SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN Người thực hiện: Nguyễn Việt Dũng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán học THANH HÓA, NĂM 2016 MỤC LỤC 2.1.1.Phím CALC: 2.1.2.Phím SHIFT+ CALC : 2.1.3.Chức TABLE (MODE+ 7): Bất đẳng thức lĩnh vực khó toán học thử thách lớn vượt qua mà đơn toán khó Nhiệm vụ thầy cô định hướng cho em để tìm lời giải đáp cho vấn đề khó nhằn Từ động viên em tìm tòi, sáng tạo bất đẳng thức mới, phương pháp giải mới, phù hợp với mục tiêu dạy học tích cực mà Bộ Giáo dục đề 17 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Những năm gần đây, kì thi Đại học, Cao đẳng hay kì thi Trung học phổ thông Quốc gia, toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ thường xuyên đưa dạng hàm số biến Đó kỹ thuật kết hợp bất đẳng thức cổ điển phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cách sử dụng đạo hàm kết hợp với lập bảng biến thiên Phương pháp có bốn bước quan trọng: • Đưa biểu thức biến • Tìm điều kiện cho biến • Đặt biểu thức dạng hàm số biến lập bảng biến thiên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số • Kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ điều kiện để dấu xảy Tuy nhiên toán Bất đẳng thức, Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ thử thách lớn học sinh Đứng trước toán em thường lúng túng định hướng, đâu.Và nhiều cách giải thiếu tự nhiên thầy cô khiến học sinh sợ không dám tiếp cận đến toán khó Có ba câu hỏi học sinh đưa trước toán tìm giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ biểu thức: Dấu xảy (Điểm rơi)? Làm để đưa biến? Khi đưa biểu thức hàm số biến GTLNGTNN hàm số bao nhiêu? Và để trả lời câu hỏi cho học sinh cách thuyết phục nhất, xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm “MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN” Với sáng kiến nhờ trợ giúp máy tính cầm tay, hy vọng học sinh tư tốt hơn, có tầm nhìn bao quát có tay nhiều cách giải khác nhau, từ hoàn thành tốt toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức I.2 Mục đích nghiên cứu Khi giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức, mục đích tìm cách giải logic để tìm biến thiên hàm số từ kết dự đoán GTLN-GTNN đạt được, máy tính sử dụng công cụ hỗ trợ tính toán phức tạp dự đoán máy tính thực giải toán đưa Tuy nhiên biết khai thác triệt để tính máy tính ta không tìm lời giải cho toán mà tìm nhiều cách giải khác nhau, đồng thời mở rộng làm toán I.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu toán tìm GTNN, GTLN đề thi Đại học năm gần đây, từ xây dựng định hướng bao quát để tìm tòi lời giải tìm GTLN, GTNN khác I.4 Phương pháp nghiên cứu Dùng chức máy tính cầm tay để tìm điểm rơi ( điểm để biểu thức đạt GTLN hay GTNN), tìm quy luật tăng giảm hàm số, từ định hướng, tìm tòi lời giải cho Bài toán tìm GTLN, GTNN Nội dung Sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận Một số tính máy tính thường sử dụng: 2.1.1 Phím CALC: Khi nhập biểu thức đại số chứa biến, phím CALC hỏi giá trị biến tính giá trị biểu thích ứng với giá trị biến ta vừa nhập Phím chức cho phép ta tính biểu thức cồng kềnh với nhiều giá trị khác với lần nhập, tiết kiệm khoảng thời gian đáng kể 2.1.2 Phím SHIFT+ CALC : Nguyên tắc hoạt động chức ta nhập giá trị hình hiển thị ”X=?” xử lý quay hình tròn có tâm điểm ta vừa nhập trục hoành, với bán kính lớn dần Khi gặp giá trị gần thỏa mãn máy dừng lại hiển thị giá trị dạng phân số tối giản số thập phân Nếu thời gian định mà máy chưa tìm nghiệm máy hiển thị giá trị gần máy tìm thỏa mãn phương trình với sai số hai vế thấp L-R hàng thứ hai hình sai số hai vế (thông thường sai số bé khoảng 10−6 trở xuống) 2.1.3 Chức TABLE (MODE+ 7): Chức cho phép hiển thị đồng thời kết biểu thức giá trị biến ta gán cấp số cộng Chức cho phép ta nhìn tổng thể giá trị biểu thức, thuận lợi cho việc sử dụng tính liên tục xác định khoảng đơn điệu đồng thời tìm cực trị hàm số d 2.1.4 Chức tính đạo hàm (SHIFT+ ): dx Chức dùng để tính giá trị f '( x) giá trị x = x0 với mục đích xác định x = x0 có phải cực trị hàm số y = f ( x) hay không? Nếu hàm số d y = f ( x) đạt cực trị x = x0 ( f ( x) ) dx x = x0 = Thực trạng vấn đề trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm Khi đứng trước toán tìm GTLN, GTNN học sinh thường định hướng không đọc lời giải người giải lại đưa đánh giá Khi bắt tay vào làm toán GTLN, GTNN học sinh thường phải tìm đánh giá phụ để đưa toán dạng đơn giản Tuy nhiên không tìm điểm rơi tìm sai điểm rơi toán đánh giá dẫn đến bế tắc Khi học sinh rơi vào vòng luẩn quẩn không tìm kết toán đưa đánh giá ngược Để giải vấn đề nói tên học sinh phải trả lời được: + Dấu xảy (Điểm rơi)? + Làm để đưa biến? + Khi đưa biểu thức hàm số biến GTLN-GTNN hàm số bao nhiêu? 2.3 Giải pháp dùng máy tính cầm tay định hướng, tìm tòi lời giải toán tìm GTLN, GTNN Để có nhìn khái quát phương pháp, xét ví dụ toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đề thi thức Bộ Giáo dục Đào Tạo năm gần Trong trình phân tích giải toán kèm theo kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay CASIO FX570VN-PLUS (các máy tính cầm tay khác có chức áp dụng tương tự) Các kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay có mục đích hỗ trợ giúp cho học sinh định hướng có nhìn đơn giản, tư đắn tiếp cận toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 2.2  VÍ DỤ Ví dụ 1:Cho a, b, c số thực thuộc đoạn [1;3] thỏa mãn điều kiện a+b+c=6 Tìm giá trị lớn biểu thức: a 2b + b 2c + c a + 12abc + 72 P= − abc ab + bc + ca Đề thi THPT Quốc Gia 2015 ĐỊNH HƯỚNG ĐIỂM RƠI • Do biến có điều kiện nằm khoảng chặn nên khả điểm rơi xảy có biến nằm biên Biểu thức P đối xứng biến nên vai trò a, b, c nhau, ta cố định a=1→ b+c=5→ c=5-b Thay vào P: b2 + b (5 − b)2 + (5 − b)2 + 12b(5 − b) + 72 P= − b(5 − b) b(5 − b) + • Ta sử dụng chức TABLE máy tính Casio X (5 − X )2 −10 X + 50 X + 97 X − X − + 5X − X START =2 END =3 STEP =0.1 Dựa vào bảng giá trị ta thấy hàm số đạt giá trị lớn X F(X) 14.545 2.1 14.537 2.2 14.531 2.3 14.527 2.4 14.525 2.5 14.525 160 X=2 X=3 2.6 14.525 11 2.7 14.527 2.8 14.531 2.9 14.537 14.545 Với giá trị điểm rơi toán a=1, b=3, c=2 hoán vị Lời giải: Do a, b, c ∈[1;3] nên ta có: (a − 1)(b −1)(c −1) ≥ ⇒ abc + ≥ ab + bc + ca (1) (a − 3)(b − 3)(c − 3) ≤ ⇒ abc + 27 ≤ 3(ab + bc + ca) (2) Lấy (2)-(1) ta được: ab + bc + ca ≥ 11 f (X ) = Áp dụng bđt Cauchy: ab + bc + ca ≤ (a + b + c) = 12 Mặtkhác: (ab + bc + ca)2 = a 2b + b 2c + c 2a + 2abc(a + b + c) = a 2b + b 2c + c 2a +12abc Do (ab + bc + ca)2 + 72 1 72 − (ab + bc + ca − 5) = (ab + bc + ca) + + ab + bc + ca 2 ab + bc + ca t 72 Đặt t = ab + bc + ca ⇒ t ∈ [11;12], P ≤ f (t ) = + + t ĐỊNH HƯỚNG HÀM SỐ • Ta sử dụng chức TABLE máy tính Casio: P≤ f (X ) = X 72 + + X START =11 END =12 STEP =0.1 Dựa vào bảng giá trị ta thấy hàm số đạt giá trị lớn X=11 hàm số đơn điệu giảm [11;12] Ta định hướng chứng minh hàm số nghịch biến [11;12] X 11 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 12 F(X) 14.545 14.536 14.528 14.521 14.515 14.51 14.506 14.503 14.501 14.5 14.5 72 Ta có f '(t ) = − < ∀t ∈[11;12] nên hàm số nghịch biến [11;12] t 160 160 ⇒P≤ Vậy f (t ) ≤ f (11) = Dấu xảy a=1, b=2, c=3 11 11 160 hoán vị Vậy max P = 11 Ví dụ 2: Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: x2 y+z + yz P= + − x + yz + x + x + y + z + Đề thi tuyển sinh Đại Học khối A-2014 ĐỊNH HƯỚNG ĐIỂM RƠI • Do P không đối xứng đối xứng theo hai biến y, z Ta xét trường hợp sau: • TH1: Cố định x = ⇒ y + z = ⇒ y = − z , thay vào P ta được: − z2 + z 1+ z − z − − z2 + z +1 Ta sử dụng chức TABLE máy tính Casio F(X) 2− X + X 1+ X − X X f (X ) = − 0.4746 − X + X +1 0.2 0.4744 START =0 0.4 0.4698 END =1.5 0.6 0.4628 STEP =0.2 0.4543 Dựa vào bảng giá trị ta thấy hàm số đơn điệu 0.8 0.4444 giảm [0; 2] đạt giá trị lớn 1.2 0.4304 X=0, xấp xỉ 0.4746 1.4 0.3837 1.5 Với trường hợp điểm rơi toán x = 0, y = 2, z = TH2: Cố định z=0 (do toán đối xứng theo hai biến y, z nên ta không P= • cần xét trường hợp y=0) ⇒ y + x = ⇒ y = − x , thay vào P ta được: x2 − x2 + − x + x +1 x + − x2 + Ta sử dụng chức TABLE máy tính Casio X2 2− X X f (X ) = + − X + X +1 X + − X +1 0.2 START =0 0.4 END =1.5 0.6 STEP =0.2 Dựa vào bảng giá trị ta thấy hàm số đạt giá trị 0.8 lớn X=1 Ta kiểm tra xem X=1 có 1.2 phải cực đại không Ta sử dụng chức 1.4 d/dx máy tính Casio 1.5 2 d  x 2− x 1  + − ÷ = nên dx  x + x + x + − x + ÷   X =1 P= F(X) 0.4746 0.4596 0.4835 0.5171 0.5443 0.5555 0.5383 0.4153 X=1 cực đại Vậy giá trị lớn trường hợp 5/9 x=1, y=1, z=0 Kết hợp hai trường hợp ta thấy điểm rơi toán x=1, y=1, z=0 x=1, y=0, z=1 Lời giải: Ta có 2(1 + yz) = x + ( y + z) ≥ x( y + z ) ⇒ + yz ≥ x( y + z ) 2(1 + yz) = x + ( y + z ) ≥ ( x + y + z )2 ( x + y + z )2 ⇒ + yz ≥ Do P≤ x2 y+z ( x + y + z )2 x+ y+z ( x + y + z )2 + − = − 36 x + y + z +1 36 x + x + x( y + z ) x + y + z + Mặt khác 3( x + y + z ) ≥ ( x + y + z )2 ⇒ < x + y + z ≤ t t2 Xét hàm số f (t ) = − , t = x + y + z ∈ (0, 6] t + 36 18 − t − 2t − t ⇒ f '(t ) = , f '(t ) = ⇔ t = 18(t + 1)2 BBT: T f’(t) + 5/9 - f(t) 31 − 6 30 5 Vậy f (t ) ≤ f (2) = ⇒ P ≤ 9 (Dấu xảy x=y=1, z=0 x=z=1, y=0) Vậy max P = Nhận xét: Khi toán cho biến không âm điểm rơi thường xảy biến 0, em học sinh xem định hướng để giải toán Ví dụ 3: Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn điều kiện (a+b)c>0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= a b c + + b+c a + c 2(a + b) Đề thi tuyển sinh Đại Học khối B-2014 ĐỊNH HƯỚNG ĐIỂM RƠI • Do toán đối xứng theo hai biến a, b mà (a+b)c>0 nên điểm rơi a=b=0 c=0 nên điểm rơi hai biến a b Khi đó: a c a a c P= + = + + ≥ c 2a c c 2a Với giá trị điểm rơi toán a=c, b=0 a=0, b=c Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: a 2a a + b + c ≥ a (b + c) ⇒ a (a + b + c ) ≥ 2a b + c ⇒ ≥ b+c a +b +c b 2b ≥ a+c a +b+c 2(a + b) c c P≥ + = + Do a + b + c 2(a + b) + c 2(a + b) a +b c 2t t > ⇒ P ≥ f (t ) = + Đặt t = a +b 1+ t ĐỊNH HƯỚNG HÀM SỐ • Ta sử dụng chức TABLE máy tính Casio: Tương tự: f (X ) = 2X X + X +1 START =0 END =5 X 0.5 F(X) 1.5833 1.5 STEP =0.5 Dựa vào bảng giá trị ta thấy hàm số có cực tiểu đạt giá trị nhỏnhất X=1 Ta định hướng tính đạo hàm hàm số để lập bảng biến thiên hàm số Xét hàm số f (t ) = 1.5 2.5 3.5 4.5 1.55 1.666 1.8214 2.1944 2.4 2.6136 2.833 2t t ⇒ f '(t ) = ⇔ t = + , t > Ta có f '(t ) = − (1 + t )2 t +1 BBT: t f’(t) - +∞ + +∞ f(t) 3 Vậy f (t ) ≥ f (1) = ⇒ P ≥ 2 Đẳng thức xảy a=0, b=c a=c, b=0 Vậy P = Ví dụ 4: Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức: P= − a2 +b2 +c2 +4 (a+b) (a+2c)(b+2c) Đề thi tuyển sinh Đại Học khối B-2013 ĐỊNH HƯỚNG ĐIỂM RƠI • Do biểu thức P đối xứng theo hai biến a, b nên ta dự đoán điểm rơi a=b Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: a + b + 4c a + b2 + 2ab + 4ac + 4bc (a + b) (a + 2c)(b + 2c) ≤ (a + b) = 2 Mặt khác: 2ab ≤ a + b2 ,4ac ≤ 2(a + c ), 4bc ≤ 2(b + c ) ⇒ Do P ≤ a + b2 + 2ab + 4ac + 4bc ≤ 2(a + b + c ) − 2 a + b2 + c + 2(a + b + c ) 2 Đặt t = a + b + c + ⇒ t > ⇒ P ≤ f (t ) = t − 2(t − 4) ĐỊNH HƯỚNG HÀM SỐ • Ta sử dụng chức TABLE máy tính Casio: f (X ) = − X 2( X − 4) X 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 START =2.5 END =7 STEP =0.5 Do toán điều kiện nên để hàm số có giá trị lớn hàm số phải đạt cực đại đạt giá trị lớn điểm cực đại Dựa vào bẳng giá trị ta thấy hàm số đạt cực đại khoảng (3.5;4) đạt giá trị lớn Ta dự đoán X=4 điểm cực đại hàm số Để xác nhận, ta nhập vào máy tính Casio được:  d 4 =0  − ÷ dx  X 2( X − 4) ÷ F(X) -0.4 0.4333 0.5974 0.625 0.6119 0.5857 0.5558 0.526 0.4977 0.4714 x=4 Điểm rơi toán a=b=c=2 , t = a + b + c + > Xét hàm số f (t ) = t − 2(t − 4) 9t Ta có f '(t ) = − t + (t − 4)2 ⇒ f '(t ) = ⇔ t = BBT: t f’(t) + +∞ - f(t) 10 −∞ 5 Vậy f (t ) ≤ f (4) = ⇒ P ≤ 8  a = b = c ⇔ a =b = c = Dấu xảy  2   a +b +c + = ⇒ MaxP = a = b = c = Ví dụ 5: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện (a+c)(b+c)=4 c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 32a3 32b3 a + b2 P= + − c (b + 3c)3 (a + 3c)3 Đề thi tuyển sinh Đại Học khối A-2013 ĐỊNH HƯỚNG ĐIỂM RƠI • Biểu thức điều kiện đối xứng theo hai biến a, b nên điểm rơi a=b, thay vào điều kiện ta điểm rơi a=b=c=3 Vì biểu thức điều kiện biểu thức đẳng cấp nên ta định hướng đặt ẩn phụ để giảm biến Lời giải: a b Đặt x = , y = ⇒ ( x +1)( y +1) = ⇒ xy + x + y = Ta có c c 32 x3 32 y3 P= + − x2 + y2 ( y + 3)3 ( x + 3)3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: ( x + y + 2)2 ( x + 1)( y + 1) ≤ ⇒ 16 ≤ ( x + y + 2)2 ⇒ x + y ≥ (a + b)3 3 Áp dụng bất đẳng thức a + b ≥ , ∀a, b ≥ ta có  x y  P ≥  + ÷ ÷ − ( x + y ) + 2( x + y ) − y + x +   11 Mặt khác: x y x2 y2 ( x + y )2 ( x + y )2 + = + ≥ = y + x + xy + 3x xy + y xy + 3x + y x + y + 8( x + y )2 − ( x + y )2 + 2( x + y ) − x+ y+6 Đặt t = x + y ⇒ t ≥ Xét hàm số Do P ≥ f (t ) = 8t 24t (t + 12) t +1 − t + t − ⇒ f '( t ) = − (t + 6) (t + 6) t + 2t − ĐỊNH HƯỚNG HÀM SỐ • Ta sử dụng chức TABLE máy tính Casio X F(X) 8X f (X ) = − X + X − -0.414 ( X + 6)3 2.1 -0.324 START =2 2.2 -0.154 END =3 2.3 0.0988 STEP =0.1 0.4439 Dựa vào bảng giá trị ta thấy hàm số đơn 2.4 0.889 điệu tăng hàm số đạt giá trị nhỏ 2.5 2.6 1.444 X=2 2.7 2.1201 2.8 2.9294 2.9 3.8847 Tuy nhiên biểu thức hàm số cồng kềnh với số mũ lớn nên ta đạo hàm chứng minh trực tiếp khó khăn để đơn điệu • Ta sử dụng chức TABLE máy tính Casio với: 24 X ( X + 12) X F(X) f (X ) = 2.625 ( X + 6) 2.1 3.2106 START =2 2.2 3.8847 END =3 2.3 4.6545 STEP =0.1 2.4 5.5272 2.5 6.5103 2.6 7.6109 2.7 8.8362 2.8 10.193 2.9 11.69 13.333 • Ta sử dụng chức TABLE máy tính Casio với: 12 X +1 X + 2X − START =2 END =3 STEP =0.1 f (X ) = X 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 F(X) 2.1213 1.9188 1.777 1.6731 1.5921 1.5275 1.4746 1.4305 1.3931 1.3611 1.3333 24t (t + 12) t +1 > > Dựa vào hai bảng giá trị ta thấy , ta định (t + 6) t + 2t − hướng đánh giá thông qua giá trị 24t (t + 12) > ⇔ 48t + 348t − 5(t + 6)4 > (đúng với t>2) Ta có (t + 6) t +1 < ⇔ 2t + < t + 2t − ⇔ 21t + 42t −154 > (đúng với t + 2t − Và t >2) Do f '(t ) = 24t (t +12) t +1 − > 0, ∀t ≥ (t + 6) t + 2t − Hàm số đồng biến [2; +∞) ⇒ f (t ) ≥ f (2) = − ⇒ P ≥ − ⇒ P = − BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Cho số thực dương a , b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = 7(ab + bc + ca ) − 9abc ĐS: MaxP = a = b = c = 13 Bài 2: Cho x, y , z số thực không âm thỏa mãn: 5( x + y + z ) = 6( xy + yz + zx ) Tìm giá trị lớn biểu thức: P = 2( x + y + z ) − z − y ĐS: MaxP = x = 1, y = z = 2 Bài 3: Cho x, y , z số thực không âm thỏa mãn: x + y + z = Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức: P = x + y + z − x ( x − y )( x − z ) ĐS: MaxP = 27 ( x; y; z ) = ( 0;3;0 ) , ( 0;0;3) ; P = −27 ( x; y; z ) = ( 3;0;0 ) Bài 4: Cho số thực x, y , z thỏa mãn: x + y + z = 0, x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + y + z − x y z ĐS: MinA = 27 Bài 5: Cho số thực dương a , b, c thỏa mãn: a (b + c ) = b + c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = ĐS: MinP = 1 + + + (1 + a ) (1 + b) (1 + c ) (1 + a )(1 + b)(1 + c) 91 a = , b = c = 108 2 Bài 6: Cho số thực dương a , b, c thỏa mãn: a + b + c = ( a + b + c − 2ab )   +3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a + b + c + 48  ÷ a + 10 b + c   ĐS: MinP = 58 a = 2, b = 3, c = Bài 7: Cho số thực dương a , b, c thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ a2 b2 biểu thức: P = + − ( a + b) 2 b + c + 7bc c + a + 7ca ĐS: MinP = −1 a = b = c = 14 Bài 8: Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn: x + y + = z Tìm giá trị nhỏ x3 y3 z3 14 + + + biểu thức: P = x + yz y + zx z + xy ( z + 1) ( x + 1)( y + 1) ĐS: MinP = 53 x = y = , z = 3 Bài 9: Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn: x + y + z ≥ 2, x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = ĐS: MaxP = − ( x + y + z ) x + y + yz − 10 10 10 x = y = ,z = 10 5 Bài 10: Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn: x + y + z = xy + Tìm giá trị lớn biểu thức: P = ĐS: MaxP = 2x y 4( x + y ) + − x + y + 18 x + y + z 25z x = y = 1, z = 25 Bài 11: Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn: ( x + y + z ) = 18 ( xy + yz + zx ) Tìm giá trị lớn biểu thức: P= x − y + z ( 2x + y + z) 1 ĐS: MaxP = x = , y = z = Bài 12: Cho số thực không âm a , b, c thỏa mãn: ab + bc + ca > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = ( a + b2 + c ) a+b+c + abc a b + b2c + c 2a ĐS: MinP = a = b, c = a = c, b = b = c, a = 15 2.4 Hiệu Sáng kiến kinh nghiệm Trong khuôn khổ viết đưa ví dụ điển hình Từ ví dụ hướng dẫn thầy giáo, học sinh tìm tòi lời giải toán Sau giải toán, hướng dẫn học trò thay đổi cách tiếp cận toán, để đưa so sánh tính khả thi hiệu phương pháp Trong trình tìm tòi học sinh phấn chấn, tự giác tiếp nhận kiến thức kỹ giải toán dạng mà hình thành cho em cách nhìn nhận cách đoán nhận tính chất hàm qua điểm rời rạc, từ đưa phương hướng đắn để giải toán tìm GTLN, GTNN biểu thức nhiều biến theo phương pháp hàm số Trong lớp 12C1, 12C2 dạy năm nay, chọn nhóm 20 học sinh khá, giỏi để dạy cho làm tập áp dụng Kết số học sinh giải sau: Lớp 12C1 12C2 Sĩ số 12 Số học sinh giải Tỉ lệ % học sinh giải 12 (5 hs) 41,7% (4 hs) 33,3% (3 hs) 25% 12 (3 hs) 37,5% (3 hs) 37,5% (2 hs) 25% Kết luận 3.1 Kết luận 16 Bất đẳng thức lĩnh vực khó toán học thử thách lớn vượt qua mà đơn toán khó Nhiệm vụ thầy cô định hướng cho em để tìm lời giải đáp cho vấn đề khó nhằn Từ động viên em tìm tòi, sáng tạo bất đẳng thức mới, phương pháp giải mới, phù hợp với mục tiêu dạy học tích cực mà Bộ Giáo dục đề Trên số kết mà đạt tìm tòi phương án giải toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Bản thân thấy vai trò lớn việc sử dụng máy tính cầm tay học sinh Tôi mong thời gian tới tiếp tục hướng nghiên cứu mong nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp, học sinh tiết học môn Toán học ngày bổ ích có ý nghĩa Với hiểu biết hạn chế thân, mong ý kiến góp ý, bổ xung để kỹ dùng máy tính cầm tay giải toán tìm GTLN, GTNN ngày đầy đủ hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 3.2 Kiến nghị Trong thực hành giải toán, việc sử dụng máy tính cầm tay quen thuộc với học sinh, làm thể để khai thác mạnh cở sở kiến thức phổ thông lĩnh vực chưa nhiều giáo viên học sinh để ý Qua sáng kiến kinh nghiệm muốn nhân rộng việc dạy cho học sinh kỹ sử dụng máy tính cầm tay trường THPT, đặc biệt giải toán Để học sinh trang bị kĩ sử dụng máy tính cầm tay giúp việc học Toán hiệu hơn, đề nghị nhà trường THPT tiết dạy theo PPCT, nên tổ chức buổi học ngoại khóa dạng chuyên đề cho học sinh 17 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2016 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Nguyễn Việt Dũng 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Giải tích 12 ( NXB Giáo dục năm 2010) Các đề thi tuyển sinh Đại học, Đề thi THPT Quốc gia Bộ Giáo dục & Đào tạo Các đề thi thử THPT Quốc gia năm 2015 2016 trường THPT toàn quốc 19 ... ta thấy hàm số đạt giá trị lớn X =11 hàm số đơn điệu giảm [11; 12] Ta định hướng chứng minh hàm số nghịch biến [11; 12] X 11 11.1 11. 2 11. 3 11. 4 11. 5 11. 6 11. 7 11. 8 11. 9 12 F(X) 14.545 14.536 14.528... giải toán tìm GTLN, GTNN biểu thức nhiều biến theo phương pháp hàm số Trong lớp 12C1, 12C2 dạy năm nay, chọn nhóm 20 học sinh khá, giỏi để dạy cho làm tập áp dụng Kết số học sinh giải sau: Lớp. .. hiệu phương pháp Trong trình tìm tòi học sinh phấn chấn, tự giác tiếp nhận kiến thức kỹ giải toán dạng mà hình thành cho em cách nhìn nhận cách đoán nhận tính chất hàm qua điểm rời rạc, từ đưa phương