Đang tải... (xem toàn văn)
Nguyên lý tổng hợp tín hiệu hình ảnh trên máy tính. Tín hiệu hình ảnh trên máy tính được lưu ở dạng tín hiệu số trên đĩa cứng hoặc đĩa CD Rom, khi ta mở hình ảnh đó ra, dữ liệu của File..
CHƯƠNG 7: LẤY MẨU TÍN HIỆU Nội dung 5.1 Định lý lấy mẩu 5.2 Tính biến đổi Fourier: Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) 5.3 Biến đổi Fourier nhanh (FFT) 5.4 Phụ chương 5.1 5.5 Tóm tắt Tài liệu tham khảo: B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 Lấy mẩu Tín hiệu liên tục có thể được xử lý bằng cách xử lý các mẩu của tín hiệu qua hệ thống rời rạc. Điều cần thiết là phải duy trì tốc độ lấy mẩu tín hiệu đủ lớn để khôi phục tốt tín hiệu (không có sai số hay sai số với độ dung sai chấp nhận được). Điều này có thể thực hiện được dùng định lý lấy mẩu. 5.1 Định lý lấy mẫu Ta sẽ chứng minh là tín hiệu thực có phổ băng thông giới hạn B Hz [F(w)= 0 với Bpw2>] có thể được khôi phục chính xác (không có sai số nào) từ các tốc độ lấy mẩu đồng đều với tốc độ Fs > 2B mẩu/giây. Nói cách khác, tốc dộ lấy mẩu tối thiểu là Fs = 2B Hz. Để chứng minh định lý lấy mẩu, xét tín hiệu f(t) (hình 5.1a) có phổ giới hạn B Hz (hình 5.1b). Để thuận tiện, ta vẽ phổ là hàm theo w cũng như theo F (Hz). Lấy mẩu f(t) với tốc độ Fs Hz (Fs mẩu/giây) có thể thực hiện bằng cách nhân f(t) với chuỗi xung dT(t) (hỡnh 5.1c), gm cỏc xung n v lp li theo chu k T giõy, vi T =1/Fs. Kt qu l tớn hiu c ly mu )(tf v trong hỡnh 5.1d, l tớn hiu gm cỏc xung cỏch nhau tng T giõy (thi gian ly mu). Xung th n, nm ti t = nT, cú cng f(nT), l giỏ tr ca f(t) ti t = nT. ồ-==nTnTtnTfttftf )()()()()(dd (5.1) tỡm )(wF, bin i Fourier ca )(tf, ta ly bin i Fourier ca v phi phng trỡnh (5.3) tng tha s mt. Bin i ca tha s th nht trong ngoc l F(w). Bin i ca tha s th hai ttfswcos)(2 l F(w ws ) + F(w +ws ) (xem phng trỡnh (4.41), cho thy ph F(w) di ws v ws. Tng t, bin i Fourier ca tha s th ba ttfsw2cos)(2 l F(w 2ws ) + F(w +2ws ), cho thy ph F(w) di 2ws v 2ws, v tip tc cho ti vụ hn. iu ny tc l ph )(wF gm F(w) lp li theo chu k ws = 2p/T rad/s, hay Fs = 1/T Hz, nh v trong hỡnh 5.1e. Ngoi ra cũn cú thờm hng s nhõn 1/T trong phng trỡnh (5.3). Do ú ồƠ-Ơ=-=nsnFTF )(1)(www (5.4) Nu mun khụi phc f(t) t )(tf, ta phi khụi phc c F(w) t )(wF. Cú th khụi phc c nu khụng cú trựng lp gia cỏc chu k liờn tip ca )(wF. Hỡnh 5.1e cho thy cn cú Fs > 2B (5.5) ng thi, thi gian ly mu T =1/Fs. Do ú BT21Ê (5.6)  Thớ d 5.1 Trong thớ d ny, ta xột nh hng ca tớn hiu khi ly mu theo tc Nyquist, thp hn tc Nyquist (ly mu thiu), cao hn tc Nyquist (ly mu l). Xột tớn hiu )5(sin)(2tctfp= (hỡnh 5.2a) cú ph ( )pww202,0)( D=F (hỡnh 5.2b). Bng thụng ca tớn hiu l 5 Hz (10p rad/s). Nh th, tc Nyquist l 10Hz; tc l, ta phi ly mu tớn hiu vi tc khụng nh hn 10 mu/s. Khong Nyquist l T = 1/2B = 0,1 giõy. Nhc li l ph ca tớn hiu ó ly mu gm ( )( )pww202)(/1 D=TFT lp li theo chu k bng vi tn s ly mu Fs Hz. Ta trỡnh by thụng tin ny trong bng sau vi tc ly mu Fs = 5Hz (ly mu thiu). 10Hz (tc Nyquist) v 20Hz (ly mu l). Tn s ly mu Fs Thi gian ly mu T (1/T)F(w) Nhn xột 5 Hz 0,2 ( )pw20D Ly mu thiu 10 Hz 0,1 ( )pw202D Tc Nyquist 20 Hz 0,05 ( )pw204D Ly mu l Trong trng hp u (ly mu thiu), tc ly mu l 5Hz (5 mu/giõy) , v ph )(1wFT lp li sau mi 5Hz (10p rad/s). Cỏc ph liờn tip trựng lp, nh v trong hỡnh 5.2d, và phổ F(w) không thể được khôi phục từ )(wF; tức là f(t) không thể được khôi phục từ các mẩu )(tf trong hình 5.2c. Trường hợp thứ hai, khi dùng tốc độ lấy mẫu Nyquist 10Hz (hình 5.2e). Phổ )(wF gồm các thành phần phổ )(1wFTkhông trùng lắp lặp lại từng 10 Hz. Do đó, phổ F(w) có thể được khôi phục từ )(wF dùng mạch lọc thông thấp lý tưởng có băng thông 5 Hz (hình 5.2f). Sau cùng, trường hợp cuối là lấy mẩu lố (tốc độ lấy mẩu 20Hz); phổ F(w) gồm các gồm các thành phần phổ )(1wFTkhông trùng lắp (lặp li tng 20 Hz) vi cỏc bng tn trng gia cỏc chu k liờn tip. Do ú, ph F(w) cú th c khụi phc t )(wF dựng mch lc thụng thp lý tng hay mch lc thc t cng c (tớn hiu v chm trong hỡnh 5.2h).  r Bi tp E5.1 Tỡm tc Nyquist l khong Nyquist cho tớn hiu: (a) sinc(100pt) v sinc(100pt) + sinc(50pt) . ỏp s: khong Nyquist l 0,01 giõy v tc Nyquist l 100Hz cho c hai tớn hiu. s 5.1-1 Khụi phc tớn hiu: Cụng thc ni suy Quỏ trỡnh khụi phc tớn hiu liờn tc f(t) t cỏc mu cũn c gi l phộp ni suy. Trong phn 5.1, ta thy tớn hiu f(t) cú bng thụng gii hn B Hz cú th c khụi phc (ni suy) chớnh xỏc t cỏc mu ca mỡnh. Quỏ trỡnh khụi phc bng cỏch cho tớn hiu ó ly mu qua mch lc thụng thp lý tng cú bng thụng B Hz. T phng trỡnh (5.3), tớn hiu ó ly mu cha cỏc thnh phn (1/T)f(t) v khụi phc c f(t) (hay F(w)), thỡ tớn hiu ó ly mu phi qua mch lc lý tng cú bng thụng B Hz v li T. Do ú, hm truyn ca b lc khụi phc (hay ni suy) l: ữứửỗốổ=BTrectHpww4)( (5.7) Quỏ trỡnh ni suy c biu din trong min tn s nh l tỏc ng lc. Ta xem xột tip quỏ trỡnh ny t quan im khỏc, tc l trong min thi gian. bt u, ta hy xột mch lc cc k n gin cú ỏp ng xung l ( )Ttrect, v trong hỡnh 5.3a. õy l xung cng (gate pulse) cú tõm ti gc, cú chiu cao n v, v rng T (thi gian ly mu). Ta tỡm ngừ ra ca b lc khi ngừ vo l tớn hiu ó ly mu )(tf, Tng mu ca )(tf, ó c bin thnh xung, to ngừ ra l xung cng vi chiu cao bng vi cng ca mu. Thớ d, mu th k l xung cú cng f(kT) nm ti kTt - v cú th vit thnh )()( kTtkTf -d. Khi xung qua b lc, to ra ngừ ra l xung cng cú cao f(kT), tõm ti t = kT (phn nột giỏn on trong hỡnh 5.3b). Tng mu trong )(tf s to ra xung cng tng ng ti ngừ ra b lc dng xp x hỡnh bc thang ca f(t), v trong phn chm trong hỡnh 5.3b. B lc cho ta dng thụ ca phộp ni suy. Hm truyn H(w) ca b lc l bin i Fourier ca ỏp ng xung ( )Ttrect. Gi s, ta dựng tc Nyquist; tc l T = 1/2B. )2()( BtrectTtrectth =ữứửỗốổ= V ữứửỗốổ=ữứửỗốổ=BBTcTH4212sin)(www (5.8) ỏp ng biờn )(wH ca b lc ny, nh v trong hỡnh 5.3c, gii thớch lý do v tớnh thụ ca phộp ni suy. B lc ny, cũn c gi l mch lc gi bc zờrụ (zero hold filter), dng xu nht ca mch lc thụng thp lý tng (phn tụ búng trong hỡnh 5.3c) cn cú cho phộp ni suy chớnh xỏc. Ta cú th ci thin dng mch lc bc zờrụ bng cỏch dựng mch lc gi bc mt (first order hold filter), cho ta phộp ni suy tuyn tớnh thay vỡ dng ni suy theo bc thang. B ni suy tuyn tớnh ny, vi ỏp ng xung l xung tam giỏc ( )Tt2D, cho phộp xp x vi nh cỏc mu c ni nhau bng ng thng (xem bi tp 5.1-5). Hm truyn b lc ni suy lý tng ly t phng trỡnh (5.7) v v trong hỡnh 5.4a. ỏp ng xung ca b la ny l bin i Fourier nghch ca H(w) l )2(sin2)( BTcBTthp= (5.9a) Gi s ly mu vi tc ly mu Nyquist; tc l 2BT =1, thỡ )2(sin)( BTcthp= (5.9b) ồ-=kkTthkTftf )()()( å-=kkTtBckTftf )](2[sin)()(p (5.10a) å-=kkBtckTftf )2(sin)()(pp (5.10b) Phương trình (5.10) là công thức nội suy, tìm các giá trị của f(t) giữa các mẩu là phép cộng dồn (weighted sum) mọi giá trị mẩu. ¢ Thí dụ 5.2 Tìm tín hiệu f(t) với băng thông giới hạn B Hz, và có các mẩu là f(0) = 1 và f(±T) = f(±2T) = f(±3T) = . . . = 0 trong đó khoảng lấy mẩu là khoảng Nyquist của f(t); tức là T = 1/2B. Dùng công thức nội suy (5.10b) để khôi phục f(t) từ các mẩu. Do tất cả các mẩu Nyquist đều là zêrô, trừ một mẩu (tương ứng với k = 0) trong tổng bên vế phải của phương trình (5.10b). Do đó f(t) = sinc (2pBt) Tín hiệu này được vẽ trong 5.4b. Quan sát thấy là chỉ tín hiệu có băng thông B Hz và giá trị mẩu là f(0) = 1 và f(nT) = 0 (n ¹ 0). Các tín hiệu khác không thỏa được các điều kiện này. ¢ 5.1-2 Khó khăn thực tế khi khôi phục tín hiệu Nếu tín hiệu được lấy mẩu với tốc độ Nyquist Fs = 2B Hz, phổ)(wFbao gồm F(w) được lặp lại nhiều lần mà không có khoảng hở giữa các chu kỳ kế tiếp, như vẽ trong hình 5.5a. Như đã thấy trong phần 4.5, thì mạch lọc này là dạng không thực hiện được; mà chỉ có thể xấp xỉ gần đúng dùng vô số các khâu trễ trong đáp ứng. Nói cách khác, ta có thể khôi phục lại tín hiệu f(t) từ các mẩu dùng dùng vô số các khâu trễ. Một giải pháp thực tế là lấy mẩu tín hiệu với tốc độ cao hơn tốc độ Nyquist (Fs > 2B hay )4 Bspw>. Kết quả là )(wF, bao gồm F(w) được lặp lại nhiều lần với một số hữu hạn các khoảng hở giữa các chu kỳ kế tiếp, như vẽ trong hình 5.5b. Có thể khôi phục F(w) từ )(wF dùng mạch lọc thông thấp có đặc tính ngắt chậm (từ từ), vẽ đường chấm trong hình 5.5b. Nhưng ngay cả trong trường hợp này, độ lợi mạch lọc phải là zêrô sau chu kỳ thức nhất của F(w) (xem hình 5.5b). Theo tiêu chuẩn Paley-Wiener, thì không thể thực hiện được mạch lọc này. Ưu điểm duy nhất trong trường hợp này là ta có thể xấp xỉ mạch lọc cần có dùng số khâu trễ ít nhất. Điều này cho thấy là trong thực tế không thể khôi phục chính xác được tín hiệu f(t) có băng thông giới hạn từ các mẩu của tín hiệu, ngay cả khi tốc độ lấy mẩu có cao hơn tốc độ Nyquist đi nữa. Tuy nhiên, khi tốc độ lấy mẩu càng tăng thì tín hiệu khôi phục càng gần với tín hiệu mong muốn. Sự bội bạc của trùm phổ (The treachery of aliasing) Trong thực tế, khi khôi phục tín hiệu từ các mẩu còn một khó khăn cơ bản khác. Định lý lấy mẩu vừa chứng minh đã dựa trên giả thiết là tín hiệu có băng thông giới hạn. Các tín hiệu thực tế đều có thời gian giới hạn; tức là có độ rộng xung hữu hạn. Ta có thể chứng minh (xem bài tập 5.1-10) là tín hiệu không thể đồng thời vừa có thời gian giới hạn và băng thông giới hạn. Nếu tín hiệu có thời gian giới hạn, thì không thể có băng thông giới hạn và ngược lại (nhưng tín hiệu có thể có thời gian không giới hạn và băng thông không giới hạn). Rõ ràng, mọi tín hiệu thực tế, cần có thời gian giới hạn, thì băng thông không hạn chế; chúng có băng thông vô hạn, và phổ )(wF gồm các chu kỳ chồng lắp của F(w) lặp lại mỗi Fs Hz (tần số lấy mẩu) như vẽ trong hình 5.6. Do có băng thông vô hạn trong trường hợp này, nên chồng lắp phổ là đặc trưng không thay đổi, bất chấp tốc độ lấy mẩu. Do có phần đuôi chồng lắp, nên )(wF không còn đủ thông tin về F(w), và không còn khả năng, ngay cả trong lý thuyết, để khôi phục f(t) từ các tín hiệu đã lấy mẩu )(tf. Nếu tín hiệu lấy mẩu đi qua mạch lọc thông thấp lý tưởng, thì ngõ ra không phải là F(w) mà là một phiên bản F(w) bị méo dạng do hai nguyên nhân riêng biệt sau: 1. Phần đuôi của F(w) bị mất khi |F| > Fs/2 Hz; 2. Phần đuôi này tái xuất hiện với dạng gấp lại trong phổ. Chú ý là phổ ngang qua Fs/2 = 1/2T Hz. Tần số này được gọi là tần số gấp lại. Do đó, phổ tự gấp lại tại tần số gấp lại. Thí dụ, thành phần tần số Fs/2+ Fx + Fx lộ diện để “đóng vai” thành phần tần số thấp hơn (Fs/2) – Fx trong tín hiệu khôi phục được. Do đó, thành phần tần số cao hơn (Fs/2) lại tái xuất hiện như là thành phần tần số thấp hơn (Fs/2). Yếu tố đảo phần đuôi được gọi là gấp phổ (spectral folding) hay trùm phổ (aliasing), vẽ phần tô bóng trong hình 5.6. Trong qua trình trùm phổ này, ta không chỉ mất mọi thành phần tần số cao hơn (Fs/2) Hz, nhưng các thành phần này lại tái hiện (trùm phổ) như thành phần tần số thấp. Sự xuất hiện lại này còn phá hủy tính toàn vẹn của các thành phần tần số thấp, như vẽ trong hình 5.6. Giải pháp: Bộ lọc chống trùm phổ Thực hiện như sau, ta biết nguy cơ tiềm tàng nằm ở các thành phần tần số lớn hơn (Fs/2) = (1/2T) Hz. Ta cần loại bớt (triệt) các thành phần này khỏi f(t) trước khi lấy mẩu f(t). Theo phương pháp này, ta chỉ mất các thành phần lớn hơn tần số gấp (Fs/2)Hz; do đó các thành phần này không thể tái hiện để làm hỏng các thành phần có tần số thấp hơn tần số gấp. Các thành phần tần số cao được lọc nhờ mạch lọc thông thấp lý tưởng có băng thông là (Fs/2)Hz. Bộ lọc này được gọi là bộ lọc trùm phổ. Chú ý là phải thực hiện việc chống trùm phổ trước khi lấy mẩu tín hiệu. Bộ lọc chống trùm phổ là mạch lọc lý tưởng nên không thực hiện được. Trong thực tế, ta dùng mạch lọc có tần số cắt dạng dốc đứng, nhằm làm suy giảm sắc nét các phổ còn sót lại của tần số gấp (Fs/2). Lấy mẩu thực tế Khi chứng minh định lý lấy mẩu, ta giả sử các mẩu lý tưởng có được bằng cách nhân tín hiệu f(t) với chuỗi xung có độ rộng hữu hạn, vẽ trong hình 5.7b. Tín hiệu lấy mẩu được vẽ trong hình 5.7c. Điều kinh ngạc là ta có thể khôi phục hay tái tạo tín hiệu f(t) từ tín hiệu lấy mẩu )(tf trong hình 5.7c. Đáng ngạc nghiên hơn là tốc độ lấy mầu lại không thấp hơn tốc độ Nyquist. Tín hiệu f(t) có thể khôi phục bằng các cho )(tf qua lọc thông thấp dù nó đã được lấy mẩu dùng chuỗi xung. Kết quả này có vẽ đáng tin cậy khi ta xét thực tế là việc khôi phục f(t) đòi hỏi kiến thức về giá trị của mẩu Nyquist. Thông tin này có sẳn hay nằm trong tín hiệu lấy mẩu )(tf trong hình 5.7c do cường độ của mẩu thứ k là f(kT). Để chứng minh điều này một cách giải tích, ta thấy là chuỗi xung lấy mẩu pT(t) vẽ trong hình 5.7b, là tín hiệu tuần hoàn, có thể biểu diễn thành chuỗi Fourier å¥=++=10)cos()(nnsnTtnCCtpqw Tspw2= V ỳỷựờởộ++==ồƠ=10)cos()()()()(nnsnTtnCCtftptftfqw ồƠ=++=10)cos()()(nnsntntfCtfCqw (5.11) Tớn hiu ó ly mu )(tf gm cú )(0tfC, ),cos()(11qw+ttfCs ),2cos()(22qw+ttfCs . Chỳ ý l tha s th nht )(0tfC l tớn hiu mong mun v tt c cỏc tha s khỏc u l tớn hiu iu ch vi ph cú tõm ti ws, 2ws, 3ws, . . . , nh v trong hỡnh 5.7e. Rừ rng tớn hiu f(t) cú th c khụi phc bng cỏch cho )(tf qua mch lc thụng thp, cú ws > 4pB ( hay Fs > 2B).  Thớ d 5.3 minh ha vic ly mu thc t, xột tớn hiu )5(sin)(2tctfp= c ly mu dựng chui xung vuụng )(tpT v hỡnh 5.8c. Chu k ca )(tpT l 0,1 giõy, cú tn s c bn l 10Hz. Do ú pw20=s. Chui Fourier ca )(tpT cú th biu din thnh ồƠ=+=10cos)(nsnTtnCCtpw Dựng phng trỡnh (3.66) ta cú 410=C v ( )42sinppnnnC =; tc l ,410=C ,21p=C ,12p=C ,323p=C ,04=C K,525p-=C Do đó L++++== ttfttfttftftptftfTpppppp60cos)(3240cos)(120cos)(2)(41)()()( Và )]40()04([21)]20()20([21)(41)(pwpwppwpwpww++-+++-+= FFFFFF L+++-+ )]60()06([231pwpwpFF Trong trường hợp này ( )pww202,0)( D=F. Phổ )(wFvẽ trong hình 5.8e. Quan sát thấy phổ gồm )(wF được lặp lại theo chu kỳ 20p rad/s (10Hz). Do đó, không có trùng lắp giữa các chu kỳ, và )(wF có thể được khôi phục dùng bộ lọc thông thấp lý tưởng với băng thông 5 Hz. Bộ lọc thông thấp lý tưởng có độ lợi đơn vị (và băng thông 5 Hz) sẽ cho phép thừa số thứ nhất bên vế phải của phương trình trên đi qua đầy đủ và triệt mọi thừa số khác. Do đó, ngõ ra y(t) là )(41)( tfty = ¢ 5.3-1 Một số ứng dụng của định lý lấy mẩu Định lý lấy mẩu rất quan trọng trong phân tích, xử lý và truyền dẫn tín hiệu do cho phép ta thay thế tín hiệu liên tục theo thời gian bằng chuỗi rời rạc các số. Do đó, việc xử lý tín hiệu liên tục tương đương với việc xử lý chuỗi rời rạc các số. Phép xử lý này đưa ta đến lĩnh vực lọc số. Trong lĩnh vực thông tin, việc truyền các bản tin liên tục theo thời gian rút lại thành việc truyền các chuỗi số dùng chuỗi xung. Tín hiệu liên tục theo thời 123doc.vn
