SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT SẦM SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KỸ THUẬT NHÂN BIỂU THỨC LIÊN HỢP TRONG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN THỨC Người thực hiện: Nguyễn Thị Bích Huệ Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HÓA NĂM 2016 MỤC LỤC MỞ ĐẦU .1 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Thực trạng 2.3 Kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp 2.3.1 Dùng kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp để khử mẫu toán chứa thức mẫu thức 2.3.2 Dùng kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp để phân tích thành bất phương trình tích tốn bất phương trình chứa nhiều thức 2.3.3 Kỹ thuật chọn biểu thức nhân liên hợp 2.3.4 Nhận dạng toán sử dụng kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp .12 2.4 Hiệu 14 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 15 MỞ ĐẦU - Lý chọn đề tài Mục tiêu giáo dục trung học phổ thông theo Luật Giáo dục quy định: “ Giáo dục trung học phổ thông nhằm giúp học sinh củng cố phát triển kết giáo dục trung học sở, hoàn thiện học vấn phổ thơng, có hiểu biết thơng thường kỹ thuật hướng nghiệp, có điều kiện chọn lựa hướng phát triển phát huy lực cá nhân, tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề vào sống lao động.” Thực mục tiêu chung giáo dục, chương trình Tốn Trung học phổ thơng (THPT) tiếp nối chương trình Trung học sở (THCS), cung cấp có hệ thống vốn văn hóa tốn học phổ thơng tương đối hồn chỉnh bao gồm kiến thức, kỹ năng, phương pháp tư Chương trình Đại số 10 có nhiệm vụ tổng kết, hệ thống lại kiến thức biết bậc THCS (về hàm số, phương trình, bất phương trình) tạo sở vững cho việc học tập tồn chương trình Đại số Giải tích lớp sau Trong chuyên đề trên, bất phương trình chun đề khó, đặc biệt bất phương trình chứa ẩn dấu thức (hay bất phương trình vơ tỷ) Song tốn bất phương trình chứa ẩn dấu thức lại sử dụng rộng rãi kỳ thi, đặc biệt kỳ thi Trung học phổ thông quốc gia (THPTQG) Mặt khác, đề thi THPTQG toán có mức độ vận dụng cao nên học sinh gặp nhiều khó khăn giải tốn Làm để học sinh giải tốt hơn, kỹ thuật giúp học sinh đơn giản hóa tốn? Đó câu hỏi đặt thân giảng dạy học sinh chuyên đề Và kỹ thuật xin chia sẻ sáng kiến kinh nghiệm “Kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp giải bất phương trình chứa ẩn dấu thức” - Mục đích nghiên cứu Với lý trên, mục đích đề nghiên cứu cách giải bất phương trình chứa ẩn dấu thức kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp Cách giải toán bất phương trình nói chung biến đổi tương đương bất phương trình thành bất phương trình tương đương bất phương trình đơn giản mà ta viết tập nghiệm Đối với bất phương trình chứa ẩn dấu thức nói riêng, có hai phương pháp là: phương pháp lũy thừa nâng bậc khử phương pháp đặt ẩn phụ đưa bất phương trình ban đầu bất phương trình đơn giản Bên cạnh phương pháp giải trên, kỹ thuật biến đổi kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp giúp đưa bất phương trình chứa ẩn dấu thức bất phương trình đơn giản - Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài phương pháp giải bất phương trình chứa ẩn dấu thức, đặc biệt kỹ thuật biến đổi nhân biểu thức liên hợp Ngoài đối tượng nghiên cứu khác em học sinh hai lớp 10A3 10A6 trường THPT Sầm Sơn - Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chủ yếu phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết Ngồi cịn có phương pháp khảo sát thực tế, thu thập thông tin 2 NỘI DUNG 2.1 Cở sở lý luận Nhân liên hợp kỹ thuật dùng để trục thức mẫu chương trình đại số Có thể nói phương pháp quen thuộc em học sinh lớp ứng dụng rộng rãi tốn tính số vơ tỷ tốn rút gọn biểu thức có chứa ẩn dấu thức Bất phương trình lại kiến thức trọng tâm đại số 10 Công cụ để giải bất phương trình ẩn định lý dấu nhị thức bậc định lý dấu tam thức bậc hai: ĐỊNH LÝ (về dấu nhị thức bậc nhất) Nhị thức bậc f ( x) = ax + b dấu với hệ số a x lớn nghiệm trái dấu với hệ số a x nhỏ nghiệm ĐỊNH LÝ (về dấu tam thức bậc hai) Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c (a ≠ 0) Nếu ∆ < f (x) dấu với hệ số a với x ∈ R Nếu ∆ = f (x) dấu với hệ số a với x ≠ − b 2a Nếu ∆ > f (x) có hai nghiệm x1 x ( x1 < x ) Khi đó, f (x) trái dấu với hệ số a với x nằm khoảng ( x1 ; x ) f (x) dấu với hệ số a với x nằm đoạn [ x1 ; x ] Có hai bất phương trình bất phương trình bậc bậc hai Bất phương trình chứa ẩn dấu thức loại bất phương trình quy bậc nhất, bậc hai Đối với bất phương trình chứa ẩn dấu thức, có hai bất phương trình là: f ( x) < g ( x) f ( x) > g ( x) với phương pháp giải nâng bậc lũy thừa khử căn: 1) 2)  f ( x) ≥  f ( x) < g ( x ) ⇔  g ( x) >  f ( x) < g ( x)   f ( x) ≥   g ( x) < f ( x) > g ( x) ⇔   g ( x) ≥   f ( x) > g ( x) Kết hợp kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp vào toán giải bất phương trình chứa ẩn dấu thức cho kỹ thuật biến đổi giúp bất phương trình đơn giản 2.2 Thực trạng Vơ tỷ mảng hay khó với học sinh, từ lớp làm quen với số vô tỷ học sinh cảm thấy trừu tượng Trong q trình học biến đổi biểu thức có liên quan tới số vô tỷ hay biểu thức chứa ẩn dấu thức học sinh cảm thấy lúng túng Lên lớp 10, tiếp cận với phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa ẩn dấu thức học sinh cảm thấy phức tạp Nó địi hỏi học sinh phải nắm kiến thức phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình phép biến đổi khai căn, luỹ thừa Nó địi hỏi học sinh phải có tổng hợp linh hoạt giải toán dạng Đối với bất phương trình chứa thức - thực xem loại bất phương trình khó học sinh lớp 10, đặc biệt bất phương trình chứa nhiều thức hay chứa thức mẫu Qua thực tế giảng dạy thấy nhận thấy, cho học sinh giải bất phương trình chứa ẩn dấu thức bất phương trình chứa ẩn dấu thức dạng bản: f ( x) < g ( x) hay f ( x) > g ( x) với học sinh có lực học trung bình khó hồn thiện tốn cách chặt chẽ Một số thiếu xót thường gặp như: khơng có điều kiện cho biểu thức hay bình phương khử thường làm tính tương đương bất phương trình dẫn đến thu hẹp hay mở rộng tập nghiệm tính chất phức tạp tốn phải chuyển từ bất phương trình chứa thức sang hệ bất phương trình Đó chưa kể toán chứa nhiều thức hay chứa thức mẫu Đối với dạng tập kiểu có phận nhỏ học sinh giỏi làm Nhưng lại mảng quan trọng dạng toán lựa chọn nhiều thi thi THPTQG hay thi học sinh giỏi Cụ thể, xem xét hai ví dụ sau với cách giải biến đổi thơng thường: Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: x +1 − x −1 > (1) x + ≥  x ≥ −1   Điều kiện:  x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x ≥1  x + ≠ x −   x +1 − x −1 ≠ 1+ x −1 − x +1 −1 > ⇔ >0 (1) ⇔ x +1 − x −1 x +1 − x −1 1 + x − > x +  x + x − > x +    x + > x −  x + > x − ⇔ ⇔ 1 + x − < x +  x + x − < x +    x + < x −   x + < x − ⇔ x − > ⇔ 4( x − 1) > ⇔ x > 5  Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình: S =  ;+∞  4  Ví dụ 2: Giải bất phương trình: x − 3x + + x − x + ≥ x − x + (2)  x − 3x + ≥  x ∈ ( − ∞;1] ∪ [ 2;+∞)   Điều kiện:  x − x + ≥ ⇔  x ∈ ( − ∞;1] ∪ [ 3;+∞) ⇔ x ∈ (−∞ ;1] ∪ [4;+∞) x − 5x + ≥  x ∈ ( − ∞;1] ∪ [ 4;+∞)    x ≤ (1)   − x − x + − x ≥ − x − x (2) ⇔   x ≥ (2)  x − x − + x − ≥ x − x −  x = x =   ⇔  x < Giải (1) ⇔  x < 5 − x + x − x + ≥ 16 − x  − x + − x ≥ − x   ( ) ( ) x = x = x =    x < x <  x < ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ x =1  107 2 x − x + ≥ 11 − x 4( x − x + 6) ≥ 121 − 44 x + x  x ≥   24   x ≥ x ≥ ⇔ Giải (2) ⇔  2 x − + x − x + ≥ x − 16  x−2 + x−3≥2 x−4 11  ≤ x ≤  x ≥    x − 11 ≤  x ≥  11 ⇔ ⇔  ⇔  x > ⇔ x≥4   2 x − 11 > 2 x − x + ≥ x − 11   4( x − x + 6) ≥ 121 − 44 x + x  x ≥ 107 24  Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình: S = [ : +∞) ∪ {1} Chúng ta thấy tính chất phức tạp cách giải rõ ràng với cách giải học sinh làm được, phận học sinh giỏi việc hồn thiện tốn theo cách giải khơng phải đơn giản Đó chưa kể số tốn khó biến đổi theo cách thông thường hay đặt ẩn phụ Câu hỏi đặt liệu có kỹ thuật biến đổi giúp học sinh giải toán cách đơn giản hơn? Và sau kỹ thuật biến đổi rút trình giảng dạy thân là: Kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp 2.3 Kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp Một xu hướng chung giải bất phương trình có chứa ẩn dấu thức tìm cách khử đưa bất phương trình bậc nhất, bậc hai Có thể khử cách nâng luỹ thừa đặt ẩn phụ Rất học sinh nghĩ đến việc nhân biểu thức liên hợp Kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp có tác dụng khử thức mẫu hay đưa bất phương trình dạng bất phương trình dạng tích làm cho toán đơn giản học sinh giải 2.3.1 Dùng kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp để khử mẫu toán bất phương trình chứa thức mẫu thức Trong phần thực trạng, xem xét tốn với cách giải thơng thường thấy phức tạp cách giải thông thường tốn Bây giờ, xem lại ví dụ với cách giải sử dụng kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: Điều kiện: x ≥ (1) ⇔ x +1 − x −1 > (1) x +1 + x −1 > (biểu thức nhân liên hợp ( x + 1) − ( x − 1) x +1 + x −1 ) x +1 + x −1 > ⇔ x +1 + x −1 > 2 ⇔ x + + ( x + 1)( x − 1) + x − > ⇔ x − > − x ⇔ x > 2 − x <   x ≤ 2 − x ≥ ⇔  ⇔  ⇔x>   x − > − x + x  x >   5  Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình: S =  ;+∞  4  Tương tự sử dụng kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp để khử thức mẫu ví dụ vào ví dụ sau, cách giải đơn giản, ngắn hơn: Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 4x ( x + − 1) < x + (3) Giải:  2 x + ≥ x ≥ − ⇔ Điều kiện:   2x + ≠  x ≠ (3) ⇔ x ( x + + 1) < x + ⇔ ( x + + 1) < x + (2 x + − 1) ⇔ 2x + + 2x + < 2x + ⇔ 2x + < ⇔ 2x + < ⇔ x <   Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình: S = − ;  \ { 0}  2 2.3.2 Dùng kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp để phân tích thành bất phương trình tích tốn bất phương trình chứa nhiều thức Bên cạnh đó, kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp giúp biến đổi đưa bất phương trình chứa nhiều thức bất phương trình dạng tích Kết hợp với tính chất khơng âm biểu thức dấu thức, cách giải hay, độc đáo bất phương trình chứa nhiều thức Chúng ta xem xét lại ví dụ với cách giải này: Ví dụ 2: Giải bất phương trình: x − 3x + + x − x + ≥ x − x + (2) Giải: Điều kiện: x ∈ D = ( − ∞;1] ∪ [ 4;+∞) +) x = nghiệm bất phương trình +) x ≠ bất phương trình (2) ⇔ x − 3x + - x − x + + x − x + - x − x + ≥ ⇔ x − 3x + − x + x − x − 3x + + x − x + 2( x − 1) + x − x + − x + 5x − x − x + + x − 5x + x −1 ≥0 + ≥0 x − 3x + + x − x + x − x + + x − 5x +   ≥0 + ⇔( x − 1)   2 x − x + + x − 5x +   x − 3x + + x − x + + > với ∀x ∈ D Do x − 3x + + x − x + x − x + + x − 5x + Nên bất phương trình ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ Kết hợp điều kiện nghiệm bất phương trình: [ 4;+∞) Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình: S = [ : +∞) ∪ {1} ⇔ So với cách giải thơng thường tốn mà đưa phần thực trạng rõ ràng là cách giải hay, ngắn độc đáo Tương tự xem xét ví dụ sau với cách giải vậy: Ví dụ 4: Giải bất phương trình: x − + x − 3x − < x + x + + x − x + (4) Giải: 2 x − ≥  + 17  x ≥ x − x − ≥  ⇔ Điều kiện:   2 x + x + ≥ x ≤ − x − x + ≥   (4) ⇔ x − - x + x + < x − x + - x − 3x − ⇔ 2x − − 2x − 2x − 2x − + 2x + 2x + < x − x + − x + 3x + x − x + + x − 3x − ⇔ − 2x − 2x + < 2x − + 2x + 2x + x − x + + x − 3x −   1 >0 + ⇔ ( x + 4)   2 2x − + 2x + 2x +   x − x + + x − 3x − 1 + > với ∀x ∈ D Do 2 x − x + + x − 3x − 2x − + 2x + 2x + Nên bất phương trình ⇔ x + > ⇔ x > −2 + 17 ]∪[ ;+∞) 2 + 17 ;+∞) Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình: S = (−2;− ] ∪ [ 2 Kết hợp điều kiện, nghiệm bất phương trình: S = (−2;− Qua ví dụ trên, thấy vấn đề quan trọng kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp kỹ thuật chọn biểu thức nhân liên hợp Đối với toán khác nhau, dựa vào đâu để tìm biểu thức nhân liên hợp? 2.3.3 Kỹ thuật chọn biểu thức nhân liên hợp a) Đối với bất phương trình chứa thức mẫu Mục đích kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp khử thức mẫu nên biểu thức nhân liên hợp mà lựa chọn biểu thức liên hợp mẫu Ví dụ 5: Giải bất phương trình: x+3 2x + − x − ≤ (5) Phân tích: Để khử thức mẫu rõ ràng biểu thức nhân liên hợp toán là: x + + x − Cách giải:  x ≥ −  2 x + ≥  x ≥  x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ ⇔x≥2 Điều kiện:    x ≠ −3  2 x + ≠ x −  2x + − x − ≠   (5) ⇔ ( x + 3)( x + + x − ) ≤ 2x + − x + ⇔ 2x + + x − ≤ ⇔ x + + (2 x + 1)( x − 2) + x − ≤ ⇔ (2 x + 1)( x − 2) ≤ − 3x ⇔ 4(2 x − 3x − 2) ≤ − 12 x + x ⇔ x + 12 ≥ (thỏa mãn với x ≥ 2) Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình S = [ 2;+∞) Tương tự, thấy ví dụ 1, (đã giải) biểu thức nhân liên hợp chọn biểu thức liên hợp mẫu b) Đối với bất phương trình chứa nhiều thức Vì bất phương trình chứa nhiều biểu thức thức, nên việc lựa chon biểu thức nhân liên hợp có nhiều khó khăn Gắn với mục đích kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp giúp phân tích bất phương trình dạng bất phương trình tích, nên cần lựa chọn biểu thức nhân liên hợp cho sau nhân biểu thức bất phương trình xuất nhân tử chung để phân tích thành bất phương trình tích Có bất phương trình dễ dàng đốn biểu thức nhân liên hợp Ví dụ bât phương trình sau: Ví dụ 6: Giải bất phương trình: x + − x + ≥ − x (6) Phân tích: Nhìn bất phương trình, dự đốn biểu thức nhân liên hợp là: x + + x + Và thật vậy, nhân liên hợp biểu thức nhân chung phân tích bất phương trình là: ( x − 1) Cách giải:  2 x + ≥ x ≥ − ⇔ ⇔x≥− Điều kiện:  x + ≥  x ≥ −2 2x + − x − ≥ 1− x (6) ⇔ 2x + + x + x −1 ⇔ + x −1 ≥ 2x + + x + ⇔ ( x − 1)( + 1) ≥ 2x + + x + +1 > ) ⇔ x − ≥ (do 2x + + x + ⇔ x ≥1 Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình: S = [1;+∞) Tuy nhiên có bất phương trình khơng dễ dàng đoán biểu thức nhân liên hợp Và bất phương trình này, khơng nhân biểu thức liên hợp mà nhân nhiều biểu thức liên hợp Ví dụ 7: Giải bất phương trình: x + + 2 x + ≤ ( x − 1)( x − 2) (7) Phân tích: Nếu ví dụ trên, lựa chọn biểu thức nhân liên hợp là: x + − 2 x + nhân vào nhân tử là: (8 x + 4) nhân tử khơng phải nhân tử chung bất phương trình Vậy làm để tìm biểu thức nhân liên hợp? Vì mục đích nhân biểu thức liên hợp tìm nhân tử chung để phân tích bất phương trình nên nhìn vào phương trình tương ứng nhẩm nghiệm giúp tìm nhân tử chung Ví dụ tốn trên, xét phương trình tương ứng: x + + 2 x + = ( x − 1)( x − 2) Dễ nhận thấy nghiệm phương trình x = nên nhân tử chung phân tích bất phương trình thành bất phương trình tích là: ( x − 3) , ta biến đổi bất phương trình thành: ⇔ 4( x + − 2) + 2( x + − 3) ≤ x − x − x − 12 biểu thức nhân liên hợp là: Cách giải: x + + 2x + +  x ≥ −1 x + ≥  ⇔ Điều kiện:  ⇔ x ≥ −1 2 x + ≥  x ≥ − (7) ⇔ 4( x + − 2) + 2( x + − 3) ≤ x − x − x − 12 4( x − 3) 2( x − 3) ⇔ + ≤ ( x − 3)( x + x + 4) x +1 + 2x + +   ⇔ ( x − 3) + − ( x + x + 4)  ≤ (*) 2x + +  x +1 +   x + ≥ ⇒ + ≤3 Ta có với x ≥ −1 ⇒  x +1 + 2x + +  x + ≥ + − ( x + x + 4) ≤ Mà: x + x + = ( x + 1) + ≥ ⇒ x +1 + 2x + + x = x = ⇔ nên (*) ⇔  x − ≥ x ≥ Kết luận: Tập tập nghiệm bất phương trình: S = [ 3;+∞) ∪ {1} Tương tự ví dụ sau: Ví dụ 8: Giải bất phương trình: ( x − 1) x − x + − x x + ≥ 2( x + 1) (8) Phân tích: Chúng ta xét phương trình tương ứng: ( x − 1) x − x + − x x + = 2( x + 1) Dễ nhận thấy x = −1 nghiệm phương trình, nên nhân tử chung phân tích bất phương trình là: ( x + 1) biến đổi bất phương trình thành: − ( x + 1) x − x + − x(2 x + − x − x + ) ≥ 2( x + 1) biểu thức nhân liên hợp là: x + + x − x + Cách giải:  x + ≥ ⇔ ∀x ∈ R Điều kiện:   x − x + ≥ (8) ⇔ −( x + 1) x − x + − x(2 x + − x − x + ) ≥ 2( x + 1)  4x + − x + 2x −   ≥ 2( x + 1) ⇔ −( x + 1) x − x + − x  2 x + + x − x +     ( x + 1)(3x − 1)  ≥ 2( x + 1) ⇔ −( x + 1) x − x + − x  2 x + + x − x +     6x − 2x ≤0 ⇔ ( x + 1) + x − x + +  2 x + + x − x +   10  x + + x − 2x + + x + x − 2x + + 6x − 4x +  ≤0 ⇔ ( x + 1) 2   x + + x − 2x +   Do x + + x − 2x + + x + x − 2x + + 6x − 4x + x + + x − 2x + nên bất phương trình ⇔ x + ≤ ⇔ x ≤ −1 2 > với ∀x ∈ R Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình: S = ( − ∞;−1] Tuy vậy, có tốn phương trình tương ứng lại khơng có nghiệm ngun để nhẩm: Ví dụ 9: Giải bất phương trình: x + x + + ≤ ( x + + x ) x − x + + x (9) (Đề khảo sát chất lượng lớp 12 THPT năm học 2015- 2016 – tỉnh Thanh Hóa) Phân tích: Vậy toán này, giải nào? x+2 , Trước tiên xem xét biểu thức thức: 2 ( x + + x ) x − x + Chúng ta cần biến đổi để bất phương trình gọn hơn: (9) ⇔ x − x + ≤ ( x + + x ) x − x + − Từ thấy có hai biểu thức liên hợp là: x + − x x − x + + để nhân tạo nhân tử chung biểu thức liên hợp mà lựa chọn là: x − x + + Khi nhân tử chung ) ( 2x − 2x + Cách giải: x + ≥ Điều kiện:  x − x + ≥ ⇔ x ≥ −2 (9) ⇔ x − x + ≤ ( x + + x ) x − x + − x − x + ( − 2x + ≤ ( ⇔ 2x − 2x + ≤ ⇔ 2x ⇔1≤ )( x − x + − 1)  2x − 2x + x + + x ) x+2 +x x+2+x 2x − 2x + + 2   (do: x − x + > 0∀x ∈ R )   2x − 2x + +  ⇔ 2x − 2x + + ≤ x + + x ⇔ 2( x − 1) + 2( x + 2) ≤ x + + x − (1) Ta có: ( ) 2 x + + x − ≤ 2( x − 1) + 2( x + ) ⇒ x + + x − ≤ 2( x + 1) + 2( x + 2) (2) Từ (1) (2) ⇒ x + + x − = 2( x + 1) + 2( x + 2) ⇔ x + = x − x ≥ x ≥ + 17 ⇔ ⇔ ⇔x=  2 x + = x − 2x +  x − 3x − =  + 17  Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình: S =     Tương tự xem xét ví dụ sau: Ví dụ 10: Giải bất phương trình: 11 2x − 4x + + x + ≤ ( ) x + + x x − x + 10 (10) (Đề thi thử THPTQG lần năm học 2015- 2016, Trường THPT Quỳnh Lưu 3) Phân tích: Trước tiên biến đổi chút để bất phương trình gọn hơn: (10) ⇔ x − x + ≤ ( x + + x ) x − x + 10 − Từ thấy biểu thức nhân liên hợp chọn là: 2 x − x + 10 + Khi nhân tử chung phân tích là: (2 x − x + 6) Cách giải: ) ( 2 x − x + 10 ≥ ⇔ x ≥ −1 Điều kiện:  x + ≥  ( (10) ⇔ x − x + ≤ ( x + + x ) x − x + 10 − ( ) )   2x − 6x +  x + + x   2 x − x + 10 +     x +1 + x ≤0 ⇔ (2 x − x + 6)1 −  2 x − x + 10 +   x +1 + x ⇔1− ≤ (do x − x + > 0∀x ∈ R ) 2 x − x + 10 + ⇔ 2x − 6x + ≤ ⇔ x − x + 10 + ≤ x + + x ( ⇔ 2( x − 2) + 2( x + 1) ≤ x + + x − (*) ) x + + x − ≤ 2( x − ) + 2( x + 1) ⇒ x + + x − ≤ 2( x − ) + 2( x + 1) x ≥ x ≥ + 13 ⇔ ⇔x= Nên: x − = x + ⇔   2 ( x − 2) = x +  x − x + =  + 13  Kết luận: Vậy nghiệm bất phương trình: S =     Ta có: 2 2.3.4 Nhận dạng toán sử dụng kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp Qua mười ví dụ phân tích trên, nhận dạng tốn sử dụng kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp Đó tốn bất phương trình chứa thức mẫu ví dụ 1, 3, 5: >1 x +1 − x −1 4x < 2x + Ví dụ 3: Giải bất phương trình: ( x + − 1) x+3 ≤1 Ví dụ 5: Giải bất phương trình: 2x + − x − Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: Hay tốn bất phương trình chứa nhiều thức ví dụ 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10 Ví dụ 2: Giải bất phương trình: x − 3x + + x − x + ≥ x − x + 12 Ví dụ 4: Giải bất phương trình: x − + x − 3x − < x + x + + x − x + Ví dụ 6: Giải bất phương trình: x + − x + ≥ − x Ví dụ 7: Giải bất phương trình: x + + 2 x + ≤ ( x − 1)( x − 2) Ví dụ 8: Giải bất phương trình: ( x − 1) x − x + − x x + ≥ 2( x + 1) Ví dụ 9: Giải bất phương trình: x + x + + ≤ ( x + + x ) x − x + + x Ví dụ 10: Giải bất phương trình: x − x + + x + ≤ ( x + + x ) x − x + 10 Đối với bất phương trình này, nhận thấy khó giải theo hai cách thơng thường nâng bậc lũy thừa khử hay đặt ẩn phụ Vì nâng bậc lũy thừa khử bất phương trình thu có bậc q cao đặt ẩn phụ khơng tìm ẩn Do xem xét, áp dụng kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp Bài tập củng cố: Bài 1: Giải bất phương trình: Bài 2: Giải bất phương trình: x2 (1 + + x ) 2x (3 − + x ) > x−4 < x + 21 Bài 3: Giải bất phương trình: x + − 3x − ≤ x+3 Bài 4: Giải bất phương trình: x + − − x ≥ x Bài 5: Giải bất phương trình: 3(2 + x − ) < x + x + Bài 6: Giải bất phương trình: x − x + - x − 3x + ≥ x − Bài 7: Giải bất phương trình: x − x + + x − x + ≥ x − x + 12 Bài 8: Giải bất phương trình: x − + 3x − x − < 3x − x + + x − 3x + Bài 9: Giải bất phương trình: x + + x − x + ≤ 3x − Bài 10: Giải bất phương trình: ( x + 6) x(2 x + 26 x + 8) − ≥ x(2 x + x + 33) (Đề khảo sát chất lượng lớp 12 năm học 2015 – 2016 Trường THPT Sầm Sơn) 2.4 Hiệu Sau tiến hành giảng dạy hai lớp: 10A3và 10A6, đánh giá kết kiểm tra – 45 phút sau: 13 ĐỀ KIỂM TRA Bài 1(4 điểm): Giải bất phương trình: x + − x −1 > Bài 3(3 điểm): Giải bất phương trình: x + 2x + x − ≥ x − 2x + x + Bài 3(3 điểm): Giải bất phương trình: (x ) + x − x + ≥ x + 3x − x − Kết thu là: Lớp 10A3: (Sĩ số: 48) Điểm [8 ; 10] [6,5 ; 8) [5 ; 6,5) [0; 5) Tỷ lệ(%) 20,83% 41,67% 29,17% 8,33% Điểm [8 ; 10] [6,5 ; 8) [5 ; 6,5) [0; 5) Tỷ lệ(%) 14,28% 28,57% 38,10% 19,05% Lớp 10A6: (Sĩ số: 42) Đây kết khả quan, đáp ứng tương đối yêu cầu đặt phần KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ - Kết luận Trên phần kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp giải bất phương trình chứa ẩn dấu thức Tuỳ thuộc vào cách sử dụng, 14 kết hợp với số tính chất đặc trưng thức tạo nên tốn hay, độc đáo Ngồi kỹ thuật khơng hạn chế cách giải bất phương trình mà mở rộng phần phương trình, hệ phương trình chứa ẩn dấu thức Tuy nhiên khuôn khổ đề tài, xin phép giới hạn phần bất phương trình chứa ẩn dấu thức Đó ý kiến, kinh nghiệm tơi q trình dạy học Với tuổi đời tuổi nghề cịn non trẻ, kinh nghiệm chưa nhiều nên không tránh khỏi thiếu sót Rất mong đồng chí bảo chia kinh nghiệm giúp ngày tiến công tác, phát triển chuyên môn nghiệp vụ Tôi xin trân trọng cảm ơn! - Kiến nghị Tôi mong muốn Sở GDĐT, nhà trường cung cấp cho số SKKN Sở, nhà trường đánh giá có chất lượng năm học trước để học hỏi, nghiên cứu, áp dụng vào thực tế giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng dạy học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thị Bích Huệ 15 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ giáo dục đào tạo, Tài liệu bỗi dưỡng giáo viên mơn Tốn 10 NXB Giáo dục [2] Bộ giáo dục đào tạo, Đại số giải tích 10 sách giáo viên (nâng cao), NXB Giáo dục [3] Bộ giáo dục đào tạo, Đại số giải tích 10 (nâng cao), NXB Giáo dục [4] Bộ giáo dục đào tạo, Hướng dẫn thực Chuẩn kiến thức kỹ mơn Tốn lớp 10, NXB Giáo dục [5] Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí, phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỷ, NXB Hà Nội  ... biểu thức liên hợp giải bất phương trình chứa ẩn dấu thức? ?? - Mục đích nghiên cứu Với lý trên, mục đích đề nghiên cứu cách giải bất phương trình chứa ẩn dấu thức kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp. .. trọng kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp kỹ thuật chọn biểu thức nhân liên hợp Đối với toán khác nhau, dựa vào đâu để tìm biểu thức nhân liên hợp? 2.3.3 Kỹ thuật chọn biểu thức nhân liên hợp a)... Đối với bất phương trình chứa thức mẫu Mục đích kỹ thuật nhân biểu thức liên hợp khử thức mẫu nên biểu thức nhân liên hợp mà lựa chọn biểu thức liên hợp mẫu Ví dụ 5: Giải bất phương trình: x+3