CHUYÊN ĐỀ: LƯỢNG GIÁC CHỦ ĐỀ CUNG LƯỢNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (3 Tiết) cosα = x = OH sinα = y = OK sinα tanα = = AT cosα cosα cotα = = BS sinα sin I Giá trị lượng giác góc (cung) lượng giác Định nghĩa giá trị lượng giác Cho (OA,OM ) = α Giả sử M (x; y) tang A KIẾN THỨC CƠ BẢN B K   π  α ≠ + kπ ÷   T cotang S M α O ( α ≠ kπ ) H A cosin Nhận xét: • ∀α , − ≤ cosα ≤ 1; − 1≤ sinα ≤ • tanα xác định α ≠ π + kπ , k ∈ Z • cotα xác định α ≠ kπ , k ∈ Z • sin(α + k2π ) = sinα • tan(α + kπ ) = tanα cos(α + k2π ) = cosα cot(α + kπ ) = cotα Dấu giá trị lượng giác Phần tư Giá trị lượng giác cosα sinα tanα cotα Giá trị lượng giác góc đặc biệt I II III IV + + + + – + – – – – + + + – – – π π π π 2π 3π π 3π 2π 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 sin 2 3 2 –1 cos 2 2 –1 tan 3 3 3 cot − − 2 − –1 3 –1 − 0 Hệ thức bản: sin2α + cos2α = 1; tanα cotα = 1; 1+ tan2 α = cos2 α ; 1+ cot2 α = sin2 α Giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt Góc đối Góc bù Góc phụ cos(−α ) = cosα sin(π − α ) = sinα π  sin − α ÷ = cosα 2  sin(−α ) = − sinα cos(π − α ) = − cosα π  cos − α ÷ = sinα 2  tan(−α ) = − tanα tan(π − α ) = − tanα π  tan − α ÷ = cotα 2  cot(−α ) = − cotα cot(π − α ) = − cotα π  cot  − α ÷ = tanα 2  π Góc π Góc sin(π + α ) = − sinα π  sin + α ÷ = cosα 2  cos(π + α ) = − cosα π  cos + α ÷ = − sinα 2  tan(π + α ) = tanα π  tan + α ÷ = − cotα 2  cot(π + α ) = cotα π  cot + α ÷ = − tanα 2  II Công thức lượng giác Công thức cộng sin(a + b) = sin a.cosb + sin b.cosa tan(a + b) = tana + tanb 1− tan a.tanb tan(a − b) = tana − tanb 1+ tan a.tan b sin(a − b) = sin a.cosb − sin b.cosa cos(a + b) = cosa.cosb − sin a.sin b cos(a − b) = cosa.cosb+ sin a.sin b Công thức nhân đôi sin2α = 2sinα cosα cos2α = cos2 α − sin2 α = 2cos2 α − = 1− 2sin2 α tan2α = 2tanα 1− tan2 α ; 1− cos2α 1+ cos2α cos α = − cos2 α tan2 α = 1+ cos2α cot2α = cot2 α − 2cotα sin3α = 3sinα − 4sin3 α cos3α = 4cos3 α − 3cosα 3tanα − tan3 α tan3α = 1− 3tan2 α sin2 α = Công thức biến đổi tổng thành tích tana + tanb = sin(a + b) cosa.cosb tana − tanb = sin(a − b) cosa.cosb a+ b a− b cos 2 cot a + cot b = sin(a + b) sina.sinb a+ b a− b sin 2 cot a − cot b = sin(b − a) sin a.sinb cosa + cosb = 2cos a+ b a− b cos 2 cosa − cosb = − 2sin sina + sinb = 2sin sina − sin b = 2cos a+ b a− b sin 2   π π sinα + cosα = 2.sin α + ÷ = 2.cos α − ÷ 4 4     π π sinα − cosα = 2sin α − ÷ = − 2cos α + ÷  4  4 Cơng thức biến đổi tích thành tổng B KỸ NĂNG CƠ BẢN Dạng 1: Xác định dấu giá trị lượng giác cung: + Xác định điểm cuối cung xem điểm thuộc cung phần tư nào, từ xác định dấu giá trị lượng giác tương ứng + Phải nắm rõ cung phần tư từ xác định dấu giá trị lượng giác; để xác định dấu giá trị lượng giác ta cần nắm rõ định nghĩa giá trị lượng giác cung α thực sau: Vẽ đường tròn lượng giác, trục đứng(Oy) trục sin, trục nằm (Ox) trục cosin; α thuộc cung phần tư ta cho điểm M nằm cung phần tư đó, sau chiếu điểm M vng góc xuống trục sin trục cos từ xác định sin dương hay âm, cos dương hay âm; tan=sin/cos; cot=cos/sin; dựa vào dấu sin cos ta xác định dấu tan cot theo nguyên tắc chia dấu: -/-=+; -/+= - Dạng 2: Tính giá trị lượng giác cung: + Nếu biết trước sin α dùng cơng thức: sin α + cos 2α = để tìm cosα , lưu ý:xác định dấu giá trị lượng giác để nhận, loại tan α = cot α = tan α sin α cosα ; cot α = cosα sin α + Nếu biết trước cosα tương tự + Nếu biết trước tan α dùng cơng thức: + tan α = để tìm cosα , lưu ý: cos 2α xác định dấu giá trị lượng giác để nhận, loại sin α = tan α cosα , cot α = tan α Dạng 3: Chứng minh đẳng thức lượng giác: Sử dụng đẳng thức đại số (7 đẳng thức đáng nhớ) đẳng thức lượng giác để biến đổi vế thành vế biến đổi vế thành vế kia) ( a ± b ) = a ± 2ab + b ( a ± b ) = a3 ± 3a 2b + 3ab2 ± b3 a + b3 = ( a + b ) ( a − ab + b ) a − b3 = ( a − b ) ( a + ab + b ) a − b2 = ( a + b ) ( a − b ) sin α + cos 2α = π   tan α cot α =  α ≠ k , k ∈ ¢ ÷   π   + tan α =  α ≠ + kπ , k  ữ cos 1 + cot α = ( α ≠ kπ , k ∈ ¢ ) sin α sin α cosα tan α = ; cot α = cosα sin α Dạng 4: Đơn giản biểu thức lượng giác: + Dùng hệ thức giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt Giá trị lg góc có liên quan đặc biệt:“sin bù,cos đối,phụ chéo,hơn tan sai π ” + Chú ý: Với k ∈ ¢ ta có: sin ( α + k 2π ) = sin α cos ( α + k 2π ) = cosα tan ( α + kπ ) = tan α cot ( α + kπ ) = cot α C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Dạng 1: Bài tập 1.1: Cho π < α < π Xác định dấu giá trị lượng giác:  3π  −α ÷   a) sin    b) cos  α + π ÷ 2 c) tan ( α + π ) π  d) cot  α − ÷ Giải a) π π π 3π  3π  − α ÷> < α < π ⇒ −π < −α < − ⇒ < − α < π sin  2 2     Dạng 2: Bài tập 2.1: Tính giá trị lượng giác góc α biết: π với < α < π π cosα = , < α < 13 3π tan α = − , < α < 2π 3π cot α = −3, < α < 2π 2 π sin α = − , < α < 3π cosα = 0,8 với < α < 2π 13 π ,0 < α < 19 π cot α = − , < α < π 3π cosα = − , π < α < 2 π sin α = , < α < π π tan α = , < α < 3π cot α = − , < α < 2π 19 a) sin α = g) tan α = b) h) c) d) e) f) i) j) k) l) Giải a) Do π < α < π nên cosα < 0, tan α < 0, cot α <  cosα = ( loai )  16 sin α + cos 2α = ⇒ cos 2α = − sin α = ⇔ 25 cosα = − ( nhan )  tan α = c) Do sin α = − ; cot α = − cosα 3π < α < 2π nên sin α < 0, cosα > 0, cot α <  cosα = ( nhan )  25 41 2 + tan α = ⇒ cos α = ⇔ cos 2α 41  cosα = − 41 ( loai ) sin α = cosα tan α = − 41 ; cot α = =− 41 tan α Các tập lại làm tương tự Bài tập 2.2: Biết sin a = π α < a < π Hãy tính giá trị lượng giác góc: 2α ; 2 a) Do π 2 < a < π nên cos a < ⇒ cos a = − sin 2a = 2sin a cos a = − cos2a = cos a − sin a = tan 2a = b) ;cot a = π π α π α α < a < π ⇒ < < ⇒ cos > 0,sin > 2 2 sin a − cos a a − cos a 3+ 2 = ⇒ sin = = 2 2 cos a + cos a 3−2 = = 2 t an a a = + 2; cot = − 2 2 Bài tập 2.3: Tính cos2a,sin 2a, tan 2a biết: a) cos a = − 3π , π