BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ HỒNG QUÂN TÍNH CHẤT PARAMETRIX CỦA LỚP TOÁN TỬ GIẢ VI PHÂN LOẠI ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ HỒNG QUÂN TÍNH CHẤT PARAMETRIX CỦA LỚP TOÁN TỬ GIẢ VI PHÂN LOẠI ELLIPTIC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Bùi Kiên Cường Hà Nội, 2017 Mục lục Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận vă Dự kiến đóng góp đề tài Chương Một số khái niệm kết chuẩn bị 1.1 Hàm Rn 1.2 Tích phân Lebesgue không gian Lp 1.3 Biến đổi Fourier 12 1.4 Không gian hàm số giảm nhanh S(Rn ) 14 1.5 Không gian Fréchet 16 1.6 Phép biến đổi Fourier ngược công thức Parseval 18 1.7 Hàm suy rộng tăng chậm biến đổi Fourier 20 Chương Tính chất parametrix lớp toán tử giả vi phân elliptic 23 2.1 Biểu trưng tính chất 23 2.2 Về hợp thành toán tử giả vi phân 28 2.3 Tích phân dao động 30 2.4 Biểu trưng kép 36 2.5 Sự hợp thành hai toán tử giả vi phân 40 2.6 Các toán tử giả vi phân elliptic parametrix 42 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Kiên Cường tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, thầy cô phòng Sau đại học thầy cô trường Đại học sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập trường Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Lê Hồng Quân Lời cam đoan Dưới hướng dẫn TS Bùi Kiên Cường luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài "Tính chất Parametrix lớp toán tử giả vi phân elliptic" hoàn thành nhận thức thân, không trùng với luận văn khác Trong nghiên cứu viết luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 06 năm 2017 Tác giả Lê Hồng Quân Các kí hiệu N tập số tự nhiên R tập số thực C tập số phức d(x, y) khoảng cách hai phần tử x y {xn }∞ n=1 dãy số thực phức C[a,b] tập tất hàm số giá trị thực liên tục đoạn [a, b] B (a, r) hình cầu mở tâm a bán kính r B (a, b) hình cầu đóng tâm a bán kính r x chuẩn vectơ x bd(S) biên S conv(S) bao lồi S Mở đầu Lý chọn đề tài Một ý tưởng hàng đầu lý thuyết toán tử giả vi phân đưa việc nghiên cứu tính chất toán tử đạo hàm riêng tuyến tính cα (x)∂xα P = |α|≤m có dạng đa thức theo đạo hàm ∂x = (∂x1 , , ∂xn ) với hệ số cα không đổi phụ thuộc x thành nghiên cứu biểu trưng ký hiệu cα (x)(iζ)α , p(x, ζ) = |α|≤m Đó đa thức theo biến ζ ∈ Rn với hệ số phụ thuộc vào biến không gian x Khi câu hỏi đặt tính chất toán tử vi phân P (x, Dx ) - chẳng hạn tính khả nghịch - có liên hệ tính chất biểu trưng p(x, ζ) Công cụ chủ yếu lý thuyết biến đổi Fourier e-ix.ζ f (x)dx, ζ ∈ Rn F[f ] (ζ) := f (ζ) := (1) Rn xác định hàm phù hợp f : Rn → C Ở đây, (1) diễn tả tích vô hướng hàm f (x) hàm x → eix.ζ eix.ζ dx = (f, eix.ζ )L2 (Rn ) F[f ] (ζ) := f (ζ) := Rn với ζ ∈ Rn cố định, (·, ·) tích vô hướng L2 (Rn ) Vì f (ζ) hiểu đóng góp dao động phức x → eix.ζ để thành hàm theo biến ζ = (ζ1 , ., ζn ) ∈ Rn mô tả tần số dao động Biết biến đổi Fourier g(ζ) = f (ζ) hàm f xây dựng lại nhờ giúp đỡ biến đổi Fourier ngược F −1 [g] (x) := (2π)n ix.ζ e g(ζ)dζ Rn có F −1 [F [f ]] ≡ F −1 [f ] = f Ở F −1 [g] diễn tả tổ hợp tuyến tính nhỏ x → eix.ζ hệ số g(ζ) (và nhân tử điều chỉnh n (2π) ) Sử dụng công thức đảo: cα (x)∂xα Pu = |α|≤m = cα (x) |α|≤m = (2π)n Ở ta sử dụng ∂xj e ix.ζ (2π)n (2π)n e ix.ζ ix.ζ e uˆ(ζ)dζ Rn (iζ)α e ix.ζ uˆ(ζ)dζ Rn p(x, ζ)ˆ u(ζ)dζ Rn ix.ζ = iζj e ix.ζ ∂xα e = (iζ)α e ix.ζ Từ thúc đẩy cho định nghĩa biểu trưng p(x, ζ) P Tiếp theo cho p(x, ζ) = p(ζ) độc lập với x ∈ Rn thì: Pu = F −1 [p(ζ)ˆ u] = F −1 [p(ζ)F [u]] Vì P áp dụng vào u phép nhân uˆ(ζ) qua biểu trưng p(ζ) Đó gợi ý cho phép nghịch đảo P tương ứng cho phép nhân p(ζ) với hàm nằm phép hàm biến đổi Fourier Vì ta định nghĩa: Qf := F −1 p(ζ)−1 fˆ(ζ) = (2π)n eix.ζ Rn ˆ f (ζ)dζ p(ζ) với giả thiết p(ζ) = với ζ ∈ Rn Khi F [Qf ] = p(ζ)−1 fˆ(ζ) FF −1 = I (Công thức nghịch đảo) thế: P Qf = F −1 [p(ζ)F [Qf ]] = F −1 p(ζ)p(ζ)−1 fˆ = F −1 fˆ(ζ) = f tức Q ngược P Dĩ nhiên, Q không toán tử vi phân, thuộc vào lớp toán tử giả vi phân, mà ta định nghĩa q(x, Dx )f := (2π)n eix.ζ q(x, ζ)fˆ(ζ)dζ Rn q(x, ζ) hàm thích hợp không thiết đa thức ζ Trong trường hợp hệ số P phụ thuộc x, biến đổi ngược P không dễ dàng Nếu ta định nghĩa tương tự trường hợp hệ số không đổi: Qf := (2π)n eix.ζ Rn ˆ f (ζ)dζ p(x, ζ) P Qf = (2π)n P Rn eix.ζ fˆ(ζ)dζ p(x, ζ) Bởi quy tắc nhân: P eix.ζ p(x, ζ) = (P eix.ζ ) 1 +r(x, ζ) = p(x, ζ) +r(x, ζ) = 1+r(x, ζ) p(x, ζ) p(x, ζ) 35 Hơn e−iy.η−iy η a (y, y , η, η ) dydy dηdη Os- e−iy.η (Os− = e−iy η a (y, y , η, η ) dy dη ) dydη Chứng minh Nhờ Bất đẳng thức Peetre nên (η, η ) m (y, y ) ≤ 2|m|+|τ | η m y |τ | η |m| y τ |m| Do ∂yα ∂ηβ a (y, , η, ) ∈ A|τ | R2k (y , η ) ∂yα ∂ηβ a (y, , η, ) |m| Aτ (R2k ), j ≤ Cj, k, m |a|Am (R2(k+n) ), j+|α|+|β| η m τ y τ Do (2.10) suy e−iy η ∂yα ∂ηβ a (y, y , η, η ) dy dη Os − ≤ Cm |a|Am (R2(k+n) ), 2(l+l )+|α|+|β| η τ m y τ, với 2l > |m| + k 2l > k + τ Hơn ta chọn l, l đủ lớn để 2l > m + n 2l > k + τ Từ biểu diễn (2.9) Định lý 1.4, ta lấy ∂yα ∂ηβ tích phân dao động, điều dẫn đến (2.15) Như vậy, ∂yα ∂ηβ b (y, η) ≤ Cm |a|Am (R2(k+n) ), 2(l+l )+|α|+|β| η τ m y τ Do n n b (y, η) ∈ Am τ (R × R ) Vì nhờ Định lý 2.2 y −2l Dη 2l η −2l Dη 2l b (y, η) ∈ L1 (Rn × Rn ) 36 Hơn −2l e−iy η y b (y, η) = Dη 2l η −2l Dη 2l a (y, y , η, η ) dy dη −2l y 2l Dη η −2l Dη 2l −2l e−iy η ( y y ) = b (y, η) ( Dη −2l Dη )2l ( η η ) ( Dy Dy )2l a dy dη , với −2l (y y ) ( Dη −2l Dη )2l ( η η ) ( Dy Dy )2l a (y, y , η, η ) thuộc L1 R2(n+k) Do áp dụng Định lý Fubini đạt Os − = e−iy.η −iy η e−iy.η Os − −2l (y y ) e−iy η a (y, y , η, η ) dy dη ) dydη −2l Dη )2l ( η η ) ( Dη ( Dy Dy )2l a × d (y, y , η, η ) (2π)n+k = Os− e−iy.η −iy η −2l (η η ) = Os − e−iy.η −iy η ( Dy Dy )2l a (y, y , η, η ) dy dη dydη a (y, y , η, η ) dy dη dydη, ta sử dụng Bổ đề 2.3 2.4 Biểu trưng kép Tích p1 (x, Dx ) p2 (x, Dx ) tính Mục 2.2 ví dụ toán tử giả vi phân dạng tổng quát - toán tử giả vi phân 37 với biểu trưng kép ei(x−x ).ξ+i(x −x p (x, Dx , x, Dx ) u = )ξ p (x, ξ, x , ξ ) u (x ) dx dξ dx dξ với u ∈ S (Rn ), tích phân phải hiểu tích phân lặp Ở m1 ,m2 p (x, ξ, x , ξ ) = p1 (x, ξ) p2 (x , ξ ) ∈ S1,0 (Rn × Rn × Rn × Rn ) định nghĩa sau: Định nghĩa 2.3 Cho m, m ∈ R Khi đó, không gian biểu trưng giả m, m vi phân kép S1,0 (Rn × Rn × Rn × Rn ) không gian tất hàm trơn p : Rn × Rn × Rn × Rn → C cho m −|α | Dξα Dxβ Dξα Dxβ p (x, ξ, x , ξ ) ≤ Cα,β,α ,β (1 + |ξ|)m−|α| (1 + |ξ |) theo x, ξ, x , ξ ∈ Rn với α, β, α , β ∈ Nn0 max(m, m ,m+m ) m, m (Rn × Rn × Rn × Rn ) ∈ A0 Lưu ý S1,0 R2n × R2n Các phát biểu hợp thành hai giả vi phân hệ định lý tổng quát Định lý 2.4 Cho m, m ∈ R biểu trưng kép Khi pL (x, ξ) := Os − m+m e−iy.η p (x, ξ + η, x + y, ξ) dydη ∈ S1,0 (Rn × Rn ) Hơn nữa, pL (x, ξ) ∼ α α ∂ D p (x, ξ, x , ξ ) |x =x, ξ =ξ α! ξ x n α∈N0 theo nghĩa pL (x, ξ) − |α|≤N α α α m+m −N −1 ∂ξ ∂ξ Dx p (x, ξ, x , ξ ) |x =x, ξ =ξ ∈ S1,0 (Rn × Rn ) α! với N ∈ N0 38 Chứng minh Trước hết, lấy ax,ξ (y, η) := p (x, ξ + η, x + y, η) Sử dụng Bất đẳng thức Peetre, ∂ηα ∂yβ ax,ξ (y, η) = ∂ηα ∂yβ p (x, ξ + η, x + y, ξ) ≤ Cα,β ξ + η m−|α| ≤ Cα,β 2|m| η |m| |m| ξ ξ m m+m ≤ Cα,β ξ + η m ξ m Do ax,ξ (y, η) ∈ A0 với |ax,ξ |A|m| ,|m|+2n+2 ≤ C(1 + |ξ|)m+m Vì |pL (x, ξ)| = Os − e−iy.η p (x, ξ + η, x + y, ξ) dydη ≤ C(1 + |ξ|)m+m (2.16) ˜ 2n 2n ,m ˜ = max (m1 , m2 , m1 + m2 ) (2.10) Vì p (x, ξ, x , η) ∈ Am R ×R 2n 2n ˜ tương ứng với (x, x ) , (ξ, η) ta có p (x, ξ + η, x + y, η) ∈ Am R ×R tương ứng với (x, y) , (ξ, η) Vì ta áp dụng (2.15) để ∂ξα ∂xβ pL (x, ξ) =Os − e−iy.η ∂ξα ∂xβ [p (x, ξ + η, x + y, ξ)] dydη (2.17) Tổ hợp (2.16) (2.17) mang lại ∂ξα ∂xβ pL (x, ξ) = Os − e−iy.η ∂ξα ∂xβ [p (x, ξ + η, x + y, ξ)] dydη ≤ C(1 + |ξ|)m+m −|α| (2.18) Để chứng minh khai triển tiệm cận, sử dụng khai triển theo chuỗi Taylor: p (x, ξ + η, x + y, ξ) = |α|≤N ηα pα (x, ξ, x + y, ξ) α! + (N + 1) |α|=N +1 ηα α! (1 − θ)N pα (x, ξ + θη, x + y, ξ) dθ, 39 pα (x, ξ, y, η) = ∂ξα p (x, ξ, y, η) Do pL (x, ξ) = |α|≤N Os − α! e−jy.η pα (x, ξ, x + y, ξ) dydη + (N + 1) |α|=N +1 Os − α! e−jy.η η α rα (x, ξ, x + y, ξ) dydη, rα (x, ξ, y, η) = ∂ξα p (x, ξ + θη, x + y, ξ) (1 − θ)N dθ Vì Bổ đề 2.3 Ví dụ 2.2, e−iy.η η α pα (x, ξ, x + y, ξ) dydη = Os − = Os − e−iy.η Dyα pα (x, ξ, x + y, ξ) dydη = ∂ξα Dyα p (x, ξ, y, η) |y=x,η=ξ Do ta phải ước lượng rα (x, ξ, y, η) Như phần đầu chứng minh ∂ηβ ∂yγ ∂ξα Dyα p (x, ξ + θη, x + y, ξ) ≤ Cα,β,γ 2|m| (1 + |θη|)|m| (1 + |ξ|)m+m −|α| ≤ Cα,β,γ 2|m| (1 + |η|)|m| (1 + |ξ|)m+m −|α| , Cα,β,γ không phụ thuộc vào θ ∈ [0, 1] Do {p (x, ξ + θ., x + , ξ)}0≤θ≤1 |m| bị chặn A0 hàm biên độ theo (y, η) Do rα (x, ξ, , ) ∈ |m| A0 ∂ηβ ∂yγ Dyα rα (x, ξ, η, y) ≤ Cα,β,γ 2|m| (1 + |η|)|m| (1 + |ξ|)m+m −|α| 40 Điều suy Os − e−jy.η η α rα (x, ξ, η, y) dydη = Os − e−jy.η Dyα rα (x, ξ, η, y) dydη ≤ Cα (1 + |ξ|)m+m −(α) (2.19) (2.10) Cuối cùng, đạo hàm ∂ηβ ∂yγ rα,θ (x, ξ) ước lượng theo cách giống 2.5 Sự hợp thành hai toán tử giả vi phân Với trợ giúp tích phân dao động, tính toán kỹ lưỡng việc hợp thành hai toán tử giả vi phân Mục 2.2 Trước hết, ta phân tích toán tử giả vi phân dạng tích phân m (Rn × Rn ) thì: động, tức p ∈ S1,0 p(x, Dx )u = = Os − ei(x−y)ξ p(x, ξ)u(y)dy dξ e−ixξ p(x, ξ)u(x + x )dx dξ (2.20) với u ∈ S(Rn ) 41 Sử dụng biểu diễn Định lý 2.3, ta có p1 (x, Dx )p2 (x, Dx )u = Os − e−ixξ p1 (x, ξ)(Os- e−ix”ξ p2 (x + x , ξ )u(x + x + x )dx dξ )dx dξ = Os- e−ixξ−ix”ξ p1 (x, ξ)p2 (x + x , ξ )u(x + x + x )dx dξ dx dξ = Os- e−ixη−iyξ p1 (x, ξ + η)p2 (x + x , ξ )u(x + y)dx dξ dydη = Os- e−iyξ (Os- e−ixη p1 (x, ξ + η)p2 (x + x , ξ )dx dη)u(x + y)dydξ = Os- e−iyξ p1 #p2 (x, ξ )u(x + y)dydξ Ở sử dụng η = ξ − ξ y = x + x p1 #p2 xác định (2.8) m Định lý 2.5 Cho pj ∈ S1,0j (Rn × Rn ), j = 1, 2, hai biểu trưng giả vi m1 +m2 phân Khi đó, p1 #p2 ∈ S1,0 (Rn × Rn ) cho p1 (x, Dx )p2 (x, Dx ) = (p1 #p2 )(x, Dx ) Hơn nữa, p1 #p2 có khai tiển tiệm cận đây: p1 #p2 (x, ξ) ∼ α ∂ξ p1 (x, ξ)Dxα p2 (x, ξ) α! n α∈N0 theo nghĩa p1 #p2 (x, ξ) − |α| cho |p(x, ξ)| ≥ C|ξ|m với |ξ| ≥ R, x ∈ Rn (2.21) 43 Ví dụ 2.3 Cho p (ξ) = |ξ| biểu trưng −∆ Khi p biểu trưng elliptic bậc Hơn nữa, q (ξ) = ξ m , m ∈ R, biểu trưng elliptic bậc m Cho A (x) ∈ Cb∞ (Rn )n×n ma trận xác định dương đều, tức là, có c > cho ξ T A(x)ξ ≥ c|ξ|2 với x, ξ ∈ Rn Khi p(x, ξ) = ξ T A(x)ξ biểu trưng eliptic bậc m (Rn × Rn ) , m ∈ R biểu trưng elliptic Bổ đề 2.4 Cho p ∈ S1,0 R > (2.21) Khi −m q(x, ξ) := ψ(ξ)p(x, ξ)−1 ∈ S1,0 (Rn × Rn ) ψ ∈ Cb∞ (Rn ) cho ψ (ξ) = với |ξ| ≥ R + ψ (ξ) = với |ξ| ≤ R Chứng minh Vì q(x, ξ) = ψ (ξ) = 0for |ξ| ≤ R, q (x, ξ) trơn theo (x, ξ) cần xét |ξ| ≥ R đủ Từ công thức đạo hàm hàm hợp ∂ξj p(x, ξ)−1 = −p(x, ξ)−2 ∂ξj p (x, ξ) đẳng thức tương tự với ∂ξj thay cho ∂xj Sử dụng (2.21), ∂ξj p(x, ξ)−1 ≤ Cα,β ξ −m−1 ≤C ξ −m−1 ∂xj p(x, ξ)−1 ≤ C|ξ|−2m ξ m ≤C ξ −m |ξ| ≥ R > Theo cách ta dễ dàng chứng minh quy nạp ∂ξα ∂xβ p(x, ξ)−1 ≤ Cα,β ξ −m−|α| 44 với |ξ| ≥ R Mặt khác q : Rn × Rn → C trơn ∂ξα ∂xβ p(x, ξ) ≤ C α,β ≤ Cα,β ξ −m−|α| với |ξ| ≤ R + Vì q (x, ξ) = p(x, ξ)−1 , ta suy với α, β ∈ Nn0 tồn Cα,β > cho ∂ξα ∂xβ p(x, ξ) ≤ Cα,β ξ −m−|α| với ξ ∈ Rn m Hệ 2.2 Cho p ∈ S1,0 (Rn × Rn ) biểu trưng elliptic Khi đó, −m có q ∈ S1,0 (Rn × Rn ) cho p(x, Dx )q(x, Dx ) = I + r(x, Dx ), q(x, Dx )p(x, Dx ) = I + r (x, Dx ) −1 với r, r ∈ S1,0 (Rn × Rn ) Chứng minh Cho q định nghĩa Bổ đề 2.4 Khi đó, nhờ Định lý 2.5, p (x, Dx ) q (x, Dx ) = (pq) (x, Dx ) + r¯ (x, Dx ) , −1 r¯ ∈ S1,0 (Rn × Rn ) Hơn nữa, p (x, ξ) q (x, ξ) = với |ξ| ≥ R+1 −∞ Do p (x, ξ) q (x, ξ) − ∈ S1,0 (Rn × Rn ) p (x, Dx ) q (x, Dx ) = I + r (x, Dx ) ˜ −1 (Rn × Rn ) Đẳng thức với r (x, ξ) = p (x, ξ) q (x, ξ) − + r (x, ξ) ∈ S1,0 q (x, Dx ) p (x, Dx ) = I + r (x, Dx ) −1 (Rn × Rn ) chứng minh tương tự với r ∈ S1,0 45 m Định lý 2.6 Cho p ∈ S1,0 (Rn × Rn ) , m ∈ R Khi điều kiện sau tương đương: p elliptic −m Tồn q ∈ S1,0 (Rn × Rn ) cho p (x, Dx ) q (x, Dx ) = I + −1 r (x, Dx ), với r ∈ S1,0 (Rn × Rn ) −m Với N ∈ N tồn qN ∈ S1,0 (Rn × Rn ) cho −N p (x, Dx ) qN (x, Dx ) = I + rN (x, Dx ) với rN ∈ S1,0 (Rn × Rn ) Chứng minh suy 2.: Đây hệ Hệ 2.2 −m −1 suy 3.: Theo giả thiết tồn q ∈ S1,0 (Rn × Rn ) , r ∈ S1,0 (Rn × Rn ) cho p (x, Dx ) q (x, Dx ) = I + r (x, Dx ) −1 Lấy qN ∈ S1,0 (Rn × Rn ) cho N −1 r(x, Dx )k qN (x, Dx ) = q (x, Dx ) k=0 Khi N −1 (−r (x, Dx ))k = I + (−r (x, Dx ))N , p (x, Dx ) qN (x, Dx ) = (I − r (x, Dx )) k=0 −N (−r (x, Dx ))N = rN (x, Dx ) với rN ∈ S1,0 (Rn × Rn ) theo Định lý 2.5 suy 1.: Vì p (x, Dx ) q (x, Dx ) = OP (p (x, ξ) q (x, ξ)) + r (x, Dx ) p (x, Dx ) q (x, Dx ) = I + r (x, Dx ) −1 với r, r ∈ S1,0 (Rn × Rn ), ta có −1 p (x, ξ) q (x, ξ) − = −r (x, ξ) + r (x, ξ) ∈ S1,0 (Rn × Rn ) , 46 ta sử dụng toán tử giả vi phân để xác định biểu trưng cách Nói riêng |p (x, ξ) q (x, ξ)| ≤ C ξ −1 với x, ξ ∈ Rn Vì tồn R > cho |p (x, ξ) q (x, ξ) − 1| ≤ với |ξ| ≥ R x ∈ Rn Do (p (x, ξ) q (x, ξ))−1 ≤ với |ξ| ≥ R x ∈ Rn Do cuối ta kết luận p−1 (x, ξ) = (p (x, ξ) q (x, ξ))−1 |q (x, ξ)| ≤ 2C ξ −m −m với x ∈ Rn , |ξ| ≥ R q ∈ S1,0 (Rn × Rn ) Để trọn vẹn, ta lưu ý biểu trưng elliptic p có −m q∞ ∈ S1,0 (Rn × Rn ) cho p (x, Dx ) q∞ (x, Dx ) = I + r∞ (x, Dx ) (2.22) −∞ với r ∈ S1,0 (Rn × Rn ) Để chứng minh phát biểu này, phát biểu bổ đề sau : m Bổ đề 2.5 Cho pj ∈ S1,0j (Rn × Rn ) với m1 ≥ ≥ mj → −∞ m1 j → ∞ Khi tồn p ∈ S1,0 (Rn × Rn ) cho ∞ p (x, ξ) ∼ N −1 mN pj (x, ξ) ∈ S1,0 (Rn × Rn ) pj (x, ξ) ⇔ p (x, ξ) − j=1 j=1 Để chứng minh (2.22), ta xác định q∞ (x, Dx ) = q (x, Dx ) q (x, Dx ) , 47 ∞ r#k (x, ξ) , q (x, ξ) ∼ k=0 r chứng minh Định lý 2.6 −k r#k (x, ξ) = r# #r (x, ξ) ∈ S1,0 (Rn × Rn ) k− lần Kết luận chương Trong chương này, số khái niệm lý thuyết toán tử giả vi phân trình bày dựa tài liệu tham khảo số Trong đó, lý thuyết lớp biểu trưng toán tử giả vi phân elliptic với tính chất parametrix chúng trình bày chi tiết Kết luận Luận văn tài liệu tổng quan lý thuyết toán tử giả vi phân, kết mà luận văn trình bày • Hệ thống hóa kiến thức học phục vụ cho nội dung luận văn • Trình bày số tính chất lý thuyết toán tử giả vi phân Đặc biệt tính chất parametrix lớp toán tử giả vi phân elliptic Tài liệu tham khảo [1] X S Raymond (1991), Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators, Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, Boca Raton, Ann Arbor, Boston, London [2] M Renardy and R C Rogers (1993), An Introduction to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York [3] Michael Ruzhansky, Ville Turunen (2010), Pseudo-Differential Operators and Symmetries, Background Analysis and Advanced Topics, Birkh¨auser Basel, Boston, Berlin [4] Helmut Abels (2011), Pseudodifferential Operators, sources of internet ... hàm liên quan đến lý thuyết toán tử giả vi phân + Trình bày tính chất lý thuyết toán tử giả vi phân, đặc biệt trình bày tính chất parametrix lớp toán tử giải vi phân elliptic Nhiệm vụ nghiên cứu... 2: Tính chất parametrix lớp toán tử giả vi phân elliptic Đóng góp đề tài Luận văn công trình nghiên cứu tổng quan lý thuyết toán tử giả vi phân Rn , đặc biệt tính chất parametrix lớp toán tử giả. .. Chương Tính chất parametrix lớp toán tử giả vi phân elliptic 23 2.1 Biểu trưng tính chất 23 2.2 Về hợp thành toán tử giả vi phân