S GIO DC V O TO THANH HểA PHềNG GIO DC V O TO NễNG CNG SNG KIN KINH NGHIM PHT TRIN KH NNG SNG TO CA HC SINH KH GII LP QUA VIC TèM NHIU LI GII CHO MT BI TON HèNH HC LP Ngi thc hin: Lờ V Dng Chc v: Giỏo Viờn n v cụng tỏc: Trng THCS Trn Phỳ Nụng Cng SKKN thuc mụn: Toỏn NễNG CNG, NM 2017 PHN I: T VN C s lý lun: Toỏn hc l mt b mụn khoa hc t nhiờn mang tớnh tru tng cao, tớnh logớc ng thi mụn toỏn cũn l b mụn cụng c h tr cho cỏc mụn hc khỏc.Vi mụn hỡnh hc l mụn khoa hc rốn luyn cho hc sinh kh nng o c, tớnh toỏn, suy lun logớc, phỏt trin t sỏng to cho hc sinh c bit l rốn luyn ca hc sinh khỏ, gii Nõng cao c nng lc t duy, tớnh c lp, sỏng to linh hot cỏch tỡm li gii bi toỏn nht l b mụn hỡnh hc cng cú ý ngha quan trng Vic bi dng hc sinh khỏ gii khụng n thun ch cung cp cho cỏc em mt s kin thc c bn thụng qua vic lm bi hoc lm cng nhiu bi khú, hay m giỏo viờn phi bit rốn luyn kh nng sỏng to i vi b mụn hỡnh hc cng phi bit rốn luyn nng lc t tru tng v phỏn oỏn lụgớc C s thc tin: Qua cỏc nm cụng tỏc ging dy trng tụi nhn thy vic hc toỏn núi chung v bi dng hc sinh khỏ gii toỏn núi riờng, mun hc sinh rốn luyn c t sỏng to vic hc v gii toỏn thỡ bn thõn mi ngi thy cn phi cú nhiu phng phỏp v nhiu cỏch gii nht c bit qua nhng nm ging dy thc t trng vic cú c hc sinh gii ca mụn Toỏn l mt iu rt khú khn c bit i vi cỏc gii cao li cng khú hn, nhiờn cú nhiu nguyờn nhõn cú c khỏch quan v ch quan Song ũi hi ngi thy cn phi tỡm tũi nghiờn cu tỡm nhiu phng phỏp v cỏch gii qua mt bi Toỏn t ú rốn luyn cho hc sinh nng lc hot ng t sỏng to Vỡ vy tụi tõm huyt chn sỏng kin kinh nghim ny: "Phỏt trin kh nng sỏng to ca hc sinh khỏ gii lp qua vic tỡm nhiu li gii cho mt bi toỏn hỡnh hc lp 9" Vi mc ớch th nht l rốn luyn kh nng sỏng to Toỏn hc, trc mi bi tụi ó cho hc sinh tỡm nhiu cỏch gii, ng thi ngi thy giỏo, cụ giỏo cng phi gi ý v cung cp cho hc sinh nhiu cỏch gii Trờn c s ú hc sinh t tỡm cỏch gii hp lý nht Phỏt hin c cỏch gii tng t v khỏi quỏt phng phỏp ng li chung Trờn c s ú vi mi bi toỏn c th cỏc em cú th khỏi quỏt hoỏ thnh bi Toỏn tng quỏt v xõy dng cỏc bi toỏn tng t iu mong mun th hai ú l mong mun thay i phng phỏp bi dng cho hc sinh khỏ gii t trc n Xõy dng mt phng phỏp mi ú l rốn luyn kh nng sỏng to Toỏn cho hc sinh cho mi lỳc, mi ni cỏc em cú th t phỏt huy nng lc c lp sỏng to ca mỡnh PHN II: NI DUNG Thc trng ca nghiờn cu: 1.1 Thc trng : a) Thun li: c s ch o ca Ban giỏm hiu nh trng cỏc hot ng c bit hat ng chuyờn mụn, luụn to mi iu kin cho giỏo viờn phn u, hc v nghiờn cu, phỏt huy cỏc phng phỏp dy hc i mi sỏng to nht Bờn cnh ú trng THCS Trn Phỳ ó v ang xõy dng thnh trng trng im cht lng cao ca huyn Nụng Cng iu ny thỳc y cỏc giỏo viờn núi chung v giỏo viờn dy toỏn núi riờng v hc sinh phi nng ng tỡm tũi, t sỏng to vic dy v hc toỏn Mt khỏc, nh trng cú nhiu hc sinh khỏ gii nờn i tng m tụi ỏp dng n cng gp nhiu thun li hn b) Khú khn: Bờn cnh nhng mt thun li cng cú nhiu nhng khú khn nh: ti liu tham kho thờm cng cũn ang hn ch, bn thõn mc dự cng ó dy HSG nhiu nm nhng kinh nghim cn c tớch ly thờm, s hc sinh c lp t sỏng tao khụng nhiu Chớnh vỡ vy cng cn phi rốn luyn cho cỏc em nng lc t c lp sỏng to cng khin tụi tõm huyt tỡm tũi, nghiờn cu sỏng kin kinh nghim ny 1.2 Cỏc s liu ca thc trng : Qua cỏc nm ging dy trc tip bi dng cho hc sinh khỏ gii, qua trc nghim hng thỳ hc toỏn ca hc sinh tụi thy ch cú 25% cỏc em thc s cú hng thỳ hc toỏn (cú t sỏng to), 45% hc sinh thớch hc toỏn (cha cú tớnh c lp, t sỏng to) v 30% cũn li na thớch na khụng Qua gn gi tỡm hiu thỡ cỏc em cho bit cng rt mun hc xong nhiu hc mt cỏch th ng, cha bit cỏch t to cho mỡnh s sỏng to cỏch gii mt bi toỏn no ú, bi vỡ tõm lớ ngi hc ch hc phc v cho thi ch cha phi vỡ s say mờ vy hc sinh cha cú hng thỳ hc toỏn v kt qu qua cỏc kỡ thi cha cao Quỏ trỡnh thc hin ti: 2.1 Gii phỏp thc hin: - Hỡnh thnh cỏc tỡnh cú liờn quan n cỏc cỏch gii cho mt bi toỏn - Hng dn hc sinh a cỏc cỏch gii cho mt bi toỏn, t ú hng dn hc sinh tỡm c mt li gii ngn nht v phự hp nht i vi tng hc sinh - Tng cng cỏc hot ng tỡm tũi, quan sỏt,o c, d oỏn tip cn li gii - Nm vng kin thc c bn, huy ng, dng kin thc c bn vo gii quyt cỏc cú liờn quan 2.2 Kin thc cn truyn t: Xut phỏt t iu mong mun rốn luyn c kh nng sỏng to, tỡm c nhiu cỏch gii ú bn thõn ngi thy, ngi dy phi l ngi tỡm nhiu cỏch gii nht v hng dn hc sinh tỡm c li gii cho bi toỏn Trong ti ny khuụn kh, gii hn ca ti tụi ch a mt s dng c bn v mt bi in hỡnh cho dng toỏn Dng 1: Chng minh cỏc on thng bng Dng 2: Quan h gia cỏc gúc tam giỏc,v gúc vi ng trũn Dng 3: Chng minh ba im thng hng Dng 4: Chng minh cỏc tam giỏc ng dng Dng 5: Chng minh cỏc im cựng thuc mt ng trũn Dng 6: H thc hỡnh hc T chc thc hin: Tỡm tũi cỏch gii bi toỏn Dng 1: Chng minh hai on thng bng nhau: BI TON 1: Trong hỡnh vuụng ABCD v na ng trũn ng kớnh AD v v cung AC m tõm l D Ni D vi im P bt k trờn cung AC, DP ct na ng trũn ng kớnh AD K Chng minh PK bng khong cỏch t P n AB Cỏch gii 1: (Hỡnh 1) Gi ý : - K PI AB - Xột hai tam giỏc APK v API Li gii: K PI AB Xột APK v API : ã APK vuụng ti K (Vỡ AKD = 900 gúc ni tip chn na ng trũn ng kớnh AD) ADP cõn ti D, AD = DP ã P$2 = DAP ã Mt khỏc: P$1 = DAP (So le vỡ AD // PI) Do ú: P$1 = P$2 APK = API (Cú chung cnh huyn v mt cp gúc nhn bng nhau) PK = PI Cỏch gii 2: (Hỡnh 2) Gi ý: - Ngoi cỏch chng minh hai tam giỏc APK v API bng cỏch ta à1 = A à2 chng minh P$1 = P$2 Ta chng minh A - Gi F l giao im ca AP vi ng trũn ng kớnh AD ã Li gii: Ta cú: AFD = 900 (Gúc ni tip chn na ng trũn) Tam giỏc ADP cõn ti D cú DF l ng cao nờn DF cng l phõn giỏc à1 =D à2 suy D à2 =A à1 ; D à1 =A Vỡ u l gúc cú cỏc cp cnh tng ng vuụng gúc m D à1 = A APK = API (Cú chung cnh huyn v mt cp gúc nhn bng Suy ra: A nhau) PK = PI Cỏch gii 3: (Hỡnh 2) à1 = A nhng vic chng minh Gi ý: - Cỏch gii ny chỳng ta cng i chng minh A c ỏp dng bng kin thc khỏc - Chỳ ý rng AB l tip tuyn ca ng trũn tõm D nờn ta cú: ã ã ằ ) Li gii: Ta cú IAK (Cú s o bng s AK = ADK ã Mt khỏc gúc IAP l gúc to bi tip tuyn v dõy cung AP ca ng trũn tõm D nờn ã ã gúc IAP bng na s o ca gúc tõm cựng chn mt cung l gúc ADP 1ã 1ã à1 = A APK = API ADP = IAK Suy ra: A 2 (Cú chung cnh huyn v mt cp gúc nhn bng nhau) PK = PI ã = IAP Cỏch gii 4: (Hỡnh 3) Gi ý: - Kộo di K ct ng trũn tõm D ti E - p dng nh lớ ca gúc to bi tip tuyn v dõy cung ằ = PE ằ Li gii: DK AE nờn AP ã ằ )Vỡ AP li i qua im chớnh gia ca Gúc BAE (gúc to bi tip tuyn v dõy cung AE ã cung AE nờn AP l tia phõn giỏc ca gúc BAE à1 = A APK = API (Cú chung cnh huyn v mt cp gúc nhn bng Suy ra: A nhau) PK = PI i vi bi toỏn trờn chng minh hai on thng PK v PI bng ta i chng minh APK = API giỏo viờn cn cho hc sinh t v dng sỏng to kin thc v - Trng hp bng tam giỏc vuụng - Gúc to bi tip tuyn v dõy cung - Gúc ni tip Dng 2: Quan h gia cỏc gúc hỡnh hc: BI TON 2: Cho ABC ni tip ng trũn tõm O, vi AB > AC K ng cao ã ã ã AH, bỏn kớnh OA Chng minh OAH = ACB - ABC Cỏch gii 1: (Hỡnh 1) Gi ý: - K OI AC ct AH M - p dng kin thc v gúc ngoi tam giỏc - Gúc ni tip,gúc tõm ã ã Li gii: Ta cú: OMH = ACB (gúc cú cỏc cp cnh tng ng vuụng gúc) ã ã ằ ) = ABC (cựng bng s AC AOM ã ã ã Trong OAM thỡ: OMH = AOM + OAH (Gúc ngoi tam giỏc) ã ã ã Hay ACB = ABC + OAH ã ã ã Vy: OAH (pcm) = ACB - ABC Cỏch gii 2: (Hỡnh 2) Gi ý: K tip tuyn vi ng trũn ti A ct BC D ã ã ằ ) Li gii: Ta cú: ABC (1) (Cựng chn AC = CAD ã ã (2) (gúc cú cỏc cp cnh tng ng vuụng gúc) OAH = ADC ã ã ã ã Cng tng v ca (1) v (2) Ta c: ABC + OAH = CAD + ADC ã ã ã M CAD (gúc ngoi tam giỏc) + ADC = ACB ã ã ã ABC + OAH = ACB ã ã ã Vy: OAH (pcm) = ACB - ABC Cỏch gii 3: (Hỡnh 3) Gi ý: - K ng kớnh AOD - K DK BC ã ã Li gii: Ta cúDK // AH OAH (1) (so le trong) = ODK ã ã ằ ) (2) (gúc ni tip cựng chn AC ABC = ADC ã ã ã Cng tng v ca (1) v (2) Ta c OAH + ABC = ãODK + ADC = ãKDC ã ã M: KDC = ACB (gúc cú cỏc cp cnh tng ng vuụng gúc) ã ã ã ã ã ã Vy OAH (pcm) OAH + ABC = ACB = ACB - ABC Cỏch gii 4: (Hỡnh 4) Gi ý: - K ng kớnh AOD - K CK AD ã ã Li gii: Ta cú: OAH (1) (gúc cú cỏc cp cnh tng ng vuụng gúc) = KCB ã ã ằ ) (2) (gúc ni tip cựng chn AC ABC = ADC ã ã ã ã Cng tng v ca (1) v (2) Ta c: OAH + ABC = KCB + ADC ã ã M: ADC (gúc cú cỏc cp cnh tng ng vuụng gúc) = KCA ã ã ã ẳ ã OAH + ABC = KCB + KCA = ACB ã ã ã Vy: OAH (pcm) = ACB - ABC Cỏch gii 5: (Hỡnh 5) Gi ý: - K ng kớnh AOD - Gi M l giao im ca AH v DC ã ã Li gii: Ta cú: AMC (1) (gúc cú cnh cỏc cp cnh tng ng vuụng gúc) = ACB ã ã ằ ) (2) (gúc ni tip cựng chn AC ADM = ABC ã ã ã ã Tr tng v ca (1) v (2) Ta c: AMC - ADM = ACB - ABC ã ã ã M: AMC (gúc ngoi tam giỏc) - ADM = OAH ã ã ã Vy OAH (pcm) = ACB - ABC Cỏch gii 6: (Hỡnh 6) Gi ý: K OI BC v OK AB ã (1) (so le trong) Li gii: Ta cú: OAH =O ã (2) (gúc cú cỏc cp cnh tng ng vuụng gúc) ABC =O ã ã à1 +O + ABC =O Cng tng v ca (1) v (2) Ta c OAH à1 +O = ACB ã ằ ) M O (Cựng bng s AB ã ã ã OAH + ABC = ACB ã ã ã Vy OAH (pcm) = ACB - ABC 10 Cỏch gii 7: (Hỡnh 7) Gi ý: Ti A k tip tuyn Ax v ng thng Ay // BC ã ã = xAy Li gii: Ta cú: OAH (1) (gúc cú cỏc cp cnh tng ng vuụng gúc) ã ã ABC = BAy (2) (so le trong) ã ã ã ã ã + ABC = xAy + BAy = xAB Cng tng v ca (1) v (2) Ta c: OAH ã ã ằ ) M: xAB (gúc ni tip cựng chn AB = ACB ã ã ã OAH + ABC = ACB ã ã ã Vy OAH (pcm) = ACB - ABC õy l mt bi toỏn cú nhiu cỏch gii khỏc nhng bi toỏn ny vic s dng yu t v thờm ng ph l mt quan trng cho vic tỡm cỏc li gii v l khú i vi hc sinh bi toỏn trờn giỏo viờn cn cho hc sinh ch kin thc ó dng vo gii bi toỏn - Kin thc v hai ng thng song song, hai ng thng vuụng gúc - Gúc ni tip, gúc tõm, gúc ngoi tam giỏc Dng 3: Chng minh ba im thng hng: BI TON 3: Cho tam giỏc ABC ni tip mt ng trũn (O) M ; N ; P ln lt ằ ; CA ằ MN v NP ct AB v AC theo th t ằ ; BC l cỏ im chớnh gia cỏc cung nh AB R v S Chng minh rng: RS // BC v RS i qua tõm ca ng trũn ni tip tam giỏc ABC 12 Cỏch gii 1: (Hỡnh 1) Gi ý: õy l mt bi toỏn hỡnh tng i khú i vi hc sinh nu khụng cú t tt hỡnh hc Khi a bi toỏn ny c vic v hỡnh cng l mt khú v cỏc em ó khụng tỡm c li gii Di s hng dn ca thy Ta cú AN; BP v AN l cỏc tia phõn giỏc ca tam giỏc ABC Gi I l giao im ca cỏc ng phõn giỏc Khi ú ta cú I chớnh l tõm ca ng trũn ni tip tam giỏc ABC chng minh cho RS // BC v I RS ta i chng minh IR//BC; IS//BC ri s dng tiờn v ng thng song song suy iu phi chng minh Sau mt thi gian ngn mt hc sinh ó tỡm c li gii cho bi toỏn ny V cng l li gii ngn m thy ó tỡm ằ = CP ; B ã à2 +B m B = NAC ã Li gii: Xột NBI ta cú: IBN (Gúc ni tip chn =B ãBAC ằ ); NAC ã cung NC = + àB A ã = Do ú IBN ; à ã à1 + B = A + B (Gúc ngoi ca tam giỏc ABI) BIN =A ã ã IBN NBI cõn ti N N thuc trung trc ca on thng BI = BIN Ta chng minh ng trung trc ca on thng ny chớnh l RN Gi H l giao im ca MN v PB Ta cú : ( ) ằ +sđAB ằ +sđAC ằ 1 sđBC ằ + AM ẳ ằ ã + AP = s BN = BHN 2 ã Vỡ BHN l gúc cú nh nm bờn ng trũn v ằ ằ ằ ằ = BC ; AM ẳ = AB ; AP ằ = AC BHN ã = ì3600 = 900 BN 2 RN l trung trc ca on thng BI BR = RI = RIB ã à1 = B à2 B = RIB ã RBI cõn ti R B mà B 13 IR // BC (Vỡ to vi cỏc tuyn BI hai gúc so le bng nhau) Cng chng minh tng t ta cng c IS // BC, t im I ngoi ng thng BC ta ch cú th k c mt ng thng song song vi BC R ; I ; S thng hng Vy RS // BC v RS i qua tõm I ca ng trũn ni tip tam giỏc ABC Cỏch gii 2: (Hỡnh 2) Gi ý: Trong cỏch gii ny yờu cu hc sinh phi nm li kin thc c v nh lý Ta-lột o v tớnh cht ng phõn giỏc tam giỏc õy l tớnh cht quan trng m cỏc em ó c hc lp a s HS ớt thm l khụng hay ý n tớnh cht ny ã ẳ ẳ ú MN l phõn giỏc ca ANB Li gii: Theo gi thit ta cú MA = MB p dng tớnh cht ng phõn giỏc tam giỏc ABN ta cú: Tng t: NP l phõn giỏc ca tam giỏc ACN SA NA = SC NC RA NA = (1) RB NB (2) RA SA ằ = CN ằ = vỡ BN nờn BN = CN kt hp vi (1) v (2) ta c RB SC RS // BC (nh lý Ta-lột o) Gi giao im ca RS vi AN l I, ca BC v AN l D vỡ RS // BC nờn ta cú: AI RA NA RA AI NA = = = m suy ID RB NB RB ID NB ã ã ã BND ANB (vỡ cú gúc BNA chung v BAN ) = NBD NA AB AI AB = = Nờn Vy NB BD ID BD ã Suy BI l phõn giỏc ca gúc ABC 14 ã ã trờn ta cú I thuc phõn giỏc AN ca BAC ta li va chng minh I thuc phõn giỏc ABC nờn I l tõm ca ng trũn ni tip tam giỏc ABC.( pcm) BI TON 4: T mt im trờn ng trũn ngoi tip ca mt tam giỏc bt kỡ h cỏc ng vuụng gúc xung ba cnh ca tam giỏc ABC ni tip ng trũn Chng minh rng chõn ca ba ng vuụng gúc ú thng hng (ng thng ny gi l ng thng Simson) Cỏch gii 1: =E = 900 t giỏc BDPE l t giỏc ni tip Vỡ D (*)(Gúc ni tip cựng chn mt cung) ã ã BED = BPD = 900 t giỏc EFCP cng l t giỏc ni tip F$ = E ã ã (**) (Gúc ni tip cựng chn mt cung) FEC = FPC ã (1) Vỡ t giỏc ABPC ni tip ng trũn BPC = - A PD AB ã (2) DPF = -A PF AC ã ã T (1) v (2) BPC = DPF ã ã BPD (***) = FPC T (*) ; (**) v (***) ã ã BED D ; E ; F thng hng = FEC Cỏch gii 2: PE EC ã ã T giỏc EFCP l t giỏc ni tip FEP + PCF = 1800 (1) PF FC 15 ã ã Vỡ t giỏc ABPC ni tip ng trũn ABP + FCP = 1800 ã ã ã ã M ABP (2) + BDP = 1800 FCP = DBP PD BD ã ã T giỏc EPDB l t giỏc ni tip DBP = DEP ( 3) PE BC ã ã T (1) ; (2) v (3) ta cú : PEF + DEP = 1800 Suy ba im D ; E ; F thng hng i vi bi toỏn trờn l mt bi toỏn khú yờu cu hc sinh phi huy ng nhiu kin thc cú liờn quan vỡ vy c vic tỡm li gii ó khú vic tỡm cỏc cỏch gii khỏc l mt quỏ khú, vi bi ny bn thõn hc sinh ca tụi khụng lm c sau giỏo viờn gi ý hc sinh ó dn t sỏng to v tỡm c hng i ca bi toỏn n v kin thc c ỏp dng gii bi toỏn - chng minh ba im thng hng cn chng minh hai gúc k cú tng s o bng 180 - T giỏc ni tip ng trũn - Gúc ni tip ng trũn Dng 4: Chng minh tam giỏc ng dng: BI TON 5: ng trũn (O;R1) v (O';R2) tip xỳc ti P Mt cỏt tuyn qua P ct (O;R1) ti A v (O';R2) ti B Mt cỏt tuyn khỏc cng qua P ct (O;R 1) ti C v (O';R2) ti D Chng minh cỏc tam giỏc PAC v PBD ng dng Sau c bi toỏn ny giỏo viờn cn cho hc sinh nhc li kin thc v hai ng trũn tip xỳc vi V t ú cn yờu cu hc sinh gii bi toỏn trờn chung ta phi i xột hai trng hp xy Hai ng trũn tip xỳc ngoi v hai ng trũn tip xỳc õy tụi ch trỡnh by v hai ng trũn tip xỳc ngoi cũn trng hp hai ng trũn tip xỳc ngoi chỳng ta chng minh tng t Cỏch gii 1: (Hỡnh 1) Gi ý: - Tớnh cht ca hai ng trũn tip xỳc - p dng trng hp ng dng th hai 16 Li gii: Ta cú cỏc tam giỏc OAP v tam giỏc O'BP l cỏc tam giỏc cõn ti O v O' Suy ã ã ã ã ã ã ra: OAP v O'PB m OPA (Hai gúc i nh) = OPA = O'BP = O'PB ã ã OAP OAP = PBO' O'BP PA PO R = = (1) PB PO' R Tng t ta cng cú: ã ã ã ã ã ã v O'PD m OPC ( Hai gúc i nh) OCP = OPC = O'DP = O'PD ã ã OCP OCP = PDO' T (1) v (2) ta cú: O'DP PC PO R = = (2) PD PO' R PC R PA = = PD R2 PB ã ã Li cú CPA Suy : PA1B1 PA2B2 = BPD Cỏch gii 2: (Hỡnh 2) Gi ý: - K tip tuyn chung xPy ca hai ng trũn - p dng trng hp ng dng th ba - p dng nh lớ v gúc to bi tia tip tuyn v dõy cung Li gii: K tip tuyn chung xPy ca hai ng trũn ã ã ã ã = CPy = xPD = PBD Ta cú CAP (p dng tớnh cht v gúc to bi tip tuyn v dõy cung v gúc ni tip cựng chn mt cung thỡ bng nhau) ã ã Mt khỏc APC (hai gúc i nh) = BPD Suy : PA1B1 PA2B2 Dng : Chng minh cỏc im cựng thuc mt ng trũn: BI TON 6: Cho tam giỏc ng phõn giỏc BN v tõm O ca ng trũn ni tip tam giỏc T A k mt tia vuụng gúc vi tia BN, ct BC ti H Chng minh bn im A; O; H; C nm trờn mt ng trũn 17 i vi bi toỏn ny xy hai trng hp i vi hỡnh v Trng hp 1: H v O nm cựng phớa vi AC (Hỡnh 1) Trng hp 2: H v O nm khỏc phớa vi AC (Hỡnh 2) Gi ý: - Gi I l giao im ca AH v BN K AP vuụng gúc vi CO ct AB ti P M l giao im ca OC v AB, K l giao im ca OC v AP - p dng tớnh cht gia cỏc ng (ng cao, ng trung trc, ng trung tuyn, ng phõn giỏc, ng trung bỡnh) tam giỏc - Kin thc v t giỏc ni tip - Tớnh cht gúc ngoi tam giỏc Cỏch gii 1: Xột ACP cú CK va l phõn giỏc va l ng cao nờn CK cng l ng trung tuyn, ng trung trc KA = KP (1) Xột ABH cú BI va l phõn giỏc va l ng cao nờn BI cng l ng trung tuyn, ng trung trc IA = IH (2) T (1) v (2) ta cú: IK l ng trung bỡnh tam giỏc APH ã ã IKO ( Hỡnh 1) = OCH ã ã Hoc IKO + OCH = 1800 (Hỡnh 2) ã ã = 900 AKOI l t giỏc ni tip IKO T Xột t giỏc AKOI cú $ = OAH I =K giỏc AOHC ni tip c A; O; H; C cựng nm trờn mt ng trũn Cỏch gii 2: ã ã ã ã Ta cú BN l ng trung trc ca AH BHO m BAO nờn = BAO = OAC ã ã T giỏc AOHC ni tip c A; O; H; C cựng nm trờn mt ng BHO = OAC trũn Cỏch gii 3: ã ã ã ã ã ABI l tam giỏc vuụng nờn IBA = 1800 hay IBA + BAO + OAI = 1800 Suy ra: + BAI à B A ã ã ã T giỏc AOHC ni tip OAI + + = 900 OAI bng (hoc bự) vi gúc OCH 2 c A; O; H; C cựng nm trờn mt ng trũn 18 Cỏch gii 4: B ã = 900 + * i vi (Hỡnh 1) ta cú AHC Gúc ngoi tam giỏc àB ã = 900 + (Vỡ O l tõm ca ng trũn ni tip) AOC ã ã AHC T giỏc AOHC ni tip c A; O; H; C cựng nm trờn mt = AOC ng trũn B ã = 900 * i vi (Hỡnh 2) Xột tam giỏc IBH ta cú AHC àB ã ã ã = 900 + (Vỡ O l tõm ca ng trũn ni tip ) AHC AOC + AOC = 1800 T giỏc AOHC ni tip c A; O; H; C cựng nm trờn mt ng trũn Cỏch gii 5: +B A ã = Ta cú AON (Gúc ngoi nh O ca tam giỏc AOB) ã + B AOH ã ã AOH =A + ACH = 1800 (Hỡnh 1) ã ã + B (Hỡnh 2) hoc AOH = ACH =A T giỏc AOHC ni tip c A; O; H; C cựng nm trờn mt ng trũn Dng 6: H thc hỡnh hc: BI TON 7: Trờn cung BC ca ng trũn ngoi tip tam giỏc u ABC ly mt im P tu ý Cỏc on thng AP v BC ct ti im Q Chng minh rng: 1 = PQ PB PC Cỏch gii 1: (Hỡnh 1) Trờn on AP ly hai im N v M cho BN = BP v PM = PC Khi ú ta cú cỏc tam giỏc BNP v tam giỏc MPC l cỏc tam giỏc cõn 19 ã ã ã ã Vỡ APB = ACB = 600 v MPC = ABC = 600 (Cỏc gúc ni tip cựng chn mt cung) Suy tam giỏc BNP v tam giỏc MPC l cỏc tam giỏc u ã ã = CQP Xột hai tam giỏc CQP v BQN cú: BQN (Hai gúc i nh) ã ã BNQ = CPQ = 600 Nờn: CQP BQN CP BN BN BN - PQ = = = PQ NQ BN - PQ CP PQ.BN 1 = ( pcm) CP PQ BP Cỏch gii 2: (Hỡnh 2) Trờn tia BP ly mt im D cho PD = PC ã ã Ta cú: CPD = 600 ( Vỡ CPB = 1200 gúc ni tip chn cung 1200) ã ã nờn tam giỏc CPD l tam giỏc u APB = 600 = CDP Vỡ vy AP // CD BPQ BDC BP BD BP + PC BP + PC = = = PQ CD CP PQ CP.BP 1 = (pcm) CP PQ BP 1 = + PQ BP CP i vi bi toỏn ny vic v ng ph l quan trng HS cn ỏp dng kin thc v hai tam giỏc ng dng, kin thc v tam giỏc cõn, tam giỏc u Tớnh cht ca dóy t s bng ó c hc lp vo gii bi toỏn Hai cỏch gii trờn tng t ging Song sau ó tỡm c li gii giỏo viờn cn gi ý cho HS qua cõu hi Vy nu trờn tia BP ly mt im D cho PD = PC thỡ ta cú th chng minh c h thc trờn hay khụng? Nh vy thỡ hc sinh mi t v tỡm tũi li gii Giỏo viờn khụng nờn a li gii m phi hc sinh tỡm li gii cho bi toỏn Bi cú th gii c nhiu cỏch Bi 1: ca hỡnh vuụng ABCD ly mt im E cho ã ã = 150 Chng minh rng tam giỏc ADE l tam giỏc u EAB = EBA 20 Bi 2: Chng minh nh lớ Pitago Bi 3: Cho hỡnh vuụng ABCD, O l giao im ca ng chộo AC v BD gi M v N l trung im ca OB v CD chng minh A; M; N; D cựng thuc ng trũn Bi 4: Cho t giỏc ABCD; AD = BC; M v N l trung im chớnh gia ca AB v DC kộo di AD, MN ct ti E kộo di BC, MN ct ti F Chng minh rng: ã ã AEM = BFM Bi 5: Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn tõm O ng kớnh AC Trờn tia AB ly im D cho AD = 3AB ng thng Dy vuụng gúc vi DC ti D ct tip tuyn Ax ca ng trũn (O) ti E Chng minh tam giỏc BDE l tam giỏc cõn Khỏi quỏt hoỏ bi toỏn Sau ó tỡm cỏc cỏch gii khỏc nhau, giỏo viờn cn cho hc sinh khỏi quỏt hoỏ bi toỏn bng cỏch tr li c mt s cõu hi c th sau: 1) Trong cỏc cỏch chng minh nhng kin thc no ó c dng ? 2) Cú nhng cỏch chng minh no tng t nhau? Khỏi quỏt ng li chung ca cỏc cỏch y? 3) V cỏch chng minh trờn kin thc no ó dng v kin thc ú c hc lp my, v cú th hi c th chng no tit no kim tra s nm vng kin thc ca hc sinh 4) Cn cho hc sinh phõn tớch c cỏi hay ca tng cỏch v cú th tng trng hp c th ta nờn ỏp dng cỏch no n gin nht v cú th ỏp dng gii cỏc cõu liờn quan vỡ mt bi hỡnh khụng ch cú mt cõu m cũn cú cỏc cõu liờn quan 5) Vic khỏi quỏt hoỏ bi toỏn l mt quan trng Khỏi quỏt húa bi toỏn l th hin nng lc t duy, sỏng to ca hc sinh bi dng cho cỏc em nng lc khỏi quỏt hoỏ ỳng n phi bi dng nng lc phõn tớch, tng hp, so sỏnh, dng kin thc liờn quan bit tỡm cỏch gii quyt cỏc trng hp 6)Vic tỡm nhiu li gii cho mt bi toỏn l mt khụng n gin ũi hi hc sinh phi cú nng lc t logic, kin thc tng hp Khụng phi bi toỏn no cng cú th tỡm nhiu li gii M thụng qua cỏc bi toỏn vi nhiu li gii nhm cho hc sinh nm sõu v kin thc dng kin thc thnh tho cú th gii quyt cỏc bi toỏn khỏc Bi hc kinh nghim: 4.1 i vi giỏo viờn: - Cn xỏc nh ỳng yờu cu nhim v, trỏch nhim v bi dng hc sinh gii, v cht lng hc sinh mụn Toỏn, cht lng hc sinh gii - Nhit tỡnh trỏch nhim cao chm lo n cht lng hc sinh c bit l hc sinh gii - Cú k hoch phn u c th cho tng i tng hc sinh, cú thi gian bi dng c th, cú chng trỡnh bi dng phự hp vi tng i tng hc sinh 21 - Nm vng kin thc Toỏn hc, ni dung chng trỡnh SGK, nm vng phng phỏp ging dy mụn Toỏn, phng phỏp bi dng hc sinh gii 22 4.2 i vi hc sinh: - Phỏt ng phong tro thi ua hc thng xuyờn - Chn i tng phự hp bi dng - Hng dn vic hc v phng phỏp hc trờn lp ca hc sinh - Kim tra vic hc trờn lp, hc nh ca hc sinh thụng qua gi dy, v ghi, v bi - Sau kim tra thụng bỏo kt qu ng viờn hc sinh hc t bit l i vi nhng em cú kt qu cao phn u cú k hoch b sung - Kt hp cht ch vi giỏo viờn b mụn quỏ trỡnh ging dy bi dng, c bit quan tõm n i tng hc sinh gii cỏc em phỏt trin ng b cỏc mụn nhm to iu kin cho cỏc em phỏt trin mụn Toỏn - i vi cha m hc sinh gii: ng viờn hng dn qun lý kim tra hc sinh v hc nh ca hc sinh Cha m phi thc s nhit tỡnh chm lo n cỏi 4.3 Kt qu t c: Trong thc t ging dy vic bi dng hc sinh khỏ gii mụn toỏn, vi cỏch lm trờn õy ó mang li hiu qu cao vic rốn luyn nng lc sỏng to toỏn cho hc sinh C th 85% cỏc em hc sinh ó thc s cú hng thỳ hc toỏn bi dng cho hc sinh khỏ gii, ó t c lp tỡm tũi nhiu cỏch gii khỏc m khụng cn s gi ý ca giỏo viờn 15% cỏc em cũn cn gi ý cỏc trng hp, song rt mong mun c tham d lp bi dng hc sinh gii ny Trong nhng nm c nh trng giao trng trỏch dy bi dng lp tụi ó thu c kt qu kh quan v ó tng cú thnh tớch cao kỡ thi hc sinh gii cp tnh PHN III: KT LUN Ging dy ỏp dng sỏng kin trờn õy ó mang li hiu qu ca vic bi dng hc sinh gii mụn toỏn Nhiu hc sinh ó ch ng tỡm tũi, nh hng v sỏng to nhiu cỏch gii toỏn khụng cn s gúp ý ca giỏo viờn T ú ó mang li cỏc kt qu bt ng t vic gii toỏn thụng qua cỏc phng phỏp sỏng to tỡm li gii ca mt bi toỏn cho hc sinh Chớnh vỡ vy mi giỏo viờn núi chung v bn thõn tụi núi riờng cn hiu rừ kh nng tip thu bi ca i tng hc sinh a cỏc bi v phng phỏp gii toỏn cho phự hp giỳp cỏc em lm c v sỏng to cỏc cỏch gii gõy hng thỳ cho cỏc em, t ú s dn dn nõng cao kin thc t d n khú lm c nh vy i vi mi giỏo viờn cn tỡm tũi tham kho nhiu ti liu tỡm cỏc bi toỏn hay, vi nhiu cỏch gii khỏc tung cho hc sinh cựng lm, cựng phỏt hin cỏc cỏch gii hay Thụng qua phng phỏp giỏo dc cho cỏc em nng lc t c lp, rốn t sỏng to tớnh t giỏc hc tp, phng phỏp gii toỏn nhanh, k nng phỏt hin tt 23 Trờn õy l vi kinh nghim nh v vic bi dng hc sinh khỏ, gii Rt mong bn bố, thy cụ giỏo gúp ý tụi cú nhiu kinh nghim tt hn Tụi xin chõn thnh cm n! XC NHN CA BAN GIM HIU Nụng Cng, ngy 25 thỏng nm 2017 Tụi xin cam oan õy l SKKN ca tụi vit khụng chộp li ni dung ca ngi khỏc Lờ V Dng 24 - TI LIU THAM KHO Nõng cao phỏt trin toỏn 1, Tỏc gi V Hu Bỡnh Toỏn nõng cao v cỏc chuyờn hỡnh hc V Dng Thy hc tt toỏn Hong Chỳng Cỏc bi toỏn hay v khú hỡnh hc Tp toỏn hc v tui tr 25 26 ... bi dng hc sinh gii, v cht lng hc sinh mụn Toỏn, cht lng hc sinh gii - Nhit tỡnh trỏch nhim cao chm lo n cht lng hc sinh c bit l hc sinh gii - Cú k hoch phn u c th cho tng i tng hc sinh, cú thi... gii qua mt bi Toỏn t ú rốn luyn cho hc sinh nng lc hot ng t sỏng to Vỡ vy tụi tõm huyt chn sỏng kin kinh nghim ny: "Phỏt trin kh nng sỏng to ca hc sinh khỏ gii lp qua vic tỡm nhiu li gii cho. .. mụn cụng c h tr cho cỏc mụn hc khỏc.Vi mụn hỡnh hc l mụn khoa hc rốn luyn cho hc sinh kh nng o c, tớnh toỏn, suy lun logớc, phỏt trin t sỏng to cho hc sinh c bit l rốn luyn ca hc sinh khỏ, gii