SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CHO HỌC SINH LỚP Người thực : Bùi Thị Hiền Chức vụ : Giáo viên Đơn vị công tác : Trường THCS Trần Mai Ninh SKKN thuộc môn: Toán THANH HOÁ NĂM 2016 MỤC LỤC Nội dung Phần 1: Mở đầu Phần 2: nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp A) Hệ thống hoá kiến thức liên quan B) Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ PHƯƠNG PHÁP 1: Nâng lên luỹ thừa để làm vế phương trình PHƯƠNG PHÁP 2: Đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối PHƯƠNG PHÁP 3: Đặt ẩn phụ PHƯƠNG PHÁP 4: Đưa dạng A2 + B2 = A.B = PHƯƠNG PHÁP 5: Dùng bất đẳng thức PHƯƠNG PHÁP 6: Sử dụng biểu thức liên hợp 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Phần 3: KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo Trang 3 4 4 14 15 18 20 21 22 Phần 1: MỞ ĐẦU a) Lí chọn đề tài: Giải phương trình dạng toán chương trình toán THCS Trong phương trình vô tỉ dạng mới, khó, trừu tượng học sinh lớp Dạng toán thường xuất đề thi tuyển sinh vào THPT, đề thi học sinh giỏi cấp, tảng cho toán lớp Trong trình giảng dạy lớp 9, thấy gặp phương trình vô tỉ học sinh lúng túng không tìm cách giải hay mắc sai lầm Phương trình vô tỉ phương trình cách giải tắc Người làm toán phải định hướng nên giải theo cách cho phù hợp nhanh gọn Trong bồi dưỡng học sinh giỏi ôn tập cho học sinh chuẩn bị thi chuyển cấp, đòi hỏi giáo viên phải tìm tòi, suy nghĩ, đọc nhiều sách tham khảo để tìm cách giải phương trình vô tỉ đạt hiệu Mặt khác đa số học sinh trường THCS Trần Mai Ninh tiếp thu nhanh, làm hết tập sách giáo khoa, sách tập, có nguyện vọng thi vào trường chuyên Muốn đạt điểm cao kì thi học sinh giỏi, vào lớp 10 PTTH, trường chuyên phải giải toán khó (trong có toán giải phương trình vô tỉ) Vì dạy phần đòi hỏi giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn nhiều tập, nhiều dạng khác nhau, để học sinh tìm “chiếc chìa khoá” giải dạng cụ thể phương trình vô tỉ Qua trình giảng dạy, tham khảo đồng nghiệp học hỏi kinh nghiệm, mạnh dạn phân dạng phương trình vô tỉ cách giải dạng, giúp học sinh hiểu sâu sắc phương trình vô tỉ nhiều góc độ, làm đơn giản phương trình vô tỉ phức tạp Đề tài nghiên cứu cách bốn năm (từ năm học 2011-2012 đến nay) thấy em có hứng thú học tập môn toán hơn, kết giáo dục tăng rõ rệt Vì viết sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn luyện kỹ giải phương trình vô tỉ cho học sinh lớp 9” Đề tài giúp củng cố nghiệp vụ giảng dạy, bổ sung thêm vốn kiến thức cho thân giúp em yêu thích môn toán Qua xin trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp phương pháp dạy học, mong đề tài mở rộng phát triển b) Mục đích nghiên cứu: Sáng kiến kinh nghiệm việc củng cố kiến thức sách giáo khoa cung cấp kiến thức nâng cao, mở rộng rèn luyện kỹ giải dạng phương trình cho học sinh Với phương trình học sinh phát dạng tìm cách giải phù hợp nhất, nhanh nhất, biết tổng quát toán đặt đề toán tương tự Từ học sinh phát triển tư logic, hiểu sâu kiến thức, có hứng thú nghiên cứu khoa học nâng cao hiệu giáo dục c) Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu học sinh lớp 9, đại số tập phương trình vô tỉ, kiến thức thức… d) Phương pháp nghiên cứu Phương pháp khảo sát thực tiễn, nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, so sánh, quan sát, kiểm tra, đánh giá Phần 2: NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận: Xuất phát từ đặc trưng môn toán môn Toán trường THCS môn “khoa học suy diễn” cung cấp cho học sinh kiến thức phổ thông bản, vững có hệ thống Rèn luyện phát triển kĩ giải toán ứng dụng vào thực tế, khả tư logic, sử dụng ngôn ngữ xác Bồi dưỡng phẩm chất độc lập, sáng tạo, kiên trì, tích cực cho học sinh Căn vào thực tế dạy học phương trình vô tỉ chương trình Đại số thấy hệ thống tập sách giáo khoa, sách tập Bộ giáo dục Đào tạo ấn hành đáp ứng cho học sinh đại trà Đối với học sinh khá, giỏi dạng tập phong phú đa dạng 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: a) Đối với học sinh: Trường THCS Trần Mai Ninh đa số em nắm kiến thức khả suy luận tốt, chăm chỉ, làm hết tập cô giao Song em làm cách định lượng, chưa suy nghĩ tìm cách giải khác, chưa có khả phân biệt dạng toán, chưa tự giác tìm tòi dạng phương trình vô tỉ Khảo sát thực tiễn đề tài: *) Số liệu thống kê Khi chưa áp dụng đề tài, tập giải phương trình vô tỉ qua khảo sát 96 học sinh lớp 9C, 9G trường THCS Trần Mai Ninh nhận kết sau: Số học sinh Tỷ lệ Kết 25 26% Giải phương trình cho 30 31% Chưa giải phương trình cho 41 43% Không biết cách giải phương trình *) Nguyên nhân: HS không giải giải sai kết do: + Chưa biết cách áp dụng kiến thức học vào giải phương trình như: Bình phương hai vế, phân tích đa thức thành nhân tử, bất đẳng thức + Chưa có phương pháp cụ thể để giải phương trình vô tỉ + Chưa nắm kiến thức liên quan, thiếu cẩn thận dẫn đến phương trình thiếu nghiệm thừa nghiệm 2) Đối với giáo viên *) Thuận lợi: - Hầu hết thầy cô có trình độ, đào tạo bản, tâm huyết với nghề cầu tiến - Nhà trường có sở vật chất tốt phòng học có máy chiếu, giáo viên soạn giáo án điện tử thành thạo, vận dụng tốt công nghệ thông tin dạy - Các tổ, nhóm chuyên môm hoạt động tích cực, thường xuyên dự giờ, trao đổi, góp ý rút kinh nghiệm để nâng cao nghiệp vụ *) Khó khăn: - Các tập phương trình vô tỉ vừa khó vừa phương pháp giải chung cho tất phương trình - Mức độ rèn luyện phát triển tư logic phương trình vô tỉ khác nhau, chủ yếu dựa vào kinh nghiệm người giáo viên Đòi hỏi người giáo viên phải có kiến thức, có tổng hợp, có liên hệ vấn đề, có thời gian, có tâm huyết có tinh thần học hỏi cao đáp ứng chuyên môn công việc giảng dạy 2.3 Các giải pháp: A) Hệ thống hoá kiến thức liên quan Khi giải phương trình vô tỉ học sinh cần nắm vững kiến thức sau: 1) Khái niệm phương trình, cách giải, tập xác định, nghiệm phương trình 2) Phương trình vô tỉ - Định nghĩa phương trình vô tỉ, bước giải phương trình vô tỉ nói chung - Các kiến thức thức 3) Các tính chất luỹ thừa bậc 2, bậc 3, luỹ thừa bậc chẵn luỹ thừa bậc lẻ 4) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, đẳng thức 5) Các kiến thức bất đẳng thức: Côsi, Bunhiacopski B) Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ PHƯƠNG PHÁP 1: Nâng lên luỹ thừa để làm vế phương trình (thường dùng vế có luỹ thừa bậc) Trong chương trình đại số 9, giải phương trình vô tỉ học sinh thường quen dùng phương pháp nâng luỹ thừa hai vế để làm dấu Trong trình giải học sinh thường mắc phải số sai lầm phép biến đổi tương đương dẫn đến thừa thiếu nghiệm Có số phương trình sau làm dấu dẫn đến phương trình bậc cao, mà việc nhẩm nghiệm để đưa phương trình bậc nhất, bậc để giải lại khó khăn Vì học sinh lúng túng không tìm lời giải g(x) ≥ 0;f (x) ≥ a) Dạng 1: f (x) = g(x) ⇔  f (x) = [g(x)] Ví dụ 1: Giải phương trình: x + = x − (1)  x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ Giải: (1) ⇔   2  x + = ( x − 1)  x − 3x = ( ) x ≥  x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = * Nhận xét Khi giải phương trình dạng học sinh thường mắc sai lầm không đặt điều kiện cho g(x) ≥ Chẳng hạn ví dụ không đặt điều kiện x - ≥ , dẫn đến phương trình x2 - 3x = có hai nghiệm x1 = 0, x2 = thay x1 = vào phương trình ta thấy VT ≠ VP Sở dĩ có sai lầm học sinh chưa nắm tính chất lũy thừa bậc hai Dạng f (x) + g(x) = h(x) f (x) + g(x) = h(x) f (x) + g(x) = h(x) + k(x) - Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa: f (x) ≥0; g(x) ≥0; h(x) ≥0; k(x) ≥0 - Biến đổi để vế phương trình không âm (với phương trình chứa bậc hai) ta bình phương hai vế phương trình tương đương Sau đưa phương trình dạng biết cách giải Ví dụ 1: Giải phương trình: x + = − x − (1) + Ở phương trình hai vế có bậc hai, học sinh mắc sai lầm để nguyên hai vế bình phương hai vế để làm Vì giáo viên cần phân tích kỹ sai lầm mà học sinh mắc phải hai vế phương trình không dấu Giáo viên cần khắc sâu cho học sinh tính chất luỹ thừa bậc hai: a = b ⇔ a2 = b2 ( Khi a, b dấu ) Giải Với điều kiện x ≥ Ta có: (1) ⇔ x + + x − = ⇔ ( x + + x − ) = 52 ⇔ 2x + + (x + 3)(x − 2) = 25 ⇔ (x + 3)(x − 2) = 12 − x 2 ≤ x ≤ 12 2 ≤ x ≤ 12 ⇔ ⇔x=6 25x = 150  x + x − = 144 + x − 24x ⇔ 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải phương trình: x − − x − = 3x − (2) Ở phương trình vế phải lớn 0, vế trái chưa lớn ta nên chuyển vế đưa phương trình có vế lớn (2) ⇔ x − = x − + 3x − Đến học sinh bình phương hai vế: x − = x − + x − ⇔ − x = 15 x − 13 x + (2’) ⇔ − 14 x + 49 x = 4(15 x − 13x + 2) ⇔ 11x − 24 x + = ⇔ (11x − 2)( x − 2) =  x=  ⇔ 11 Và trả lời phương trình có nghiệm: x1 = ; x =  11 x = Sai lầm học sinh gì? Tôi yêu cầu học sinh khác nhận xét phát sai lầm : + Khi giải chưa ý đến điều kiện để thức có nghĩa nên sau giải không chiếu với điều kiện (2) ĐKXĐ x ≥ x1 = 11 nghiệm (2) + Khi bình phương hai vế phương trình (2’) cần có điều kiện − 7x ≥ ⇔ x ≤ => x = không nghiệm (2) - Sau phân tích sai lầm mà học sinh thường gặp, từ cho học sinh tìm cách giải không phạm sai lầm phân tích Cách 1: Sau tìm x = x = thử lại (2) không nghiệm Ta kết 11 luận phương trình (2) vô nghiệm Cách 2: Đặt điều kiện tồn thức (2) Sau giải đến (2’) bình phương hai vế đặt thêm điều kiện x ≤  x ≤ Khi x thoả mãn  nên phương trình (2) vô nghiệm  x ≥ Cách 3: Có thể dựa vào điều kiện ẩn để xét nghiệm phương trình Điều kiện (2) : x ≥ x < x ⇒ x − < x − ⇒ x − < x − Vế trái âm Vế phải lớn nên phương trình (2) vô nghiệm Sau số tập tương tự cho học sinh trình bày lời giải Bài tập áp dụng: Giải phương trình a) x + − 3x + = x − b) x − − x + = x − − x + C) Dạng 3: Sử dụng lập phương hai vế Ví dụ 1: Giải phương trình : x + + − x = (1) Đối với phương trình có chứa bậc lẻ ta không cần điều kiện để biểu thức dấu không âm n+1 A có nghĩa với ∀A Ở luỹ thừa bậc lẻ: a = b ⇔ a2n+1=b2n+1; (n∈ N) nên không cần xét đến dấu hai vế 2 Giải: Lập phương hai vế x + + − x + 3( x + 1) − x + x + 1.( − x ) = (1’) Đến học sinh lúng túng sau lập phương hai vế, vế trái nhìn phức tạp, giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức: ( a+b)3 = a3 + b3 + 3ab(a+b) Khi (1’) viết x + + − x + 33 ( x + 1)(7 − x) ( x + + − x ) = Đặc biệt x + + − x = nên thay vào phương trình ta được: + 33 ( x + 1)(7 − x ) = ⇔ ( x + 1)(7 − x) = Giải ra: x1 = −1; x = ; Thay vào (1) ta thấy nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x1= -1; x2 = Như phương trình (1) việc lập phương hai vế cần sử dụng đẳng thức cách linh hoạt để đưa phương trình dạng a.b = giải Bài tập áp dụng: Giải phương trình : a) − x + + x − = x ; b) x + + 3 − x = ; c) x − + x + = 10 x d) x −1 + x −2 = 2x −3 Nhận xét: *Khi giải phương trình vô tỉ có bậc hai ta cần ý: - Tìm điều kiện xác định - Sau biến đổi để vế phương trình không âm ta bình phương vế phương trình tương đương - Khi khử rút gọn phương trình thức bậc hai chứa ẩn, ta tiếp tục chuyển vế đặt điều kiện bình phương tiếp * Khi giải phương trình vô tỉ có bậc ba không cần tìm điều kiện cho biểu thức bậc ba - Trước lập phương nên chuyển thức vế PHƯƠNG PHÁP 2: Đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Khi gặp phương trình mà biểu thức viết dạng bình phương biểu thức sử dụng đẳng thức A = A để làm dấu đưa phương trình đơn giản Ví dụ 1: Giải phương trình: x − + 2 x − + x + 13 + x − = (1) Nhận xét: + Ở phương trình (1) học sinh nhận xét vế trái có bậc hai nên bình phương hai vế Nhưng phương trình sau bình phương (lần 1) chứa phức tạp +Ta xét xem biểu thức viết dạng bình phương biểu thức không? Từ có có hướng giải sau: Giải : ĐKXĐ x − ≥ ⇔ x ≥ ; 2 x − + 2 x − + x + 13 + x − = ⇔ (2x −3)+2 2x −3 +1 + (2x −3) −2 2x −3.4+16 = ⇔ ( ) 2x −3 +1 + ( 2x −3 −4 ) =5 ⇔ 2x −3 +1 + ' 2x −3 −4 = (1 ) Cách 1: Đến để giải (1’) ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối, trước bỏ dấu A cần xét dấu A Nhận xét: x − + > nên xét dấu x − − 2 x − ≥ 16 19  ⇔x≥ Nếu x − − ≥ ⇔   x ≥ x − + + x − − = ⇔ 2 x − = ⇔ x − = Giải x = (Không thoả mãn ĐKXĐ) 19 + Nếu x − < ⇔ ≤ x ≤ 2 x − + − x − + = ⇔ x = vô số nghiệm x thoả mãn Kết luận: 19 ≤x≤ 2 19 ≤x≤ 2 Cách 2: Để giải (1’) sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối A + B ≥ A + B dấu “=” xảy A.B ≥ Giải (1’) 2x −3 +1 + 2x −3 −4 =5⇔ 2x −3 +1 + 4− 2x −3 =5 Ta có: => 2x − + + − 2x − ≥ 2x − + + − 2x − = x − + + − x − = 4 − x − ≥  ⇔ x ≥  ( )( ) 2x − + − 2x − ≥ Giải ra: 19 ≤x≤ 2 Ví dụ 2: Giải phương trình: 4x + 20x + 25 + x + 6x + = 10x − 20 (2) ( Đề thi khảo sát đầu năm trường Trần Mai Ninh 2009 - 2010) Đối với tập học sinh phát biểu thức bình phương tổng biến đổi dạng: 4x + 20x + 25 + x + 6x + = 10x − 20 ⇔ 2x + + x + =10 (x − 2) Đa số học sinh giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cách xét khoảng x ≤ -3; -3 < x < - 2,5; x ≥ − 2, Tuy nhiên quan sát kỹ hai vế ta có vế trái không âm nên vế phải không âm, suy x ≥ từ có cách giải ngắn gọn Với x ≥ 2x + > x + > phương trình trở thành: 2x + + x +3 = 10x – 20 Từ ta tìm nghiệm phương trình x = Bài tập áp dụng: Giải phương trình a) x + − x − + x + − x − = ; b) x + x − + x − x − = PHƯƠNG PHÁP 3: Đặt ẩn phụ Việc giải phương trình vô tỉ thường gây nhiều khó khăn, phức tạp Nếu nâng lên luỹ thừa để làm dấu dẫn đến phương trình bậc cao khó tìm nghiệm Tuy nhiên, đặt ẩn phụ cách thích hợp chuyển phương trình vô tỷ cho phương trình đơn giản, hệ phương trình đại số có cách giải quen thuộc Cách đặt ẩn phụ tuỳ thuộc vào toán cụ thể, phải xem xét vận dụng linh hoạt Ta đặt ẩn phụ, hai ẩn phụ, nhiều ẩn phụ A) Cách đặt ẩn phụ: Chọn ẩn phụ thích hợp để đưa phương trình phương trình có ẩn Giải phương trình tìm ẩn phụ, từ tìm ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình: x + 6x+ 12+ x + 3x + = (1) Nhận xét: Ở phương trình bình phương vế đưa phương trình bậc mà việc tìm nghiệm khó Ta tìm mối liên biểu thức 2x2+ 6x+ 12 = 2(x2 + 3x + 2) + Hướng giải: Đặt ẩn phụ y= x + 3x + Giải: ĐKXĐ: x2+3x + ≥ ⇔ ( x+1) (x+2) ≥ ⇔ x ≤ 2; x ≥ -1 Đặt : x + 3x + = y ( y ≥ ) (1) ⇔ 2y2 + y + = ⇔ 2y2 + y - 1= Giải ta y1= 0,5 ( Thoả mãn ĐKXĐ); y2= - ( Loại) Với y1= 0,5 ta có x + 3x + = 0,5 ⇔ x2 + 3x + = 0,25 −3+ −3− ; x2 = 2 −3+ Đối chiếu với ĐKXĐ x = thoả mãn nghiệm phương trình (1) Giải ra: x1 = Ví dụ 2: Giải phương trình: x + + − x − (x + 1)(3 − x) = (2) (Đề thi học sinh giỏi Thành Phố Thanh Hóa năm học 2014 - 2015) Đối với ví dụ bình phương vế phức tạp Khi quan sát so sánh kỹ biểu thức dấu học sinh nghĩ đến phương pháp đặt ẩn phụ x + 1≥ Giải: ĐKXĐ  3− x ≥ -1 ≤ x ≤ Đặt y = x +1 + 3−x ( Điều kiện y ≥ 0) Khi y2 = + ( x + 1)(3− x ) => ( x + 1)(3− x ) = y2 - (2’) (Điều kiện y2 ≥ ) Phương trình trở thành 2y – (y2- 4) = y2 - 2y = y( y - 2) = y = (không thỏa mãn y2 ≥ 4) (loại) ; y = (thỏa mãn y2 ≥ 4) Thay y = vào (2’) ta ( x + 1)(3− x ) = 22 - 4 ( x + 1) ( – x) = Ta thấy x = - 1; x = thỏa mãn điều kiện Vậy nghiệm phương trình là: x = -1 ; x = Ví dụ 3: Giải phương trình 12 + 16x − 16x + 4x − 4x = 33 (3) (Đề thi HSG Thành Phố Thanh Hóa năm học 2012- 2013 vòng 2) Trong ví dụ đặt biểu thức 12 + 16x − 16x = y phức tạp ta nên biến đổi thành biểu thức đơn giản trước đặt ẩn phụ Giải: ĐKXĐ – 0,5 ≤ x ≤ 1,5 Biến đổi phương trình: 12 + 16x − 16x + 4x − 4x = 33 16 + 4x − 4x + 4x − 4x = 33 Đặt + 4x − 4x = y (y ≥ 0) Suy + 4x – 4x2 = y2 => 4x - 4x2 = y2 – (3’) Phương trình cho trở thành: 16y + y2 - = 33 y2 + 16y – 36 = ( y – 2) ( y + 18) = Do y = y = –18 Ta thấy y = – 18 không thoả mãn điều kiện + Thay y = vào (3’)ta có: 4x – 4x2 = 22 – 4x2 – 4x + = (2x – 1)2 = x = 0,5 Ta thấy x = 0,5 thoả mãn điều kiện, nghiệm phương trình cho Vậy nghiệm phương trình là: x = 0,5 Ví dụ 4: Giải phương trình x + 3x x2 − =6 (x ∈) (Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn năm học 2011- 2012) 10 Với ví dụ ta đặt ẩn phụ không hiệu nên phải kết hợp hai phương pháp bình phương hai vế đặt ẩn phụ x > ;  x < −3 Giải : ĐKXĐ x2 – > ⇔  + Nếu x > bình phương hai vế phương trình ta được: 9x2 6x2 x4 x2 x + + = 72 ⇔ + − 72 = x −9 x −9 x2 − x2 − x2 (t > 0) , phương trình: t + 6t − 72 = ⇔ t = Đặt t = x −9 x2 = ⇔ x4 – 36x2 + 324 = ⇔ x2 = 18 Khi đó: x −9 Trong trường hợp tìm được: x = 3x < < => phương trình vô nghiệm + Nếu x < –3 x + x −9 Vậy phương trình cho có nghiệm nhất: x = B) Đặt ẩn phụ đưa phương trình ẩn: Ẩn ẩn phụ, tìm mối quan hệ ẩn ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình: x + x + 2002 = 2002 ( Đề thi vào lớp 10 PTTH năm 2002- 2003) Nhận xét: Nếu bình phương hai vế đưa phương trình bậc khó nhẩm nghiệm vô tỷ Hãy tìm cách đưa hệ phương trình có ẩn ẩn ẩn phụ Tìm mối quan hệ ẩn ẩn phụ từ đưa phương trình đơn giản Giải: ĐKXĐ x ≥ - 2002 Cách 1: Đặt x +2002 = y ( y ≥ 0) ta có hệ phương trình  x +2002 =y giải   x +y =2002  x + 2002 = −x x = −y x = y −1 ⇔     x + 2002 = x +1 Từ sử dụng phương pháp để giải tiếp Cách 2: Đưa vế bậc: 1 = x + 2002 − x + 2002 + 4 1  x + = x + 2002 − 2  1  1  2 ⇔  x + ÷ =  x + 2002 − ÷ ⇔  2  2   x + = − x + 2002  2 x2 + x + Đến tiếp tục giải theo phương pháp Chú ý: Cách thường sử dụng quan hệ ẩn ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng Ví dụ 2: Giải phương trình: ( x + 1) x − x = x − 3x − (2) ( Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Lam Sơn 2014 – 2015) 11 Đối với ví dụ ta linh hoạt đặt ẩn phụ giải ngắn gọn Giải: Điều kiện: x − x ≥ Phương trình cho tương đương: x − x − ( x + 1) x − x − x − = (2’) Đặt t = x − x ,(t ≥ 0) Ta có (2’) trở thành: t − ( x + 1)t − x − = ⇔ t = −1 (loại), t = x +  x ≥ −2 ⇔ x = ± 13 (thỏa mãn)  x − 6x − = Với t = x + ⇒ x − x = x + ⇔  Vậy nghiệm phương trình là: x = ± 13 Ví dụ 3: Tìm nghiệm dương phương trình y + y = y +9 28 (Đề thi thử vào lớp 10 Trần Mai Ninh năm 2015- 2016) Ví dụ khó chỗ đặt ẩn cho phù hợp cần phải quan sát kỹ đề hơn, ta đặt ẩn để đưa hai phương trình đối xứng sau: y +9 =x+ Giải: Với y> đặt (ĐKXĐ x ≥− ) 28 2 ⇒ y +9 1 =( x + )2 ⇒7 x +7 x = y + 28 2 Theo y + y = x + => 7(x2 –y2) + 8(x –y) = = > (x – y)(7x + 7y + 8) = Vì x ≥ − ; y > nên (7x + 7y + 8) > = > (x – y) = = > x = y Khi y + y = y + => 14y2 + 12y - = Ta có ∆ , = 50 > nên y1 = −6 + 50 −6 − 50 > 0; y = nên nghiệm dương phương trình y = −6 + 50 14 B) Đặt ẩn phụ: Trong số phương trình đặt ẩn phụ phương trình phức tạp Ta đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình, giải hệ tìm giá trị ẩn phụ, từ đưa phương trình đơn giản Ví dụ 1: Giải phương trình: − x + x − = Nhận xét: Ở vế trái có bậc bậc nên việc nâng luỹ thừa vế để làm dấu khó + Hai biểu thức có mối quan hệ: − x + x − = (hằng số) + Đặt ẩn phụ: Sẽ đưa hệ phương trình không chứa giải Giải: ĐKXĐ x ≥ Đặt 2−x = u; x −1 = v ( v ≥ 0) 12 u + v = Ta có hệ phương trình:  3 u + v = Giải ta u1 =0; u2 =1; u3 = - Từ ta tìm nghiệm x1=1; x2=2; x3 = 10 ( thoả mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình có nghiệm x1=1; x2= 2; x3 =10 Tổng quát: Đối với phương trình có dạng: n a − f ( x ) + m b ± f ( x) = c (n, m∈ N; n, m>0) Ta thường đặt: u = n a − f ( x) ; v = m b + f ( x) Khi ta hệ phương trình: u + v = c  n m u + v = a + b u + v = c  n m u − v = a − b Giải hệ tìm u, v sau tìm x Ví dụ 2: Giải phương trình: 97 − x + x − 15 = (2) Đây phương trình chứa bậc 4, ta thấy hai biểu thức dấu có tổng 82 nên đặt hai ẩn phụ để chuyển hệ đối xứng sau: Giải: ĐKXĐ: 15 < x < 97 Đặt u = 97 − x ; v = x − 15 (u, v > 0)  u +v = Khi ta có hệ phương trình:  4  u +v = 82 Mặt khác u4 + v4 = [(u + v)2 - 2uv]2 - 2u2v2 Vì u + v = nên u4 + v4 = (16 - 2uv)2 - 2u2v2 Đặt t = u v (t > 0) ta có: (16 - 2t)2 - 2t2 = 82 t1 = 3, t2 = 29 u + v = u + v = (2’)  (2’’) u v = u v = 29   Ta có hai hệ phương trình sau:  Hệ (2’) có hai nghiệm (1, 3); (3,1) Hệ (2’’)vô nghiệm 97 − x = 97 − x = 81   x − 15 = 81  x − 15 = Suy  Giaỉ hai hệ phương trình ta có x = 96 ; x = 16 ( thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy nghiệm phương trình x = 96; x = 16 Ví dụ 3: Giải phương trình: (5 − ) x + (5 + ) x = 10 (3) (Đề thi học sinh giỏi năm 2005 - 2006) Phương trình không quen thuộc phương trình trên, ẩn x nằm lũy thừa, gặp phương trình học sinh lúng túng Giáo viên cần giúp học sinh tìm thấy mối quan hệ hai biểu thức dấu căn, từ có cách đặt ẩn phụ phù hợp Giải: ĐKXĐ: x ∈ R 13 Ta thấy (5 -2 )(5 + ) = Đặt (5 + ) x = (5 − ) x = u (u > 0) Khi đó: (3) u + u = 10 u2 - 10u + = u u =5−2 ⇔  u =5+2 Nếu u = - (5 − ) x = − (5 − ) x = (5 − ) x = x Nếu u = + (5 − ) = + = x (5 − ) = (5 − ) ( ⇔ 5− ) x+ 5−2 =1⇔ x+ = x = - Vậy nghiệm phương trình x = + Ngoài cách có số đặt ẩn phụ không đưa hệ phương trình ta tìm quan hệ ẩn phụ, thay vào hệ thức đặt lúc đầu để đưa phương trình đơn giản Ví dụ 4: Giải phương trình: 2( x + 2) = x + (Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn năm 2015-2016) Nhận xét: Nếu bình phương hai vế phương trình đưa phương trình bậc khó giải Đa số học sinh không làm tập Nếu quan tâm biểu thức x3+1 Ta sử dụng đẳng thức: x3 + 1= (x + 1)(x2 – x + 1) + Tìm mối quan hệ x2 + x3 + ta có x2 +2 = (x2 – x + 1)+( x + 1) + Từ đặt ẩn phụ: a = x + 1; b = x − x + tìm mối quan hệ a, b từ tìm x Giải: ĐK XĐ x ≥ − 2( x + 1) = ( x + 1)( x − x + 1) Đặt a = x +1; b = x −x +1 Ta có: a2 = x + ; b2 = x2 – x + ; x2 + = a2 + b2 Phương trình cho trở thành: 2( a2 + b2) = ab (2a – b)(a – 2b) =  a = 2b ⇔ b = 2a * Với a = 2b ta có: x + = x2 − x + 14  + 37 x1 = ⇔ x − 5x − = ⇔   − 37 x =  Thoả mãn ĐK XĐ + Với b = 2a Ta có: x − x + = x + Từ giải tìm x Ở dạng việc tìm mối quan hệ biểu thức hai vế quan trọng Vì trước giải phải quan sát nhận xét để tìm cách giải phù hợp Ví dụ 5: Giải phương trình: 2(3x + 5) x + = 3x + x + 30 Hướng dẫn: Hãy tìm mối quan hệ biểu thức: 3( 2x + 3) +1 x + = 3(x + 9) + 2x +   Đặt: x + = a; x + = b ( b ≥ 0); Ta có phương trình (3a + 1)b = a + 3b ⇔ (3b − 1)(b − a) =  b = a x +9 =   ⇔  Giải ta x = b= 2 x + = x +  Bài tập áp dụng: Giải phương trình a) x + = 23 x − ; b) x + x + = x + ; c) x + x + + x + 3x + = 15 d) 1 +x+ − x = 1; 2 e) x + + x + = x + x + x + − 16 C) Đặt nhiều ẩn phụ: Ví dụ: Giải phương trình x − + x − 3x − = x + x + + x − x + Nhận xét: + Phương trình nhìn phức tạp, dùng phương pháp bình phương vế không hiệu + Việc đặt điều kiện để thức có nghĩa phức tạp, nên ta giải phương trình tìm x thử lại + Quan sát nhận xét biểu thức dấu căn: (2 x − 1) − ( x − x − 2) = ( x + x + 3) − ( x − x + 2) Nên nghĩ đến phương pháp đặt ẩn phụ: Giải: ĐKXĐ x ≥ 2; x ≤ Đặt x − = u; x − 3x − = v; x + x + = z; x − x + = t ( u, v, z, t ≥ 0) u + v = z + t Ta có hệ :  2 2 u − v = z − t Từ suy ra: u = t ⇒ x − = x + x + Giải ta x = - Thay vào thoả mãn phương trình cho Vậy phương trình có nghiệm x= - PHƯƠNG PHÁP 4: Đưa dạng A2 + B2 = A.B = Ở phương pháp ta sử dụng A2 + B2 = A = B = 0; A.B =0 A = B = 15 Ví dụ: Giải phương trình x − + y + 2009 + z − 2010 = ( x + y + z ) (Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn năm 2009 - 2010) Đối với phương trình ta làm cách bình phương hai vế hay đặt ẩn phụ được, nhiên quan sát kỹ ta thấy xuất đẳng thức bậc hai, từ có cách giải sau: Giải: ĐKXĐ: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010 Phương trình cho tương đương với: x + y + z = 2 +2 y + 2009 + z −2010 ⇔ ( x − - 1)2+( y + 2009 - 1)2 + ( z − 2010 - 1)2 = Vì ( x −2 −1) ≥0;( y + 2009 −1) ≥0; ( z −2010 −1) ≥0 nên  x −2 −1=0  x −2 =1 x =     y + 2009 −1= ⇔  y + 2009 = ⇔  y =− 2008   z = 2011  z −2010 −1=0  z −2010 =1 Thỏa mãn ĐKXĐ Vậy nghiệm phương trình x = 3; y = - 2008; z = 2011 Bài tập áp dụng: Giải phương trình a) x + x + − − x = −3 ; b) x + − 3x − = x+3 PHƯƠNG PHÁP 5: Dùng bất đẳng thức Ta dùng bất đẳng thức đánh giá vế phương trình để từ suy nghiệm phương trình Khi giải phương trình vô tỉ thường dùng phương pháp bất đẳng thức nhiều dạng khác A) Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức không chặt để chứng tỏ tập giá trị vế rời nhau, phương trình vô nghiệm Ví dụ 1: Giải phương trình x − − 5x − = 3x − Cách Điều kiện x ≥ Với x ≥ vế trái: x − < 5x − ⇒ vế trái âm Vế phải 3x − ≥ ⇒ vế phải dương Vậy phương trình cho vô nghiệm Cách Với x ≥ 1, ta có: x − = 5x − + 3x − ⇔ x − = 8x − + (5x − 1)(3x − 2) ⇔ − 7x = (5x − 1)(3x − 2) Vế trái số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ ⇒ phương trình vô nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x Nhận xét: +Ở phương trình ta không nên bình phương hai vế,đặt ẩn phụ + Xét biểu thức 16 3x2+ 6x +7 = 3(x+1)2+ 4; 5x2+10x + 14 = 5(x+1)2 + 9; - 2x - x2=-(x+1)2+5 Từ có lời giải: Giải: VT: 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x ≥ + = VP: − x − x = − ( x + 1) ≤ Vậy vế 5, x + = ⇒ x = −1 Kết luận phương trình có nghiệm x = - Ví dụ 3: Giải phương trình: x − + − x = x − 10 x + 27 (3) Nhận xét: Nếu bình phương vế ta có phương trình bậc 4, khó giải, phức tạp Ta sử dụng bất đẳng thức so sánh vế Giải: ĐKXĐ: ≤ x ≤ Ta thấy: x − 10 x + 27 = ( x − 5) + ≥ Mặt khác áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có ( ( x −4 +1 6−x ) ⇒ x −4 + 6−x ≤ ≤ 12 +12 ) ( x −4+6−x ) = 2.2 = Suy x2 - 10x + 27 = (3’) x − + − x = (3’’) Giải (3’) ta x = thay vào (3’’) ta thấy vế Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 4: Tìm nghiệm dương phương trình: ( 1+ x − x2 − ) 2005 ( + + x + x2 −1 ) 2005 = 2006 (Đề thi vào lớp 10 PTTH năm học 2008-2009) Đối với tập ta nghĩ đến việc so sánh hai vế từ ta dùng bất đẳng thức phù hợp Giải: ĐKXĐ: x ≤ −1 ; x ≥ Gọi a nghiệm dương phương trình a ≥ Ta có: + a − a − > 0,1 + a + a − > ( ⇔ (1+ a − ⇔ (1+ a − ⇔ (1+ a − ⇒ ( 1+ a − ) a −1) a −1) a −1) a −1) ⇒ + a − a2 − 2 2 2005 2005 2005 2005 2005 ( + ( 1+ a + + ( 1+ a + + ( 1+ a + + ( 1+ a + ) a −1) a −1) a − 1) a −1) + + a + a2 − 2 2 2005 2005 2005 2005 2005  ≥ 2  ( ≥2 2a + ( ≥ 2( )( ) 2005  1+ a − a2 −1 1+ a + a2 −1 ÷  ) 2.1 + ) 2005 2005 Vì a ≥ ≥ 2.22005 = 22006 = 22006 1 + a + a − = + a + a − ⇔ ⇔ a =1 a = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Tổng quát cách giải: 17 + Biến đổi phương trình dạng f(x)= g(x) mà f(x)≥ a g(x)≤ a với a số Nghiệm phương trình giá trị x thoả mãn đồng thời f(x)= a g(x) = a + Biến đổi phương trình dạng h(x) =m (m số) mà ta có h(x) ≥ m h(x) ≤ m nghiệm phương trình giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy + Áp dụng bất đẳng thức Côsi Bunhiacôpxki B) Đoán nghiệm, chứng minh nghiệm Ví dụ 1: Giải phương trình − x − 3x − = Nhận xét: Nếu sử dụng phương pháp khó giải nên suy nghĩ để tìm cách giải khác Hướng dẫn: + Thử nhẩm tìm nghiệm phương trình + Chứng minh nghiệm Giải: Nhận thấy x = 1; x = -1 nghiệm phương trình  − x < 5 − x < x > ⇒ ⇒ − x − 3 x − < nên phương + Xét   3 x − >  x − > trình vô nghiệm 5 − x > ⇒ − x − 3x − > + Xét x < ta có:  3 x − < nên phương trình vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x = -1 x = Ví dụ 2: Giải phương trình: x+7 + = 2x + 2x − x +1 (Đề thi học sinh giỏi Thành Phố Thanh Hóa 2011-2012) Đối với ví dụ ta dùng phương pháp 1,2,3 dùng bất đẳng thức Trước hết ta nhẩm nghiệm phương trình, nghiệm ta có nghiệm khác không?Sau ta chứng minh nghiệm Giải: ĐKXĐ: x ≥ Ta thấy x = nghiệm phương trình – Nếu ≤ x < : VT = – Nếu x > 2: VP = 2x2 + + < + Mà: VP > + x +1 2x − > 2.22 + = + VT < + 1+ 6 x >2⇒ x+ 1>2 + 1⇒ 1+ < 1+ =3 x+ 2+ Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài tập áp dụng: Giải phương trình a) x − + − x = x − x + 11 ; b) x + x − + − x + x + = x − x + ; c) + = 3− x 2−x 18 C) Sử dựng phương trình bậc hai: Ngoài phương pháp ta vận dụng kiến thức phương trình bâc để giải phương trình vô tỉ Đưa phương trình cho dạng tắc ax2 + bx +c = (a ≠ 0) Rồi tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Ví dụ: Giải phương trình x2 - 7x + 2(x+2) x + = 24 (*) Giải: ĐKXĐ: x ≥ -3 Khi (*) x2 + x - 8x - 24 + 2(x+2) x + = - 8(x +3) + 2(x +2) x + + x + x = Đặt y = x + (y > 0) , (2) - 8y2 + 2(x + 2)y + x2 + x = ∆' = (x + 2)2 + 8(x2 + x) = (3x + 2)2 − x − + 3x + − x − x − − 3x − x + = = , y2 = −8 −8 −x −x Với y1 = ta có x + = x + x + = x +3 + x + − = 4 y1 = ∆' = + = 7> => x + = −2 − < (loại); x + = −2 + > x +3 = + - x = - < -3 (loại) Với y2 = x +1 ta có x+3 = x +1 x + - x + = x + - x + − = , ∆' = + = => x + = − < (loại); x + = + > (TMĐK) x + = + + x = + (thoả mãn) Vậy x = + nghiệm phương trình PHƯƠNG PHÁP 6: Sử dụng biểu thức liên hợp Ví dụ 1: Giải phương trình + = x+3 x+4 (Đề thi giáo viên giỏi Thành Phố Thanh Hóa 2015-2016) Đối với toán ta bình phương hai vế không, ta phương trình bậc nghiệm nguyên, khó khăn việc tìm nghệm, dùng biểu thức liên hợp ta có cách giải độc đáo sau Giải: ĐKXĐ x > -  Khi phương trình cho tương đương với  −     +  − ÷ ÷= ÷ x+3   x+4 ÷  19 4− x + 11 x + 11 x+3 + x+4 =0⇔ + =0     2+ 2+ ( x + 3)  + ÷ ( x + 4)  + ÷ x+3 x+4 x+3  x+4    4− Vì x > -   ( x + 3)  + ÷ x+3   + >0   ( x + 4)  + ÷ x+4   11 Do 4x + 11 = ⇔ x = − thỏa mãn điều kiện  11 Vậy tập nghiệm phương trình là: S = −   4 nên Ví dụ 2: Giải phương trình Giải: ĐKXĐ: x ≥ x + 12 + = 3x + x + (2) Ta nhận thấy x = nghiệm phương trình Như phương trình cho phân tích dạng ( x − ) Q ( x ) = Phương trình cho tương đương với: x + 12 − = x − + x + − x2 − x2 − ⇔ = 3( x − 2) + x + 12 + x2 + +   x+2 x+2 ⇔ ( x − 2)  − − 3÷= x2 + +   x + 12 + x = ⇔ x+2 x+2  − −3= (2' ) 2  x + 12 + x +5+3 1 x+2 x+2 < ⇒ − < nên (2’) vô nghiệm Do 2 2 x + 12 + x +5 +3 x + 12 + x +5 +3 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 3: Giải phương trình 3x − x + − x − = ( x − x − 1) − x − 3x + Ý tưởng: Trước hết, kiểm tra ta thấy phương trình cho có nghiệm x = nên ta cố gắng đưa phương trình phương trình tích xuất nhân tử ( x − ) Ta có nhận xét rằng: ( 3x − x + 1) − ( x − x − 3) = −2 ( x − ) ( x − ) − ( x − 3x + ) = ( x − ) Ta đến lời giải sau: (3) ⇔ 3x − x + − ( x − x − 1) = x − − x − x + (ĐK x2 ≥ 2; x2 – x – ≥0) 20 −2 x + ⇔ 3x − x + + ( x − x + 1) = 3x − x − + x − 3x +    =0 ⇔ ( x − 2) + 2  3x − x + + x − x − ( ) x − + x − 3x +   Mặt khác, ta có: x − x + + ( x − x − 1) + x − + x − 3x + > với x Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 4: Giải phương trình 3 x + x + − = x + 15 (4) Ở ví dụ vừa có thức bậc hai vừa có thức bậc ba ta sử dụng phương pháp được.Ta dự đoán nghiệm x = ±1 , có cách giải phương trình sau: Giải: ( 4) ⇔ 3( x2 ⇔ ( x − 1) ) ( −1 + x4 + x2 + + ) ( x2 + − = x2 −1 x2 + + = x + 15 − ) x2 −1 x + 15 + x =1  ⇔ 1 + = 3  x +8 +3 x +15 +4  x + x +1 Mặt khác, ta có: x + 15 > x + ⇒ x + 15 + > x + + ⇒ x + 15 + < x +8 +3 Nên phương trình thức hai vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x = 1; x = -1 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Kết quả, đánh giá Qua trình thực sáng kiến kinh nghiệm học sinh lớp giảng dạy năm qua (lớp 9E, 9F năm 2011-2012 lớp 9C, 9G năm 2015-2016) cho thấy kết rõ rệt - Các em tự tin giải phương trình vô tỉ - Biết lựa chọn phương pháp phù hợp cho ngắn gọn, dễ hiểu - Khắc phục lỗi giải phương trình làm toán - Khả tư logic vấn đề đời sống ngày toán cải thiện nhiều - Học sinh có hứng thú học tập, tích cực học toán - Qua khảo sát học kỳ I, kiểm tra chương I kết có nhiều khả quan sau: Số học sinh yêu thích môn đại số Số học sinh giải tốt phương trình vô tỉ 21 Trước vận dụng đề tài 60/96 học sinh Sau vận dụng đề tài 80/96 học sinh Trước vận dụng đề tài 25/96 học sinh Sau vận dụng đề tài 71/96 học sinh Tính ứng dụng đề tài Phương pháp nghiên cứu đề tài vận dụng với đại số nói chung, luyện tập toán nói riêng áp dụng vào môn học khác Giáo viên dùng làm tài liệu giảng dạy, nâng cao trình độ chuyên môn đặc biệt việc bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi vòa lớp 10 PTTH Nếu cho phép, thực chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán cho học sinh Phần 3: KẾT LUẬN 3.1 Kết luận: Sau nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm học sinh rèn luyện tốt kĩ giải phương trình Nhằm mục đích bồi dưỡng phát triển kĩ vừa bền vững, vừa sâu sắc, phát huy tối đa tham gia tích cực người học Đề tài khắc sâu nhiều kiến thức, có nhiều kiến thức mở rộng, nâng cao giúp học sinh có tầm nhìn xa phương trình, hiểu rõ nguồn gốc Là cầu nối kiến thức loại phương trình học (từ cấp tiểu học đến cấp THCS), tảng để nghiên cứu dạng phương trình khác cấp PTTH, đại học, cao đẳng Đề tài tác động đến việc phát triển tiềm lực trí tuệ, nâng cao lực tư độc lập khả tìm tòi, sáng tạo cho học sinh Ngoài đề tài giúp tập môn khác như: vật lí, hóa, sinh cách linh hoạt, sáng tạo 3.2 Kiến nghị Những sáng kiến kinh nghiệm hay thành phố, Phòng Giáo dục nên tổ chức hội thảo cho giáo viên thành phố học tập áp dụng sáng kiến để nâng cao chất lượng dạy học Trong trình làm đề tài cố gắng để phân dạng phương trình vô tỷ nhằm áp dụng có hiệu Tuy nhiên trình thực có thiếu sót, vướng mắc mong đồng chí đồng nghiệp góp ý để hoàn thiện đề tài tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! Tôi xin cam đoan sáng kiếm kinh nghiệm không chép nội dung người khác XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 16 tháng năm 2016 CAM KẾT KHÔNG COPY Người viết 22 Bùi Thị Hiền 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa, sách tập toán - Toán nâng cao phát triển toán – Vũ Hữu Bình - Các chuyên đề chọn lọc toán – Tôn Thân, Phạm Thị Lệ Hằng, Nguyễn Đức Trường - Bài tập nâng cao số chuyên đề toán – Bùi Văn Tuyên - Tài liệu chuyên toán trung học sở - Toán – Đại số - Vũ Hữu Bình – Nguyễn Ngọc Đạm – Nguyễn Bá Đang – Lê Quốc Hân – Hồ Quang Vinh - Rèn luyện tư qua việc giải toán - Nguyễn Thái Hòe - Kinh nghiệm dạy toán học toán - Vũ Hữu Bình - Phương pháp dạy học toán trường phổ thông trung học sở - Hoàng Chúng - Báo toán tuổi thơ, toán học tuổi trẻ - Mạng Internet 24 ... giỏi cấp, tảng cho toán lớp Trong trình giảng dạy lớp 9, thấy gặp phương trình vô tỉ học sinh lúng túng không tìm cách giải hay mắc sai lầm Phương trình vô tỉ phương trình cách giải tắc Người... sau: Số học sinh yêu thích môn đại số Số học sinh giải tốt phương trình vô tỉ 21 Trước vận dụng đề tài 60 /96 học sinh Sau vận dụng đề tài 80 /96 học sinh Trước vận dụng đề tài 25 /96 học sinh Sau... thức sau: 1) Khái niệm phương trình, cách giải, tập xác định, nghiệm phương trình 2) Phương trình vô tỉ - Định nghĩa phương trình vô tỉ, bước giải phương trình vô tỉ nói chung - Các kiến thức