ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN ĐẠO HÀM TẠI ĐIỂM Cho y = f(x) xác định (a, b) ∋ x0, xét tỷ số ∆f ( x0 ) f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = = ∆x x − x0 ∆x Nếu tỷ số có giới hạn hữu hạn x → x0 hay ∆x → f có đạo hàm x0 Đặt ∆f ( x ) f ′( x0 ) = lim x → x0 ∆x ( ∆x → 0) ∆f ( x0 ) tan ϕ = ∆x αϕ ∆f(x0) x → x0 x0 ∆x x tan α = f ′( x0 ) f’(x0) hệ số góc tiếp tuyến đường cong (C): y = f(x) tiếp điểm M(x0, f(x0)) Đạo hàm trái x0: ∆f ( x0 ) f−′ ( x0 ) = lim ∆x x → x0− ( ∆x → 0− ) Đạo hàm phải x0: f+′ ( x0 ) = lim x → x0+ ( ∆x → 0+ ) ∆f ( x0 ) ∆x f có đạo hàm x0 ⇔ f−′ ( x0 ) = f+′ ( x0 ) Cách tính đạo hàm Nếu f xác định biểu thức sơ cấp: dùng công thức đạo hàm sơ cấp quy tắc(tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp) Nếu x0, biểu thức f ’ khơng xác định: tính định nghĩa Nếu hàm số có phân chia biểu thức x0: tính định nghĩa Nếu f(x) = u(x)v(x) f(x) tích thương nhiều hàm: tính (lnf)’ Ví dụ: tính đạo hàm điểm / f (x) = f ′( x ) = =2 x ln x x ln x x ln x f ′(1) = ln x = ln 2( x ln x )′ ln 2(ln x + 1) / f (x) = x x = x, x ≥ f (x) =  − x , x < f ( x ) − f (0) x − = x −0 x + → x x→ ⇒f ’(0) không tồn 0- −1  x sin , x ≠  / f (x) =  x 0, x =0 x≠0 1 f ′( x ) = x sin − cos x x x =0 Tính định nghĩa x sin − f ( x ) − f (0) x = x −0 x x→ = x sin  →0 x ⇒ f ′(0) = x , x ≤1 / f (x) =  2 x − 1, x >1 x = f ( x ) − f (1) x −1 lim = lim = − − x −1 x −1 x →1 x →1 f ( x ) − f (1) 2x − − lim = lim = + + x − x −1 x →1 x →1 ⇒ f ′(1) = SỰ KHẢ VI VÀ VI PHÂN f khả vi xo tồn số A cho ∆y = f ( x ) − f ( x0 ) = A.( x − x0 ) + o ( x − x0 ) hay f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = A.∆x + o ( ∆x ) Khi đại lượng: dy = df ( x0 ) = A.∆x gọi vi phân f xo Ví dụ Cho f(x) = x2 , chứng minh f khả vi tìm df(1) f ( x ) − f (1) = x − = ( x − 1)( x + 1) = ( x − 1)( x − + 2) = 2( x − 1) + ( x − 1) df(1) o(x – 1) ∆y M ( x0 , y ) dy = f ′( x0 )∆x ∆x dx Đạo hàm vi phân f khả vi xo ⇔ f có đạo hàm xo df ( x0 ) = f ′( x0 ).∆x Cách viết thông thường: df ( x0 ) = f ′( x0 ).dx Cách viết khác đạo hàm: df ( x0 ) = f ′( x0 ) dx Ví dụ Cho f(x) = 3x2 – x, tìm số gia ∆f vi phân df x = với ∆x =0.01 ∆f (1) = f (1 + ∆x ) − f (1) 2 = 3(1 + ∆x ) − (1 + ∆x ) − (3.1 − 1) = 5∆x + 3(∆x ) = × 0.01 + 3(0.01) = 0.0503 df (1) = f ′(1).dx = f ′(1).∆x f ′( x ) = x − ⇒ f ′(1) = df (1) = (6.1 − 1) × 0.01 = 0.0500 Tìm vi phân f(x) = xex x = df (0) = f ′(0).dx x ′ f ( x ) = ( x + 1)e ⇒ f ′(0) = ⇒ df (0) = 1.dx = dx Tìm vi phân f(x) = xsinx df ( x ) = f ′( x ).dx = ( sin x + x cos x ) dx Các phép tính vi phân d (c.f ) = cdf , c = const d ( f ± g ) = df ± dg d ( f g ) = gdf + fdg  f  gdf − fdg d  ÷= g g   Vi phân hàm hợp Nếu y = f(x) khả vi theo x (biến độc lập): dy = f ′( x )dx Nếu x = x(t) , y = f(x) khả vi, x = x(t) khả vi ⇒ y = f(x(t)) khả vi theo t (biến độc lập): y ′(t ) = [ f ( x (t )) ] ′ = f ′( x ).x ′(t ) dy = y ′(t )dt = f ′( x ).x ′(t )dt = f ′( x )dx Dù x biến độc lập hay hàm số, dạng vi phân y theo x khơng đổi Ví dụ áp dụng Cho y = f(x) = sin(x2), Tính dy theo dx Với x = x(t) = arctan(t), tính dy theo dt t = 1 dy = y ′( x )dx = x cos( x )dx 2 y = sin( x ) = sin(arctan t ) ( ) ( ) dy = y ′(t )dt = arctan t ′ cos arctan t dt ( ) = 2arctan t cos arctan t dt 1+ t2 Cách khác: dùng vi phân hàm hợp dy = y ′( x )dx = x cos( x )dx = x cos( x ).( arctan t ) ′ dt = x cos( x ) × dt 1+ t Tại t = 1, x = π/4 2  π π ⇒ dy = cos  ÷dt  16  ( dx = x′(t )dt ) VI PHÂN CẤP CAO dx = ∆x : số Nếu x biến độc lập: d y = d ( dy ) = d ( y ′dx ) = ( y ′′dx ) dx = y ′′dx n d y =y Nếu x = x(t): (n ) dx n dx = x’dt : hàm số d y = d ( dy ) = d ( y ′dx ) = d ( y ′).dx + y ′d ( dx ) 2 2 ′′ ′ d y = y dx + y d x Ví dụ Cho y = sin(x) Tính d2y theo dx Nếu x = ch(t), tính d2y theo dt 2 ′′ d y = y ( x )dx = − sin xdx 2 y = sin ( cosh t ) d y = y ′′(t )dt = cosh t cos ( cosh t ) − sinh t sin ( cosh t )  dt 2 d y = y ′′( x )dx + y ′( x )d x y ′( x ) = cos x , y ′′( x ) = − sin x 2 dx = sinh tdt ⇒ dx = sinh tdt d x = cosh(t )dt 2 2 ⇒ d y = − sin x.sinh tdt + cos x.cosh tdt ( ) = − sin x.sinh t + cos x.cosh t dt 2 Tổng kết Tính đạo hàm cho loại hàm số (y = f(x), hàm ẩn, tham số) Nếu x biến độc lập: tính vi phân tính đạo hàm Nếu x = x(t) (là hàm số): Vi phân cấp : dy = y’(x)dx, sau khai triển dx theo dt Vi phân cấp 2: d2y = y”dx2 + y’d2x cuối phải đưa dt2(chỉ tính đến cấp 2) ... (1) 2 = 3 (1 + ∆x ) − (1 + ∆x ) − (3 .1 − 1) = 5∆x + 3(∆x ) = × 0. 01 + 3(0. 01) = 0.0503 df (1) = f ′ (1) .dx = f ′ (1) .∆x f ′( x ) = x − ⇒ f ′ (1) = df (1) = (6 .1 − 1) × 0. 01 = 0.0500 Tìm vi phân f(x)... minh f khả vi tìm df (1) f ( x ) − f (1) = x − = ( x − 1) ( x + 1) = ( x − 1) ( x − + 2) = 2( x − 1) + ( x − 1) df (1) o(x – 1) ∆y M ( x0 , y ) dy = f ′( x0 )∆x ∆x dx Đạo hàm vi phân f khả vi xo ⇔ f... = − − x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 f ( x ) − f (1) 2x − − lim = lim = + + x − x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 ⇒ f ′ (1) = Đạo hàm hàm ngược Cho y = f(x): (a, b)→(c, d) liên tục tăng ngặt Khi tồn hàm ngược f ? ?1: (c, d)