1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Năm học 2016-2017 năm học Bộ Giáo dục Đào tạo tiếp tục thực đổi công tác kiểm tra đánh giá xem khâu thi trung học phổ thông quốc gia khâu đột phá Trong đặc biệt có môn Toán thi hình thức trắc nghiệm khách quan Mặc dù biết trước lộ trình Bộ thi trắc nghiệm môn khác nhiều năm, song thầy trò khối 12 trường trung học phổ thông Triệu Sơn không khỏi bỡ ngỡ, lúng túng có phần lo lắng Câu hỏi thường trực thầy cô dạy Toán học trò lớp 12 là: Đề thi Toán có cấu trúc nào? Phương pháp học giải Toán trắc nghiệm hiệu nhất? Các dạng toán khó trắc nghiệm Toán dạng nào? Có phương pháp kỹ thuật để giải nhanh trắc nghiệm môn Toán ? Vậy vấn đề cấp thiết đặt thầy cô giáo dạy Toán phải tìm cách trang bị cho kiến thức cần thiết phương pháp kỹ thuật giải toán trắc nghiệm, từ giúp học trò có đủ kiến thức tự tin đứng trước đề toán trắc nghiệm khách quan Đứng trước thực trạng đó, giáo viên dạy Toán, tổ trưởng tổ Toán, tích cực tìm tòi học hỏi tích lũy số kỹ thuật giải nhanh toán trắc nghiệm Vậy xin trao đổi đồng nghiệp qua đề tài “Một số kỹ thuật giúp học sinh lớp 12 giải nhanh trắc nghiệm môn Toán” Rất mong nhận góp ý đồng nghiệp quý bạn đọc để hoàn thiện phương pháp dạy học Tôi xin chân thành cảm ơn ! 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài tìm tòi đúc rút phương pháp kỹ thuật giải nhanh trắc nghiệm khách quan môn Toán dành cho học sinh lớp 12; từ giúp học sinh lớp 12 trường THPT Triệu Sơn năm học 20162017 tự tin đạt kết tốt tham gia kì thi trung học phổ thông quốc gia 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung vào nghiên cứu phương pháp kỹ thuật giải toán trắc nghiệm; từ đưa số kỹ thuật giải nhanh toán trắc nghiệm khách quan dành cho học sinh lớp 12 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong trình nghiên cứu đề tài, chủ yếu sử dụng phương pháp khảo sát thực tế, thu thập thông tin phương pháp thống kê, xử lý số liệu cụ thể theo bước sau: Bước Tìm hiểu thực trạng học sinh lớp 12 trường THPT Triệu Sơn thi trắc nghiệm Toán thông qua phiếu học tập Bước Thống kê số liệu thu thập để hiểu rõ thực trạng vấn đề nghiên cứu, từ tìm cách đưa giải pháp để giải vấn đề Bước Tìm tòi xây dựng hệ thống kỹ thuật giải nhanh trắc nghiệm môn Toán Bước Tổ chức dạy cho lớp thực nghiệm kỹ thuật xây dựng Bước Kiểm tra lớp thực nghiệm, thu thập kết đưa kết luận tính hiệu kỹ thuật giải nhanh trắc nghiệm môn Toán mà đề tài đưa NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục Đào tạo định thi môn Toán kỳ thi trung học phổ thông quốc gia theo hình thức thi trắc nghiệm khách quan Đây thử thách thầy trò hội cho học sinh trung học phổ thông phát huy hết khả thông minh sáng tạo Vì lần thi trắc nghiệm môn Toán với thời lượng 90 phút cho 50 câu nên đa số học sinh có cảm giác bị ngợp trước số lượng câu hỏi lớn (so với 10 câu đề tự luận trước đây) thời gian ngắn (so với 180 phút thi đề tự luận) Nhưng bình tĩnh mà xem xét lại thi trắc nghiệm có nhiều ưu điểm, như: Phù hợp với xu hội nhập quốc tế, rèn tính động sáng tạo cho học sinh, kiểm tra kiến thức bao quát, tránh học lệch học tủ,…Đặc biệt, thi trắc nghiệm cần chọn đáp án đáp án người học sáng tạo nên nhiều phương pháp, kỹ thuật giải nhanh độc đáo cho riêng Tôi thiết nghĩ mục đích môn Toán – giúp người học sáng tạo hơn, nhanh nhẹn hơn, đoán xác giải toán xử lý công việc đời sống hàng ngày 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Triệu Sơn trường nằm phía tây huyện, có nhiều xã miền núi, V135, V134 có nhiều học sinh em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp Tư học sinh chậm, điều kiện kinh tế khó khăn, đường học xa khó nên ảnh hưởng nhiều đến kết học tập Học sinh lớp 12 nhà trường có năm học luyện tập với thi tự luận môn Toán, nên tiếp cận với thi trắc nghiệm Toán làm cho em lúng túng gặp phải nhiều khó khăn Tôi tiến hành điều tra lớp 12 trường THPT Triệu Sơn với tổng số 254 học sinh phương pháp giải toán trắc nghiệm theo phiếu học tập sau: PHIẾU HỌC TẬP Họ tên:…………………………………….……….lớp:………… Câu hỏi Em có thích thi trắc nghiệm môn Toán? Không Thích Câu hỏi Em liệt kê phương pháp giải nhanh Toán trắc nghiệm mà em biết: Câu hỏi Em hoàn thành tập sau Bài Bài Tính tổng S = 1009 + i + 2.i + + + 2017.i 2017 Bài Bài Chọn Đề Cho tứ diện có cạnh a Một điểm M không nằm tứ diện Tính tổng khoảng cách từ M đến mặt tứ diện x +1 Cho hàm số y = (C) x−2 Khoảng cách lớn tiếp tuyến (C) là: đáp án A S = 1009 + 2017.i B S = 1009 − 2017.i C S = 2017 + 1009.i D S = 2017 − 1009.i A a B a 3 C a D a A B C D Em giải cách nào? Thời gian giải hết khoảng phút ? Bài Biết x ln( x + 1) b + ln c ∫0 e x dx = a − e Bài Tính S = a + b + c Tìm giá trị lớn A B C D S =4 S =5 S =6 S =7 A 24 f ( x) = ( x + 4)(6 − x) + x − x C.24,5 B 24,25 D 24,05 Kết thu sau: - Có 93% học sinh thích thi trắc nghiệm môn Toán - Đa số học sinh đưa phương pháp giải sau: Giải tự luận, bấm máy tính, thử ngược đáp án, sử dụng công thức tính nhanh phương pháp loại trừ - Có 15,5% học sinh làm Bài Trong có em làm hết 21 phút - Có 46,7% học sinh làm Bài Trong có em làm hết 15 phút - Có 7,1% học sinh làm Bài Trong có em làm hết 12 phút - Có 13,2% học sinh làm Bài Trong có em làm hết 20 phút - Có 24,2% học sinh làm Bài Trong có em làm hết 15 phút Đa số thầy cô giáo giảng dạy môn Toán trường THPT Triệu Sơn trẻ nên nhiệt huyết, năm đầu hướng dẫn học sinh làm trắc nghiệm môn Toán nên gặp nhiều khó khăn; có thầy cô tỏ lúng túng học trò hỏi: “Có cách giải nhanh không ?”, “Làm để giải nhanh Toán trắc nghiệm ?”, “Cách giải nhanh có chất Toán học không ?”, “Các dạng toán khó đề thi trắc nghiệm dạng ?”… Trước thực trạng đó, đề xuất họp tổ chuyên môn thảo luận tìm cách giải Trong trình tìm tòi, học hỏi không ngừng suy nghĩ tìm số kỹ thuật giúp học sinh lớp 12 giải nhanh toán trắc nghiệm như: Kỹ thuật “ Mã hóa”, kỹ thuật đặc biệt hóa, kỹ thuật sử dụng công thức đặc biệt tính chất đặc biệt, kỹ thuật sử dụng tính đặc biệt máy tính cầm tay,… Sau đây, xin mạnh dạn trao đổi đồng nghiệp số kỹ thuật mà đúc rút Rất mong nhận quan tâm góp ý quý đồng nghiệp 2.3 Các sáng kiến áp dụng để giải vấn đề 2.3.1 Kỹ thuật “Mã hóa” + Nội dung kỹ thuật “Mã hóa” Để giải nhanh toán trắc nghiệm phương pháp “Mã hóa” ta làm theo bước sau: Bước 1: Mã hóa đề phương án trả lời (Tổng quát hóa đề phương án trả lời) Bước 2: Thử với giá trị n phù hợp từ đưa phương án (Thử với giá trị n nhỏ thỏa mãn điều kiện giả thiết toán) + Phạm vi áp dụng: Các toán tính tổng toán tổng quát hóa + Ví dụ minh họa Ví dụ (Trích đề thi thử trường THPT Triệu Sơn tháng 3/2017) Cho hàm số 4x Hãy tính tổng sau: f ( x) = x +2   S = 1009 + f  ÷+  2017  A S = 2017 C S = 1008    2016  f ÷+ + f  ÷  2017   2017  B S = 1009 D S = 4034 [2] Cách Giải phương pháp tự luận Trước hết ta chứng minh a + b = f ( a) + f (b) = (*) Thật 4a 41−a 4a 4a + f ( a) + f (b) = f ( a) + f (1 − a ) = a + = + = =1 + 41−a + 4a + + 2.4a a + Suy    S = 1009 +  f  ÷+ 2017      1008   2016   f ÷ + +  f  ÷+ 2017 2017       1009   f ÷ = 1009 + 1008 = 2017 2017   Vậy ta chọn đáp án A Cách Giải kỹ thuật “Mã hóa” Bước Mã hóa đề đáp án Mã hóa toán với n tương ứng 2017 suy 1009 = Vậy ta có S = n +1 + 1 f  ÷+ + n A S = 2017 mã hóa thành S = n 2017 + n + = 2  n −1 f ÷ đáp án mã hóa thành:  n  B S = 1009 mã hóa thành S = n +1 n −1 D S = 4034 mã hóa thành S = 2n Bước Thử với giá trị n phù hợp, thử với n = ta C S = 1008 mã hóa thành S = +1 S= + 1 f  ÷+ 3 1/3 2/3 4 2 f  ÷ = + 1/3 + 2/3 =3 +2 +2 3 B S = D S = A S = C S = Vậy đáp án A đáp án *Nhận xét: Đây toán khó nhiều học sinh, giải phương pháp tự luận học sinh gặp phải khó khăn không phát tính chất: Nếu a + b = f ( a) + f (b) = (*) để dồn tổng S thành 1008 cặp có tổng cặp Học sinh bấm máy để tính tổng vượt khả máy không thử đáp án sử dụng phương pháp loại trừ.Vậy để chọn đáp án cho toán thời gian ngắn mà không sử dụng tính chất (*) cách giải thứ kỹ thuật “Mã hóa” nhanh Nếu mã hóa cho đề đáp án ta có toán tổng quát đúng, ta thử với n = 2,3,4, ta thu kết Ví dụ (Trích đề thi thử trường THPT Hai Bà Trưng- Thừa Thiên Huế năm 2017) Tính tổng S = 1009 + i + 2.i + 3.i + 2017.i 2017 A S = 1009 + 2017.i B S = 1009 − 2017.i C S = 2017 + 1009.i D S = 2017 − 1009.i Cách Giải phương pháp tự luận Ta có S = 1009 + i + 2.i + + 2017.i 2017 = 1009 + (i + 5i + + 2017.i 2017 ) +(2.i + 6.i + + 2014.i 2014 ) +(3.i + 7.i + + 2015.i 2015 ) +(4.i + 8.i8 + + 2016.i 2016 ) Mà i + 5i + + 2017.i 2017 = i (1 + + + + 2017) = 509545.i 2.i + 6.i + + 2014.i 2014 = i (2 + + 10 + + 2014) = −508032 3.i + 7.i + + 2015.i 2015 = i (3 + + 11 + + 2015) = −508536.i [2] 4.i + 8.i + + 2016.i 2016 = + + 12 + + 2016 = 509040 Suy S = 2017 + 1009.i Vậy ta chọn đáp án C Cách Giải kỹ thuật “Mã hóa” Bước Mã hóa đề đáp án (Tổng quát hóa toán với n tương ứng n +1 + i + 2.i + + n.i n n +1 n +1 + n.i − n.i A S = 1009 + 2017.i = B S = 1009 − 2017.i = 2 n +1 n +1 i i C S = 2017 + 1009.i = n + D S = 2017 − 1009.i = n − 2 Bước Thử với giá trị n phù hợp Ta thử với n = +1 + i + 2.i + 3.i + 4.i + 5.i = + 3.i Ta Tính tổng S = +1 +1 + 5.i = + 5.i − 5.i = − 5.i A S = B S = 2 +1 +1 i = + 3.i i = − 3.i C S = + D S = − 2 Vậy đáp án C đáp án *Nhận xét: Đây toán khó, giải tự luận ta nhiều thời gian ta phải tách S thành tổng, tổng gồm số hạng cách vị trí, sau ta dùng công thức tính tổng cấp số cộng tính chất đơn vị ảo i để tính riêng tổng cuối ta đưa tổng S = 2017 + 1009.i 2017) Tính tổng S = 1009 + i + 2.i + + 2017.i 2017 = Vậy phút, để kịp chọn đáp án cho toán ta nên sử dụng cách giải thứ kỹ thuật “Mã hóa” với ý: Khi gặp toán có i chứa lũy thừa đơn vị ảo ta phải nhớ: i n = 1, i n+1 = i , i n +2 = −1, i n+3 = −i Vì ta phải thử với n = 1,5,9, số tương đồng với 2017 đặc điểm chia dư Qua ví dụ cho ta thấy tác dụng tích cực kỹ thuật “Mã hóa” giải toán trắc nghiệm Để trải nghiệm thêm kỹ thuật làm số tập áp dụng sau + Bài tập áp dụng Bài Tính tổng S = + i + i + i + + i 2017 A S = B S = i C S = 2017 D + i [3] 2017 C2017 C2017 C2017 C2017 − + − − Bài Tính tổng S = 2018 A S = 2016 B S = 2017 C S = 2018 D S = 2017 2018 18 + C206 + + C20 Bài Tính tổng S = C200 + C20 220 − A S = 221 − B S = 220 + C S = 2016 x Bài Cho f ( x) = Tính tổng S = 2016 x + 2016 A S = 2016 B S = 2017  Bài Cho f ( x) =  x   A f ( f (2017)) = 1 1+ 2log x C f ( f (2017)) = 2016 +8   f ÷+  2017  C S = 1008 3log 2 x 220 − D S =   f ÷ + +  2017   2016  f ÷  2017  D S = 2016 [2]  + 1÷ − Tính f ( f (2017)) ÷  B f ( f (2017)) = 1009 D f ( f (2017)) = 2017 [2] 2.3.2 Kỹ thuật đặc biệt hóa + Nội dung kỹ thuật đặc biệt hóa Đối với toán có tính tổng quát như: Với hàm chẵn f ( x) ta có…, với điểm M nằm tứ diện ABCD ta có…, với giá trị m dương ta có…, Cho P Q hai điểm không gian ta có…thì kết toán trường hợp thỏa mãn giả thiết toán; ta chọn trường hợp đặc biệt để kiểm tra đáp số đưa lựa chọn mà nhanh + Phạm vi áp dụng: Các toán có dạng tổng quát + Ví dụ minh họa Ví dụ (Trích đề thi thử lần trường THPT Triệu Sơn năm 2017) Cho tứ diện ABCD cạnh a điểm M không nằm tứ diện Tính tổng khoảng cách d từ M đến mặt tứ diện ABCD a a a B d = C d = Cách 1: Giải phương pháp tự luận A d = D d = a [2] a3 a2 d , d , d , d Ta đặt V = VABCD = ; S = S∆ABC = ; khoảng 12 cách từ M đến mặt tứ diện Ta có: V = VM ABC + VM ABD + VM BCD + VM ABD = (d1 + d + d3 + d ).S a3 3V = 24 = a Vậy ta chọn đáp án A Suy d = d1 + d + d3 + d = S a Cách Giải kỹ thuật đặc biệt hóa Vì tổng khoảng cách từ M đến mặt tứ diện không đổi, nghĩa không phụ thuộc vào vị trí M tứ diện nên ta chọn M trùng với A Khi d1 = d = d = ⇒ d = d3 = d ( A,( BCD )) = AG = AB − BG = a , với G trọng tâm tam giác BCD Vậy đáp án A * Nhận xét Đây toán không dễ nhiều học sinh, kể học sinh biết cách lại nhanh chóng có đáp án Nếu giải phương pháp tự luận nhiều thời gian công sức phải biết tách tứ diện thành khối chóp có diện tích đáy, phải tính thể tích tứ diện ABCD Còn đặc biệt hóa, ta chọn M trùng với đỉnh tứ diện có khoảng cách đến mặt 0, tính chiều cao tứ diện song Ở ta lấy M trùng với tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện; suy 3V a d = 4.r với r bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện Vậy d = 4.r = = 4S Ví dụ (Trích đề thi thử lần trường THPT Triệu Sơn năm 2017) b Cho f ( x) hàm số chẵn thỏa mãn ∫ f ( x)dx = M b Tính I = f ( x) ∫ a x + 1dx theo M , biết a > 0, b > −b B I = (a + b) M A I = 2bM C I = M D I = 2M [2] Cách Giải phương pháp tự luận Đặt x = −t → dx = − dt −b b b b f ( x) f ( −t ) f (t ).a t f (t )   I = ∫ x dx = − ∫ −t dt = ∫ t dt = ∫  f (t ) − t  dt a + a + a + a +  −b b −b −b Khi b = ∫ f (t )dt − I −b b Suy I = ∫ f (t )dt Vì f (t ) hàm chẵn nên: −b b b b −b 0 ∫ f (t )dt = 2∫ f (t )dt = 2∫ f ( x)dx b Vậy I = ∫ f ( x )dx = M Ta chọn đáp án C Cách Giải kỹ thuật đặc biệt hóa Vì toán với hàm f ( x) chẵn xác định có nguyên hàm [ −b; b ] với a, b dương tùy ý nên ta chọn f ( x) = x a = b = Khi ta 1 có M = ∫ x dx = x2 x3 I = ∫ dx = −1 1 = Vậy I = M nên ta chọn đáp án C −1 * Nhận xét Đây toán khó, giải tự luận học sinh phải biết đổi biến số khéo léo đặt x = −t phải thạo tính chất hàm số chẵn tích phân hàm số chẵn Nhưng sử dụng kỹ thuật đặt biệt hóa toán lại trở nên đơn giản Qua ví dụ lần cho ta thấy sức mạnh kỹ thuật đặc biệt hóa giải toán trắc nghiệm + Bài tập áp dụng Bài (Trích đề thi thử lần trường Chuyên KHTN –Đại học KHTN- năm 2017) Cho tứ diện ABCD có A(3; −1;1), B (−1;0; −2), C (4;1; −1), D(3;2; −6) Hai điểm P, Q thỏa mãn: PA = QB, PB = QC , PC = QD, PD = QA Biết mặt phẳng trung trực PQ qua điểm cố định X X thuộc mặt phẳng mặt phẳng sau: A x − y − z − = C x − y + z − = B x − y + z − = D x + y − 3z − 12 = [2] Bài (Trích đề thi KSCL lớp 12 Sở GD&ĐT Thanh Hóa năm 2017) Cho f ( x) hàm số chẵn, liên tục R −2 ∫ f ( x) = Tính I = ∫ f (2 x) D I = [5] Bài Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với OA = a, OB = b, OC = c Điểm M thuộc miền tam giác ABC Gọi x, y, z tương ứng khoảng cách từ M đến mặt (OBC ),(OCA),(OAB ) , A I = B I = C I = biểu thức sau đúng? x y z x y z x y z x y z A + + < B + + > C + + = D + + = [3] a b c a b c a b c a b c Bài Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' Mặt phẳng qua AB trung điểm cạnh B ' C ' chia lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần 7 B C D [3] 5 12 2.3.3 Kỹ thuật sử dụng tính chất đặc biệt, công thức đặc biệt + Nội dung kỹ thuật sử dụng tính chất đặc biệt, công thức đặc biệt Trong trình học tập, thầy cô trang bị cho học sinh nhiều tính chất đặc biệt công thức đặc biệt mà sách giáo khoa không nhấn mạnh, ví dụ như: Công thức tính diện tích Elip; công thức tính thể tích chỏm cầu; tính chất trục đối xứng đồ thị A hàm số y = ax + b ; công thức mua trả góp, gửi lãi theo kì; phép biến đổi cx + d đồ thị hàm có chứa dấu ; công thức tính nhanh giá trị cực trị hàm phân thức hữu tỷ; tích phân hàm chẵn, hàm lẻ; công thức tính thể tích bán kính mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp khối đa diện mặt, tám mặt, 12 mặt;… Nếu học sinh nhớ tính chất đặc biệt công thức đặc biệt làm toán trắc nghiệm nhanh nhiều + Phạm vi áp dụng: Các toán có liên quan đến hình đặc biệt, hàm đặc biệt trường hợp đặc biệt + Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hàm số y = x +1 (C ) Tính khoảng cách lớn tiếp x−2 tuyến đồ thị (C ) A B C D Cách Giải phương pháp tự luận Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm hai tiếp tuyến song song đồ thị (C ) Tâm đối xứng (C ) I (2;1) Khoảng cách tiếp tuyến lần khoảng cách từ I đến tiếp tuyến Suy khoảng cách tiếp tuyến lớn IM lớn nhất, tiếp tuyến M vuông góc uuur với IM Vậy tiếp tuyến có véc tơ pháp tuyến IM = ( x0 − 2; y0 − 1) , suy hệ số góc tiếp tuyến k = −( x0 − 2) Mặt khác hệ số góc tiếp tuyến y0 − M k = f '( x0 ) Từ suy −( x0 − 2) = f '( x0 ) ⇒ x0 = ± y0 − Với x0 = − ⇒ y0 = − ⇒ IM = Vậy khoảng lớn giữ tiếp tuyến (C ) d Max = 2.IM = Chọn đáp án D Cách Sử dụng tính chất đặc biệt Tính chất đặc biệt là: Vì (C ) Hypebol nên tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) thỏa mãn toán đỉnh Hypebol giao điểm đồ thị (C ) với trục đối xứng (d ) : y = x − Từ suy x0 = ± Với x0 = − ⇒ y0 = − ⇒ IM = Vậy khoảng lớn giữ tiếp tuyến (C ) d Max = 2.IM = Chọn đáp án D * Nhận xét Đây toán lạ khó đa số học sinh Nếu giải phương pháp tự luận nhiều thời gian Vậy để nhanh chóng chọn đáp án ta nên ghi nhớ tính chất đặc biệt đồ thị hàm số y= ax + b (C ) sau để giải nhanh số toán khó liên quan cx + d −d a ; ) có hai c c trục đối xứng hai đường phân giác góc tạo tiệm cận, nên có - Đồ thị (C ) đường Hypebol có tâm đối xứng I = ( a+d a−d y = − x + c c - Hai giao điểm M , N (C ) với trục đối xứng thỏa mãn số tính phương trình là: y = x + chất đặc biệt sau: Tính chất 1: M , N điểm nhánh (C ) có khoảng cách ngắn Tính chất 2: Tiếp tuyến M , N vuông góc với IM , IN Tính chất 3: M , N có tổng khoảng cách đến tiệm cận bé Tính chất 4: M , N điểm có tiếp tuyến cách xa Tính chất 5: M , N điểm thỏ a mãn tổng OM + ON bé nhất, với O(0;0) Ví dụ (Trích đề KSKT lớp 12 Sở GD&ĐT Thanh Hóa năm 2017) Tính thể tích V khối chóp S ABC có độ dài cạnh SA = BC = 5a, SB = AC = 6a SC = AB = 7a 35 35 B V = a C V = 95.a D V = 105.a [5] a 2 Cách Giải phương pháp tự luận (Do Sở GD&ĐT Thanh Hóa công bố) Qua đỉnh tam giác ABC, vẽ đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng đôi cắt tạo thành tam giác MNP hình vẽ A V = Dễ thấy tứ diện S.MNP tứ diện vuông đỉnh S VS ABC = VS MNP Đặt x = SM , y = SN , z = SP , ta có:  x + y = ( 5a )  x = 76a   2  2  y + z = ( 6a ) ⇔  y = 24a   z = 120a 2 z + x = a ( )   1 ⇒ VS ABC = VS MNP = xyz = 95a 24 Cách Sử dụng công thức đặc biệt Công thức đặc biệt sử dụng cho toán công thức tính thể tích tứ diện gần Nếu tứ diện có cặp cạnh đối diện x, y , z V= tứ diện tích ( x + y − z )( x + z − y )( y + z − x ) (*) Theo ta thấy SABC tứ diện gần có x = 5a, y = 6a, z = 7a nên tích V = (52 + 62 − )(52 + − 62 )(62 + − 52 ) a = 95.a Vậy chọn đáp án C * Nhận xét: Đây toán thật khó học sinh lần đầu gặp chưa biết công thức (*) Nếu giải tự luận học sinh phải dựng thêm hình, phải chứng minh S MNP tứ diện vuông đỉnh S phải lập hệ giải tìm cạnh tứ diện S MNP sử dụng tỉ lệ thể tích để tìm V Nhưng học sinh nhớ công thức (*) toán trở nên dễ dàng cần bấm máy có kết Qua ví dụ này, lần cho thấy rõ sức mạnh công thức đặc biệt thi trắc nghiệm khách quan môn Toán Một số công thức đặc biệt khác: x2 y + Diện tích (E): + = S = abπ a b + Thể tích khối bát diện có đỉnh tâm mặt lập phương cạnh a a3 V= + Thể tích khối lập phương có đỉnh tâm mặt bát diện a 2 cạnh a V =  ÷   + Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a Gọi (P) mặt phẳng qua A, song song với BC vuông góc với mp(SBC), góc (P) đáy α a cot α 24 + Thể tích khối chỏm cầu có chiều cao h mặt cầu bán kính R Khi thể tích S.ABC V = h V = π h2 ( R − ) + Khối nón cụt có bán kính đáy R, r khoảng cách đáy h tích V= π h( R + r + Rr ) , có diện tích xung quanh S = π ( R + r ) h2 + (R − r )2 a + Nếu f ( x) hàm số lẻ liên tục [ − a; a] ∫ f ( x)dx = −a a a f ( x) + Nếu f ( x) hàm số chẵn ∫ x dx = ∫ f ( x) dx b +1 −a π π 0 + Nếu f ( x) liên tục [0;π ] ∫ xf (sin x) dx = ∫ f (sin x) dx + Bài tập áp dụng 2π x 2016 sin x dx Bài Tính I = ∫ + cos 2017 x −2π D I = 2016 Bài Tính diện tích phần bù Elip hình tròn, biết hình tròn có R=5, Elip có trục A I = 2016 C I = B I = B S = 33π A S = 25π − C S = 17π D S = 17π Bài Cho lập phương cạnh Tính thể tích khối bát diện tạo tâm mặt hình lập phương cho A V = 27 B V = C V = 18 2016 D V = 27 f ( x) dx = 2017 Tính I = Bài Cho f ( x) hàm số chẵn ∫ x 2017 + −2016 A I = 2017 B I = 2016 sin Bài Tính I = ∫ sin A I = 2017 π 6π C I = [2] 2016 D I = ∫ f ( x)dx 2017 2 2017 x sin 2017 ( x) dx ( x + 1)cos(x) B I = 2017 C I = D I = −2017 2.3.4 Kỹ thuật sử dụng tính đặc biệt máy tính cầm tay (fx-570 ES, VinaCal, fx-570 VN Plus, fx-570 ES Plus) + Nội dung kỹ thuật Để giải nhanh số toán khó, sử dụng số tính đặc biệt máy tính cầm tay như: Shift Solve để giải phương trình Model để tìm min, max hàm số xét tính đơn điệu hàm số khoảng Calc để tính giá trị biểu thức biến, hai biến Chúng ta sử dụng máy tính cầm tay để tính đạo hàm điểm, tính giới hạn hàm số, tính tích phân, tính logarit, tìm bậc số phức, tính tích vô hướng, … + Phạm vi áp dụng: Các toán giải phương trình, tìm max hàm số, tính tích phân, tính giới hạn, tính logarit, tìm bậc số phức, tính giá trị biểu thức nhiều biến,… + Ví dụ minh họa: Ví dụ (Trích đề thi thử nghiệm Bộ GD&ĐT năm 2017-Câu 26 ) Biết ∫x dx = a ln + b ln + c ln , với a, b, c số nguyên Tính tổng +x S =a+b+c A S = B S = C S = −2 D S = [1] Cách Giải tự luận 4 4 dx dx  dx dx 1 I =∫ =∫ = ∫ − = ln x 34 − ln( x + 1) ÷dx = ∫ − ∫ x + x x( x + 1)  x x +  x x +1 3 = 2ln − ln + ln Suy a = 2, b = −1, c = Vậy S = Chọn đáp án B Cách Sử dụng tính đặc biệt máy tính cầm tay - Bấm máy ta tính dx ∫3 x + x ; 1,897119985 - Lưu kết A (sử dụng tổ hợp phím shift sto A) - Ta có A = a ln + b ln + c ln ⇔ A = ln(2 a.3b.5c ) ⇔ a.3b.5c = e A = 20 = 2.3−1.5 Đồng hai vế ta suy a = 2, b = −1, c = Vậy S = Chọn đáp án B Ví dụ (Trích đề thi minh họa Bộ GD&ĐT năm 2017-Câu 6) Tìm giá trị nhỏ hàm số y = x2 + [ 2;4] x −1 y=6 A [2;4] y = −3 C [2;4] y = −2 B [2;4] D y = [2;4] 19 [1] Cách Giải tự luận - Ta có y ' = x2 − 2x − , y ' = ⇒ x = ∈ [2;4], x = −1∉ [2;4] ( x − 1) 19 y = y (3) = Vậy [2;4] Cách Sử dụng tính đặc biệt máy tính cầm tay - Ta có y (2) = 7, y (3) = 6, y (4) = x2 + - Bấm Model 7, nhập y = x −1 - Chọn start =2, end=4, step=0.5 Kết máy sau: Stt x 2 2.5 3 3.5 y = y (3) = Ta chọn đáp án A Vậy [2;4] f(x) 6.1(6) 6.1 6.(3) Ví dụ (Trích đề thi minh họa Bộ GD&ĐT năm 2017-Câu 17) Đặt a = log 3; b = log Hãy biểu diễn log 45 theo a b a + 2ab A log 45 = ab C log 45 = 2a − 2ab B log 45 = ab a + 2ab ab + b 2a − 2ab D log 45 = [1] ab + b Cách Giải tự luận Ta có log 45 = log + log = Ta lại có log = 2log log 2a log + + = log + log + a + a + log log a = = log log b Suy log 45 = 2a a 2ab + a + = Vậy ta chọn đáp án C a + b(a + 1) ab + b Cách Sử dụng tính đặc biệt máy tính cầm tay - Ta nhập lưu log = A , log = B , log 45 = C - Ta bấm kiểm tra : Với đáp án A Ta bấm C − A + AB ≠0 AB A2 − AB ≠0 AB A + AB = Vậy đáp án C Với đáp án C Ta bấm C − AB + B Với đáp án B Ta bấm C − * Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy, biết khai thác tính đặc biệt máy tính cầm tay cách hợp lý giải toán trắc nghiệm nhanh nhiều; đặc biệt toán khó ta lại thấy tác dụng tích cực máy tính cầm tay trình giải toán trắc nghiệm Tuy nhiên không nên lạm dụng phụ thuộc nhiều vào máy tính cầm tay máy tính cho ta kết gần chất toán học không Ví dụ có bạn bấm máy tính đạo hàm hàm số f ( x) = x − d ( x − 1) dx + Bài tập ứng dụng x = ta x =1 = sai, thực tế không tồn f '(1) Bài Tìm giá trị lớn hàm số f ( x) = ( x + 4)(6 − x) + x − x A 24 Bài Biết B 24,25 π2 16 C 24,05 D 23,75 xdx = a 2(1 + bπ ) với a, b ∈ Q Tính S = a + 4b ∫ sin A S = B S = C S = −1 D S = [2] Bài Cho x + y = 10 Giá trị lớn P = x y là: A 32 B 55 C 28 D 29 2 Bài Cho biết ∫ ln(9 − x ) dx = a ln + b ln + c , với a, b, c ∈ Z Tính S = a + b + c A S = 34 B S = 13 C S = 18 D S = 26 [2] 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sau áp dụng kỹ thuật giải nhanh trắc nghiệm môn Toán để giảng dạy cho lớp 12B2, 12B4 trường THPT Triệu Sơn thời gian, cho học sinh làm đề thi thử tham gia khảo sát lần nhà trường tổ chức (trong có lần đề Sở GD&ĐT Thanh Hóa), vui mừng nhận số kết khả quan sau: Các em học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú với trắc nghiệm Toán, làm nhanh hơn, sáng tạo tư giải toán trắc nghiệm, kết làm trắc nghiệm Toán tiến nhiều Kết kiểm tra lần khảo sát liên tiếp sau: Lớp Sĩ số Điểm khảo sát lần Giỏi 12B2 48 12B4 45 Khá Điểm khảo sát lần TB Yếu, Giỏi Kém Khá TB Điểm khảo sát lần (Làm đề KS Sở GD&ĐT) Yếu, Giỏi Khá Kém TB Yếu, Kém 23 19 11 21 14 18 19 15 16 10 21 12 11 25 (Số liệu thư ký hội đồng khảo sát nhà trường thống kê cung cấp) Nhìn vào bảng thống kê ta thấy số điểm yếu giảm nhiều, đặc biệt số điểm giỏi tăng lên đáng kể nhiều em chinh phục câu mức độ vận dụng vận dụng cao kỹ thuật giải nhanh mà em học Trong buổi sinh hoạt chuyên môn tổ chuyên môn, đưa kỹ thuật giải nhanh trắc nghiệm môn Toán để đồng nghiệp góp ý nhận quan tâm lời khen ngợi từ đồng nghiệp; có đồng chí đưa tập để thử giải kỹ thuật so sách với cách giải khác; kết toán áp dụng kỹ thuật cho kết nhanh nhiều so với cách giải khác KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Mỗi thầy (cô) giáo phải phấn đấu gương tự học sáng tạo để học trò noi theo, trình giảng dạy đặc biệt giai đoạn đổi giáo dục người thầy phải nỗ lực việc học hỏi, đổi phương pháp, tìm tòi hay để truyền thụ cho học trò Đây có lẽ tiêu chí người thầy mà xã hội mong muốn Ý thức điều nên thân đồng nghiệp trường THPT Triệu Sơn phấn đấu không ngừng để ngày điểm tựa vững trãi cho học trò vươn xa Khi áp dụng kỹ thuật giải nhanh trắc nghiệm môn Toán cho học sinh lớp 12B2 12B4 thấy em học sinh hứng thú, tự tin làm nhanh nhiều, đặc biệt mức độ vận dụng vận dụng cao Vì thời gian tới tiếp tục nghiên cứu áp dụng cho dạng toán chương trình lớp 10 lớp 11, có bổ sung thêm số kỹ thuật khác mà ấp ủ 3.2 Kiến nghị Trên sáng kiến áp dụng cho số lớp 12 trường THPT Triệu Sơn năm học 2016-2017 có kết khả quan, mong quan tâm đồng nghiệp áp dụng mở rộng cho khối lớp 10 lớp 11 để em có thêm tự tin tham gia kì thi THPT quốc gia Rất mong cấp lãnh đạo nhà trường, ngành tổ chức thêm buổi chuyên đề để giáo viên trao đổi phương pháp, kỹ thuật giải trắc nghiệm môn Toán nhằm nâng cao chất lượng môn Toán thời gian tới Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Vũ Đoàn Kết ... tổ chuyên môn thảo luận tìm cách giải Trong trình tìm tòi, học hỏi không ngừng suy nghĩ tìm số kỹ thuật giúp học sinh lớp 12 giải nhanh toán trắc nghiệm như: Kỹ thuật “ Mã hóa”, kỹ thuật đặc... ngày điểm tựa vững trãi cho học trò vươn xa Khi áp dụng kỹ thuật giải nhanh trắc nghiệm môn Toán cho học sinh lớp 12B2 12B4 thấy em học sinh hứng thú, tự tin làm nhanh nhiều, đặc biệt mức độ... phục câu mức độ vận dụng vận dụng cao kỹ thuật giải nhanh mà em học Trong buổi sinh hoạt chuyên môn tổ chuyên môn, đưa kỹ thuật giải nhanh trắc nghiệm môn Toán để đồng nghiệp góp ý nhận quan tâm