CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM -–TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 01 NGUYÊN HÀM Định nghĩa Cho hàm số f ( x ) xác định khoảng K Hàm số F ( x ) gọi ngun hàm hàm số f ( x ) F ' ( x ) = f ( x ) với x ∈ K Nhận xét Nếu F ( x ) ngun hàm f ( x ) F ( x ) + C , (C ∈ ℝ ) ngun hàm f ( x ) f ( x ) dx = F ( x ) + C ∫ Ký hiệu: Tính chất (∫ f ( x ) dx ) / = f (x ) ∫ a f ( x ) dx = a.∫ f ( x ) dx (a ∈ ℝ, a ≠ 0) ∫  f ( x ) ± g ( x )dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx Bảng ngun hàm số hàm số thường gặp Bảng ngun hàm ∫ kdx = kx + C , x α +1 + C (α ≠ −1) α +1 ∫ x α dx = ∫ dx = ln x + C x ∫e x dx = e x + C ∫a x dx = ax +C ln a k số α +1 (ax + b ) a α +1 α ∫ (ax + b ) dx = +C ∫ ax + b dx = a ln ax + b + C ∫e ax +b ∫a dx = mx + n ax +b e +C a dx = a mx +n +C m ln a ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos (ax + b ) dx = a sin (ax + b ) + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin (ax + b ) dx = − a cos (ax + b ) + C ∫ cos x ∫ sin x 1 dx = tan x + C ∫ cos dx = − cot x + C ∫ sin 2 1 dx = tan (ax + b ) + C a (ax + b ) 1 dx = − cot (ax + b ) + C a (ax + b ) CÂU HỎI & B(I TẬP TRẮC NGHIỆM 12 NGUYỄN PHÚ KHÁNH – HUỲNH ĐỨC KHÁNH Đăng ký mua trọn trắc nghiệm 12 FILE WORD Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975 120 189 https://www.facebook.com/duckhanh0205 Khi mua có sẵn file word đề riêng; file word đáp án riêng thuận tiện cho việc dạy Câu Hàm số f ( x ) có ngun hàm K nếu: A f ( x ) xác định K B f ( x ) có giá trị lớn K C f ( x ) có giá trị nhỏ K D f ( x ) liên tục K Lời giải Nếu hàm số f ( x ) liên tục K có ngun hàm K Chọn D Câu Mệnh đề sau sai? A Nếu F ( x ) ngun hàm f ( x ) (a; b ) ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C với C số B Mọi hàm số liên tục khoảng (a; b ) có ngun hàm khoảng (a; b ) C F ( x ) ngun hàm f ( x ) (a; b ) ⇔ f / ( x ) = F ( x ), ∀x ∈ (a; b ) D (∫ f ( x ) dx ) / = f (x ) Lời giải Chọn C Sửa lại cho là: '' F ( x ) ngun hàm f ( x ) (a; b ) ⇔ F / ( x ) = f ( x ), ∀x ∈ (a; b ) '' Câu Xét hai khẳng định sau: 1) Mọi hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] có đạo hàm đoạn 2) Mọi hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] có ngun hàm đoạn Trong hai khẳng định trên: A Chỉ có 1) `B Chỉ có 2) C Cả hai D Cả hai sai Lời giải Hàm số có đạo hàm x liên tục x Ngược lại hàm số liên tục x chưa có đạo hàm x Chẳng hạn xét hàm số f ( x ) = x điểm x = Chọn B Câu Trong khẳng định sau nói ngun hàm hàm số f ( x ) xác định khoảng D , khẳng định sai? 1) F ( x ) ngun hàm f ( x ) D F ' ( x ) = f ( x ), ∀x ∈ D 2) Nếu f ( x ) liên tục D f ( x ) có ngun hàm D 3) Hai ngun hàm D hàm số sai khác số A Khẳng định 1) sai B Khẳng định 2) sai C Khẳng định 3) sai D Khơng có khẳng định sai Lời giải Chọn D Câu Giả sử F ( x ) ngun hàm hàm số f ( x ) khoảng (a; b ) Giả sử G ( x ) ngun hàm f ( x ) khoảng (a; b ) Mệnh đề sau đúng? A F ( x ) = G ( x ) khoảng (a; b ) B G ( x ) = F ( x ) − C khoảng (a; b ) , với C số C F ( x ) = G ( x ) + C với x thuộc giao hai miền xác định F ( x ) G ( x ) , C số D Cả ba câu sai Lời giải Vì hai ngun hàm D hàm số sai khác số Do B Chọn B Câu Xét hai khẳng định sau: 1) ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = F ( x ) + G ( x ) + C , F ( x ) G ( x ) tương ứng ngun hàm f ( x ), g ( x ) 2) Mỗi ngun hàm a f ( x ) (a ≠ 0) tích a với ngun hàm f ( x ) Trong hai khẳng định trên: A Chỉ có 1) C Cả hai Lời giải Chọn C Câu Khẳng định sau sai? A Nếu B ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ∫ kf ( x ) dx = k ∫ ∫ B Chỉ có 2) D Cả hai sai f (u ) du = F (u ) + C f ( x ) dx ( k số k ≠ ) C Nếu F ( x ) G ( x ) ngun hàm hàm số f ( x ) F ( x ) = G ( x ) D ∫  f ( x ) + f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx Lời giải Các ngun hàm sai khác số nên C đáp án sai Chọn C Câu Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A ∫ 0dx = C ( C số) B ∫ dx = ln x + C ( C số) x α +1 x C ∫ x α dx = + C ( C số) D ∫ dx = x + C ( C số) α +1 Lời giải Chọn C Vì kết khơng với trường hợp α = −1 Câu Hàm số f ( x ) = có ngun hàm khoảng với khoảng cho cos x sau đây?  π π  π π A (0; π ) B − ;  C (π;2π ) D − ;   2   2  Lời giải Hàm số f ( x ) =  π π xác định liên tục − ;  nên có ngun hàm  2  cos x khoảng Chọn B Câu 10 Kí hiệu F ( y ) ngun hàm hàm số f ( y ) , biết F ( y ) = x + xy + C Hỏi hàm số f ( y ) hàm số hàm số sau? A f ( y ) = x B f ( y ) = x + y C f ( y ) = y D f ( y ) = x + y Lời giải Để tìm f ( y ) ta lấy đạo hàm F ( y ) theo biến y (tức x đóng vai trò tham số) Ta có F ' ( y ) = x Chọn A Câu 11 Kí hiệu F ( x ) ngun hàm hàm số f ( x ) F (sin x ) xác định F (sin x ) ngun hàm hàm số hàm số sau? A f (sin x ) B f (cos x ) Lời giải Theo định nghĩa, ta có ∫ C sin xf (sin x ) D sin xf (sin x ) → F ′ ( x ) = f ( x ) f ( x ) dx =F ( x ) + C ← / Áp dụng:  F (sin x ) ′ = (sin x ) F / (sin x ) = sin x f (sin x ) Chọn D   Câu 12 Xác định A C f ( x ) dx biết f ( x ) = x + ∫ ∫ (2 x + 1) dx = ∫ (2 x + 1) dx = x + x B ∫ (2 x + 1) dx = C D ∫ (2 x + 1) dx = x + x + C Lời giải Chọn D Câu 13 Hàm số sau khơng phải ngun hàm hàm số f ( x ) = ( x − 3) ? ( x − 3) A F ( x ) = ( x − 3) B F ( x ) = + 2017 D F ( x ) = C F ( x ) = ( x − 3) +x ( x − 3) 5 −1 Lời giải Xét đáp án A, ta có F ' ( x ) = ( x − 3) + ≠ f ( x ) Chọn A Cách trắc nghiệm Ta thấy hàm số F ( x ) đáp án B, C, D sai khác số nên dung phương pháp loại suy, ta chọn được đáp án A Câu 14 Kí hiệu F ( x ) ngun hàm hàm số f ( x ) = ( x + 1) F (1) = Khẳng định sau đúng? x 2x A F ( x ) = + + x 28 ⋅ 15 x 2x + + x +C x 2x C F ( x ) = x ( x + 1) D F ( x ) = + + x + x 2x Lời giải Ta có ∫ ( x + 1) dx = ∫ ( x + x + 1) dx = + + x +C 28 28 Theo giả thiết F (1) =  → + +1+C =  → C = Chọn A 15 15 B F ( x ) = Câu 15 Tìm hàm số F ( x ) biết F ' ( x ) = x + x + đồ thị hàm số y = F ( x ) cắt trục tung điểm có tung độ e A F ( x ) = x + x + e B F ( x ) = cos x + e −1 C F ( x ) = x + x + x + D F ( x ) = x + x + x + e Lời giải Ta có F ( x ) = ∫ (3 x + x + 1) dx = x + x + x + C Đồ thị y = F ( x ) cắt trục tung điểm có tung độ e nên ta có F (0 ) = e ⇔ C = e Vậy F ( x ) = x + x + x + e Chọn D Câu 16 Kí hiệu F ( x ) ngun hàm hàm số f ( x ) = x − Đồ thị hàm số y = F ( x ) đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt điểm thuộc trục tung Tọa độ điểm chung hai đồ thị hàm số là: 5  5  A (0; −1) B  ;9 C (0; −1)  ;9     5  D (0; −1)  ;8   Lời giải Ta có F ( x ) = ∫ ( x −1) dx = x − x + C Giả sử M (0; m ) ∈ Oy giao điểm đồ thị hai hàm số F ( x ) f ( x )  M ∈ f ( x ) 4.0 −1 = m m = −1 Ta có hệ phương trình  ⇔ ⇔  ⇒ F ( x ) = x − x −1  M ∈ F ( x ) 2.0 − + C = m C = −1  Hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số F ( x ) f ( x ) nghiệm phương trình:  x = ⇒ y = −1  x − x −1 = x −1 ⇔ x (2 x − 5) = ⇔  x = ⇒ y =  5  Vậy tọa độ điểm cần tìm (0; −1)  ;9 Chọn C   Câu 17 Biết F ( x ) = ax + (a + b ) x + (2a − b + c ) x + ngun hàm f ( x ) = x + x + Tính tổng S = a + b + c A S = Lời giải Ta có B S = C S = D S = 2 ∫ (3x + x + 2) dx = x + 3x + x + C Suy F ( x ) = x + x + x + a =  a =   Đồng ta a + b = ⇔ b =  → a + b + c = Chọn A   2a − b + c = c = Câu 18 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Biết F ( x ) ngun hàm hàm số f ( x ) = F (2) = Tính F (3) x −1 A F (3) = ln −1 B F (3) = ln + 1 C F (3) = ⋅ D F (3) = ⋅ dx = ln x −1 + C x −1 Theo giả thiết F (2) =  → ln −1 + C = ⇔ C = Lời giải Ta có ∫ Suy F ( x ) = ln x −1 +  → F (3) = ln + Chọn B Câu 19 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = A f (5) = ln B f (5) = ln Lời giải Ta có f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ f (1) = Tính f (5) x −1 C f (5) = ln + D f (5) = ln + dx = ln x −1 + C x −1 Theo giả thiết f (1) =  → ln 2.1 −1 + C = ⇔ C = 1 Suy f ( x ) = ln x −1 +  → f (5) = ln 2.5 −1 + = ln + = ln + Chọn D 2 2x + Câu 20 Tìm hàm số f ( x ) thỏa mãn đồng thời f ′ ( x ) = f (0) = x +1 A f ( x ) = x + ln x + B f ( x ) = x + ln x + −1 C f ( x ) = x + ln x + + D f ( x ) = x + ln x + + Lời giải Ta có ∫  2x +  dx = ∫ 2 +  dx = x + ln x + + C   x +1 x + 1 Theo giả thiết f (0) =  → 2.0 + ln + + C = ⇔ C = Suy f ( x ) = x + ln x + + Chọn C ( x + 1) Câu 21 Gọi F ( x ) ngun hàm hàm số f ( x ) = F (−1) = ⋅ Tính F (2) A F (2) = + ln ( x + 1) = x +2 thỏa mãn B F (2) = (1 − ln 2) C F (2) = (1 + ln 2) Lời giải Ta có x +2 D F (2) = x + x + x ( x + 2) + 1 = =x+ x +2 x +2 x +2 ( x + 1)  →∫  x2  dx = ∫  x + dx = + ln x + + C    x +2 x + 2 (1) 1  → + ln −1 + + C = ⇔ C = 2 2 Theo giả thiết F (−1) = x2 + ln x +  → F (2) = + ln = (1 + ln 2) Chọn C Suy F ( x ) = ( x −1) Câu 22 Hàm số sau ngun hàm hàm số f ( x ) = ? A F ( x ) = x 3x − + ln x + 2 2x B F ( x ) = C F ( x ) = x 3x 1 − − 2− x 2x D F ( x ) = ( x −1) ( x −1) 2x 4x3 3( x −1) 4x x − x + 3x −1 dx 2x 2x x 3  x 3x = ∫  − + − − + ln x + +C dx =  2 x x  2 2x Lời giải Ta có ∫ Chọn C =  → F (x ) = dx = ∫ x 3x − + ln x + Chọn A 2 2x Câu 23 Biết F ( x ) ngun hàm hàm số f ( x ) = x − + x thỏa mãn x2 F (1) + F (2) = 43 Tính F (2) 45 86 D F (2) =   Lời giải Ta có F ( x ) = ∫  x − + x  dx = x + + x + C   x x 7  45 Theo giả thiết F (1) + F (2) = 43  →  + C  + + C = 43 ⇔ C =   2 1 Suy F ( x ) = x + + x +  → F (2 ) = + + 2 + = 23 Chọn B x 2 2 Câu 24 Hàm số sau ngun hàm hàm số f ( x ) = ⋅ x −x A F (2) = 151 B F (2) = 23 C F (2) = A F ( x ) = − ln x − ln x −1 B F ( x ) = ln x − ln x −1 C F ( x ) = − ln x + ln x −1 D F ( x ) = ln x + ln x −1 Lời giải Ta có 1 1 = =− + x − x x ( x −1) x x −1    1   → ∫  dx = ∫ − + dx = − ln x + ln x −1 + C Chọn C  x − x   x x −1 Câu 25 Gọi F ( x ) ngun hàm hàm số f ( x ) = thỏa mãn x − 3x + 3 F   = Tính F (3)   A F (3) = ln Lời giải Ta có B F (3) = ln C F (3) = −2 ln D F (3) = − ln 1 1 = =− + x − x + ( x −1)( x − 2) x −1 x − 2  dx = − + dx = − ln x −1 + ln x − + C  → ∫  ∫  x −1 x −   x − 3x +  3 3 Theo giả thiết F   =  →− ln −1 + ln − + C = ⇔ C =   2 Suy F ( x ) = − ln x −1 + ln x −  → F (3) = − ln Chọn D Câu 26 Xác định A C ∫ ∫ ∫ f ( x ) dx biết f ( x ) = x +3 ⋅ x + 3x + f ( x ) dx = ln x + − ln x + + C B f ( x ) dx = ln x + + ln x + + C D Lời giải Ta có ∫ ∫ f ( x ) dx = ln x + − ln x + + C f ( x ) dx = ln x + + ln x + + C x +3 x +3 = = − x + x + ( x + 1)( x + 2) x + x +  x +3  dx = ∫  − dx = ln x + − ln x + + C Chọn B   x + x +  x + 3x + 2 1 thỏa f (2 ) = − ⋅ Câu 27 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = − 2 (2 x −1) ( x −1)  →∫ Biết phương trình f ( x ) = −1 có nghiệm x = x Tính T = 2017 x A T = 2017 B T = C T = 2017 D T = 2017   1 Lời giải Ta có ∫ f ' ( x ) dx = ∫  − dx = − +C 2 x − x −1  (2 x −1) ( x −1)  1 1 Theo giả thiết f (2) = −  → − + C = − ⇔ C = −1 3 x Suy f ( x ) = −1 ( x −1)(2 x −1) Suy f ( x ) = −1 ⇔ x −1 = −1 ⇔ x = = x  →T = 2017 = Chọn B x − ( )(2 x −1) Câu 28 Tìm ngun hàm F ( x ) hàm số f ( x ) g ( x ) , biết x2 + C F (2) = x2 x2 A F ( x ) = + B F ( x ) = + 4 ∫ f ( x ) dx = x + C , ∫ g ( x ) dx = Lời giải Ta có ∫ C F ( x ) = f ( x ) dx = x + C  → f ( x ) = 1 x dx = x + C Theo giả thiết F (2 ) =  → 2 + C = ⇔ C = 4 x2 Suy F ( x ) = + Chọn A Khi ∫ f ( x ) g ( x ) dx = ∫ ∫ x3 + x3 + x2 g ( x ) dx = + C  → g ( x ) = x D F ( x ) = Câu 29 Cho I = ∫ A I = x +C ( Lời giải Ta có x x ln x dx Mệnh đề sau sai? B I = +C x +1 ( C I = 2 +C ) = (2 ) = ( x ) / x / / x ln = x x ) ( + + C D I = 2 x ln ≠ x ln x x ) −1 + C Chọn A Cách trắc nghiệm Ta thấy đáp án B, C, D sai khác nên số nên dễ dàng nhận đáp án A khơng thỏa mãn Câu 30 Tìm giá trị tham số a, b, c để hàm số F ( x ) = (ax + bx + c ) x − với x> 20 x − 30 x + ngun hàm hàm số f ( x ) = 2x −3 A a = 4, b = 2, c = B a = 4, b = −2, c = −1 C a = 4, b = −2, c = D a = 4, b = 2, c = −1 Lời giải Theo ta có F ' ( x ) = f ( x ) Ta có F ' ( x ) = (2ax + b ) x − + (ax (*) + bx + c ) = 5ax + (3b − 6a ) x − 3b + c 2x − 2x −3 5a = 20 a =   Để (*) xảy ⇔ 3b − 6a = −30 ⇔  b = −2 Chọn C   c − 3b = c = 1 Câu 31 Nếu ∫ f ( x ) dx = + ln x + C f ( x ) hàm số hàm số sau? x A f ( x ) = x + ln x + C B f ( x ) = − x + + C x x −1 C f ( x ) = − + ln x + C D f ( x ) = x x Lời giải Theo định nghĩa ∫ f ( x ) dx = F ( x )  → F / ( x ) = f ( x ) 1  1 x −1 Do hàm số cần tìm f ( x ) =  + ln x + C  = − + = Chọn D  x  x x x / Câu 32 Cho F ( x ) ngun hàm hàm số f ( x ) = e x thỏa mãn F (0) = Mệnh đề sau đúng? 1 A F ( x ) = e x + B F ( x ) = e x 3 3x C F ( x ) = e + ⋅ D F ( x ) = − e x + ⋅ 3 3 Lời giải Ta có ∫ e x dx = e x + C Theo giả thiết F (0) =  → +C = ⇔ C = 3 3x Suy F ( x ) = e + ⋅ Chọn C 3 e Câu 33 Biết F ( x ) ngun hàm hàm số f ( x ) = e x +1 thỏa F (0) = ⋅ Tính ln 3 F (1) A ln 3 F (1) = 64 B ln 3 F (1) = −8 C ln 3 F (1) = 81 D ln 3 F (1) = 27 Lời giải Ta có ∫ e x +1dx = e x +1 + C e e e  → + C = ⇔ C = 3    → ln 3 F (1) = ln 3 e  = 64 Chọn A   Theo giả thiết F (0) = Suy F ( x ) = e x +1 Câu 34 Tìm ngun hàm hàm số f ( x ) = e x e x +1 x +1 e +C A ∫e x e x +1dx = e x e x +1 + C B ∫e x e x +1dx = C ∫e x e x +1dx = 2e x +1 + C D ∫e x e x +1dx = e x +1 + e x + C Lời giải Ta có ∫e x e x +1dx = ∫ e x +1dx = x +1 e + C Chọn B Câu 35 Tìm ngun hàm F ( x ) hàm f ( x ) = 2 x A F ( x ) = +C ln B F ( x ) = x C F ( x ) = x ln + C Lời giải Ta có ∫ 4x +C ln D F ( x ) = x + C 2 x dx = ∫ x dx = 4x + C Chọn B ln Câu 36 Hàm số F ( x ) = e x + 2018 ngun hàm hàm số hàm số sau đây? 3 ex D f ( x ) = x e x −1 3x Lời giải Hàm số F ( x ) ngun hàm hàm số f ( x )← → F '(x ) = f (x ) A f ( x ) = e x B f ( x ) = x e x C f ( x ) = ( ) ( ) = ( x ) e / Suy hàm số cần tìm f ( x ) = e x + 2018 = e x Câu 37 Hàm số F ( x ) = 3 / / x3 = x e x Chọn B x3 + e x ngun hàm hàm số hàm số sau đây? A f ( x ) = x4 x4 +ex + e x B f ( x ) = x + e x C f ( x ) = 12 D f ( x ) = x + e x Lời giải Hàm số F ( x ) ngun hàm hàm số f ( x )← → F '(x ) = f (x ) x3  Suy hàm số cần tìm f ( x ) =  + e x  = x + e x Chọn D  3 / Câu 38 Biết F ( x ) ngun hàm hàm số f ( x ) = (2 + e x ) thỏa F (0) = ⋅ 1 Tính F  ⋅     e + 8e + A F   = ⋅     e + 6e + B F   = ⋅     e − 6e + C F   = ⋅     e − 8e + D F   = ⋅   Lời giải Ta có ∫ ( + e ) dx = ∫ ( + e Theo giả thiết F (0 ) = 3x 3x + e x )dx =  → + + C = ⇔ C = 6x 3x e + e + 4x +C Suy F ( x ) = 1 1 x 3x 4 e + 8e + e + e + x  → F   = e + e + = Chọn A   6 3 Câu 39 Tìm ngun hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = e −x (2e x + 1) , biết F (0 ) = A F ( x ) = x + e − x B F ( x ) = x − e −x + C F ( x ) = + e −x D F ( x ) = x − e − x + Lời giải Ta có ∫ e (2 e −x x + 1)dx = ∫ (2 + e −x )dx = x − e − x + C Theo giả thiết F (0) =  →−1 + C = ⇔ C = Suy F ( x ) = x − e −x + Chọn B Câu 40 Giả sử F ( x ) = (ax + bx + c ) e x ngun hàm hàm số f ( x ) = x e x Tính tích P = abc A P = B P = −4 C P = −5 D P = −3 Lời giải Ta có F / ( x ) = (ax + bx + c ) e x + (ax + bx + c ).(e x ) = ax + (2a + b ) x + b + c  e x Vì F ( x ) ngun hàm f ( x ) nên ta có F / ( x ) = f ( x ), ∀x / / Do ax + (2 a + b ) x + b + c  e x = x e x ⇔ ax + (2a + b ) x + b + c = x a = a =   Đồng hệ số hai vế, ta 2a + b = ⇔  → P = abc = −4 Chọn B b = −2    b + c = c = Câu 41 Giả sử hàm số f ( x ) = (ax + bx + c ).e −x ngun hàm hàm số g ( x ) = x (1 − x ) e − x Tính tổng S = a + b + c A S = −2 B S = Lời giải Ta có f ( x ) = (2ax + b ) e / C S = −x − (ax + bx + c ) e −x D S =  = −ax + (2a − b ) x + (b − c ) e − x Vì f ( x ) ngun hàm g ( x ) nên ta có f / ( x ) = g ( x ), ∀x Do −ax + (2 a − b ) x + (b − c ) e − x = x (1 − x ) e − x ⇔ −ax + (2 a − b ) x + (b − c ) = −x + x −a = −1  Đồng hệ số hai vế, ta  2a − b = ⇔ a = b = c = → S = a + b + c = Chọn D  b − c = Câu 42 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Tìm ngun hàm hàm số f ( x ) = cos x A ∫ f ( x ) dx = sin x + C B ∫ f ( x ) dx = − sin x + C C ∫ f ( x ) dx = sin x + C D ∫ f ( x ) dx = −2 sin x + C sin x + C Chọn A Câu 43 Biết F ( x ) ngun hàm hàm số f ( x ) = sin (1 − x ) thỏa Lời giải Ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ cos x dx = 1 mãn F   = Mệnh đề sau đúng?   A F ( x ) = cos (1 − x ) + B F ( x ) = cos (1 − x ) C F ( x ) = − cos (1 − x ) + ⋅ 2 D F ( x ) = Lời giải Ta có ∫ sin (1− x ) dx = cos (1 − x ) + C 1 cos (1 − x ) + ⋅ 2 y Câu 25 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hình thang cong ( H ) giới hạn đường y = e x , y = 0, x = 0, x = ln Đường thẳng x =k (0 < k < ln ) chia ( H ) thành hai phần có diện tích S1 S2 hình vẽ bên Tìm k để S1 = 2S ln C k = ln A k = B k = ln S2 D k = ln S1 x O k k Lời giải Ta có S1 = ∫ e x dx = e x 0 ln = e k −1 S2 = ∫ e x dx = e x k ln k = −ek k Theo giả thiết S1 = 2S2 ⇔ e −1 = ( − e k ) ⇔ k = ln Chọn D k Câu 26 Kí hiệu ( H ) hình phẳng giới hạn đường y = e x , y = , x = x = Đường thẳng x = k (0 < k < 1) chia ( H ) thành hai phần có diện tích tương ứng S1 , S hình vẽ bên, biết S1 > S Mệnh đề sau đúng? e +3 e +2 A e k > B e k > 2 e +1 e −1 C e k > D e k > 2 k k Lời giải Ta có S1 = ∫ e x dx = e x 0 = e k −1 S2 = ∫ e x dx = e x k = e −ek k e +1 Theo giả thiết S1 > S2 ⇔ e −1 > e − e ⇔ e > Chọn C Câu 27 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn k k k đường y = x , y = 0, x = 0, x = Đường thẳng y = k (0 < k < 16) chia hình ( H ) thành hai phần có diện tích S1 , S (hình vẽ) Tìm k để S1 = S2 A k = B k = C k = D k = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x = k  → x = k Ta có: ● S1 + S2 = ∫ x dx = x3 = 64 x3  ● S1 = ∫ ( x − k ) dx =  − kx    k = −4 k + k k k 64 + 3 k k 64 32 Theo giả thiết S1 = S  → S1 = (S1 + S2 ) ⇔ −4 k + + = 3 ( ) ⇔ k k − 12 k + 32 =   → 2t − 12t + 32 = → t =  → k = Chọn B t = k