1 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Vấn đề tính diện tích hình quen thuộc tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác,… gọi chung đa giác học sinh biết công thức tính diện tích từ lớp Cũng tương tự vấn đề thể tích khối (khối hộp chữ nhật, khối lập phương, khối lăng trụ, khối chóp, ….gọi chung khối đa diện) học sinh học công thức tính thể tích Đây vấn đề thực tế để học tốt vốn không đơn giản học sinh có tư hình học yếu, đặc biệt tư cụ thể hoá, trừu tượng hoá.Việc dạy học vấn đề chương trình toán lớp vốn gặp nhều khó khăn nhiều nguyên nhân, yếu tố “trực quan thực tế” sách giáo khoa thiếu Do học vấn đề mới: vấn đề diện tích hình phẳng, vấn đề thể tích vật thể tròn xoay chương trình giải tích 12 học sinh gặp nhiều khó khăn Hầu hết em học sinh thường có cảm giác “sợ” toán tính diện tích hình phẳng toán tính thể tích vật thể tròn xoay Khi học vấn đề nhìn chung em thường vận dụng công thức cách máy móc chưa có phân tích, thiếu tư thực tế trực quan nên em hay bị nhầm lẫn, không giải được, đặc biệt toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích tính Thêm vào sách giáo khoa sách tham khảo có ví dụ minh họa cách chi tiết để giúp học sinh học tập khắc phục “những sai lầm đó” Càng khó khăn cho học sinh có kỹ tính tích phân yếu kỹ “đọc đồ thị” hạn chế Đề tài “ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH” nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ tính tích phân, rèn kỹ đọc đồ thị hàm số, từ khắc phục khó khăn, sai lầm gặp toán tính diện tích hình phẳng tính thể tích vật thể tròn xoay Từ giúp học sinh phát huy tốt kiến thức diện tích thể tích mà học sinh học lớp dưới, thấy tính thực tế liên hệ nội vấn đề chương lớp học, học sinh cảm thấy hứng thú, thiết thực học tốt vấn đề ứng dụng tích phân 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh học tốt toán ứng dụng tích phân - Tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 12 đồng nghiệp 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh trường THPT Thọ Xuân - Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu khó khăn học sinh học toán ứng dụng tích phân - Trao đổi với đồng nghiệp - Tìm tài liệu, phần mềm để vẽ hình ảnh trực quan - Áp dụng giảng dạy lớp 12A1, 12A4 trường THPT Thọ Xuân 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm - Dùng hình ảnh trực quan vẽ từ phần mềm [10] - Áp dụng toán thực tế đề thi thử THPT QUỐC GIA năm học 2016-2017 [10] Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Đổi phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt tính tích cực, sáng tạo người học Nhưng thay đổi phương pháp hoàn toàn lạ mà phải trình áp dụng phương pháp dạy học đại sở phát huy yếu tố tích cực phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động Ứng dụng tích phân kiến thức chương trình toán giải tích lớp 12 Việc dạy học vấn đề học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học tích phân Ứng dụng tích phân toán thực tế diện tích thể tích tròn xoay Để học sinh hiểu toán ứng dụng tích phân Tôi phân dạng tập minh họa, sau toán thực tế đề thi thử trường năm học 2016-2017 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Chủ đề ứng dụng tích phân kiến thức chương trình toán giải tích lớp 12 Việc dạy học vấn đề học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học tích phân, đặc biệt tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số, tính thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng quanh trục hoành trục tung Đây nội dung thường gặp đề thi học kì II, đề thi THPT QG Nhìn chung học vấn đề này, đại đa số học sinh(kể học sinh giỏi)thường gặp khó khăn, sai lầm sau: - Nếu hình vẽ học sinh thường không hình dung hình phẳng(hay vật thể tròn xoay) Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” so với học diện tích hình phẳng học trước (diện tích đa giác, thể tích khối đa diện) Học sinh không vận dụng kiểu “tư liên hệ cũ với mới” vốn có nghiên cứu vấn đề - Hình vẽ minh họa sách giáo khoa sách tập “ chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư từ trực quan đến trừu tượng Từ học sinh chưa thấy gần gũi thấy tính thực tế hình phẳng, vật thể tròn xoay học - Học sinh chưa thực hứng thú có cảm giác nhẹ nhàng học vấn đề này, trái lại học sinh có cảm giác nặng nề, khó hiểu - Học sinh thường nhớ công thức tính diện tích hình phẳng (thể tích vật tròn xoay) cách máy móc , khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt kỹ đọc đồ thị để xét dấu biểu thức, kỹ “ chia nhỏ” hình phẳng để tính, kỹ cộng, trừ diện tích; cộng, trừ thể tích Đây khó khăn lớn mà học sinh thường gặp phải -Học sinh thường bị sai lầm việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề Dạng 1: Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] Khi hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng b x = a, x = b có diện tích S tính theo công thức: S = ∫ f ( x ) dx [1] a Bài 1.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) hàm số y = x3 − x + , trục hoành Ox đường thẳng x = −1, x = y f(x ) = (x 3-x 2)+2 -2 A -1 B O x Hình Giải: Từ hình vẽ ta suy x − x + ≥ 0, ∀∈ [ −1;2] Diện tích S hình phẳng 2 S = ∫ x − x + dx = ∫ ( x − x + ) dx = −1 −1 85 (đvdt) 12 Bài 1.2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số −x − y = f ( x) = , trục hoành đường thẳng x = −1, x = x −1 y f(x ) = -x-2 x-1 x B -2 -1 A O -4 Hình −x − ≥ 0, ∀∈ [ −1;0] Diện tích S hình phẳng x −1 0 −x −   S=∫ dx = ∫  −1 − ÷dx = 3ln − (đvdt) x − x −  −1 −1  Chú ý: Nếu phương trình f(x) = có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , …, xk thuộc (a ; b) khoảng (a ; x1 ), (x1 ; x2), …, (xk ; b) biểu thức f(x) có dấu Giải: Từ hình vẽ suy b không đổi Khi để tính tích phân S = ∫ f ( x) dx ta tính sau: a b x1 x2 b a a x1 xk S = ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + + ∫ f ( x)dx [1] Bài 1.3 Cho hàm số y = x3 − 3x + có đồ thị (C ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ), trục hoành , trục tung đường thẳng x = y f(x) = (x 3-3 ⋅ x2)+2 -2 -1 A O1 B x (C) Hình Giải: Dựa vào đồ thị ta có: x − 3x + ≥ 0, ∀∈ [ 0;1] x − 3x + ≤ 0, ∀∈ [ 1;2] 2 Do S = ∫ x − 3x + dx = ∫ ( x − x + ) dx − ∫ ( x − 3x + ) dx = 3 (đvdt) Dạng 2: Cho hai đồ thị hai hàm số y = f(x), y = g(x) hai đường thẳng x = a , x =b (a y > (hình 12) Quay nửa hình tròn quanh trục hoành ta mặt cầu có bán hính r y Thể tích mặt cầu : V = π r (đvtt) [1] (P) Giải : Thật x + y = r ⇔ y = r − x 2 y > Khi thể tích khối cầu : r V =π ∫ −r ( r − x2 ) r dx = 2π ∫ ( r − x ) dx = -r -2 -1 O -1  r  4π r 2π  r − ÷ = (đvtt) 3  Hình 12 Bài 5.2 Thể tích khối trụ : Cho hình phẳng ( hình chữ nhật )giới hạn đường thẳng y = r( r > 0) ; trục hoành đường thẳng x = 0; x = h (h > 0) Quay hình phẳng quanh trục hoành ta khối trụ có bán kính đáy r chiều cao h Thể tích vật thể tròn xoay ( khối trụ )này : h h V = π ∫ r dx = (π r x) = π r h − π r = π r h (đvtt) [1] 0 Bài 5.3 Thể tích khối nón tròn xoay Cho hình phẳng (H) ( tam giác vuông ) giới hạn đồ thị hàm số y = x r r x (r > , h > 0) trục hoành hai đường thẳng h x = 0; x = h (hình 13) Quay hình phẳng (H ) quanh trục hoành ta khối nón có bán kính đáy r chiều cao h Khi thể tích khối nón : 12 h r r2 r x h π r h π r h V = π ∫ ( x) dx = π ∫ x = ( π ) = = (đvtt) [1] h 3 h h h 0 h y (d) r x O h Hình 13 Bài 5.4 Thể tích khối nón cụt y (d) R r O x a b Hình 14 r x , trục hoành hai a đường thẳng x = a; x = b (b > a > 0; R > r > ) Hình 14 Quay hình thang vuông quanh trục hoành ta khối nón cụt có bán kính đáy lớn R , bán kính đáy nhỏ r chiều cao h = b – a Thể tích khối nón cụt tạo thành : Cho hình thang vuông giới hạn đồ thị hàm số y = r π r V = π ∫ ( x) dx = a a a b ∫ x dx = ( π r x b π r 3 π r ) = (b − a ) = (b − a ).(b + ab + a ) a a 3a 3a Vì x = a ta có y = r x = b ta có y = r b R b =R⇒ = a r a π r π r h b b π r h R R 2 h.(b + ab + a ) = ( + + 1) = ( + + 1) Do V = a r 3a a r = π h ( R + R.r + r ) (đvtt) 13 π R b π r a π Chú ý : V = − = ( R b − r a ) 3 Bài 5.5 Một khối cầu có bán kính dm, người ta cắt bỏ hai đầu hai mặt phẳng vùng vuông góc với đường kính khối cầu cách tâm khối cầu khoảng dm để làm lu đựng nước Thể tích lu A 500π 2296π dm3 B dm3 15 C 952π dm3 27 D 472π dm3 [6] Giải: Chọn D Hai phần cắt tích nhau, phần chỏm cầu tích R V1 = π ∫ ( R − x ) dx = π ∫ ( 25 − x ) dx = 2 d 14π Vậy thể tích lu : 14 472π V = Vc − 2V1 = π 53 − × π = 3 Hình 15 Bài 5.6 Có vật thể hình tròn xoay có dạng giống ly hình vẽ Người ta đo A đường kính miệng ly 4cm chiều cao 6cm Biết thiết diện ly cắt mặt phẳng đối xứng parabol Tính thể tích V ( cm ) vật thể cho A V = 12π B V = 12 C V = 72 π D V = 72 [7] cm O B cm I Giải: Chọn A Hình 16 Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I parabol ( P ) Vì parabol ( P ) qua điểm A ( −2; ) , B ( 2;6 ) I ( 0;0 ) nên parabol ( P ) có phương trình y = x Ta có y = x ⇔ x = y Khi thể tích vật thể cho 2  V = π ∫  y ÷dy = 12π ( cm3 )  0 Bài 5.7 Một vật thể gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy 10 ( cm ) Cắt khối trụ mặt phẳng có giao tuyến với đáy đường kính đáy tạo với đáy góc 45o Thể tích khối gỗ bé 14 A 2000 ( cm3 ) B 1000 ( cm3 ) 2000 ( cm3 ) C D 2000 ( cm3 ) [8] Giải: Chọn A Hình 17 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ.Khi khúc gỗ bé có đáy nửa hình tròn có phương trình: y = 100 − x , x ∈ [ −10,10] Một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x , x ∈ [ −10,10] , cắt khúc gỗ bé theo thiết diện có diện tích S ( x ) (xem hình) Dễ thấy NP = y MN = NP tan 45o = y = 100 − x Suy S ( x ) = MN PN = 100 − x ( ) 10 Khi thể tích khúc gỗ bé : V = ∫ −10 S ( x ) dx = 10 2000 100 − x ) dx = cm3 ) ( ( ∫ −10 Bài 5.8 Người ta dựng lều vải ( H ) có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy ( H ) hình lục giác cạnh m Chiều cao SO = m ( SO vuông góc với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên ( H ) sợi dây c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 nằm đường S parabol có trục đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến (nếu có) ( H ) với mặt phẳng ( P ) vuông góc với SO lục giác ( P ) qua trung điểm SO lục giác có cạnh m Tính thể tích phần không gian nằm bên lều ( H ) c6 1m c1 c2 c3 c5 c4 O 3m15 A 135 ( m3 ) C B 135 ( m3 ) 96 ( m3 ) D 135 ( m3 ) [9] Giải: Chọn D Hình 18 Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có parabol cần tìm qua điểm có tọa độ A ( 0;6 ) , B ( 1;3) , C ( 3;0 ) A ( 0; ) nên có phương trình y = x − x + Theo hình vẽ ta có cạnh “thiết diện lục giác” − 2t + (chú ý ta phải lấy giá trị có dấu “ − ” trước dấu cho B chạy từ C đến A ) Khi đó, diện tích “thiết diện lục BM Nếu ta đặt t = OM BM = B ( 1;3) giác” BM 3  1 S ( t ) = =  − 2t + ÷ 2 4÷  với t ∈ [ 0;6] Vậy thể tích “túp lều” theo đề là: C ( 3; ) 37 1 135 V = ∫ S ( t ) dt = ∫ dt =  − 2t + ÷ ÷ 2 4 0 6 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua trình giảng dạy thời gian vừa qua nhận thấy , tài liệu “ Ứng dụng tích phân để giải toán diện tích thể tích ” giúp thu nhiều kết khả quan Học sinh khắc phục “sai lầm” khó khăn gặp toán tính diện tích hình phẳng tính thể tích vật thể tròn xoay chương trình giải tích 12 Thuận lợi cho việc tăng cường tính trực quan, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin dạy học Từ em học sinh rât thích thú học tốt vấn đề Trong trình giảng dạy, tiến hành thử nghiệm với hai lớp: 12A1, 12A4 sử dụng dạng tập để hướng dẫn lớp 12A1 Kết kiểm tra thử sau: Lớp Tổng số Điểm trở lên Điểm trở lên < Điểm SL TL SL TL SL TL 12A1 42 15 35,7% 27 64,3% 0% 12A4 42 7,1% 34 81% 11,9% Sau thời gian áp dụng đề tài giảng dạy thấy số lượng giỏi, khá, trung bình có tăng lên chưa nhiều, số lượng yếu, Nhưng tôi, điều quan trọng giúp em thấy bớt khó khăn việc học tập môn toán, tạo niềm vui hưng phấn bước vào tiết học 16 Kết luận, kiến nghị Sử dụng phần mềm dạy học môn toán tạo hứng thú cho học sinh trình tìm tòi, phát kiến thức, kiểm chứng lại chứng minh lý thuyết Trong tiết dạy, người dạy người học bị hút vào việc khám phá kiến thức mới, nâng cao tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh Các kiến thức trình bày sinh động phấn trắng bảng đen, hình vẽ mang tính “động”, rõ ràng, đẹp, xác Việc hoàn thành hình vẽ GeoGebra [10] tốn thời gian so với vẽ hình bảng đen giúp khắc phục hạn chế thời gian, không gian, chi phí trình dạy học Hiện trường THPT có phòng trình chiếu, việc ứng dụng phần mềm GeoGebra [10] kết hợp với máy vi tính thuận lợi cho dạy học môn toán, đặc biệt phần hình học không gian phần vật thể tròn xoay cách trực quan học sinh nhìn trình tạo thành vật thể, tạo điều kiện tốt cho giáo viên tổ chức hoạt động học tập gợi động cơ, hướng đích, làm việc với nội dung mới, củng cố, kiểm tra, đánh giá theo hướng tích cực hóa hoạt động học sinh Ứng dụng tích phân đển tính diện tích, thể tích phần kiến thức trọng tâm chương trình lớp 12 Bởi kết hợp hình ảnh kiến thức sách giáo khoa làm học sinh hiểu tốt Từ áp dụng toán ứng dụng thực tế đề thi thử THPT Quốc Gia XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN Tôi không chép người khác, năm trước Người viết Lê Ngọc Hùng 17 ... động Ứng dụng tích phân kiến thức chương trình toán giải tích lớp 12 Việc dạy học vấn đề học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học tích phân Ứng dụng tích phân toán thực tế diện tích thể tích. .. tài liệu “ Ứng dụng tích phân để giải toán diện tích thể tích ” giúp thu nhiều kết khả quan Học sinh khắc phục “sai lầm” khó khăn gặp toán tính diện tích hình phẳng tính thể tích vật thể tròn xoay... Ứng dụng tích phân đển tính diện tích, thể tích phần kiến thức trọng tâm chương trình lớp 12 Bởi kết hợp hình ảnh kiến thức sách giáo khoa làm học sinh hiểu tốt Từ áp dụng toán ứng dụng thực