MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu PHẦN NỘI DUNG I Cơ sở lí luận II Thực trạng III Giải pháp thực hiện Các dạng phương trình vô tỉ thường gặp giải phương pháp đặt ẩn phụ .4 Dùng ẩn phụ để giải phương trình vơ tỉ IV Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm 16 PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ .17 Kết luận .17 Kiến nghị 17 PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình môn Đại số 10, học sinh đã được tiếp cận với phương trình chứa ẩn dưới dấu (phương trình vô tỉ) Trong thực tế các bài toán giải phương trình vô tỉ rất phong phú và đa dạng Đặc biệt, các đề thi Đại học Cao đẳng - Học sinh giỏi các em sẽ gặp một lớp các bài toán về phương trình vô tỉ mà có một số ít các em biết phương pháp giải trình bày còn lủng củng, chưa được gọn gàng sáng sủa, thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trình bày hoặc các em không biết áp dụng phương pháp nào để giải Trong SGK Đại số lớp 10, phần phương trình vô tỉ là một mục nhỏ bài: "Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai" của chương IV Thời lượng dành cho phần này rất ít, các ví dụ và bài tập phần này cũng hạn chế và ở dạng bản Nhưng thực tế, học sinh gặp nhiều phương trình vô tỉ, đặc biệt là các đề thi Đại học - Cao đẳng - Học sinh giỏi có bài tập về giải phương trình vô tỉ để biến đổi và giải chính xác phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có kĩ biến đổi toán học nhanh nhẹn và thuần thục Trong SGK Đại số lớp 10 đưa dạng bản: A = B , phần bài tập cũng nêu những bài tập nằm dạng này Tuy nhiên, thực tế phương trình vô tỉ rất đa dạng và phong phú Trong quá trình học Toán ở lớp 11 và 12, gặp phải những bài toán đưa về phương trình và bất phương trình vô tỉ, đa số học sinh đều lúng túng, thường giải sai và thậm chí không biết cách giải Đặc biệt, các đề thi Đại học - Cao đẳng - Học sinh giỏi các em sẽ gặp phương trình vô tỉ ở nhiều dạng khác chứ không nằm khuôn khổ dạng Vì vậy, việc giúp cho các em có kĩ tốt, cũng cung cấp thêm các phương pháp giải phương trình vô tỉ là rất cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế hiện Một điều rất quan trọng là quá trình giải phương trình vô tỉ thì phương pháp đặt ẩn phụ là một những phương pháp hữu hiệu nhất - Từ thực tiễn giảng dạy khối lớp 10 ở trường THPT Thọ Xuân với kinh nghiệm thời gian giảng dạy Tôi xin đưa đề tài: "Giúp học sinh lớp 10 giải phương trình vơ tỉ phương pháp đặt ẩn phụ" - Qua nội dung của đề tài này mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh các dạng phương trình vô tỉ thường gặp giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ và đặc biệt là định hướng cho học sinh nào dùng ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ Mục đích nghiên cứu Thiết kế, xây dựng cách giải các phương trình vô tỉ bằng cách đặt ẩn phụ Đối tượng nghiên cứu - Phương trình vô tỉ (Phương trình chứa ẩn dấu căn) Phương pháp nghiên cứu 4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Nghiên cứu tài liệu và các công trình nghiên cứu về phương trình vô tỉ - Nghiên cứu sở lý luận về các phương pháp giải phương trình vô tỉ bằng cách đặt ẩn phụ 4.2 Phương pháp chuyên gia Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ý kiến làm sở cho việc nghiên cứu đề tài 4.3 Phương pháp thực tập sư phạm Thực nghiệm sư phạm ở trường THPT Thọ Xuân, tiến hành theo quy trình của đề tài nghiên cứu khoa học giáo dục để đánh giá hiệu quả của đề tài nghiên cứu 4.4 Phương pháp thớng kê tốn học Sử dụng phương pháp này để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu được PHẦN NỘI DUNG I Cơ sở lí luận Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết thiếu đời sống của người Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng bài tập Điều đó thể hiện ở việc học đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập tổng hợp các cách giải Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm phương pháp giải gặp các bài toán giải phương trình vô tỉ Trong sách giáo khoa Đại số 10 nêu phương trình dạng f (x) = g(x) và trình bày phương pháp giải bằng cách biến đổi hệ quả, trước giải đặt điều kiện f(x) ≥ Nhưng chúng ta nên để ý rằng là điều kiện đủ để thực hiện được phép biến đổi quá trình giải học sinh dễ mắc sai lầm lấy nghiệm và loại bỏ nghiệm ngoại lai vì nhầm tưởng điều kiện f(x) ≥ là điều kiện cần và đủ của phương trình Tuy nhiên gặp bài toán giải phương trình vô tỉ, có nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp về dạng đơn giản II Thực trạng Học sinh trường THPT Thọ Xuân chủ yếu là em của các gia đình thuần nông, điều kiện kinh tế còn nhiều khó khăn nên việc học tập của các em còn nhiều hạn chế Kiến thức THCS còn non yếu, tiếp thu bài còn chậm, chưa tự hệ thống được kiến thức Khi gặp các bài toán về phương trình vô tỉ chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng đặt điều kiện và biến đổi, đó phương trình loại này có rất nhiều dạng Nhưng bên cạnh đó chương trình đại số 10 không nêu cách giải tổng quát cho dạng, thời lượng dành cho phần này là rất ít Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được hoặc trình bày cách giải đặt điều kiện và lấy nghiệm sai ở phần này III Giải pháp thực hiện Các dạng phương trình vơ tỉ thường gặp giải phương pháp đặt ẩn phụ Dạng 1: Phương trình chứa f (x) và f (x) Cách giải: - Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa - Bước 2: Đặt f ( x) = t , (t ≥ 0) - Bước 3: Chuyển phương trình đã cho về phương trình theo ẩn t, giải tìm t - Bước 4: Với t tìm được thỏa mãn t ≥ , thay trở lại cách đặt tìm nghiệm của phương trình ban đầu và kết luận Ví dụ Giải phương trình: x + x + − x + x + 28 = 0, (1) Giải: + Điều kiện: x + x + 28 ≥ đúng với mọi ∀x ∈ R + Đặt x + x + 28 = t , (t ≥ 0)  t = −3 t = + Phương trình (1) trở thành: t − 5t − 24 = ⇔  Do t ≥ nên t = −3 loại + Với t = ⇒ x + x + 28 = x = ⇔ x + x − 36 = ⇔   x = −9 Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = và x = -9 Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: 1, x + 10 x + = − x − x 2, (4 − x)(6 + x) = x − x − 12 Dạng 2: Phương trình a( f (x) + g (x)) + b f (x) g(x) + c = Cách giải: - Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa - Bước 2: Đặt f ( x) + g (x) = t , (t ≥ 0) - Bước 3: Chuyển phương trình đã cho về phương trình theo ẩn t, giải tìm t - Bước 4: Với t tìm được thỏa mãn t ≥ , thay trở lại cách đặt tìm nghiệm của phương trình ban đầu và kết luận Ví dụ Giải phương trình: x + + − x − (x + 3)(6 − x) = (2) Giải: + Điều kiện: −3 ≤ x ≤ + Đặt x + + − x = t , (t ≥ 0) ⇒ t = + (x + 3)(6 − x) ⇒ (x + 3)(6 − x) = t2 −  t = −1 t = + Phương trình (2) trở thành: t − 2t − = ⇔  Do t ≥ nên t = −1 loại  x = −3 x = + Với t = ⇒ x + + − x = ⇔ (x + 3)(6 − x) = ⇔  Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = và x = -3 Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: 1, x − + − x − (x − 1)(7 − x) = 2, x + + − x − (4 − x = Dạng 3: Phương trình dạng a( f (x) − g (x)) + b f (x) g(x) + c = Cách giải: - Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa - Bước 2: Đặt f ( x) − g (x) = t - Bước 3: Chuyển phương trình đã cho về phương trình theo ẩn t, giải tìm t - Bước 4: Với t tìm được thay trở lại cách đặt tìm nghiệm của phương trình ban đầu và kết luận Ví dụ Giải phương trình: x + − − x − (x + 1)(4 − x) + = (3) Giải: + Điều kiện: −1 ≤ x ≤ + Đặt x + − − x = t ⇒ t = − (x + 1)(4 − x) + Phương trình (2) trở thành: t + t − =  t = −2 ⇔ t = + Với t = ⇒ x + − − x = ⇔ x+ = − x + ⇔ x +1 = − x + − x +1 ⇔ 4− x = x−2 x ≥ ⇔ 4 − x = x − x + x ≥ ⇔  x − 3x = ⇔ x = + Với t = −2 ⇒ x + − − x = −2 ⇔ x+ + = − x ⇔ x +1+ x +1 + = − x ⇔ x + = −2 x − −1  x ≤ ⇔ 4 x + = x + x +  −1  x ≤ ⇔ 4 x − =  ⇔x= − Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = và x = − Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: 1, x + − − x − (2 x + 1)(1 − x) + = 2, (2 − x)(1 + x) = − x − + x Dạng 4: Phương trình dạng a( f (x) ± g (x)) + b f (x) g(x) + c(f(x) + g(x)) + d = Cách giải: - Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa - Bước 2: Đặt f ( x) ± g (x) = t (tìm điều kiện của t nếu có) - Bước 3: Chuyển phương trình đã cho về phương trình theo ẩn t, giải tìm t - Bước 4: Với t tìm được thay trở lại cách đặt tìm nghiệm của phương trình ban đầu và kết luận Ví dụ Giải phương trình: x + + x + = 3x + (x + 1)(2 x + 3) − 16 (4) Giải: + Điều kiện: x ≥ −1 + Đặt x + + x + = t (t ≥ 0) ⇒ t = 3x + (x + 1)(2 x + 3) + + Phương trình (2) trở thành: t − t − 20 =  t = −4 ⇔ t = Do t ≥ nên t = −4 loại + Với t = ⇒ x + + x + = ⇔ 21 − 3x = (x + 1)(2 x + 3) x ≤ ⇔  x − 146 x + 429 = ⇔ x=3 Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = Ví dụ Giải phương trình: x + − − x + x − = 10 − 3x (5) (Đề thi đại học khối B năm 2011) Giải: + Điều kiện: −2 ≤ x ≤ + Đặt x + − 2 − x = t ⇒ t = 10 − x − 4 − x + Phương trình (2) trở thành: t − 3t = t = ⇔ t = + Với t = ⇒ x + − 2 x + = ⇔ x+2 = 2− x ⇔x= + Với t = ⇒ x + − 2 x + = ⇔ x+2 = 2− x +3 ⇔ 5( x − 3) = 16 − x Phương trình này vô nghiệm vì −2 ≤ x ≤ Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: ( x + 3) ( − x ) + 3x − = − x − 10 ( x + 3) ( − x ) + x + = 1, x + − − x − 2, x + − Dạng 5: Phương trình a f (x) + b g (x) = c f (x) g(x) Cách giải: - Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa - Bước 2: Đặt f ( x ) = a, g ( x) = b, (a ≥ 0, b ≥ 0) - Bước 3: Chuyển phương trình đã cho về phương trình đẳng cấp theo ẩn a và b - Bước 4: Với a và b tìm được thay trở lại cách đặt tìm nghiệm của phương trình ban đầu và kết luận Ví dụ Giải phương trình: ( x − 3x − ) x + ( x + 1) ( x + 1) = (6) Giải: + Điều kiện: −1 ≤ x + Đặt x + = a, x + = b, (a, b ≥ 0) + Phương trình (2) trở thành: 2a + ab − 6b =  2a = 3b ⇔  a = −2b (loai ) + Với 2a = 3b, ta có: ⇔ x2 + = x + ⇔ 4x2 − x − = ⇔x= ± 161 (t/ m) Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = ± 161 Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: 1, x + = ( x + ) 2, x − = ( x + x − 1) Dùng ẩn phụ để giải phương trình vơ tỉ Phương pháp giải phương trình vô tỉ bằng cách đặt ẩn phụ là một phương pháp vô quan trọng, nhiên ngoài những dạng cụ thể để đặt ẩn phụ thì một câu hỏi đặt là nào dùng ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ và đặt ẩn phụ thế nào là thuận tiện nhất Để giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ thành công thì điều quyết định đó là tìm các mối quan hệ giữa các đại lượng bài toán được gắn kết với thế nào Mặt khác đặt ẩn phụ phải thu được phương trình có thể giải được như: Phương trình bậc hai, bậc ba, phương trình đẳng cấp, phương trình tích Để hiểu rõ phần này ta xét các ví dụ sau: Ví dụ Giải phương trình: x + 3x − + x − x − = x (1) * Phân tích hướng giải: Với phương trình này, ta sẽ tìm các mối liên hệ giữa các đại lượng với để từ đó tìm cách đặt ẩn phụ Ta để ý thấy hai thì hệ số của x và hệ số tự băng (bằng -2) đó ta liên tưởng đến phép chia hai vế của phương trình cho x , ta thu được phương trình: x +3− 2 + x −1 − = x x Rõ ràng đến ta đã thấy sự liên hệ giữa các đại lượng phương trình nên ta hoàn toàn có thể đặt ẩn phụ để giải phương trình này Cách giải: - Điều kiện: x ≤ −3 − 17 ; x ≥ (*) 2 x x - Ta có: (1) ⇔ x + − + x − − = ⇔ x− 2 + + x − − = (1') x x x -Đặt x − = t , đó (1') trở thành: ⇔ t + + t −1 = ⇔ t + 2t − = −5t + t ≤ ⇔ 9t − 82t + 73 = ⇔ t = 10 x - Với t = ⇒ x − = ⇔ x − x − = ⇔ x = hoặc x = −1 (loại vì không thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy phương trình có một nghiệm là: x = * Nhận xét: Việc tìm mối liên hệ giữa các đại lượng ở phương trình này là một hướng rất quen thuộc những hướng tìm ẩn phụ ở các bài toán phương trình vô tỉ các kỳ thi Việc phát hiện chia hai vế của phương trình cho biến x để tìm ẩn phụ xuất phát từ ý tưởng các hệ số đối xứng, ví dụ là số -2 Ví dụ Giải phương trình: 3x − + − x − = (2) (Đề thi đại học khối A năm 2009) * Phân tích hướng giải: Ở phương trình này ta thấy có chứa hai bậc khác đó chúng ta sử dụng phép nâng lên lũy thừa để giải, nên ta nghĩ đến việc đặt hai ẩn phụ để giải phương trình Để ý thấy là các nhị thức bậc nhất nên ta dễ dàng tìm được mối liên hệ giữa các ẩn phụ Vì vậy ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình này Cách giải: - Điều kiện: x ≤ (*)  3 x − = u ⇒ 5u + 3v = - Đặt:   − x = v (v ≥ 0) - Khi đó ta được hệ:  2u + 3v =  5u + 3v = 8 − 2u  v =  ⇔ 5u +  − 2u  =  ÷    u = −2 ⇔ v = u = −2  3 x − = −2 ⇒ ⇔ x = −2 (thỏa mãn điều kiện) - Với  v =  − x = Vậy phương trình có một nghiệm là: x = −2 * Nhận xét: Với những phương trình vô tỉ chứa nhiều thì ta có thể đặt nhiều ẩn phụ để chuyển về hệ phương trình 11 Ví dụ Giải phương trình: 10 ( x + 3x + ) = 17 x − 15 x + 25 (3) * Phân tích hướng giải: Quan sát bài toán này, ta thấy hình thức phương trình quen thuộc nếu ta dùng phương pháp lũy thừa để giải quyết thì khó đạt được kết quả vì sẽ tạo phương trình bậc có nghiệm vô tỉ Do đó để giải bài toán này, ta thử xem có thể đặt ẩn phụ được không ? Trước hết ta cần tìm mối liên hệ giữa các đại lượng phương trình Ta có: ( ) ( ) ( )( x − 15 x + 25 = x + 10 x + 25 − 25 x = x + − ( x ) = x + x + x − x + ) Vì vậy, đại lượng được biểu diễn thành tích của x + x + và x − x + Do đó ta thử tìm xem đại lượng ngoài có liên quan đến hai biểu thức không ? Theo cách xác định hệ số bất định Ta có: 10 x + 30 x + 50 = m( x + x + 5) + n( x − x + 5) ⇔ 10 x + 30 x + 50 = (m + n) x + 5(m − n) x + 5(m + n) (*)  m + n = 10 n =  Đồng nhất hệ số hai vế của (*) ta được: m − n = ⇔  m =  m + n = 10  Điều đó có nghĩa là: 10 x + 30 x + 50 = 8( x + x + 5) + 2( x − x + 5) Đến ta đã tìm được mối liên hệ giữa các đại lượng có phương trình Cách giải: - Điều kiện: ∀x ∈ R - Ta có: (3) ⇔ 8( x + x + 5) + 2( x − x + 5) = 17 (x + x + 5)(x − x + 5) - Đặt x2 + 5x + = t (t > 0) Khi đó phương trình trở thành: x2 − 5x + t = 8t − 17t + = ⇔  t =  + Với t = ⇒  25 + 445 x = x + 5x + = ⇔ x − 25 x + 15 = ⇔  x − 5x +  25 − 445 x =  12 + Với t = ⇒  325 + 26245 x=  x + 5x + 126 = ⇔ 63 x − 325 x + 315 = ⇔  x − 5x +  325 − 26245 x = 126  Vậy phương trình có nghiệm là: x = 25 ± 445 325 ± 26245 và x = 126 * Nhận xét: Với những phương trình vô tỉ chứa mà biểu thức chứa bậc cao mà ta có thể phân tích được tích thì ta có thể đặt ẩn phụ để giải Ví dụ Giải phương trình: 7( x − 2) x − + (11 − x) − x + = −2 x + x − − x (4) * Phân tích hướng giải: Quan sát bài toán này, ta thấy phương trình chứa ba thức, đó có hai thức chứa nhị thức bậc nhất và một thức chứa tam thức bậc hai Với phương trình này thì dùng phép nâng lên lũy thừa sẽ rất khó thành công Vì vậy ta sẽ chuyển hướng tìm mối liên hệ giữa các đại lượng phương trình để tìm cách đặt ẩn phụ Trước hết ta quan tâm đến hai nhị thức bậc nhất và một tam thức bậc hai ở có liên quan gì với không ? Ta có: −2 x + x − = (2 x − 1)(4 − x) Mặt khác, hệ số đứng trước các thức chứa nhị thức bậc nhất không có sự tương đồng nên ta không nên đặt ẩn phụ mà đặt hai ẩn phụ và sử dụng phương pháp hệ số bất định để tìm mối liên hệ giữa các đại lượng Cách giải: 2 x − ≥  ⇔ ≤ x ≤ - Điều kiện: 4 − x ≥  −2 x + x − ≥  u = x − - Đặt:  v = − x ; u, v ≥ - Khi đó ta có: 7(x-2) = 2u2-3v2 , 11-8x = -3u2 + 2v2, 2x-6 = 2u2 - 2v2 Lúc đó phương trình đã cho trở thành: 2u3 -3u2v - 3uv2 + 2v3 = -(2u2 -5uv +v2) (*) Nhận xét rằng vế trái và vế phải của (*) đều là phương trình đẳng cấp Do đó ta xét các khả năng: Với v =0 ⇒ u= 0, không thỏa phương trình đã cho Với u,v > 0, đặt u = kv (k>0) Khi đó (*) trở thành: 13 (2k − 3k − 3k + 2)v3 = −(2k − 5k + 2)v ⇔ (k + 1)(2k − 5k + 2)v = −(2k − 5k + 2)v  k=  ⇔ (2k − 5k + 2) [ (k + 1)v + 1] = ⇔  k = 2 vì (k+1)v+1>0 Với k = ⇔ x − = 1 − x ⇔ x − = (4 − x) ⇔ x = Với k = ⇔ x − = − x ⇔ x − = 4(4 − x) ⇔ x = 17  Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm: x =  ; 17   9  * Nhận xét: Bài toán này là bài toán có cách đặt ẩn phụ thường gặp phương trình vô tỉ Có thể phát triển bài toán này theo nhiều góc độ khác và ứng với góc độ ta sẽ có cách đặt ẩn phụ phù hợp Ví dụ Giải phương trình: x + x = 2x + + (5) 2x * Phân tích hướng giải: Quan sát bài toán này, ta thấy hai đại lượng x + x và 1   x+ = x+ + nên ta có thể đặt ẩn phụ có mối liên hệ với là  x + ÷ 4x 4x x  để giải phương trình này Cách giải - Điều kiện: x > - Đặt 1  x+ = t ( t ≥ ) ta có:  x + = x+ +1 ÷ x 4x x  - Khi đó phương trình (5) trở thành: t = 5t = 2(t − 1) + ⇔ 2t − 5t + = ⇔  t =  2 Do t ≥ nên t = loại 14   2−   2− x =   ÷ ÷  x=    = ⇔ 2x − x + = ⇔  ⇔ Với t = ⇒ x +  x 2+    2+  x=  x =  ÷ ÷     Vậy phương trình có nghiệm là: x = 3± 2 ( )   2 Ví dụ Giải phương trình:  x + x + − ÷+ − x + x + = (6)   * Phân tích hướng giải: Bài toán thoạt nhìn ta thấy hết sức rối mắt vì đã chứa hai bậc lệch lại còn các đại lượng dưới thức lại chứa Tuy nhiên quan sát một chút và đủ tinh ý đại số, ta thấy rằng hai đại lượng chứa hai thức có gắn kết với )( ( ) 2 Thật vậy, ta có: x + x − − x + x + = Từ đó nếu ta đặt: t = x + x − ⇒ − x + x + = t Vậy là xem mối liên hệ giữa đại lượng có phương trình và ẩn phụ hóa đã hoàn tất Cách giải: t Đặt: t = x + x − ⇒ − x + x + = Lúc đó phương trình đã cho trở thành phương trình: ( ) t −3 = ( ) ⇔ t − = ⇒ t + − = (*) t t t Lại đặt u = t , u > Ta có (*) trở thành:  u = −1 4u + − = ⇔ 4u − 3u + = ⇔  u = u  Đối chiếu điều kiện ta có: u2 = 1 ⇔ 6t = ⇔t= 2 Từ đó ta có: 1   x ≤ x ≤  1 − 213   26 x + x2 + = ⇔  ⇔ ⇔ x = 13 27  x2 + = x2 + x + x = 1−   25 212 27 15 Nhận xét: Việc phương trình có chứa cặp số mà tích của chúng bằng k số thực thì việc giải quyết nó bằng ẩn phụ là hoàn toàn có thể giải quyết được, một lối cũng thường gặp Ví dụ 6: Giải phương trình: x − − x − x − + x − x = = (6) Phân tích hướng giải: Quan sát bài ta thấy bài toán có chứa ba thức bậc ba, đó có hai thức có chức tam thức bậc hai nên nếu dùng phép lũy thừa cho bai toán nàycó thể chúng ta dính phải những tính toán rắc rối Do đó ta chuyển hướng đặt ẩn phụ cho bài toán này Trược tiên ta tìm mối liên hệ giữa các đại lượng tham gia phương trình xem chúng ta có được điều gì? 2 Nhận xét ta có: ( x + 1) + ( − x + x + ) + ( x − x − 1) = a = x +  3 3 Do đó nếu đặt b = − x + x + ⇒ a + b + c =  c = x − x − a + b + c = Từ kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ:  3 a + b + c = Quan sát hệ này, ta thấy chìa khóa để giải quyết bài toán chính là dùng hằng đẳng thức Cách giải: a = x +  3 3 Đặt: b = − x + x + ⇒ a + b + c =  c = x − x − a + b + c = Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ:  3 a + b + c = Lại có: ( a + b + c ) = a + b3 + c3 + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a )  x − = −3 − x + x +  a = −b   ( a + b ) ( b + c ) ( a + c ) = ⇔ b = − c ⇔  − x + x + = − x − x −  c = − a  x2 − 8x − = − x −  Suy ra:  x − 8x + =  x = ±1  ⇔ 7 x = ⇔  x =  x2 − x =  x =  Thử lại ta có tập nghiệm của phương trình là T = { −1;1;9} 16 Kết luận: Theo ví dụ phân tích ta thấy để giải một phương trình vô tỉ phương pháp đặt ẩn phụ thì ta cần phải phát đại lượng liên quan đến ẩn phụ mối quan hệ nào ? Tìm mối quan hệ ta đến lời giải bài toán IV Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm Trên sở thực tiễn việc đổi mới phương pháp và nội dung giảng dạy môn Toán cho học sinh lớp 10 là hợp lý và thu được kết quả tốt, đã thực hiện thành công mục tiêu đề ra, đó là tận dụng, phát huy được trí tuệ của học sinh Kết quả về điểm số là khả quan sở đặt tỷ lệ đó vào mối tương quan với chất lượng các lớp thực nghiệm và các lớp dạy theo phương pháp truyền thống Học sinh đó bắt đầu nắm vững kiến thức, có kỹ biến đổi chuyển hoá một số bài toán thành thạo, có hứng thú, say sưa học toán Bên cạnh một số bài tập bản phù hợp với đa số đối tượng học sinh, cũng có những bài tập đòi hỏi học sinh phải có khả tư cao, phải tích luỹ được nhiều kinh nghiệm Từ đó, khuyến khích lòng hăng say tìm tòi giải bài tập của một nhóm học sinh có nhận thức khá Tôi đã chọn lớp 10A1 là lớp thực nghiệm (TN) để dạy cho học sinh, còn lớp 10A4 là lớp đối chứng (ĐC) dạy theo sách giáo khoa Kết quả thực nghiệm thu được cho hai lớp làm một đề kiểm tra 45 phút về phương trình vô tỉ sau: Lớp n Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng Số HS đạt điểm xi 10 45 0 0 15 11 45 0 11 12 Qua bảng chúng ta có thể thấy, ở lần kiểm tra quá trình thực nghiệm thì tỷ lệ khá giỏi của lớp thực nghiệm đều cao hẳn lớp đối chứng Ngược lại tỷ lệ điểm trung bình và dưới trung bình của các lớp đối chứng lại cao nhiều so với các lớp thực nghiệm 17 PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Việc nghiên cứu, áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ở mức độ ban đầu nên kết quả còn nhiều hạn chế Đòi hỏi phải tiếp tục đầu tư thời gian và trí tuệ một thời gian dài để hoàn thành tốt việc giảng dạy phần kiến thức này cho học sinh Đề tài là những kinh nghiệm nhỏ, kết quả của sự nghiên cứu cá nhân, thông qua một số tài liệu tham khảo nên không tránh khỏi những hạn chế, khiếm khuyết Do giới hạn về thời gian cũng các điều kiện khác nên chưa thực hiện thực nghiệm được quy mô lớn Chính vì thế mà kết quả thực nghiệm chắc chắn chưa phải là tốt nhất Mặc dù vậy, qua thời gian thực nghiệm nhận thấy rằng, việc tạo hứng thú học tập môn Toán cho học sinh thông qua khai thác một bất đẳng thức nói chung là điều rất cần thiết góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy, phát huy được tính tích cực học tập của HS, đáp ứng được yêu cầu đổi mới về nội dung và phương pháp dạy và học hiện Kiến nghị Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề Dù đã có nhiều cố gắng, song hạn chế về thời gian và điều kiện nghiên cứu nên sáng kiến kinh nghiệm này còn nhiều thiếu sót Rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để có thể hoàn thiện nữa ở các đề tài nghiên cứu tiếp theo XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 21 tháng 05 năm 2016 Tôi xin cam đoan là SKKN của mình viết, không chép nội dung của người khác Trương Văn Hòa 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Đại số 10 (NXB Giáo dục) Sách hướng dẫn giảng dạy (NXB Giáo dục) Tài luệu tập huấn sách giáo khoa (NXB Giáo dục) Các bài giảng luyện thi môn toán (NXB Giáo dục - Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thớng Nhất) Toán nâng cao Đại số 10 (Phan Huy Khải) Báo Toán học tuổi trẻ (NXB Giáo dục) Các đề thi đại học các năm trước 19 ... phương trình vô tỉ phương pháp đặt ẩn phụ" - Qua nội dung của đề tài này mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh các dạng phương trình vô tỉ thường gặp giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ. .. của phương trình là T = { −1;1;9} 16 Kết luận: Theo ví dụ phân tích ta thấy để giải một phương trình vô tỉ phương pháp đặt ẩn phụ thì ta cần phải phát đại lượng liên quan đến ẩn phụ mối... trình vô tỉ (Phương trình chứa ẩn dấu căn) Phương pháp nghiên cứu 4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Nghiên cứu tài liệu và các công trình nghiên cứu về phương trình vô tỉ - Nghiên