TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS TS Nguyễn Xn Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI (§1 Đ5) ã Tng quan ã Phng phỏp hc Đ1 Các tập hợp số », », », » • Đặt vấn đề I Sơ lược yếu tố logic Điều kiện cần đủ •P⇒Q •P⇔Q Mệnh đề tương đương P ⇔ Q Chứng minh logic a) Phương pháp bắc cầu: (P ⇒ Q, Q ⇒ R) ⇒ (P ⇒ R) b) Phương pháp phủ định: (P ⇒ Q) ⇒ ( Q ⇒ P ) c) Phương pháp phản ví dụ Phương pháp quy nạp Cần chứng minh mệnh đề T(n) ∀ n ∈ » Giả sử có +) T(1) +) T(k) ⇒ T(k + 1) đúng, k ∈ » Khi T(n) ∀ n ∈ »  n ( n + 1)  Ví dụ + + + n =   , ∀ n ∈ »   3 II Các tập hợp số Sự cần thiết mở rộng tập hợp số » ⊂ » ⊂ » ⊂ » Hệ tiên đề tập hợp số thực a) » (+, ): ∀a, b, c ∈ » có a + b ∈ » , a.b ∈ » giao hoán, kết hợp b) ∀ a, b ∈ » ⇒ ∃! x ∈ » : a + x = b c) ∀ a, b ∈ » , a ≠ ⇒ ∃! x ∈ » : a.x = b d) ∀ a, b ∈ » ⇒ a ≤ b b ≤ a quan hệ thứ tự có tính chất phản đối xứng, bắc cầu TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS TS Nguyễn Xuân Thảo e) Tiên đề supremum thaonx-fami@mail.hut.edu.vn • ∅ ≠ A ⊂ » , A bị chặn có supremum ∈ » • ∅ ≠ A ⊂ » , A bị chặn có infimum ∈ » Chú ý Từ nhận tính chất biết phổ thơng, chẳng hạn • T/c Archimede: ∀ a, b ∈ » , a > ⇒ ∃ n ∈ » : na > b • » trù mật » : ∀ a, b ∈ » , a < b ⇒ ∃ r ∈ » : a < r < b § TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ CÁC TÍNH CHẤT • Đặt vấn đề a, Định nghĩa a =   −a, a≥0 a ⇔ −a < x < a b) |x| > b, b > ⇔ x > b x < −b c) |a + b| ≤ |a| + |b| d) |ab| = |a||b| e) a a = ,b≠0 b b § HÀM SỐ • Đặt vấn đề Định nghĩa X ⊂ » , tương ứng f: X → » hàm số thoả mãn: +) ∀x ∈ X ⇒ f(x) ∈ » +) x1 = x2 ⇒ f(x1) = f(x2) Khi X tập xác định, cịn {f(x), x ∈ X} tập giá trị Ví dụ Một tên lửa phóng thẳng lên từ mặt đất với vận tốc ban đầu 128ft/s Tên lửa chuyển động lên xuống theo đường thẳng Bằng thực nghiệm, độ cao tên lửa cho công thức f(t) = 128t − 16t2 Ví dụ x → x + y = Ví dụ Tìm tập xác định y = x cos π x Ví dụ Tìm tập giá trị y = sin x + cos x TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS TS Nguyễn Xuân Thảo  1 Ví dụ Tìm f(x) biết f   = x + + x , x > x Một số khái niệm thaonx-fami@mail.hut.edu.vn a) Đồ thị hàm y = f(x) {(x, f(x)), x ∈ TXĐ} b) y = f(x) chẵn ⇔ ∀ x ∈ MXĐ có f(x) = f(−x) Ví dụ y = (1 − x ) + (1 + x ) c) y = f(x) lẻ ⇔ ∀ x ∈ MXĐ có f(x) = −f(−x) Ví dụ y = ax − a−x, a > d) Hàm y = f(x) tuần hoàn ⇔ ∃ T ≠ 0: f(x + T) = f(x), ∀ x ∈ TXĐ Số T > bé để f(x + T) = f(x), ∀ x gọi chu kì Ví dụ y = tan x đ) Hàm hợp: y = f(x), x = ϕ(t), có hàm hợp y = f οϕ ≡ f(ϕ(t)) e) Hàm ngược: y = f(x), TXĐ X, TGT: Y có hàm ngược x = ϕ(y) ⇔ +) (f οϕ)(y) = y, ∀ y ∈ Y +) (ϕ ο f)(x) = x, ∀ x ∈ X Ví dụ y = − x với −1 ≤ x ≤ 0, có x = − − y , y ∈ [0 ; 1] § HÀM SỐ SƠ CẤP Định nghĩa Các hàm số sơ cấp xα, ax, logax, sinx, cosx, tanx, cotx, hàm lượng giác ngược Các hàm số sơ cấp a) y = xα, TXĐ: phụ thuộc α, đồ thị ∋ (1 ; 1), ∀ α b) y = ax, < a ≠ 1, TXĐ: » , TGT: y > 0, đồng biến a > 1, nghịch biến a < ax + y =ax ay , ax − y = ax / a y c) y = logax, < a ≠ 1, TXĐ: x > 0, TGT: » , đồng biến a > 1, nghịch biến a < x logaxy = loga|x| + loga|y|, loga = loga|x| − loga|y|, logaxα = α loga|x|; y y = logax có hàm ngược x = ay d) Các hàm lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx e) Các hàm lượng giác ngược  π π +) y = arcsinx: [−1 ; 1] →  − ;  hàm ngược hàm y = sin x  2 +) y = arccosx: [−1 ; 1] → [0 ; π] hàm ngược hàm y = cosx TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn  π π +) y = arctanx: (−∞ ; ∞) →  − ;  hàm ngược hàm y = tan x  2 +) y = arccotx : (−∞ ; ∞) → (0 ; π) hàm ngược hàm y = cotx Hàm số sơ cấp Định nghĩa Tạo nên từ hàm số sơ cấp số hữu hạn phép tổng, hiệu, tích, thương, phép lấy hàm hợp số Ví dụ y = x+sinx Ví dụ y = |x| x Ví dụ y = ∫ sin t dt t Đ DY S ã t Định nghĩa x1, x2, , xn, , xi ∈ » Giới hạn a) Định nghĩa lim xn = a, a ∈ » ⇔ ∀ ε ≥ 0, bé tuỳ ý, ∃ N(ε): ∀ n > N(ε) có |xn − a| < ε n →∞ Định nghĩa Khi lim xn = ∞ ⇔ ∀ M > 0, lớn tuỳ ý, ∃ N: ∀ n > N có |xn| > M, ta nói dãy số phân kì n →∞ b) Tính chất 1°) lim xn = a , a > p (a < p) ⇒ ∃N: ∀n > N có xn > p (xn < p) n →∞ 2°) lim xn = a , xn ≤ p (xn ≥ p) ⇒ a ≤ p (a ≥ p) n →∞ 3°) lim xn = a , lim xn = b ⇒ a = b n →∞ n →∞ 4°) lim xn = a ⇒ ∃M > 0: |xn| ≤ M, ∀n n →∞ c) Phép tốn Có lim xn = a , lim y n = b , ta có n →∞ n →∞ xn a = , b ≠ 0, yn ≠ 0, ∀ n n →∞ y n b lim ( xn ± y n ) = a ± b ; lim ( xn y n ) = ab ; lim n →∞ n →∞ d) Các tiêu chuẩn tồn giới hạn 1°) Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn ∀ dãy đơn điệu tăng (giảm) bị chặn (dưới) ⇒ có giới hạn TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 2°) Tiêu chuẩn kẹp Có xn ≤ yn ≤ zn, lim xn = a = lim zn ⇒ lim y n = a n →∞ n →∞ n →∞ 3°) Tiêu chuẩn Cauchy ∃ lim xn = a ⇔ ∀ ε > 0, ∃N(ε): ∀m, n > N có |xm − xn| < ε n →∞ Ví dụ Cho dãy xn: x1 = 2, xn +1 = + xn Chứng minh {xn} hội tụ tìm giới hạn Ví dụ Cho dãy xn: x1 > 0, xn +1 = 1  xn + Chứng minh {xn} hội tụ tìm  2 xn  giới hạn HAVE A GOOD UNDERSTANDING! TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS TS Nguyễn Xn Thảo (thaonx-fami@mail.hut.edu.vn) GIẢI TÍCH I BÀI (§6, §7, §8) §6 Giới hạn hàm số • Đặt vấn đề a) lim x = ? x →1 b) lim x →0 =? x c) lim x →∞ =? x I Định nghĩa − ĐN1 x0 ∈ X ⊂ » điểm tụ X ⇔ ∃ x ∈ Uε(x0)\ {x0}, ∀ ε > − ĐN2 f(x) xác định X, x0 điểm tụ X Ta bảo lim f ( x ) = a ⇔ ∀ (xn) ⊂ X, xn ≠ x0, xn → x0 ⇒ f(xn) → a x → x0 − ĐN3 f(x) xác định X, x0 điểm tụ X Ta bảo lim f ( x ) = a ⇔ ∀ ε > bé tuỳ ý, ∃ δ(ε) > 0: < |x − x0| < δ(ε) ⇒ |f(x) − a| < ε x → x0 Chú ý ĐN2 ∼ ĐN3 Ví dụ lim ( x + ) Ví dụ lim cos x →2 x →0 x II Tính chất phép tốn 1) Tính chất lim f ( x ) = b ⇒ a = b a) lim f ( x ) = a, x → x0 x → x0 b) lim f ( x ) = a ⇔ lim ( f ( x ) − a ) = x → x0 x → x0 c) f(x) = c ⇒ lim f ( x ) = c x → x0 d) f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), ∀x ∈ Uε ( x0 ) ; lim f ( x ) = a = lim g ( x ) ⇒ lim h ( x ) = a x → x0 x → x0 e) lim f ( x ) = a ⇒ |f(x)| ≤ c, ∀x ∈ Uε ( x0 ) \ { x0 } x → x0 f) lim f ( x ) = a , a > p ⇒ f(x) > p, ∀x ∈ Uε ( x0 ) \ { x0 } x → x0 Phép toán a) lim f ( x ) = a, lim g ( x ) = b ⇒ lim ( f ( x ) ± g ( x ) ) = a ± b x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS TS Nguyễn Xuân Thảo (thaonx-fami@mail.hut.edu.vn) f (x) a = , (b ≠ 0) x → x0 g ( x ) b b) lim f ( x ) = a, lim g ( x ) = b ⇒ lim ( f ( x ) g ( x ) ) = a.b lim x → x0 x → x0 x → x0 Khử dạng vô định a) Các dạng vô định ∞ ; ; 0.∞ ; ∞ − ∞ ; 1∞ ; 00 ; ∞0 ∞ b) Khử dạng vô định Sử dụng phép biến đổi đại số giới hạn đặc biệt x sin x 1  lim = ; lim  +  = e x →0 x x →∞  x Ví dụ lim x →0 πx Ví dụ lim ( − x ) tan x →2 x +4 −2 x  x + 2 Ví dụ lim   x →1 x −  x +1 cot x Ví dụ lim ( cos x ) x →0 (e − 2) III Giới hạn hàm hợp, phía, vơ cực Giới hạn hàm hợp lim u ( x ) = u0 , lim f ( u ) = a ⇒ lim f ( u ( x ) ) = a x → x0 u →u0 x → x0 Giới hạn phía Định nghĩa lim f ( x ) = a ⇔ ∀ ε > bé tuỳ ý, ∃ δ(ε) > 0: < x − x0 < δ(ε) ⇒ |f(x) − a| < ε x → x0+ Định nghĩa lim f ( x ) = b ⇔ ∀ ε > bé tuỳ ý, ∃ δ(ε) > 0: < x0 − x < δ(ε) ⇒ |f(x) − b| < ε x → x0− Mối liên hệ giới hạn phía giới hạn lim f ( x ) = a ⇔ lim f ( x ) = a = lim f ( x ) x → x0+ x → x0 x → x0− Giới hạn vô cực giới hạn vô cực Định nghĩa lim f ( x ) = a ⇔ ∀ (xn) → ∞ có lim f ( xn ) = a x →∞ n →∞ Định nghĩa lim f ( x ) = a ⇔ ∀ ε > bé tuỳ ý, ∃ N(ε) > 0: |x| > N(ε) ⇒ |f(x) − a| < ε x →∞ Chú ý ĐN6 ∼ ĐN7 Ví dụ lim x →+∞ x2 + + x x + x + 2x Ví dụ lim x →+∞ ( x +1− x ) Ví dụ lim x →1 x 1− x TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS TS Nguyễn Xuân Thảo (thaonx-fami@mail.hut.edu.vn) ( Ví dụ lim sin x − sin + x ) x →+∞ (0) Ví dụ lim ( cos x − − cos x + 1) (0) x →+∞ Định nghĩa lim f ( x ) = ∞ ⇔ ∀ (xn) → ∞ có lim f ( xn ) = ∞ x →∞ n →∞ Định nghĩa lim f ( x ) = ∞ ⇔ ∀ N > lớn tuỳ ý, ∃ δ(N) > 0: |x − x0| < δ(N) ⇒ |f(x)| > N x x0 Đ7 Vụ cựng bộ, vụ cựng ln ã Đặt vấn đề I Vô bé I Định nghĩa α(x) VCB, x → x0 ⇔ lim α ( x ) = x → x0 Tính chất a) α(x) VCB, x → x0, c = const ⇒ cα(x) VCB x → x0 n b) αi(x), i = 1, n VCB x → x0 ⇒ ∑αi ( x ) VCB x → x i =1 c) α(x) VCB x → x0, f(x) bị chặn Uε (x0) ⇒ α(x)f(x) VCB, x → x0 Liên hệ VCB giới hạn Định lí lim f ( x ) = L ⇔ f(x) − L VCB x → x0 (hay f(x) = L + α(x), α(x) VCB) x → x0 So sánh VCB Giả sử α(x), β(x) VCB x → x0 α (x) =1 x → x0 β ( x ) Định nghĩa α(x) ∼ β(x) ⇔ lim α (x) = a ∈ » \{0} x → x0 β ( x ) Định nghĩa α(x) VCB cấp với VCB β(x) x → x0 ⇔ lim α (x) =0 x → x0 β ( x ) Định nghĩa α(x) VCB cấp cao VCB β(x) x → x0 ⇔ lim Ví dụ a) sinx ∼ x, ex − ∼ x, ln(1 + x) ∼ x, (1 + x)α − ∼ αx x → ex ( ) ( ) ( ) b) Cho α x = , β x = e − 1+ x x Chứng minh α ( x ) ∼ β ( x ) x → TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS TS Nguyễn Xuân Thảo (thaonx-fami@mail.hut.edu.vn) c) Cho α ( x ) = e − ( + x ) x , β ( x ) = ex Chứng minh α ( x ) ∼ β ( x ) x → Ứng dụng tìm giới hạn α (x) α (x) = lim x → x0 β ( x ) x → x0 β ( x ) a) α(x) ∼ α ( x ) , β(x) ∼ β ( x ) , x → x0 ⇒ lim Ví dụ lim ( e x − 1) tan x + 3x + 4x − Ví dụ lim x →0 1− x − sin2 x x →0 (− 4) b) β(x) VCB cấp cao α(x) x → x0 ⇒ α(x) + β(x) ∼ α(x) Ví dụ lim x − sin x x3 x →0 c) α(x), β(x) VCB x → x0; m α (x) = ∑ αk ( x ) , α (x) VCB có cấp thấp nhất; k =1 n β (x) = ∑ βk ( x ) , β (x) VCB có cấp thấp k =1 α (x) α (x) = lim x → x0 β ( x ) x → x0 β1 ( x ) ⇒ lim Ví dụ lim x →0 x + sin3 x + tan4 x 4x + x + 5x8 II Vô lớn Định nghĩa f(x) xác định Uε (x0) (có thể trừ x0), f(x) VCL x → x0 ⇔ lim f ( x ) = ∞ x → x0 Chú ý Hàm VCL ⇒ không bị chặn ⇐ Ví dụ f(x) = x sinx khơng bị chặn VCL Liên hệ VCB VCL a) f(x) VCB, x → x0 f(x) ≠ ⇒ b) f(x) VCL, x → x0 ⇒ VCL x → x0 f (x) VCB x → x0 f (x) TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS TS Nguyễn Xuân Thảo (thaonx-fami@mail.hut.edu.vn) So sánh VCL Giả sử A(x), B(x) VCL x → x0, A(x) =∞ x → x0 B ( x ) a) A(x) VCL cấp cao VCL B(x), x → x0 ⇔ lim b) A(x), B(x) VCL cấp, x → x0 ⇔ lim x → x0 A(x) =a ≠0 B (x) c) A(x), B(x) VCL tương đương, x → x0 ⇔ lim x → x0 A(x) = B (x) Ứng dụng tìm giới hạn a) Cho VCL tương đương A(x) ∼ A ( x ) , B(x) ∼ B ( x ) , x → x0 ⇒ A(x) A(x) lim = lim x → x0 B ( x ) x → x0 B ( x ) b) Cho A(x), B(x) VCL x → x0; m A(x) = ∑ Ak ( x ) , A (x) VCL có cấp cao nhất; k =1 n B (x) = ∑ Bk ( x ) , B (x) VCL có cấp cao k =1 ⇒ lim x → x0 A (x) A(x) = lim B ( x ) x → x0 B1 ( x ) 9x + x3 + x + Ví dụ lim x →∞ 2009 x + x + x + = 2009 Ví dụ Tính giới hạn cot( x −1) a) lim (2 − x ) x →1 c) lim x →0 (1 − x )ln(1 + x ) x + 2x (e − 2) cot(1− x ) b) lim (2 + x ) x →−1 (− ln ) d) lim (1 − x )ln(1 + x ) x →0 3x2 − 4x3 (e2 ) (− ln ) § HÀM SỐ LIÊN TỤC • Đặt vấn đề I Hàm liên tục Định nghĩa f(x) liên tục x0 ⇔ +) f(x) xác định Uε (x0) +) lim f ( x ) = f ( x0 ) (⇔ lim ∆f ( x ) = ) x → x0 10 ∆x → PGS TS Nguyễn Xuân Thảo TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí thaonx-fami@mail.hut.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI 12 CHƯƠNG III HÀM S NHIU BIN Đ1 CC KHI NIM C BN ã Đặt vấn đề I Các khái niệm Định nghĩa » n = {(x1, x2, , xn)}, xi ∈ » }, x = (x1, x2, , xn) gọi điểm hay vectơ Phép toán: x + y = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn) αx = (αx1, αx2, , αxn), α ∈ » n Khoảng cách: ρ(x, y) = ∑ ( xi − y i ) i =1 Định nghĩa M0 ∈ » n , lân cận M0 Sr(M0) = {M ∈ » n : ρ(M, M0) < r, < r ∈ » } Định nghĩa A ⊂ » n , M ∈ » n điểm A ⇔ ∃Sr(M) ⊂ A M điểm biên A ⇔ Sr ∩ A ≠ ∅, Sr ∩ CA ≠ ∅, ∀ Sr(M) Định nghĩa A ⊂ » n mở ⇔ A chứa điểm (Khi kí hiệu Ao) A đóng ⇔ A chứa điểm biên (Khi kí hiệu A ) A bị chặn (giới nội) ⇔ ∃ Sr(M) ⊃ A A compact ⇔ A đóng giới nội A liên thông ⇔ ∀ x, y ∈ A nối với đường cong liên tục ⊂ A A ⊂ » n miền ⇔ A mở liên thông A ⊂ » n miền đóng ⇔ A liên thơng đóng Miền D đơn liên ⇔ D giới hạn mặt kín Miền D đa liên ⇔ D giới hạn nhiều mặt kín rời đôi II Hàm nhiều biến Định nghĩa Ánh xạ f: D ⊂ » → » : gọi hàm hai biến số Ánh xạ f: D ⊂ »3 → » : gọi hàm ba biến số Khi D gọi TXĐ hàm số, tập giá trị = {f(M), M ∈ D} Ví dụ a) z = − x − y b) z = − − e) z = x2 y − c) u = x ln ( − x2 − y2 f) z = − z2 ) ( x + y − a2 ) ( 4a2 − x − y ) cos ( x + y ) g) u = arcsin x + arcsin y + arcsin z d) z = − x − y Ý nghĩa hình học: Vận dụng vào đồ trắc địa, nhờ sử dụng đường mức: f(x, y) = c 48 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Bản đồ địa hình đồi thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Đồ thị hàm số z = xy Việc vẽ đồ thị hàm hai biến số có khác biệt đột phá so với hàm biến số (đã nghiên cứu tỉ mỉ chương I) Khi n = vẽ đồ thị kết hợp với sử dụng đường mức sử dụng phần mềm có để nhận đồ thị cách trực tiếp Khi n ≥ 3, mô tả đồ thị hàm số thông qua mặt mức không gian chiều Giới hạn hàm nhiều biến Ví dụ xy  xy  xy   a) lim  lim b) lim  lim c) lim   2 y →0  x →0 x + y  x →0  y →0 x + y  y = kx x + y x →0 Định nghĩa Ta bảo Mn(xn ; yn) → M0(x0 ; y0) ⇔ lim xn = x0 lim y n = y n →∞ n →∞ Định nghĩa Cho f(x, y) xác định D, ( x0 ; y ) ∈ D Ta bảo lim f ( x, y ) = l ⇔ ∀ Mn(xn ; yn) → M0(x0 ; y0) ⇒ lim f ( xn , y n ) = l n →∞ ( x , y ) → ( x0 , y ) hoặc: ∀ ε > bé tuỳ ý, ∃ δ(ε) > 0: d(M0 ; M) < δ ⇒ |f(M) − l| < ε, M(x ; y) ∈ D Ví dụ xy lim ( x ; y )→( ; ) x + y xy b) lim ( x ; y )→( ; ) x + y a) d) lim x + y cos ( x ; y )→( ; ) xy e) ( x2 + y ) lim ( x ; y )→( ; ) x2y (0) x2 − y lim ( x ; y )→( ; ) x + y Các phép toán Tương tự hàm biến số Hàm liên tục Định nghĩa Hàm f(M) xác định D, M0 ∈ D, ta bảo hàm f(M) liên tục M0 ⇔ lim f ( M ) = f ( M0 ) c) D ∋ M → M0 Hàm f(M) gọi liên tục D ⇔ f(M) liên tục điểm D Ví dụ Xét tính liên tục điểm (0 ; 0) 49 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo  e x2 + y , a) z =   0,   x 2y ,  c) z =  x + y  0,  TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí (x ; y) (x ; y) ≠ (0 ; 0) (x ; y) ≠ (0 ; 0) (x ; y) = (0 ; 0) thaonx-fami@mail.hut.edu.vn  xy ,  b) z =  x + y  0,  = (0 ; 0)  x4 − y ,  d) z =  x + y  0,  x2 + y ≠ x2 + y = (x ; y) ≠ (0 ; 0) (x ; y) = (0 ; 0)  x2 ( x2 − y ) , ( x ; y ) ≠ (0 ; 0)  e) z =  x + y  a, ( x ; y ) = (0 ; 0)  (không liên tục, ∀a)  xy − y cos , ( x ; y ) ≠ (0 ; 0)  x2 + y f) z =   a, ( x ; y ) = (0 ; 0)  (không liên tục, ∀a)  x arcsin2 y − y arcsin2 x , ( x ; y ) ≠ (0 ; 0)  x4 + y g) z =   a, ( x ; y ) = (0 ; 0)  (a = 0, liên tục; a ≠ 0, không liên tục)  y arctan2 x − x arctan2 y , ( x ; y ) ≠ (0 ; 0)  x4 + y h) z =   a, ( x ; y ) = (0 ; 0)  (a = 0, liên tục; a ≠ 0, không liên tục) i) Tìm a để (0 ; 0) điểm liên tục hàm số  x y − xy , x2 + y ≠ 1°) z =  x + y (0)  a, x2 + y =   x y − xy , x2 + y ≠ 2°) z =  x + y (0)  a, x2 + y =  Định nghĩa Hàm f(x) liên tục D ⇔ ∀ ε > bé tuỳ ý, ∃ δ(ε) > 0: ∀ M’, M’’ ∈ D: d(M’ ; M’’) < δ ⇒ |f(M’) − f(M’’)| < ε Ví dụ Xét tính liên tục hàm f = x + y + Chú ý f liên tục ⇒ f liên tục 50 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí thaonx-fami@mail.hut.edu.vn §2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN Đạo hàm riêng Định nghĩa u = f(x , y) xác định D ⊂ » , ta định nghĩa đạo hàm riêng f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) ∂ fx′ ( x0 ; y ) ≡ f ( x0 ; y ) = lim ∆x → ∂x ∆x f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y ) ∂ fy′ ( x0 ; y ) ≡ f ( x0 ; y ) = lim ∆y → ∂y ∆y Chú ý d d 1°/ fx′ ( x0 , y ) = f ( x, y ) ; fy′ ( x0 , y ) = f ( x0 , y ) dx dy x = x0 y =y 2°/ Tương tự có định nghĩa fx′ ( x0 , y , z0 ) = fy′ ( x0 , y , z0 ) = d f ( x, y , z0 ) ; dx x = x0 d d f ( x0 , y , z0 ) ; fz′ ( x0 , y , z0 ) = f ( x0 , y , z ) dy dz z = z0 y = y0 Ví dụ z a) u = x y , tính u’x(1 ; ; 3), u’y(1 ; ; 3), u’z(1 ; ; 3) z b) u = , tính u’x(3 ; ; 5), u’y(3 ; ; 5), u’z(3 ; ; 5) x2 + y c) z = arctan x y , tính u’x, u’y d) z = ( + logy x ) , tính z’x, z’y  x tan y ,  e) f ( x, y ) =  x + y  0,  ( x, y ) ≠ ( 0, ) ( x, y ) = ( 0, ) , tính f’x(0, 0), f’y(0, 0) ( fx′ ( ; ) = , fy′ ( ; ) = )  x sin y ,  f) f ( x, y ) =  x + y  0,  ( x, y ) ≠ ( 0, ) ( x, y ) = ( 0, ) , tính f’x(0, 0), f’y(0, 0) ( fx′ ( ; ) = , fy′ ( ; ) = ) g) z = ∂z ∂z y2 x + arctan , tính A = x − xy + y2 3x y ∂x ∂y h) z = ∂z ∂z x2 y + arctan , tính A = y − xy + x2 3y x ∂y ∂x (0) ( 2xy ) x2 + y Have a good understanding! 51 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí thaonx-fami@mail.hut.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI 13 §2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN (TT) Vi phân toàn phần Định nghĩa f(x, y) xác định D ⊂ » 2, M0(x0 ; y0) ∈ D Nếu ∃ A, B không phụ thuộc vào ∆x, ∆y để có ∆f = A∆x + B∆y + α∆x + β∆y, lim α = 0, lim β = ∆x → ∆y → ∆x → ∆y → ta bảo hàm f khả vi M0 có df(M0) = A∆x + B∆y vi phân toàn phần hàm f M0 Hàm f gọi khả vi miền D ⇔ f khả vi ∀ M ∈ D Chú ý f(x, y) khả vi M0(x0 ; y0) ⇒ f(x, y) liên tục M0(x0 ; y0) Ví dụ Xét tính khả vi hàm số sau (0 ; 0) a) u = x + 2y b) u = 2x + y  x3y ,  c) f ( x, y ) =  x + y  0,  x2 + y ≠ (f không liên tục (0 ; 0) ⇒ không khả vi) x2 + y =  2  ( x + y ) sin x + y , ( x, y ) ≠ ( , ) d) f ( x, y ) =   0, ( x, y ) = ( , )   x tan y ,  e) f ( x, y ) =  x + y  0,  ( x, y ) ≠ (0 , 0) ( x, y ) = (0 , 0) (f không liên tục (0 ; 0) ⇒ không khả vi)  x sin y ,  f) f ( x, y ) =  x + y  0,  ( x, y ) ≠ (0 , 0) ( x, y ) = (0 , 0) (không khả vi) Định lí f(x, y) có đạo hàm riêng cấp liên tục lân cận M0(x0 ; y0) ⇒ f(x, y) khả vi M0(x0 ; y0) có dz = f’x ∆x + f’y ∆y Ví dụ Tính vi phân tồn phần z a) z = ln ( x + y ) b) u = , du ( 3, 4, ) x2 + y z c) z = arctan xy d) u = x y Chú ý Dựa vào vi phân để tính gần đúng: f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ f(x0, y0) + f’x(x0, y0)∆x + f’y(x0, y0)∆y Ví dụ Tính gần ( 4, 05 )2 + ( 2, 93 )2 a) (1,02)3(0,97)2 b) d) ln ( 1, 03 + 0, 98 − 1) e) sin32° cos59° 52 c) (1,04)2,02 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí f) Tính gần biến thiên hàm số z = thaonx-fami@mail.hut.edu.vn x + 3y x biến thiên từ x1 = đến y − 3x x2 = 2,5 y từ y1 = đến y2 = 3,5 g) Hình chữ nhật có hai cạnh a = 10cm b = 24cm Đường chéo l thay đổi cạnh a dài thêm 4mm cạnh b ngắn 1mm? Tính giá trị gần so sánh với giá trị h) Chiều cao hình nón h = 30cm, bán kính đáy R = 10cm Thể tích thay đổi tăng h thêm 3mm giảm R 1mm? i) ln ( 0, 02 + 1, 03 ) l) A = m) A = (0,03) ( 1, 04 )3 + ( 2, 03 )2 + ( 3, 04 )2 + ( 2, 02 )3 − k) ( 1, 97 )2 + 4e0,06 (2,01) (2,02) (2,015) Vi phân hàm hợp, tính bất biến, dạng vi phân Cho hàm f: B ⊂ » → » , ϕ: D ⊂ » → B f ϕ → ( u ( x, y ) , v ( x, y ) ) → f ( u ( x, y ) , v ( x, y ) ) ( x, y )  Định lí f có đạo hàm riêng liên tục B, cịn u, v có đạo hàm riêng liên tục D f °ϕ có đạo hàm riêng ∂ ∂f ∂u ∂f ∂v ∂ ∂f ∂u ∂f ∂v (f ϕ ) = + ; (f ϕ ) = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y Chú ý dz ∂f ∂f 1°/ z = f(x, y), y = y(x) có = + y′ ( x ) dx ∂x ∂y dz ∂f ∂f 2°/ z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) có = x′ ( t ) + y′ ( t ) dt ∂x ∂y Ví dụ Tính dz x ∂z ∂z x a) , z = , x = et , y = ln t , , z = arctan , x = u sinv, y = u cos v d) dt y ∂u ∂v y zx ( y − z ) dz b) , z = uv , u = sin x, v = cos x e) u = e , y = a sin x, z = cos x , dx a2 + dz y du c) z′ ( x ) , z = arctan , y = x tính dx x dx Tính bất biến vi phân cấp 1: ∂f ∂f du + dv ∂u ∂v Phép toán: u, v hàm khả vi, ta có  u  vdu − udv d ( u ± v ) = du ± dv , d ( uv ) = udv + vdu , d   = ,v ≠ v  v2 Đạo hàm hàm ẩn Khái niệm hàm ẩn: Hệ thức F(x, y) = xác định hay nhiều hàm ẩn y theo x Tương tự, hệ thức F(x, y, z) = xác định hay nhiều hàm ẩn z theo biến số x y z = z(u, v), u = u(x, y), v = v(x, y) ⇒ dz = 53 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí thaonx-fami@mail.hut.edu.vn  F ( x, y , z, u, v ) = Hệ hai phương trình  xác định hay nhiều cặp hàm số ẩn u, v G x , y , z , u , v = ( )  ba biến số x, y, z Định lí F(x0, y0) = 0, F(x, y) có đạo hàm riêng liên tục lân cận M0(x0, y0) F’y(M0) ≠ hệ thức F(x, y) = xác định hàm ẩn y = f(x) lân cận điểm x0, thoả mãn y(x0) = y0 khả vi liên tục lân cận này, có F ′ (M ) y ′ ( x0 ) = − x Fy′ (M0 ) Định lí F(x0, y0, z0) = 0, F(x, y, z) có đạo hàm riêng liên tục lân cận M0(x0, y0, z0) F’z(M0) ≠ 0, hệ thức F(x, y, z) = xác định hàm ẩn z = f(x, y) lân cận (x0, y0) thoả mãn z(x0, y0) = z0 liên tục có đạo hàm riêng liên tục lân cận này, có Fy′ F′ zx′ ( x0 ; y ) = − x ( M0 ) , zy′ ( x0 ; y ) = − ( M0 ) Fz′ Fz′ Định lí F(x0, y0, z0, u0, v0) = 0, G(x0, y0, z0, u0, v0) = 0, hàm F(x, y, z, u, v), G(x, y, z, u, v) có đạo hàm riêng liên tục lân cận M0(x0, y0, z0, u0, v0) định thức Fu′ Fv′ D ( F, G ) D ≡ = ≠ 0, Gu′ Gv′ D ( u, v )  F ( x, y , z, u, v ) = hệ thức  xác định hai hàm ẩn u = f(x, y, z), v = g(x, y, z) G ( x, y , z, u, v ) = lân cận (x0, y0, z0), thoả mãn u(x0, y0, z0) = u0, v(x0, y0, z0) = v0, hàm u, v liên tục có đạo hàm riêng liên tục lân cận có D ( F, G ) D ( F, G ) u x′ ( x0 ; y ; z0 ) = − (M0 ) ; v x′ ( x0 ; y ; z0 ) = − (M ) D D ( x, v ) D D ( u, x ) Tương tự có uy′ ( x0 ; y ; z0 ), v y′ ( x0 ; y ; z0 ), uz′ ( x0 ; y ; z0 ), v z′ ( x0 ; y ; z0 ) Ví dụ a) z3 − 3xyz = a3, tính dz b) + xy − ln(exy + e−xy) = 0, tính dy x y = ln + 10 , tính dz c) z z x + y + z = d)  , tính dy, dz 2 x + y + z = e) x = u cosv, y = u sinv, z = u2, tính vi phân tồn phần dz f) x = v cosu − u cosv + sinu, y = v sinu − u sinv − cosu, z = (u − v)2, tính dz g) Phương trình x.eyz = y + z + xác định hàm ẩn z(x, y) Tính dz(0 ; 0) (dx − dy) h) Hàm ẩn z = z(x, y) xác định phương trình z − ye x/z = Tính dz(0 ; 1) (dx + dy) i) Hàm ẩn z = z(x, y) xác định phương trình xe y/z − z = Tính dz(1 ; 0) (dx − dy) 54 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí xz thaonx-fami@mail.hut.edu.vn k) Phương trình x + 2y + z = ye xác định hàm ẩn z = z(x, y) Tính dz(0 ; 1) (−2dx − dy) yz l) Phương trình xe = 2x − y − z xác định hàm ẩn z = z(x, y) Tính dz(1 ; 0) (dx − 2dy) m) Phương trình y ( z − z′x + y 2z′y = x ( n) Phương trình x z − x 2z′x − z′y = −3 y x − z ) = −2 xác định hàm ẩn z = z(x, y) Chứng minh ) y − z = xác định hàm ẩn z = z(x, y) Chứng minh o) x − 2y + z = ( x + y ) z Tính dz ( ; − 1) p) x + 2y + z = ( x + y ) z Tính dz ( −1 ; 1) dx + dy ) 9 ( − dx − dy ) 3 (− Have a good understanding! 55 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI 14 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN (TT) § Đạo hàm riêng vi phân cấp cao: Định nghĩa: Cho z = f ( x, y ) , ta định nghĩa: ∂ 2f ∂  ∂f  ∂ 2f ∂  ∂f = ; f '' ( x , y ) ≡ =   y ∂x ∂x  ∂x  ∂y ∂y  ∂y f '' x ( x, y ) ≡    ∂ 2f ∂  ∂f  '' ( x, y ) ≡ ∂ f = ∂  ∂f  = ; f yx   ∂y ∂x ∂y  ∂x  ∂x ∂y ∂x  ∂y  Tương tự z = g ( x, y , z ) thì: '' ( x, y ) ≡ fxy g x'''3 ( x, y , z ) ≡ ∂3g ∂  ∂ 2g =  ∂x ∂x  ∂x  ∂3g ∂  ∂  ∂g   "' ( x, y , z ) ≡ ; g = xyz     ∂z∂y ∂x ∂z  ∂y  ∂x    ''' ( x, y , z ) ≡ g yx ∂3g ∂  ∂  ∂g =   ∂x ∂x ∂y ∂x  ∂x  ∂y    ,  Ví dụ ( a) z = ln x + b) z = arctan ) x2 + y x+y − xy '' , z '' , z '' Tính zxx xy yy '' , z '' , z '' Tính zxx xy yy y '' , z '' , z '' c) z = e xe Tính zxx xy yy d) z = sin( xy ) Tính ∂3 z ∂x ∂y ''' e) w = e xyz Tính w xyz '' (0, 0), g '' (0, 0), g '' (0, 0) f) g ( x, y ) = (1 + x )m (1 + y )n Tính g xx xy yy  x2 − y  xy g) f ( x, y ) =  x + y2 0   xy  h) f ( x, y ) =  x + y 0   xy  i), f ( x, y ) =  x + y 0  x2 + y ≠ '' (0, 0) = 1, f '' (0, 0) = −1 CMR fyx xy x =0 = y x2 + y ≠ '' (0, 0) Tính fxy (∃) '' (0, 0) Tính fyx (∃) x =0= y x2 + y ≠ x =0 = y y , tính x 2z′′xx + xyz′′xy + y 2z′′yy x x l), Cho z = x cos , tính x 2z′′xx + xyz′′xy + y 2z′′yy y 56 k), Cho z = y sin (0) (0) TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn x y ,  m) Cho f ( x, y ) =  x + y  0,  sin3 x2 + y ≠ ′′ (0, 0) , tính fx′ ( x, y ), fxy x2 + y =  ( y − x ) sin3 y ( x, y ) ≠ ( 0, )  ′′ ( 0, ) = 1) ( fx′ ( x, y ) =  ( x + y )2 , fxy  x = y =0  0,  y sin3 x ,  n) Cho f ( x, y ) =  x + y  0,  x2 + y ≠ ′′ (0, 0) , tính fy′ ( x, y ), fyx x2 + y =  ( x − y ) sin3 y  ( fy′ ( x, y ) =  ( x + y )2   0, ( x, y ) ≠ ( 0, ) ′′ ( 0, ) = 1) , fyx x = y = o) Cho z = y ye x Tính A = x 2z′′xx + xyz′′xy + y 2z′′yy (0) p) Cho z = x ye y ′′ + y zyy ′′ Tính A = x zx′′x + xyzxy (0) '' , f '' lân cận M ( x , y ) Định lí Schwart z = f(x, y) có đạo hàm riêng fxy yx 0 '' (M ) = f '' (M ) đạo hàm riêng liên tục M0 ( x0 , y ) ⇒ fxy yx Chú ý: Định lí mở rộng cho đạo hàm riêng cấp cao cho hàm số n biến số đạo hàm riêng liên tục '' , f '' Ví dụ 2: Tính đạo hàm riêng cấp hai: fxy yx a f ( x, y ) = x y + y 5; b, f ( x, y ) = e xy + sin( x + y ) Định nghĩa z = f(x, y), ta định nghĩa d n z = d (d n −1z ), ≤ n ∈ N Nhận xét: n  ∂  ∂ + Khi x, y biến số độc lập ta có: d n z =  dx + dy  f ∂y  ∂x  + Khi x, y khơng phải biến số độc lập cơng thức khơng cịn với n ≥ 2 Thật vậy: d 2z  ∂  ∂ = dx + dy  f + fx''2 d x + fy''2 d y ∂y  ∂x  Do vi phân tồn phần d n z (n ≥ ) hàm z nhiều biến số khơng có dạng bất biến Ví dụ a) f ( x, y ) = (1 + x )m (1 + y )n Tính d 2f 0, 0) b) f ( x, y , z ) = x + 2y + 3z − xy + xz + yz Tính d 2f (0, 0, 0) c) z = x + 2y + y − ln x − 10 ln y Tính d (1, 2) d) z = e xy Tính d 2z 57 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS TS Nguyễn Xuân Thảo ex thaonx-fami@mail.hut.edu.vn d 3z e) z = cos y Tính f) f ( x, y ) = x y Tính d 2f (1,1) g) ( f ( x, y ) = y x Tính d 2f (1,1) ( 2dx + 4dxdy ) ( 6dxdy + 6dy ) Cơng thức Taylor Định lí: f(x,y) có đạo hàm riêng đến cấp (n + 1), liên tục lân cận M0 ( x0, y ) Nếu M0 ( x0 + ∆x, y + ∆y ) nằm lân cận ta có: f ( x0 + ∆x, y + ∆y ) − f ( x0 , y ) = df ( x0 , y ) + n d f ( x0 , y ) + + d f ( x0 , y ) + 2! n! d n +1f ( x0 + θ∆x, y + θ∆y ), < θ < ( n + 1)! Ví dụ a, Khai triển f ( x, y ) = − x + y + xy − x − 2y − thành chuỗi Taylor lân cận điểm ( - 2, 1) b, Khai triển Maclaurin f ( x, y ) = e x sin y đến bậc c, Khai triển Maclaurin f ( x, y ) = − x − y + xy d, Viết công thức Taylor hàm f (x, y ) = y x lân cận điểm (1, 1) đến bậc hai e, Cho hàm ẩn z xác định z − xz + y = , biết z(1, 1) = Hãy tính số số hạng khai triển hàm z theo luỹ thừa (x − 1) (y − 1) §3 Cực trị Đặt vấn đề I Định nghĩa: z = f (M ), M ∈ R n Ta bảo z đạt cực tiểu M0 ⇔ f(M) > f(M0), ∀ M ∈ Uε(M0)\{M0} Tương tự z có cực đại M1 ⇔ f (M ) < f (M1), ∀ M ∈ Uε(M1)\{M1} Ví dụ a) z = x + y b) z = − x − y II Quy tắc tìm cực trị '' , c = f " a, z = f(x,y), đặt p = fx' , q = fy' , a = fx''2 , b = fxy y2 Định lí z = f(x,y) đạt cực trị M0 , ∃fx' , fy' ⇒ fx' (M0 ) = fy' (M0 ) =  fx' (M0 ) = = fy' (M0 ) Định nghĩa: ta gọi M0 điểm tới hạn ⇔   ∃fx' (M0 ), ∃fy' (M0 ) Định lí 2: Giả sử z = f(x,y) có đạo hàm riêng cấp hai liên tục lân cận M0 ( x0 , y ) , fx' (M0 ) = = fy' (M0 ) Khi đó: + Nếu b − ac < f(x, y) đạt cực trị M0; cực tiểu a >0, cực đại a f(x, y) khơng đạt cực trị M0 58 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS TS Nguyễn Xuân Thảo + Nếu b2 thaonx-fami@mail.hut.edu.vn − ac = khơng có kết luận cực trị M0 Ví dụ 2: Tìm cực trị hàm số sau: a) z = x − x + arctan y (zCT(1 ; 0) = −1) ( zC§ ( ; 1) = b) z = arccot x − y + 2y π c) z = x y − x − y + 1) (zCĐ(6 ; 3) = 27, ∃ cực trị (0 ; 0) d) z = xy − y − x (zCĐ(3 ; 6) = 27, ∃ cực trị (0 ; 0) e) z = ( x + x − y )e −2 y 1 e  (zCT  −1 ; −  = − )  2 f) z = x + y − xy (zCĐ(−1 ; −1) = 3) g) z = x − y − xy (zCĐ(−1 ; 1) = 1, ∃ cực trị (0 ; 0) h) z = x + y − x + xy − 2y i) z = ( x + y ) − ( x + y ) − xy + k) z = ( x + y )e −( x +y2) l) z = − ( x + y )2 / m) z = xy ln( x + y ) n) z = x + xy + y − ln x − 10 ln y p) x + y + z − x + y − 6z − 11 = q) z = e − x ( x − y + y ) (zCĐ(0 ; −1) = 2, ∃ cực trị (2 ; 1)  y − 3y −  e − x ( −2 x + y − y + ) =  M1 ( ; − 1)  z′x = x = +)  ⇔  ⇔ ⇒ −2   M2 ( ; 1)  z′y =  e − x ( −3 + y ) =  y = ±1  +) z′′xx = e − x ( x − y + y − ) , z′′xy = e − x ( − y ) , z′′yy = e − x y Mi A B C ∆ Kết luận M1 −2 −6 −12 zCĐ(M1) = M2 −2e−2 6e−2 12e−4 Không có cực trị r) z = e − y ( x − x − 2y ) (zCĐ(−1 ; 0) = −2, ∃ cực trị (1 ; 2) s) z = xy ( − x − y ) (zCĐ(1 ; 1) = 1, ∃ cực trị (0 ; 0), (0 ; 3), (3 ; 0) t) z = xy ( x + y + ) (zCĐ(−1 ; −1) = 1, ∃ cực trị (0 ; 0), (0 ; −3), (−3 ; 0) u) z = x + +y + x y ( zmin ( ; ) = , (1 ; −2) không cực trị) v) z = x + − y2 − x y ( zmax ( −1 ; 1) = , (1 ; 1) không cực trị) Have a good understanding! 59 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS TS Nguyễn Xn Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI 15 §3 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ (TT) III Cực trị có điều kiện Đặt vấn đề • Ta thường gặp tốn tìm cực trị biểu thức với điều kiện ràng buộc biến • Tuy nhiên việc thay điều kiện ràng buộc vào hàm ban đầu để đưa toán biết thuận lợi Ta cần khắc phục nào? • Phương pháp nhân tử Lagrange khắc phục khó khăn trên, cơng cụ quan trọng kinh tế, hình học vi phân lý thuyết học nâng cao Cực trị hàm số z = f(x, y) với điều kiện g(x, y) = Tìm giá trị cực trị hàm số z = f(x, y) với ràng buộc g(x, y) = Đặt L(x, y, λ) = f(x, y) − λg(x, y) ∂L ∂L ∂L Ta có = 0, = 0, = , biến λ gọi biến Lagrange ∂x ∂y ∂λ Như toán tìm cực trị z = f(x, y) với điều kiện ràng buộc g(x,y)=0 chuyển toán cực trị hàm L(x, y, λ) Đây phương pháp nhân tử Lagrange Phương pháp nhân tử Lagrange quan trọng lý thuyết, ngồi thực hành có ưu điểm sau: • Khơng phải băn khoăn tính đối xứng tốn lựa chọn biến độc lập • Việc đưa thêm vào λ biến khác khử ràng buộc • Dễ dàng mở rộng cho trường hợp nhiều biến nhiều ràng buộc Ví dụ Tìm cực trị có điều kiện y a) z = x + y 2, x + = b) z = x + 2y, x + y = c) z = xy , x + y = d) z = xy , x + y = 2x e) z = x m + y m (m > 1), x + y = 2, ( x, y > 0) f) z = + , 12 + 12 = 12 x y x y a 2) Cực trị hàm số u = f(x, y, z) với điều kiện g(x, y, z) = Tìm cực trị hàm w = f(x, y, z), với điều kiện g(x, y, z) = Đặt L(x, y, z, λ) = f(x, y, z) − λg(x, y, z) Có ∂L ∂L ∂L ∂L = 0, = 0, = 0, =0 ∂x ∂y ∂z ∂λ Như tốn tìm cực trị hàm w = f(x, y, z) với điều kiện g(x, y, z) = chuyển tốn tìm cực trị hàm: L(x, y, z, λ) = f(x, y, z) − λg(x, y, z) 60 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví dụ Tìm cực trị có điều kiện a) u = xy z3, x + y + z = a, ( x > 0, y > 0, z > 0,a > 0) y2 b) u = x + y + z 2, x + + z2 = c) u = sin x sin y sin z, x + y + z = π ( x > 0, y > 0, z > 0) d) u = xyz, xy + yz + zx = 8, ( x, y , z > 0) e) u = x + y + z, + + = x y z f) u = x − 2y + 2z, x + y + z = g) u = x n + y n + zn , x + y + z = s ( x > 0, y > 0, z > 0,s > 0) , n > 3) Cực trị hàm u = f(x, y, z) với điều kiện g(x, y, z) = 0, h(x, y, z) = Tương tự đặt L = f(x, y, z) − λg(x, y, z) − µh(x, y, z) có ∂L ∂L ∂L ∂L ∂L = 0, = 0, = 0, = 0, =0 ∂x ∂y ∂z ∂λ ∂µ Bài tốn tìm cực trị với hai điều kiện ràng buộc nói chuyển tốn tìm cực trị hàm L(x, y, z, λ, µ) = f(x, y, z) − λg(x, y, z) – µh(x, y, z) Ví dụ Tìm cực trị với điều kiện a) u = xy + xz, x + y = 2, x + z = ( x > 0, y > 0, z > 0) b) u = xyz, x + y + z = 5, xy + yz + zx = Chú ý: Trong kinh tế, phương pháp nhân tử Lagrange sử dụng để giải toán tối đa hoá tổng sản lượng công ty, phụ thuộc vào ràng buộc tài nguyên sẵn có cố định, chẳng hạn: P = f(x, y) = Axαyβ, với điều kiện α + β = 1, P sản lượng (tính la) biểu diễn qua x đơn vị vốn y đơn vị lao động IV Giá trị lớn nhất, bé Cách tìm 1° Tìm điểm dừng (trong miền mở biên) 2° So sánh giá trị hàm số điểm dừng Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, bé a) z = x2y, x2 + y2 ≤ b) z = x2 + y2 − 2x − y, x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ c) z = sinx + siny + sin(x + y), ≤ x, y ≤ π/2 d) u = x + y + z, x2 + y2 ≤ z ≤ e) Tìm hình hộp chữ nhật tích lớn nội tiếp ellipsoide f) Tìm điểm mặt cầu x2 + y2 + z2 = mà tổng bình phương khoảng cách từ điểm đến ba điểm M1(1 ; ; 0), M2(2 ; ; 1), M3(0 ; ; 2) bé 2 y2 g) Tìm ellipsoide x + + z ≤ qua (1 ; ; 3) tích bé a b c b c (a = = ) 61 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS TS Nguyễn Xuân Thảo h) Tìm điểm ellip thaonx-fami@mail.hut.edu.vn x2 + y2 = gần nhất, xa tới đường thẳng 3x − y − = i) z = xy (3 − x − y ) , ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ (max z = 1, z = − 4) k) z = x2 + y2 + x + y, x + y + = 0, x = 0, y = (max z = 2, z = − l) z = x − y , miền đóng x2 + y2 ≤ m) z = x − y , miền đóng x + y2 ≤1 (max z = 9, z = −9) (max z = 4, z = −4) Thank you and Good Good bye! bye! 62 ) ... d11y(? ?1) , 210 dx 11) ( ! C 11 b) y = (1 − x ) ln(2 x − 1) , tính d10y (1) 29 dx10 ) ( −7 ! C10 a) f ( x ) = e x sin x , tính d22f(0) (− 211 dx22) b) f ( x ) = e x cos x , tính d20f(0) (− 210 dx20) x... A1 Aα ? ?1 B B1 R (x) = + + + + + + x−a ( x − a )α ( x − a )α ? ?1 ( x − b )β ( x − b ) β ? ?1 M µ −1x + Nµ ? ?1 Bβ ? ?1 Mx + N M1x + N1 + + + + + x + px + q x − b ( x + px + q )µ ( x + px + q ) µ ? ?1. .. ( ? ?1) + ( 2n ) ! ( 2n + 1) ! 2! 4! c x; α ( α − 1) α ( α − 1) ( α − 2) α ( α − 1) ( α − n + 1) n α • ( 1+ x) = 1+ αx + x + x + + x + Rn ( x) , 2! 3! n! α ( α − 1) ( α − ) ( α − n ) ( α − n −1