuc ng thng cú phng trỡnh x+y+7=0 (d) Hng dn gii Ta cú JD = (2 2) + (4 1)2 = Theo kt qu bi toỏn gc thỡ D l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc JBC (C) Do ú PT ng trũn (C) : ( x 2) + ( y + 4) = 25 im {B} = (d ) (C ') nờn ta im B l (1) x + y + = nghim ca h 2 ( x 2) + ( y + 4) = 25 (2) Th (1) vo (2) ta c x = ( x 2) + ( x 3) = 25 x + x 12 = x = im B cú honh õm nờn B(-3 ;-4) ng thng AJ qua J v D cú PT : x-2=0 Ta im A l nghim ca h x = x = A(2;6) x + y 10 = y = + ng thng BC qua B v vuụng gúc vi AH : ( BC ) : x y = +ng thng ID BC ID / / AH v ID qua D(2 ;-4) ( ID) : x + y = + Gi M l trung im ca BC {M } = ID BC M (1; 2) C (5;0) Vớ d ( trớch thi HSG Tnh Thanh Hoỏ nm 2014) Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD vi M, N ln lt l trung im ca on AB v BC Gi H l chõn ng cao k t B xung CM Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh vuụng ABCD bit N (1; ), H (1;0) v im D nm trờn ng thng (d ) : x y = Hng dn gii A M B H H D N C Trong tam vuụng BCH ta cú : HN=NC (1) Mt khỏc: BH v DN song song vi (Vỡ cựng vuụng gúc vi MC) T ú: H v C i xng qua DN ã ã DHN = DCN = 900 DH vuụng gúc vi HN uuur uuur Gi D(m ; m-4) S dng iu kin HD.HN = m = D(4;0) Nhn xột H v C i xng qua DN tỡm c C (1; 4) T ú tỡm c : A(0;3), B(3; 1) Vớ d (Trớch thi HSG Tnh Thanh Hoỏ nm 2016) Trong mt phng vi h trc ta Oxy, cho hỡnh thang ABCD cú ã B (2;4), BAD = ãADC = 900 v A, C thuc trc honh Gi E l trung im ca on AD, ng thng EC i qua im F (4;1) Tỡm to cỏc nh A, C, D bit EC vuụng gúc vi BD v im E cú ta nguyờn Hng dn gii Qua A k ng thng vuụng gúc vi BE, ct BE v BD ln lt ti I v H; gi J l giaor im ca BD vi CE Khi ú ta cú: uuur uuu uuu r uuu r uur uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r uuur EH EB = EA.EB = EI EB = EA v EH EC = ED.EC = EJ EC = ED = EA2 uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur r uuur uuur EH EB = EH EC EH ( EB EC ) = EH BC suy H l trc tõm ca EBC suy A, H , C thng hng Do ú BE AC ng thng BE qua B(2;4) vuụng gúc viuuurOx nờn cú uphng trỡnh x =2 uuu r uur uuu r Gi A(a;0), E (2; b) D(4 a; 2b); BA(a 2; 4); EA(a 2; b); BD(2 a; 2b 4) v FE (6; b 1) uuu r uuu r BA EA (a 2) + 4b = uuu r uuur FE BD 6(2 a) + (b 1)(2b 4) = (1) (2) Thay (2) vo (1) ta c b 6b + 13b + 24b + = (b + 1)(b3 7b + 20b + 4) = b = (do b nguyờn) (Ta chng minh c phng trỡnh b3 7b + 20b + = cú nghim nht trờn khong ( 1;0 ) nờn khụng cú nghim nguyờn ) Khi ú A(4;0), D (0; 2) , ng thng CD cú phng trỡnh x + y + = ct Ox tiC(-1;0).Vy A(4;0), D(0; 2) v C ( 1;0) l cỏc im cn tỡm Dng Bi toỏn liờn quan n tớnh cht trung im ca on thng Bi toỏn c bn Cho tam giỏc ABC cú trc tõm H Gi D l giao im th hai ca ng thng AH vi ng trũn ngoi tip ABC v K l giao im ca AH vi BC Chng minh rng K l trung im ca HD Chng minh ằ ) Ta cú Bà1 = àA1 (gúc ni tip cựng chn DC V Bả = àA1 ( cựng ph vi gúc ãACB ) =B ả BHD cõn ti B nờn K l trung im B ca HD (pcm) T bi toỏn trờn ta xõy dng cỏc vớ d sau Vớ d Trong mt phng Oxy cho ABC nhn cú trc tõm H(5;5), phng trỡnh ng thng cha cnh BC l x+y-8=0 bit ng trũn ngoi tip ABC i qua im M(7 ;3), N(4 ;2) Tỡm ta cỏc nh ca ABC Hng dn gii Gi H l giao im ca AH v ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC theo KQ bi toỏn gc thỡ H i xng vi H qua BC +ng thng (HH) vuụng gúc vi BC v qua H cú PT x-y=0 + Gi A l chõn ng cao h t A {A '} = AH BC A '(4; 4) H '(3;3) + ng trũn (C) ngoi tip tam giỏc ABC i qua im H(3 ;3),M(7 ;3),N(4 ;2) cú PT : x + y 10 x y + 36 = x y = A(6;6) 2 x + y 10 x y + 36 = x + y = B (6; 2), C (3;5) + Ta im B,C l nghim ca h 2 x + y 10 x y + 36 = + Ta im A l nghim ca h hoc B(3 ;5),C(6 ;2) Vớ d Trong mt phng Oxy cho ABC nhn ng trung tuyn k t A v phng trỡnh ng thng BC ln lt l 3x + y = & x y = ng thng qua A v vuụng gúc vi BC ct ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC tai im th hai l D(4;-2) Vit phng trỡnh cỏc cnh AB, AC bit xB Hng dn gii x y = M ( ; ) 2 x + y = + Ta im {M}= AM BC l nghim ca h + AD qua D & BC cú PT: x+y-2=0 x + y = A(1;1) x + y = x + y = K (3; 1) + Ta im {K}= AD BC l nghim ca h x y = +Theo KQ bi toỏn gc thỡ D i xng vi H qua BC H (2; 4) Do B BC B(t ; t 4) M l trung im ca BC nờn C(7-t;3-t) + Ta im {A}= AM AD l nghim ca h 10 uuur uuur HB = (t 2; t 8); AC = (6 t ; t ) uuur uuur t = HB AC = (t 2)(6 t ) + (t 8)(2 t ) = t = Do xB B(2; 2), C (5;1) AB : x + y = 0; AC : y = Vớ d ( Trớch thi HSG cp tnh mụn toỏn tnh Thanh Hoỏ nm 2013) Trong mt phng vi h trc ta Oxy , cho tam giỏc nhn ABC ng thng cha ng trung tuyn k t nh A v ng thng BC ln lt cú phng trỡnh l 3x + y = 0, x y = ng thng qua A vuụng gúc vi ng thng BC ct ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ti im th hai l D ( 4; ) Vit phng trỡnh cỏc ng thng AB, AC; bit rng honh ca im B khụng ln hn Hng dn gii A H B K M C D Gi M l trung im ca BC, H l trc tõm tam giỏc ABC, K l giao im ca uu r uu r BC v AD, E l giao im ca BH v AC Ta kớ hiu nd , ud ln lt l vtpt, vtcp ca ng thng d Do M l giao im ca AM v BC nờn ta ca M l nghim ca h phng trỡnh: x = x y = M ; ữ 2 x + y = y = uuur uuur AD vuụng gúc vi BC nờn nAD = uBC = ( 1;1) , m AD i qua im D suy phng trỡnh ca AD :1( x ) + 1( y + ) = x + y = Do A l giao im ca AD v AM nờn ta im A l nghim ca h phng trỡnh x + y = x = A ( 1;1) x + y = y =1 x y = x = K ( 3; 1) x + y = y = ã ã ã ã T giỏc HKCE ni tip nờn BHK , m KCE (ni tip chn cung ằAB ) = KCE = BDA ã ã Suy BHK , vy K l trung im ca HD nờn H ( 2; ) = BDK Ta im K l nghim ca h phng trỡnh: Do B thuc BC B ( t ; t ) , kt hp vi M l trung im BC suy C ( t;3 t ) uuur uuur HB (t 2; t 8); AC (6 t ; t ) Do H l trc tõm ca tam giỏc ABC nờn 11 uuur uuur t = HB AC = ( t ) ( t ) + ( t ) ( t ) = ( t ) ( 14 2t ) = t = Do t t = B ( 2; ) , C ( 5;1) Ta cú uuur uuur uuur uuur AB = ( 1; 3) , AC = ( 4;0 ) nAB = ( 3;1) , nAC = ( 0;1) Suy AB : x + y = 0; AC : y = Dng Bi toỏn liờn quan n trc tõm ca tam giỏc Bi toỏn c bn Cho tam giỏc ABC cõn ti A Gi I l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC, D l trung im ca cnh AB, E v G ln lt l trng tõm cỏc tam giỏc ACD v ABC Chng minh rng I l trc tõm tam giỏc DEG Chng minh Gi M, N ln lt l trung im ca AC v AD Khi ú theo tớnh cht trng tõm CG CE = = GE / / DN Hay GE//AB m ID AB ID GE CD CN Mt khỏc ABC cõn ti A nờn AI BC m DM l ng trung bỡnh ca ABC DM / / BC (2) ú AI DM hay GI DM tam giỏc ta cú (1) T (1) v (2) suy I l trc tõm tam giỏc DGE Ta xõy dng cỏc bi toỏn sau õy Vớ d Trong mt phng Oxy cho ABC cõn ti A; M l trung im on AB 3 2 4 Bit rng I ( ; ) l tõm ng trũn ngoi tip v G(0;1), K ( ; ) ln lt l A ca tam giỏc ABC trng tõm tam giỏc ACM Tỡm ta cỏc nh N Hng dn gii K D I P G(0;1) B C 12 uur 1 3 uuuur GI = ( ; ) KM = ( x ; y ) 2 v Gi s M(x;y) uuuur uur GM = ( x; y 1) KI = ( ; ) 4 uur uuuur GI KM = x + y = M ( ; ) Ta cú uur uuuur 2 KI GM = x + y = uuuu r uuuu r Li cú MC = 3MG C (1; 4) Mt khỏc K l trng tõm tam giỏc ACM suy A(4;5) v M l trung im ca AB suy B(-5;2) Vớ d Trong mt phng Oxy cho ABC cõn ti A; M l trung im on AB 3 2 4 Bit rng I ( ; ) l tõm ng trũn ngoi tip v K ( ; ) trng tõm tam giỏc ACM Cỏc ng thng AB, CM ln lt i qua cỏc im E(-2;3), F(0;1) Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc ABC bit honh im M õm Hng dn gii A N K D P I G E(-2;3) B F(0;1) C + PT ng thng CM qua F v vuụng gúc vi KI l: 5x+y-1=0 + M thuc CM nờn M(m;1-5m) + m = (L) uuur uuur IM ME = m = M ( ; ) 2 + PT ng thng AB qua M v E l: x-3y+11=0 13 + Goi P l trung im ca AC thỡ theo uuur A AB A (2 a 11; a ); C CM C ( c;1 5c ) + Ta cú 2 tớnh cht trng tõm tam giỏc ta cú : MP = MK P ( ; ) + P l trung im ca AC a = 5, c = ta c A(4 ;5), C(1 ;-4) Chn mt tam giỏc no ú gi s A(7;5), B(-1;1), C(3;-3) Khi ú ta tỡm c 11 im D(3;3) Tõm ng trũn ngoi tip I ( ; ), trng tõm tam giỏc ACD l 3 13 E( ; ) 3 Dng Bi toỏn liờn quan n khong cỏch Vớ d Cho hỡnh ch nht ABCD cú D(4; 5), M l trung im on AD, ng thng CM cú phng trỡnh x y + 10 = im B nm trờn ng thng d1 : x + y + = 0, yC < Tỡm to A, B, C Hng dn gii A B I K M G H C D Ta cú DK = d ( D, CM ) = 26 65 3 G i G l trng tõm tam giỏc ADC DG = DI = BD BG = 2GD Gi H, K ln lt l hỡnh chiu ca B, D lờn CM BH BG 52 = = BH = 2d ( D, CM ) = DK GD 65 B d1 B(b; -1-2b) BH = 17b + 18 65 b = 52 = b = 70 65 17 14 Vỡ B, D nm khỏc phớa i vi CM nờn b = B(2; 5) I (3;0) C CM C (8c 10; c ) (c < 2) c = uuu r uuur Cú CB.CD = 65c 208c + 143 = 143 c= 65 Do c < nờn C(-2; 1), A(8; -1) Vy A(8; 1), B(2; 5), C(2;1) Vớ d Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú N l trung im ca CD, ng thng BN cú phng trỡnh l 13x 10 y + 13 = , im M(-1; 2) thuc on thng AC cho AC = AM Gi H l im i xng vi N qua C, H thuc ng thng : x y = Bit 3AC = 2AB, tỡm to A, B, C, D Hng dn gii A B I M G D N H C Gi I = AC BD, G = BN AC suy G l trng tõm tõm tam giỏc BCD 1 CG = CI = AC , m AM = AC MG = AC AM CG = AC 3 12 5 Do ú CG = MG d (C , BN ) = d (M , BN ) d (H, BN) = d(C, BN) = d ( M , BN ) 4 2 2 Ta cú CM = AC = AB = AB = CD = NH CM = NH suy tam giỏc MNH vuụng ti M H H (3a; 2a) 15 a = 20 32 d ( H , BN ) = Ta cú d ( M , BN ) = a = 45 269 269 19 Vỡ H, M nm khỏc phớa i vi BN nờn H(3; 2) pt ( MH ) : y = Suy pt(MN): x + = N (1;0) C(1;1), D(3; 1) uuuu r uuur 13 ; ữ I ; ữ B ; ữ 3 3 3 Do CM = 3MA A 13 Vy A ; ữ, B ; ữ, C(1;1), D(3; 1) 3 3 Dng Bi toỏn liờn quan n phõn giỏc ca gúc Vớ d Cho hỡnh thang cõn ABCD cú hai ỏy l AD v BC, bit AB = BC, AD = ng chộo AC cú phng trỡnh x y = , im M(-2; -5) thuc ng thng AD Vit phng trỡnh CD bit B(1; 1) Hng dn gii B C F A D M T giỏc ABCD l hỡnh thang cõn nờn ABCD ni tip ng trũn ã ã ã M AB = BC = CD BAC nờn AC l ng phõn giỏc gúc BAD = CAD Gi E l im i xng ca B qua AC suy E thuc AD Ta cú pt(BE): 3x + y = F ; ữ E (2; 2) 2 Pt(AD): 3x y 14 = A(6;1) 16 Ta cú D thuc AD nờn D(2 + 4t; + 3t ) AD = suy t = 12 hoc t = Do B, 5 16 D nm v hai phớa ca AD nờn D ; ữ Vỡ BC // AD nờn BC cú phng 5 trỡnh 3x - 4y + = C (3; 2) AB = 5, CD = 13 suy ABCD khụng phi l hỡnh thang cõn, mõu thun vi gi thit Vy bi toỏn vụ nghim 2.2 Thc trng nghiờn cu Thc trng ng trc mt bi toỏn hỡnh hc to mt phng hc sinh thng lỳng tỳng v t cõu hi: Phi nh hng tỡm li gii bi toỏn t õu ? Mt s hc sinh cú thúi quen khụng tt l c cha k ó vi lm ngay, cú s th nghim ú s dn ti kt qu, nhiờn hiu sut gii toỏn nh th l khụng cao Vi tỡnh hỡnh y giỳp hc sinh nh hng tt hn quỏ trỡnh gii toỏn hỡnh hc to mt phng, giỏo viờn cn to cho hc sinh thúi quen xem xột bi toỏn di nhiu gúc , khai thỏc cỏc yu t c trng hỡnh hc ca bi toỏn tỡm li gii Trong ú vic hỡnh thnh cho hc sinh kh nng t theo cỏc phng phỏp gii l mt iu cn thit Vic tri nghim qua quỏ trỡnh gii toỏn s giỳp hc sinh hon thin k nng nh hng v gii toỏn Cn nhn mnh mt iu rng, a s cỏc hc sinh sau tỡm c mt li gii cho bi toỏn hỡnh hc to mt phng thng khụng suy ngh, o sõu thờm Hc sinh khụng chỳ ý n bn cht hỡnh hc phng ca bi toỏn nờn mc dự lm rt nhiu bi toỏn hỡnh hc to nhng khụng phõn loi c dng toỏn c bn cng nh bn cht ca bi toỏn Kt qu, hiu qu ca thc trng trờn vi thc trng ó ch ra, thụng thng hc sinh s d dng cho li gii i vi cỏc bi toỏn cú cu trỳc n gin Cũn a bi toỏn khỏc mt chỳt cu trỳc c bn hc sinh thng t rt lỳng tỳng v khụng bit nh hng tỡm li gii bi toỏn T ú, hiu qu gii toỏn ca hc sinh b hn ch rt nhiu Trc thc trng ú ca hc sinh, tụi thy cn thit phi hỡnh thnh cho hc sinh thúi quen xem xột bi toỏn hỡnh hc to mt phng theo bn cht hỡnh hc phng Vỡ vy, song song vi cỏc li gii cho bi toỏn hỡnh hc to mt phng, tụi luụn yờu cu hc sinh ch bn cht v bi toỏn hỡnh phng tng ng, t ú phõn tớch ngc li cho bi toỏn va gii Trong sỏng kin kinh nghim ny, tụi s ch mt nhiu ni dung c ỏp dng cú hiu qu Vic a ni dung ny nhm khai thỏc cỏc tớnh cht hỡnh hc phng nh hng tỡm li gii bi toỏn hỡnh hc to v xem vic ch bn cht hỡnh hc phng s b tr cho gii toỏn ch khụng phi l chỳng ta i gii mt bi hỡnh hc phng Qua ú giỳp hc sinh nhn thc c rng: Mi bi toỏn hỡnh hc to mt phng luụn cha ng mt bi toỏn hỡnh phng tng ng Vỡ vy phõn tớch bn cht ca bi toỏn hỡnh hc phng b tr cho vic gii bi toỏn hỡnh hc to mt phng l mt suy ngh cú ch ớch, giỳp hc sinh ch ng hn vic tỡm kim li gii 17 cng nh phõn loi mt cỏch tng i cỏc bi toỏn hỡnh hc to mt phng 2.3 Cỏc gii phỏp ó t chc thc hin gii quyt T chc cho hc sinh hỡnh thnh k nng gii toỏn thụng qua mt (hay nhiu) bui hc cú s hng dn ca giỏo viờn T chc rốn luyn kh nng nh hng gii toỏn ca hc sinh Trong ú yờu cu kh nng la chn li gii ngn gn trờn c s phõn tớch bi toỏn hỡnh hc phng tng ng T chc kim tra thu thp thụng tin v kh nng nm vng kin thc ca hc sinh Trong mi bi toỏn hỡnh hc to mt phng u yờu cu hc sinh thc hin phõn tớch bn cht hỡnh hc phng cng nh a cỏc hng khai thỏc m rng cho bi toỏn Cung cp h thng cỏc bi m rng hc sinh t rốn luyn tng cng tớnh ch ng cho hc sinh bui hc th nht, tụi ó cung cp cho hc sinh mt h thng cỏc bi thi v bi toỏn hỡnh hc to mt phng cho bi hc Yờu cu hc sinh v nh chun b li gii, phõn loi cỏc bi toỏn thnh cỏc nhúm tng t cng nh tr li cõu hi: bn cht bi toỏn y l gỡ? Cú tng quỏt, m rng, phõn loi dng toỏn c khụng? Bi toỏn hỡnh hc to mt phng xut hin thng xuyờn cỏc thi hc sinh gii vi mc tng i khú Vỡ vy, gii c dng toỏn ny chỳng ta cn tỡm hiu bn cht cng nh xõy dng phng phỏp t gii toỏn c trng cho loi toỏn Trong cỏc bui hc ny chỳng ta s cựng nghiờn cu v mt phng phỏp t gii toỏn: "phõn tớch tớnh cht hỡnh hc phng bi toỏn hỡnh hc to tng ng" Trc ht, ta cn chỳ ý chuyn bi toỏn to v bi toỏn hỡnh phng trờn c s cỏc d kin bi toỏn ó cho Sau ú, ta s phõn tớch tớnh cht hỡnh hc trờn hỡnh phng nh hng tỡm li gii bi toỏn 2.4 Hiu qu ca sỏng kin kinh nghim - T nhng gii phỏp nờu trờn, bn thõn tụi thy cỏc kt qu kh quan + Vic tip cn cỏc bi toỏn hỡnh hc gii tớch mt phng ca cỏc em hc sinh ó nhanh nhy hn, cỏc em ó t tin tip cn dng toỏn ny + Khụng khớ lp hc sụi ni, cỏc em thy hng thỳ vi vic tip cn mi + Cht lng ụn thi mi nhn mụn Toỏn ca nh trng c nõng lờn rừ rt, lm tin cho vic nõng cao cht lng dy v hc Trong hai thi hc sinh gii cp trng mụn toỏn nm hc 2016 - 2017 thỡ cú 85% hc sinh lp 10 v 90% hc sinh lp 11 gii c bi toỏn hỡnh hc gii tớch phng 18 KT LUN, KIN NGH 3.1 Kt lun Trc mt bi toỏn, giỏo viờn phi bit hng dn hc sinh t gii, bit tỡm hng i ỳng n Bi mt s bi toỏn ũi hi phi sỏng to, phi cú t nht nh mi cú th gii c Bit trõn trng thnh qu lao ng sỏng to ca cỏc nh khoa hc, giỳp hc sinh hng thỳ hc b mụn nhm nõng cao cht lng b mụn toỏn v cht lng giỏo dc hin Hin nay, a s cỏc thy cụ giỏo cng bit phng phỏp ny Tuy nhiờn ng dng ca nú hin cha c nghiờn cu mt cỏch tng th Do vy tụi mong rng nhng kinh nghim nh mỡnh cú th giỳp ớch phn no cho cụng tỏc ging dy ti cỏc trngtrung hc ph thụng 3.2 Kin ngh Qua thc t ging dy tụi nhn thy hc sinh hiu, nm vng kin thc c bn, dng c kin thc gii toỏn cn lu ý mt s ni dung sau: Phi u t nhiu thi gian nghiờn cu ti liu, sỏch giỏo khoa, ti liu tham kho hiu rừ kin thc c bn, kin thc trng tõm Bit phõn loi, dng bi phự hp cỏc i tng lp, kiờn trỡ un nn ng viờn, phỏt huy kin thc hc sinh ó cú, b sung hon thin kin thc hc sinh thiu, hng tng tit dy Thng xuyờn nm bt ý kin phn hi t phớa hc sinh thụng qua cỏc tit bi tp, bi kim tra nh k, kim tra ming iu chnh kp thi ni dung giỳy hc sinh d hiu bi hc Trc ging dy phn ny núi riờng cng nh cỏc ni dung khỏc núi chung giỏo viờn cn b sung nhng ni dung kin thc cú liờn quan hc tt ni dung mi Trờn õy l mt s kinh nghim ca bn thõn phn no giỳp hc sinh cú cỏi nhỡn d dng hn v bi toỏn hỡnh hc gii tớch mt phng Tụi cng nhn thy vi s hiu bit cú hn, thi gian, khụng gian hp nờn sỏng kin ny khụng trỏnh thiu sút, tụi rt mong nhn c s úng gúp ca cỏc ng nghip Tụi xin chõn thnh cỏm n! XC NHN CA TH TRNG N V Thanh Húa, ngy 26 thỏng nm 2017 Tụi xin cam oan õy l SKKN ca mỡnh vit, khụng chộp ni dung ca ngi khỏc Ngi viờt Nguyn Hu Tun Lờ Bỏ Tuõn 19 TI LIU THAM KHO thi i hc, cao ng t cỏc nm hc 2010 n thi hc sinh Gii tnh Thanh Húa t nm hc 2010 n K thut gii nhanh hỡnh phng oxy, ng Thnh Nam, NXB HQG H Ni nm 2014 Sỏch giỏo khoa hỡnh hc 9, NXB Giỏo dc Vit Nam 2012 Sỏch giỏo khoa hỡnh hc 9, NXB Giỏo dc Vit Nam 2012 Sỏch giỏo khoa mụn Hỡnh hc lp 10, NXB Giỏo dc Vit Nam 2012 Sỏch giỏo khoa Hỡnh hc 10 (Chng trỡnh Nõng cao), NXB Giỏo dc Vit Nam 2012 Tp Toỏn hc v Tui tr 2015, 2016, NXB Giỏo dc 20 ... toạ độ mặt phẳng mang chất toán hình học phẳng Tuy nhiên, giải toán hình học toạ độ học sinh thường không trọng đến chất hình học toán ấy, phần học sinh ngại hình học phẳng nghĩ hình học phẳng. .. lực giải toán cho học sinh để em không e ngại hay lúng túng gặp dạng toán Qua trình tích lũy viết sáng kiến kinh nghiệm: Phát tính chất đặc trưng hình học phẳng để áp dụng vào toán hình học giải. .. hình học phẳng để định hướng tìm lời giải toán hình học toạ độ xem việc chất hình học phẳng bổ trợ cho giải toán giải hình học phẳng Qua giúp học sinh nhận thức rằng: “Mỗi toán hình học toạ độ mặt