SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT HẬU LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DẠY PHỤ ĐẠO HỌC SINH YẾU KÉM GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN HÀM SỐ LỚP 11 Người thực hiện: Nguyễn Thị Den Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HÓA, NĂM 2016 MỤC LỤC Trang PHẦN MỞ ĐẦU 1.1.Lí chọn đề tài………………………………………………… 1.2.Mục đích nghiên cứu………………………………………………2 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………… 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận……………………………………………………… 2.2 Thực trạng đề tài……………………………………………….4 2.3 Giải pháp thực hiện……………………………………………… I Dạng không vô định…………………………………………….5 II Dạng 0/0, khơng chứa …………………………………….6 III Dạng 0/0, có chứa căn…………………………………………6 IV Dạng vô định không chứa căn…………………………………12 V Dạng vơ định có chứa căn………………………………………13 2.4 Kết kiểm nghiệm………………………………………… 18 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận…………………………………………………………….18 3.2 Kiến nghị đề xuất……………………………………………… 19 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, tốn tìm giới hạn hàm số ứng dụng giới hạn hàm số phần quan trọng mà học sinh thường xuyên gặp Cụ thể cung cấp kiến thức ban đầu để học sinh tiếp cận đạo hàm hàm số; toán liên quan đến đường tiệm cận đồ thị hàm số; biến thiên hàm số, đặc biệt toán khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số tốn có liên quan Các dạng tốn nói quan trọng đề thi tốt nghiệp tuyển sinh đại học năm trước đề thi THPT quốc gia năm năm tới Tuy nhiên, phần kiến thức giới hạn hàm số trừu tượng nên đa số học sinh, đặc biệt học sinh có học lực yếu trung bình Các em thường gặp khó khăn việc giải toán liên quan đến kiến thức này, cụ thể việc xác định dạng sử dụng phương pháp phù hợp với tốn Những dạng tốn ngồi việc địi hỏi học sinh nắm vững lý thuyết cần phải nắm phương pháp nhận dạng cách giải tương ứng Vì vậy, để giúp học sinh học tập tốt phần này, giáo viên có tài liệu tham khảo để giảng dạy, góp phần nâng cao chất lượng dạy học Tôi mạnh dạn đưa số kinh nghiệm đúc rút từ nhiều năm giảng dạy thông qua đề tài: “ Dạy phụ đạo học sinh yếu giải số toán tìm giới hạn hàm số lớp 11” 1.2.Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu khó khăn thuận lợi học sinh, đặc biệt học sinh yếu học phần giới hạn hàm số - Phát triển tư hàm, tư logic, khả tổng hợp, so sánh phân tích học sinh - Thơng qua đề tài mong muốn giúp học sinh, đặc biệt học sinh học yếu học tốt phần giới hạn hàm số Hy vọng đề tài nhỏ giúp bạn đồng nghiệp làm tư liệu tham khảo thêm Giúp cho trình dạy học mơn tốn đạt hiệu cao 1.3.Đối tượng nghiên cứu - Học sinh khối 11 THPT - Giáo viên giảng dạy mơn Tốn bậc THPT - Về nội dung đưa cách phân loại dạng phương pháp giải tương ứng với dạng toán cụ thể tốn tìm giới hạn hàm số lớp 11 1.4.Phương pháp nghiên cứu Phương pháp - Nghiên cứu lí luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp, so sánh, đúc rút kinh nghiệm Cách thưc Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên tổ môn Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút trình giảng dạy NỘI DUNG 2.1.Cơ sở lí luận Trong thực tế giảng dạy cung cấp kiến thức làm tập mà không ý tới dạng tốn học sinh gặp khó khăn gặp dạng toán phát triển từ dạng toán ban đầu Đặc biệt học sinh thuộc dạng trung bình – yếu tư em bị hạn chế Do đó, để học sinh nắm bài, nhớ tốt theo nên tổng hợp lại dạng tốn để học sinh vận dụng tốt gặp phải dạng toán tương tự Để thực đề tài này, sau học sinh làm tập sách giáo khoa, giao nhiệm vụ cho tổ số dạng để học sinh tổ thảo luận tóm tắt dạng tốn làm ví dụ tơi u cầu, sau tổng hợp tổ lại tiến hành nhận xét chỉnh sữa lại cho hoàn chỉnh Một số kiến thức cần lưu ý: Hằng đẳng thức đáng nhớ (dùng nhân liên hợp) a − b2 = ( a − b ) ( a + b ) a − b3 = ( a − b ) ( a + ab + b ) a + b3 = ( a + b ) ( a − ab + b ) Một số định lý giới hạn hàm số: Định lý: (Các phép toán giới hạn hàm số) Nếu hàm số f(x) g(x) có giới hạn x → lim [ f ( x) ± g ( x) ] = lim f ( x) ± lim g ( x) x →a x →a a thì: x →a lim [ f ( x).g ( x) ] = lim f ( x).lim g ( x) x →a lim x →a x →a x →a f ( x) f ( x ) lim = x →a ,(lim ≠ 0) g ( x ) lim g ( x) x→a x →a lim f ( x) = lim f ( x),( f ( x) ≥ 0) x →a x →a Giới hạn bên: Định nghĩa: Số L gọi giới hạn bên phải ( bên trái) hàm số f(x) x dần tới a, với dãy số (xn) với xn > a (hoặc xn < a) cho limxn = a limf(xn) = L lim = L (hoặc lim f ( x) = L ) Ta viết: x →a x →a + − f ( x) = L lim f ( x), lim f ( x) tồn Định lý: Điều kiện cần đủ để lim x →a x →a x →a L Các dạng vô định: Khi tìm giới hạn hàm số, ta gặp số trường hợp vô định sau (dạng vô định dạng suy kết mà phải tìm cách để khử) u ( x) lim u ( x) = lim v( x) = x → x0 1) xlim mà x→ x0 (ta ký hiệu ) → x0 v ( x ) ( x →∞ ) ( x →∞ ) ( x →∞ ) u ( x) ∞ lim u ( x) = lim v( x) = ∞ x → x0 2) xlim mà x→ x0 (ta ký hiệu ) → x0 v ( x ) ( x →∞ ) ( x →∞ ) ∞ ( x →∞ ) + 3) lim [ u ( x ).v( x ) ] x → x0 ( x →∞ ) ) 4) mà lim [ u ( x) − v( x) ] x → x0 ( x →∞ ) lim u ( x) = x → x0 ( x →∞ ) mà lim u ( x) = lim v( x) = −∞ x→ x0 ( x →∞ ) x → x0 ( x→∞ ) − lim v( x ) = ∞ x → x0 ( x →∞ ) (ta ký hiệu 0.∞ lim u ( x) = lim v( x) = +∞ x→ x0 ( x →∞ ) (ta ký hiệu x → x0 ( x→∞ ) ∞−∞) 2.2.Thực trạng đề tài Giới hạn mảng kiến thức trừu tượng học sinh phổ thông nên việc tiếp cận kiến thức khó đa số học sinh đặc biệt học sinh có học lực trung bình, yếu Sau nhiều năm giảng dạy mơn Tốn cấp THPT tơi thấy cịn nhiều học sinh học tập mơn tốn cách thụ động, đối phó; kĩ giải tốn cịn yếu, đặc biệt kĩ nhận dạng phân loại dạng toán áp dụng phương pháp phù hợp cho dạng tốn cịn nhiều lúng túng Ngun nhân chủ yếu học sinh kiến thức, kĩ phương pháp giải toán; lại thêm lười học, thiếu ý thức tự học.Thực trạng dẫn đến: Còn nhiều học sinh học trước quên sau nên chưa có hứng thú học tập mơn Tốn, đặc biệt phần giới hạn hàm số Số liệu thống kê lớp 11C5, 11C7 chưa triển khai đề tài Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Kém 11C5 45 19 15 11C7 44 15 18 2.3 Giải pháp thực hiện: Đề tài phân loại dạng toán cụ thể phương pháp giải tương ứng Cụ thể có đề cập đến phương pháp: + Cách thêm bớt số hạng cách xem xét đưa dạng vô định thành tổng hai dạng vô định loại Phương pháp giúp học sinh dễ dàng việc xác định số hạng cần thêm bớt + Cách dùng “số hạng vô cực” để xác định toán cần nhân lượng liên hợp tốn khơng nhân lượng liên hợp Phương pháp giúp học sinh nhân lượng liên hợp cách hợp lý cho toán cụ thể, tránh việc nhân lượng liên hợp tùy ý thấy có thức Nội dung cụ thể đề tài: I Dạng không vô định: Nhận dạng: x dần đến a, a vào biểu thức cho ta kết số thực dạng L/0 Phương pháp giải: a vào biểu thức cho, ta kết số thực (Kiểu hầu hết học sinh làm được) Ví dụ: Tính giới hạn sau: 1) lim (2 x3 − x + 4) = 2.( −2 ) − ( −2 ) + = −26 x →−2 x + x + 12 + 4.1 + 2) lim = =6 x →1 x − x + 1 −1 +1 − ( −3 ) + ( −3 ) − x + 2x = =2 x →−3 x +1 −3 + 4) lim( x + + x ) = ( −1 + + −1) = 3) lim x →−1 x − 25 52 − 25 5) lim = =0 x+2 5+2 x →5 Nếu gặp dạng x dần đến a, không vô định nên ta a vào, kết số thực ta áp dụng định lí Ví dụ:  lim− ( x + 1) = 2x +  x→1 6) lim− = −∞  x→1 x − ( x − 1) = 0;x − < 0, ∀x <  lim x →1−  lim+ ( x + 1) = x +1  x→ 7) lim+ = −∞  x→2 − x ( − x ) = 0;2 − x < 0, ∀ x >  xlim → 2+  lim+ ( x + x + ) = 12 x2 + x +  8) lim+ = +∞  x→2 x →2 x−2 lim ( x − ) = 0; x − > 0, ∀x >   x → 2+ Nhận xét: Dạng cần học sinh biết cách xét dấu biểu thức mẫu số áp dụng định lí SGK II Dạng 0/0, không chứa căn: Nhận dạng: x dần tới a, không chứa thức, a vào biểu thức ta đượckết 0/0 Phương pháp giải: ta đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), a vào biểu thức sau rút gọn ta kết giải thích kết khơng phải số thực Ví dụ: Tính giới hạn sau: x2 + x − ( x − ) ( x + 3) = lim x + = 1)lim = lim x→ x→ ( x − ) ( x + ) x→ x + x −4 x − 16 ( x − ) ( x + ) = lim x + = 2)lim = lim x → x + x − 20 x→4 ( x − ) ( x + ) x→4 x + x2 − x + ( x − 1) ( x − 3) = lim x − = 3) lim = lim ( ) x →3 x →3 x →3 x −3 x −3 x3 − 3x + ( x − 1) ( x − ) = lim ( x − ) 4)lim = lim 2 x →1 x − x − x + x→1 ( x − 1) ( x + 1) x→1 ( x − 1) ( x + 1) − x2 ( − x ) ( + x ) = lim − x = = 5) lim = lim x →−2 x + x→−2 x + ( ) ( x − x + ) x→−2 x − x + 12 x+3 x+3 −1 = lim = lim = x →− x − x →− ( x + ) ( x − ) x →− x − 6) lim 7)lim x →3 x2 − 4x + ( x − 1) ( x − 3) = lim x −1 = = lim ( ) x →3 x →3 x −3 x −3 Nhận xét: Dạng cần dạy cho học sinh thành thạo cách phân tích đa thức thành nhân tử, hướng dẫn em sử dụng máy tính cầm tay III Dạng 0/0, có chứa căn: Nhận dạng: x dần tới a, a vào biểu thức ta 0/0, có chứa không đặt nhân tử chung (x-a) Phương pháp giải: Ta nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp, sau đặt nhân tử chung (x-a), đơn giản (x-a), a vào biểu thức cuối ta kết giải thích kết khơng phải số thực Ví dụ: 1)lim x→0 + 2x − = lim x→ 2x = lim 1 = + 2x + 2)lim 4x = lim + x − x→ x →0 x→ = lim x→ ( ) 4x ( ( ( )( + 2x − 2x ( 9+ x +3 9+ x −3 )( ) = lim + 2x + ) + 2x + ) 9+ x +3 ) = lim x→ 4x x→ x →1 x →1 ( 9+ x +3 ) + 2x + = ) x + x + = 24 ) ( x + + 3) ( + ( ) ( x + + 3) ( + −2 ( + x + ) −4 ( 2x − 2) ( + x + ) = lim = lim = ( − x ) ( x + + 3) ( x + + 3) 3) lim ( 2x 2x ( 2x + − 2x + − = lim x →1 2− x +3 2− x+3 x+3 x+3 ) )= x →1 ( )( ( x − 3x − x + 3x − x − 3x − = lim x →2 x2 − ( x − ) ( x + ) x + 3x − 4)lim x →2 ( x − 1) ( x − ) x →2 ( x − ) ( x + ) ( x + 3x − ) x − 3x + = lim = lim ( x − ) ( x + ) ( x + 3x − ) ( x − 1) = lim = x →2 ( x + ) ( x + 3x − ) 16 x →2 + 2x − x + = lim x →−1 3x + 5) lim x →−1 = lim x →−1 ( x + 3) ( ( = lim 2x + + x − (x = lim ( − x + 3) )( + x − 3) ( x→0 x →−1 1 = + 2x + ( ( (x ( 2x + − x + ) ) 2x ( ( )( )( ) (x ( −x − x + 3) ) ) ) = 2x + − x + 2x + − x + x→1 =− + 2x − + 2x + x + ) = lim 2x + − x + + 2x + x + + 2x + x + − x + 3) )( 2x + + x − 2x + − x + + 2x − 7)lim = lim x→ x→ 2x = lim ) − ( x − 1) ( x − ) ( x − 1) ( x + x − 3) ( − ( x − 9) = lim (x ( = lim 2x + − x + x →1 x →1 ( x + 3) ( + 2x + x + 2x + + x − = lim x →1 x3 − x + x →1 + 2x − x + (1+ x) 6)lim x →1 ( ) ) ) + 10 x − ) ( 2x + − x + ) ) ) = lim + 2x + ) + 2x + x→ 2x ( 2x ) + 2x + )( ) ( )  x + x + 22  x −  ÷ 4x −   8)lim = lim x→2 x→ x−2 ( x − )  x + x + 22 ÷   = lim x →2 ( x − 8) ( x − )  ( x )  x −1 9)lim = lim x →1 x − x→1 = lim x →1 ( x − 1) ( ( x − 1)  ( x ) ( ( = lim  ) x + x + 22 + x + 22 ÷  x −  x + x + 1÷ x +   x −1 x +  x + x + 1÷   x →2 )( ) ( )( )( ) ) x +1 ( + x + 1÷  2− x+3 10)lim = lim x →5 x →5 x − 25 (2− (x ( x) + x + )  +  x →1 3 x +1 ( = ( x+3 + − 25 )  22 + x + +  ( ( x + − x2 + x + 11)lim = lim x →0 x →0 x = lim x →0 x − x2 ( x + + x2 + x + ) ( = lim x →0 ) x + ÷  x + ÷  ) ) 2   3 x + x − + x + + x + ( )( ) ÷   −1 −1 = lim = x →5 ( x + 5)  22 + x + + x + ÷ 300   x →5 = ) x +1 = lim 5− x = lim ) x + − x2 + x + x ( )( x + + x2 + x + x + + x2 + x + −x x + + x2 + x + ) ) =0 x2 − 2 x2 − x + −2 12) lim x→ ( x − ) ( x + ) = lim ( x − ) ( x + ) x −2 −( x − 2) ( x − 2) ( x + 2) −( x − 2) ( x − ) ( x + ) = lim x + = 2 = lim x + −1 2 −1 ( x − ) ( x + − 1) = lim x→ 2 x→ x→ x+2 x −3 13)lim = lim x →1 x − x + x →1 x→ ( ( )( x − 1) ( x −1 ) = lim x − 4) x +3 x →1 x + −4 = x−4 10 3x − − x − x − 14)lim x →1 x − 3x + 3x − + ( = lim (x x →1 = lim x →1 (x ) x − x − (3x − − x − x − 2) ( − 3x + ) 3x − + x − x − 2 x − 11x + ( − 3x + ) 3x − + x − x − = ) ) ( x − 1) ( x − ) x →1 ( x − 1) ( x − ) ( 3x − + x − x − ) = lim = lim x →1 5x − ( x − ) ( 3x − + 4x2 − x − ) = ( x + 1) ( x − x + ) x3 − x2 + x + x − x + −7 15) lim = lim = lim = x →−1 x →−1 x →−1 x − 3x − x −4 ( x + 1) ( x − ) x + 3) ( x − ) x + ) ( x − 3) ( x + ) ( ( x − x − 27 16) lim = lim = lim x →−3 x + x + x + x→−3 x + x + ( )( ) x→−3 ( x + 3) ( x2 + 1) (x = lim x →−3 + 3) ( x − ) (x + 1) =− 36 )( ) )( ) ( x + 1) ( x − ) ( x + + 3) ( x − x − ) ( x + + 3) = lim = lim 4( x − 2) ( x + x + ) ( x − 8) ( x + x + ) ( x + 1) ( x + + 3) = lim = 4( x + x + ) − − x ) 1 + − x + ( − x ) ÷ ( 1− 1− x   18)lim = lim x x 1 + − x + ( − x ) ÷   17)lim x →2 ( ( )( )( x− x+2 x+ x+2 4x + + x− x+2 = lim x + − x →2 x + − x + + x + x + 2 x →2 x →2 x →2 3 x →0 = lim x →0 x →0 x x 1 + − x +  ( 3 1− x )  ÷  = lim x →0 3 1+ 1− x + ( 1− x ) = 11 19) lim ( x + 1) ( = lim x →−1 = lim x2 + − x →−1 = lim x +1 ( x − 1)  x→−1 ( ( ( ) x ) − x + 1÷  x2 + + x→−1 ( x − 1)  ( x )  ) ( x) x +   x2 + − x2 + + 3 − x + 1÷  = lim = x →−1 )( ) ( − x + 1÷ x + +  x + +  x − x + 1÷   )( ) ( x + 1) ( x2 + + ( x − 1) ( x + 1)  ( x ) ) − x + 1÷   −2 ( )( )( ) ( )( )( ) − ( + − x ) −1 ( − x) (1 + − x ) = lim = lim = 3 + + x x − + + x ( )( ) ( x − 1)  ( x ) + x + 1÷ ( x + + ) x −1 21)lim = lim x +3 −2 ( x + − 2)( x + + 2)  ( x ) + x + 1÷ − + x + + x 1+ − x 3− 5+ x 20)lim = lim x →4 − − x x→4 1− − x 1+ − x + + x x →4 x →4 3 x →1 = lim x →1 = lim x →1 x →1 (x ( x − 1) ( − 1)   x2 + + ( x) ) ( x + 1)  ( x )  + x + 1÷  2 + x + 1÷  x2 + + 2 = lim = x →1 ( x − 1) ( x2 + + ( x − 1) ( x + 1)  ( x )  ) + x + 1÷  3 x − + − x + x2 x − + + − x + x2 − 22)lim = lim x →1 x→1 x2 − x2 −  x − +1 − x + x2 −  = lim  + ÷ 2 x →1  ÷ x − x −     x − 2 − x − + 1 x − +  ÷ − x + x2 − 1 − x + x2 +   + = lim  x →1  ( x − 1)  x − − x − + 1÷ ( x − 1) − x + x2 +    ( )( ( ) ) ( ( )( ) ) ÷÷ ÷  12    ÷ x −1 x −x = lim  + ÷ x →1  ( x − 1) ( x + 1)  x − − x − + 1÷ ( x − 1) ( x + 1) − x + x + ÷        ÷ x x − x −1 ( ) = lim  + ÷ x →1   3 x − x + 1 − x + x + )( )  ( x − 1) ( x + 1)  x − − x − + 1÷ ( ÷        ÷ x = lim  + ÷= x →1   3 x + 1 − x + x + ( )  ( x + 1)  x − − x − + 1÷ ÷ 12     ( ) ( ) ( ) ( ) ( 23)lim x →4 ) ( ) + 2x − = lim x →4 x −2 ( ( x − 8) ( x + ) x →4 ( x − ) ( + x + 3) = lim + 2x − ( x −2 = lim x →4 ( )( )( + 2x + x +2 2( x − 4) ( x − 4) ( )( ( )( + 2x + x +2 ) + 2x + ) x +2 ( ) ) = lim ) x →4 ( ) x +2 ) + 2x + = ) 1 + − x + − x  − − x  ÷ 1− 1− x   24) lim = lim x →0 x → 3x x 1 + − x + − x ÷   x = lim = lim x →0 x →0  3x 1 + − x + − x ÷ 1 + − x + − x    ( ( ) ( )  ÷  = Nhận xét: Đối với dạng toán học sinh có học lực yếu việc tiếp thu kiến thức khó khăn nên tơi phải kiên trì dạy cho em sử dụng đẳng thức thành thạo, phát nhanh biểu thức liên hợp cần nhân tính tốn khai triển biểu thức tốt IV Dạng vô định không chứa căn: Nhận dạng: x dần đến vô cực, không chứa Phương pháp giải: đặt lũy thừa bậc cao x làm nhân tử chung, đơn giản, suy kết giải thích kết khơng phải số thực Ví dụ: Tính giới hạn sau: 13 1  x5 1 + + ÷ 1+ + x + 2x + x x  x x = +∞ 1) lim = lim  = lim x x →+∞ x →+∞ x →+∞ x +1  1 1+ x 1 + ÷  3  lim x = +∞  x→+∞  1+ +  x x =1  xlim →+∞  1+  Bài có dạng x dần đến vô cực, không chứa nên đặt nhân tử chung, đơn giản, suy kết dựa vào định lí SGK 1  x2  + + ÷ 2+ + 2 x + 3x + x x x x =2 2)lim = lim  = lim x→∞ x − x + x→∞  5  x→∞ 3− + x 3 − + ÷ x x x x   Bài cho ta kết số thực Các toán tương tự: 1 x (1 − )(2 + )( − 4) ( x − 2)(2 x + 1)(1 − x) x x x 3) lim = lim x →−∞ x →−∞ (3x + 4) x3 (3 + )3 x 1 (1 − )(2 + )( − 4) −8 x x x = lim = x →−∞ 27 (3 + )3 x     x 1 + − ÷ 1+ − ÷  x x  x x  4)lim  = lim  = 0.1 = x →∞   x→∞ x   x 1 − + ÷ 1 − + ÷ x x  x x    V Dạng vơ định có chứa căn: Nhận dạng: x dần đến vơ cực, có chứa Phương pháp giải: dạng phải nhân liên hợp Ta gọi ax n “số hạng vô cực” xn lũy thừa bậc cao x, axn tính cách quan tâm đến số hạng có lũy thừa cao Nếu axn =0xn: ta nhân liên hợp 14 Nếu axn ≠ 0xn: ta không nhân liên hợp mà đặt nhân tử chung lũy thừa bậc cao x Có thể minh họa ví dụ cụ thể sau đây: Ví dụ: Tính giới hạn sau: 1) lim ( x + x x →+∞ ( − x) = lim x →+∞ x = lim = lim x2 + x + x x →+∞ x→+∞ x2 + x − x ( )( x2 + x + x x2 + x + x ) ) x   x  + + 1÷ x   1 = x →+∞ 1+ +1 x Nhận xét: Bài có dạng x dần đến vơ cực, vơ định, dạng phải nhân liên hợp có chứa căn, cách nhận biết nhân liên hợp sau: Chỉ quan tâm đến số hạng có bậc cao kết 0x ta phải nhân liên hợp Ở ta có: x + x − x ? x − x ? x − x ? x Do ta phải nhân liên hợp, đặt nhân tử, đơn giản suy kết      1 2) lim x + x − x = lim  x 1 + ÷ − x ÷ = lim  x + − x ÷ ÷ x→−∞ x →−∞ x →−∞  x x          1 = lim  − x + − x ÷ = lim x  − + − 1÷ = +∞ x →−∞ x →−∞ x x     x = −∞  xlim →−∞     lim − + −  ÷ = −2  x→−∞ x    = lim ( ) Bài có dạng x dần đến vơ cực, vơ định, dạng phải nhân liên hợp có chứa căn, cách nhận biết nhân liên hợp sau: Chỉ quan tâm đến số hạng có bậc cao kết 0x ta phải nhân liên hợp Ở ta có: x + x − x ? ? x − x ? ? x − x ? ? −x − x ? ? −2 x (ta cần lưu ý x → −∞ nên x0, x = x ) Do ta phải nhân liên hợp, đặt nhân tử, đơn giản suy kết x →+∞ 6) lim x →−∞ ( x2 + x + x x = lim ) ( = lim x2 + x + x x2 + x − x ) x2 + x − x x →−∞ = lim )( x = lim x x→−∞  1 x 1+ − x x 1 + ÷ − x x x  x x −1 = lim = lim = lim = x →−∞ x →−∞   x→−∞ 1 −x 1+ − x − 1+ −1 x  − + − 1÷ x x x   Bài ta có: x + x + x ? ? x + x ? ? x + x ? ? −x + x ? ? x (ta cần lưu ý x → −∞ nên x