Đang tải... (xem toàn văn)
Bao lồi và một vài ứng dụng trong tối ưu toàn cục (LV thạc sĩ)Bao lồi và một vài ứng dụng trong tối ưu toàn cục (LV thạc sĩ)Bao lồi và một vài ứng dụng trong tối ưu toàn cục (LV thạc sĩ)Bao lồi và một vài ứng dụng trong tối ưu toàn cục (LV thạc sĩ)Bao lồi và một vài ứng dụng trong tối ưu toàn cục (LV thạc sĩ)Bao lồi và một vài ứng dụng trong tối ưu toàn cục (LV thạc sĩ)Bao lồi và một vài ứng dụng trong tối ưu toàn cục (LV thạc sĩ)Bao lồi và một vài ứng dụng trong tối ưu toàn cục (LV thạc sĩ)Bao lồi và một vài ứng dụng trong tối ưu toàn cục (LV thạc sĩ)Bao lồi và một vài ứng dụng trong tối ưu toàn cục (LV thạc sĩ)Bao lồi và một vài ứng dụng trong tối ưu toàn cục (LV thạc sĩ)Bao lồi và một vài ứng dụng trong tối ưu toàn cục (LV thạc sĩ)Bao lồi và một vài ứng dụng trong tối ưu toàn cục (LV thạc sĩ)Bao lồi và một vài ứng dụng trong tối ưu toàn cục (LV thạc sĩ)Bao lồi và một vài ứng dụng trong tối ưu toàn cục (LV thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRƯƠNG THỊ HUỆ BAO LỒI VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƯU TOÀN CỤC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRƯƠNG THỊ HUỆ BAO LỒI VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƯU TOÀN CỤC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu Mở đầu Bao lồi hàm lồi 1.1 Tập lồi, hàm lồi 1.2 Bao lồi 3 Bài toán tối ưu 2.1 Phát biểu toán tối ưu 2.2 Bài toán tối ưu lồi 2.2.1 Bài toán tối ưu lồi 2.2.2 Áp dụng cho toán định 2.3 Bài toán tối ưu toàn cục vị cực đại hàm lồi 16 16 19 27 29 36 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 ii Lời cảm ơn Trước tiên xin gửi lời cảm ơn đến tất quý Thầy Cô giảng dạy chương trình Cao học Toán ứng dụng khóa - Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, người truyền đạt kiến thức hữu ích ngành Toán ứng dụng làm sở cho hoàn thành luận văn Đặc biệt xin chân thành cảm ơn Thầy giáo GS.TSKH Lê Dũng Mưu Thầy dành nhiều thời gian quý báu tận tình hướng dẫn suốt trình thực luận văn, đồng thời người giúp lĩnh hội kiến thức chuyên môn rèn luyện cho tác phong nghiên cứu khoa học Qua đây, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè thân thiết người sát cánh bên tôi, tạo điều kiện tốt cho tôi, nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên suốt trình học tập, thực hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng song luận văn không tránh khỏi có thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp Thầy giáo, Cô giáo anh chị học viên để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, ngày 20 tháng 05 năm 2017 Tác giả luận văn Trương Thị Huệ Bảng ký hiệu R Rn A×B A∪B A∩B A⊂B A⊆B ∂f (x) L(x, µ, ν) , ∇f ∅ CoE ConeE riC KKT dimM trường số thực không gian Euclide n-chiều tích Đề hai tập A B hợp hai tập A B giao hai tập A B A tập B (mọi phần tử A phần tử B) A tập (có thể bằng) B vi phân hàm lồi f x hàm Lagrange tích vô hướng Rn Gradient hàm f tập rỗng bao lồi đóng E bao nón lồi đóng E tập hợp điểm tương đối C Karush - Kuhn - Tucker số chiều không gian M Mở đầu Toán học công cụ hỗ trợ đắc lực để khám phá giới tự nhiên xung quanh ta giải vấn đề thực tiễn Giải tích lồi môn quan trọng Giải tích toán học Đối tượng nghiên cứu Giải tích lồi tập lồi hàm lồi Tập lồi, hàm lồi xuất nhiều vấn đề toán học, sống thực tế Trong giải tích lồi khái niệm bao lồi khái niệm thông qua người ta nghiên cứu tập không lồi Bao lồi có phạm vi ứng dụng rộng rãi đặc biệt tối ưu toàn cục Tối ưu toàn cục lớp toán tối ưu hóa Hiện toán tối ưu toàn cục nhiều người quan tâm nghiên cứu có nhiều ứng dụng thực tế khoa học, kĩ thuật, kinh tế Vì mục đích đề tài là: - Tìm hiểu tổng kết lại kiến thức bao lồi (của tập hàm lồi) - Xét đến ứng dụng bao lồi vào số toán tối ưu toàn cục Luận văn trình bày cách có hệ thống kiến thức giải tích lồi hàm lồi, bao lồi toán tối ưu toàn cục Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương trình bày nội dung luận văn, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: "Bao lồi tập lồi hàm lồi" Chương trình bày số kiến thức giải tích lồi tập lồi, hàm lồi, bao lồi tập lồi kiến thức tảng, cần thiết phục vụ cho việc giải số toán tối ưu toàn cục Chương 2: "Bài toán tối ưu" Chương trình bày cách tổng quan toán tối ưu, toán tối ưu lồi, toán định vị, toán cực tiểu hàm lõm tập lồi đa diện Chương Bao lồi hàm lồi Chương trình bày số kiến thức Giải tích lồi như: Tập lồi, Hàm lồi, Cực trị hàm lồi, Bao lồi hàm lồi Đây kiến thức tảng, cần thiết phục vụ cho việc nghiên cứu áp dụng vào toán định vị cực đại hàm lồi 1.1 Tập lồi, hàm lồi Định nghĩa 1.1.1 Một tập C ⊆ Rn gọi tập lồi, C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Ta nói x tổ hợp lồi điểm (véc-tơ) x1 , , xk k k j λj x , λj ≥ ∀j = 1, , k, x= j=1 λj = j=1 Tương tự, x tổ hợp a-phin điểm (véc-tơ) x1 , , xk k k j x= λj x , j=1 λj = j=1 Tập hợp tổ hợp a-phin x1 , , xk gọi bao a-phin điểm Định lý 1.1.2 Tập hợp C lồi chứa tổ hợp lồi điểm Tức là: C lồi k k ∀k ∈ N, ∀λ1 , , λk > : k λj = 1, ∀x , , x ∈ C ⇒ j=1 λj xj ∈ C j=1 Chứng minh Điều kiện đủ hiển nhiên từ định nghĩa Ta chứng minh điều kiện cần quy nạp theo số điểm Với k = 2, điều cần chứng minh suy từ định nghĩa tập lồi tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề với k − điểm Ta cần chứng minh với k điểm Giả sử x tổ hợp lồi k điểm x1 , , xk ∈ C Tức k k j λj x , λj > ∀j = 1, , k, x= j=1 λj = j=1 Đặt k−1 ξ= λj j=1 Khi < ξ < k−1 λj xj + λk xk x= j=1 k−1 =ξ j=1 Do λj j x + λk x k ξ k−1 j=1 λj =1 ξ λj > với j = 1, , k − 1, nên theo giả thiết quy nạp, điểm ξ k−1 y := j=1 λj j x ∈ C ξ Ta có x = ξy + λk xk (1.1) Do ξ > 0, λk > k ξ + λk = λj = 1, j=1 nên x tổ hợp lồi hai điểm y xk thuộc C Vậy x ∈ C Lớp tập lồi đóng với phép giao, phép cộng đại số phép nhân tích Descartes Định lý 1.1.3 Nếu A, B tập lồi Rn , C lồi Rm , tập sau lồi : A ∩ B := {x| x ∈ A, x ∈ B}, λA + βB := {x| x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R}, A × C := {x ∈ Rn+m | x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C} Chứng minh.Dễ dàng suy trực tiếp từ định nghĩa: x ∈ C Hình 1.1: Một số tập lồi tập không lồi R2 Định nghĩa 1.1.4 Siêu phẳng không gian Rn tập hợp điểm có dạng {x ∈ Rn |aT x = α}, a ∈ Rn véc - tơ khác α ∈ R Véc - tơ a thường gọi véc - tơ pháp tuyến siêu phẳng Một siêu phẳng chia không gian hai nửa không gian Nửa không gian định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.5 Một tập C gọi tập a-phin chứa đường thẳng qua hai điểm nó, tức ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Vậy tập a-phin trường hợp riêng tập lồi Một ví dụ điển hình tập a-phin không gian Định nghĩa 1.1.6 Một tập lồi mà giao số hữu hạn nửa không gian đóng gọi tập lồi đa diện Nói cách khác, tập nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính: , x ≤ bi , i = 1, , m (ai ∈ Rn , bi ∈ R), nghĩa tập x nghiệm Ax ≤ b với A ma trận cấp m × n b ∈ Rm Hình 1.2: Tập lồi đa diện Định nghĩa 1.1.7 Một tập C gọi nón ∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λx ∈ C Theo định nghĩa, ta thấy gốc tọa độ thuộc nón không thuộc nón Dĩ nhiên nón không thiết tập lồi Ví dụ C := {x ∈ R|x = 0} nón, không lồi Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi Một nón lồi gọi nón nhọn không chứa đường thẳng Khi ta nói đỉnh nón Nếu nón lồi lại tập lồi đa diện ta nói nón lồi đa diện Một ví dụ điển hình nón lồi đa diện, thường sử dụng, tập hợp nghiệm hệ bất phương trình tuyến tính 25 x = Nếu λ1 > 0, hệ có nghiệm λ1 = y =0 x=0 y=0 Nếu λ1 = 0, hệ có nghiệm Dễ thấy nghiệm x y = 0 nghiệm cực đại toàn cục toán, x = nghiệm cực tiểu địa phương không y phải cực đại địa phương toán xét điểm m Xét hàm Lagrange L(x, λ, µ) := f (x) + k λj gj (x) + j=1 m i=1 k λ∗j ∇gj (x∗ ) + Khi điều kiện ∇f (x∗ ) + µi hi (x) j=1 µ∗i ∇hi (x∗ ) = viết lại i=1 sau: m ∗ k λ∗j ∇gj (x∗ ) ∇x L(x, λ, µ) ≡ ∇f (x ) + j=1 µ∗i ∇hi (x∗ ) = + i=1 Chú ý 2.2.7 Điều kiện KKT nghiệm tối ưu cần tìm số véc - tơ x mà chúng tìm nhân tử λi µj thoả mãn điều kiện KKT nêu Các điểm x gọi điểm KKT Nếu tìm tất điểm KKT lại biết thêm toán chắn có nghiệm tối ưu việc tính so sánh giá trị mục tiêu điểm KKT để tìm nghiệm cực đại hay cực tiểu Những điểm không qui (nếu biết) cần xét riêng Ví dụ 2.2.8 Có sợi dây độ dài > Để buộc khối hộp chữ nhật từ xuống bọc quanh hai hướng vuông góc (xem Hình 2.2) Tìm thể tích lớn hộp buộc sợi dây này? Giải Giả sử hộp dài x1 , rộng x2 , cao x3 Ta muốn tìm cực tiểu hàm thể tích −V (x1 , x2 , x3 ) = −x1 x2 x3 26 Hình 2.2: Ví dụ 2.2.1 với điều kiện 2x1 + 2x2 + 4x3 ≤ , x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ Hàm Lagrange có dạng L(x1 , x2 , x3 , λ) = x1 x2 x3 + λ(2x1 + 2x2 + 4x3 − ) Điều kiện KKT cho điểm cực đại: ∂L = x2 x3 + 2λ ≤ 0, ∂x1 x1 (x2 x3 + 2λ) = 0, ∂L = x1 x3 + 2λ ≤ 0, ∂x2 x2 (x1 x3 + 2λ) = 0, ∂L = x1 x2 + 4λ ≤ 0, ∂x3 x3 (x1 x2 + 4λ) = 0, ∂L = 2x1 + 2x2 + 4x3 − ≤ 0, λ(2x1 + 2x2 + 4x3 − ) = 0, ∂λ x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, λ ≤ Ta có 3x1 x2 x3 + λ = hay λ = 3x1 x2 x3 Khi đó, ta nhận điểm KKT x1 = x2 = tương ứng với nhân tử Lagrange λ = 144 Mệnh đề 2.2.9 (i) Cực tiểu địa phương toàn cục (ii) Tập nghiệm lồi λ λ , x3 = 12 27 (iii) Nếu f lồi chặt có nghiệm (iv) Nếu f lồi mạnh luôn tồn 2.2.1 Bài toán tối ưu lồi Xét toán tối ưu có ràng buộc dạng chuẩn {f (x) : gi (x) ≤ 0, i = 1, , m; hj (x) = 0, j = 1, , p} (P) với f, gi , hj : Rn −→ R hàm khả vi liên tục cho trước Nếu có thêm giả thiết f, g hàm lồi liên tục hj (x) hàm afin toán (P ) toán tối ưu lồi hay qui hoạch lồi Khi đó, miền chấp nhận (tập ràng buộc) C = {x ∈ Rn : gi (x) ≤ 0, i = 1, , m; hj (x) = 0, j = 1, , p} tập lồi đóng Với toán lồi, cực tiểu địa phương cực tiểu toàn cục điều kiện cần KKT điều kiện đủ cho nghiệm cực tiểu (P ), nghĩa nghiệm thoả mãn điều kiện KKT điểm cực tiểu toàn cục Ví dụ 2.2.10 Tìm cực tiểu hàm f (x) = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn với điều kiện x21 + x22 + + x2n ≤ b, b > c1 , c2 , , cn số cho trước tuỳ ý không đồng thời không Giải Do f (x), g(x) = x21 + x22 + + x2n − b hàm lồi nên toán tối ưu lồi, điểm cực tiểu tìm số nghiệm thoả mãn điều kiện KKT Với toán ∇f (x) = (c1 , c2 , , cn )T , ∇g(x) = (2x1 , 2x2 , , 2xn )T với x Điều kiện KKT: cj + 2λxj = 0, j = 1, 2, , n, λg(x) = 0, λ ≥ 0, g(x) ≤ Từ điều kiện KKT suy λ = cj Từ xj = − , j = 1, 2, , n g(x) = Do 2λ n c2j n x2j j=1 =b⇔ j=1 4λ2 n c2j = 4λ2 b =b⇔ j=1 28 n n c2j c2j ⇒ λ2 = Vậy xj = √ −cj × b n = j=1 4b √ − b × cj n c2j ⇒λ= j=1 √ b ≥0 với j = 1, 2, , n c2j j=1 j=1 Nghiệm cực tiểu toàn cục T √ √ − b × c −√b × c − b × cn ∗ , , , , x = n n n 2 cj cj cj j=1 j=1 j=1 Ví dụ 2.2.11 Tìm nghiệm tối ưu toán {f (x) = x21 + x22 + + x2n : a1 x1 + a2 x2 + + an xn = α} với a1 , a2 , , an (không 0) α số cho Đây qui hoạch lồi f (x) = x hàm lồi ( • ký hiệu chuẩn Euclid) D = {x ∈ Rn : a1 x1 + a2 x2 + + an xn = α} tập lồi đóng (siêu phẳng Rn ) Nghiệm cực tiểu toán (nếu có) (do f lồi chặt) nghiệm hệ điều kiện KKT: (a) 2xj + λaj = 0, ∀j = 1, 2, , n (b) a1 x1 + a2 x2 + + an xn = α Nhân hai vế (a) với aj cộng lại theo j để ý tới (b) ta 2(a1 x1 + a2 x2 + + an xn ) + λ(a21 + a22 + + a2n ) = =⇒ 2α + λ a = =⇒ λ = − Nghiệm hệ xj = giá trị cực tiểu fmin λ αaj 2α =⇒ xj = − aj = a a αaj 2α , j = 1, 2, , n với λ = − Vì a a α2 = Chú ý ta tính bình phương khoảng a 29 cách ngắn từ gốc toạ độ tới siêu phẳng aT x = α Kết tìm |α| trùng với công thức biết giải tích lồi: dmin = d(0, D) = a 2.2.2 Áp dụng cho toán định vị cực đại hàm lồi Giới thiệu toán Bài toán định vị xét chương mô tả sau Giả sử không gian R2 cho tập C gồm p điểm v , v , , v p tập D ⊂ R2 cho trước, D = ∅ Bài toán yêu cầu tìm điểm tập D cho khoảng cách từ điểm liên quan tới điểm cho nhỏ Khoảng cách lấy theo chuẩn Euclid định nghĩa cách tổng quát phù hợp với yêu cầu cụ thể toán Trong nhiều trường hợp người ta thay khoảng cách hàm chi phí phụ thuộc vào điểm cần tìm Một trường hợp riêng xét tổng khoảng cách từ điểm cần tìm tới điểm khác nhỏ Một trường hợp riêng khác khoảng cách xa từ điểm cần tìm đến điểm khác nhỏ Gọi c(x, v) chi phí (hay khoảng cách) liên quan đến điểm x, v Khi mô hình toán học cho toán tìm vị trí x ∈ D cho tổng chi phí c(x, v), c nhỏ Vậy toán viết dạng toán tối ưu sau: p c(x, v j ) : x ∈ D f (x) := (2.4) j=1 Người ta thay hàm mục tiêu tổng chi phí hàm mục tiêu khác tùy thuộc vào yêu cầu cụ thể toán Một trường hợp hay sử dụng lấy hàm mục tiêu min, max Tức f1 (x) = max{c(x, v j ) : j = 1, , p} Ví dụ c(x, v j ) = x − v j hàm f1 (x) = max{ x − v j : j = 1, , p} 30 Khi toán có dạng min{f1 (x) : x ∈ D} (2.5) Có nghĩa tìm điểm (vị trí) x∗ ∈ D cho khoảng cách xa từ x∗ đến điểm cho gần Hay nói cách khác Bài toán (2.6) toán: Tìm x∗ ∈ D cho: f1 (x∗ ) ≤ f1 (x) ∀x ∈ D Bài toán định vị có lịch sử phát triển từ kỉ 17 Ta xét trường hợp đơn giản toán định vị nghiên cứu ví dụ sau: Phương pháp tối ưu giải toán định vị Trong phần này, đề cập đến phương pháp giải toán tìm điểm cho khoảng cách lớn từ điểm đến tập C nhỏ Định nghĩa 2.2.12 Khoảng cách cực đại từ điểm x đến tâp C định nghĩa d(x, C) := max x − y , y∈C toán tối ưu phải giải là: d(x, C), x∈D (P) Hình 2.3: Một toán định vị Bổ đề 2.2.13 Gọi VC kí hiệu tập đỉnh conv(C) Khi đó, ta có 31 (i) VC ⊆ C; (ii) d(x, C) := max x−y y ∈ VC Chứng minh Ta thấy (i) suy trực tiếp từ định nghĩa tập VC Từ (ii) ta thấy d(x, C) := max x − y y∈C = max x−y = max x − y , y∈VC y∈conv(C) đó, đẳng thức sau giá trị lớn hàm lồi tập lồi đạt cực trị Bổ đề 2.2.14 Cho v , , v m phần tử VC dj (x, C) := x − v j với j ∈ J := {1, , m} Khi đó, ta có (i) d(x, C) lồi mạnh với hệ số (ii) ∂d(., C)(x) = conv(∪j∈J(x) ∂dj (., C)(x)) với ∂dj (., C)(x) vi phân hàm lồi dj (., C)(x) x J(x) = {j ∈ J|d(x, C) = dj (x, C)} Chứng minh Để chứng minh bổ đề ta sử dụng kết sau: Bổ đề 2.2.15 (i) Cho véc - tơ a cố định, a ∈ Rn đó, hàm f (x) := x − a lồi mạnh với hệ số lồi mạnh ρ = toàn không gian Rn (ii) Cho J tập số hữu hạn khác rỗng, X tập lồi gj hàm lồi mạnh X với modun ρj với j ∈ J Khi đó, hàm g = maxj∈J gj lồi mạnh X với hệ số lồi mạnh ρ = minj∈J ρj Bổ đề 2.2.16 Giả sử dãy {ξk } dãy số dương thỏa mãn điều kiện ∞ ξk+1 ≤ ξk + βk , ∀k ∈ N, với βk ≥ βk < +∞ k=0 Khi đó, dãy {ξk } hội tụ Chứng minh Trước hết ta chứng minh điều đây: 32 Cho (Sn ) dãy số không âm thỏa mãn điều kiện Sn+1 ≤ (1 − αn )Sn + αn βn , n ≥ 0, (2.7) (αn ), (βn ) dãy số thực cho: ∞ (i) (an ) ⊂ [0, 1] an = ∞, tương đương n=0 ∞ n (1 − αn ) = lim n−→∞ n=0 (1 − αk ) = k=0 ii) lim sup βn ≤ n−→∞ iii) αn βn hội tụ n Khi đó, lim Sn = n−→∞ Thật vậy, giả sử (i) (ii) Với ε > bất kì, cho N ≥ đủ lớn cho βn < ε với n > N Từ (2.7), cho n > N , ta có Sn+1 ≤ (1 − αn )Sn + εαn ≤ (1 − αn )(1 − αn−1 )Sn−1 + ε(1 − (1 − αn )(1 − αn−1 )) Do đó, phép quy nạp, ta thu n Sn+1 ≤ n (1 − αj )SN + ε 1 − j=N (1 − αj ) , n > N j=N Từ điều kiện (i) ta có lim sup Sn+1 ≤ ε n−→∞ Tiếp theo, giả sử (i) (iii) Khi đó, tiếp tục áp dụng (2.7) ta nhận với n > N n Sn+1 ≤ n (1 − αj )Sm + j=m αj βj j=m (2.8) 33 Cho n −→ ∞, m −→ ∞, từ (2.8) ta thu lim sup Sn ≤ n Từ suy Bổ đề 2.2.9 chứng minh Thuật toán Từ Bổ đề 2.2.6(ii) xét toán sau d(x, C) = max x − v x∈D x∈D v∈VC (P) Giả sử D tập lồi đóng Vì d(x, C) lồi mạnh D, toán (P ) có nghiệm tối ưu Thuật toán sau coi cải biên thuật toán vi phân Thuật toán 2.1 Khởi đầu Chọn x0 ∈ D, tham số ρ > cố định dãy {βk } số dương thỏa mãn điều kiện ∞ ∞ βk2 < ∞ βk = +∞, k=0 (2.8) k=0 Cho k := Bước Tìm v k ∈ VC cho v k ∈ arg max xk − v : v ∈ VC Bước Lấy g k := 2(xk − v k ), nghĩa là, đạo hàm xk − v k V K Trường hợp 2a) : Nếu g k = 0, dừng thuật toán: xk nghiệm tối ưu (P ) Trường hợp 2b) : Nếu g k = 0, tính αk = βk , max {ρ, g k } xk+1 := PD (xk − αk g k ), với PD toán tử hình chiếu Euclid lên D Bước Nếu xk+1 = xk , đó, thuật toán dừng: xk nghiệm tối ưu (P ) Ngược lại, cho k := k + quay lại bước 34 Hình 2.4: Sơ đồ thuật toán 2.1 Để minh họa cho thuật toán ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2.2.17 Cho VC = {(a1 , a2 , a3 , a4 ) ∈ R2 : a1 = (0, 0); a2 = (0, 1); a3 = (1, 1); a4 = (1, 0)} tập đỉnh convC D = {x ∈ R2 : x1 + x2 ≤ 0} Hãy tìm điểm D cho khoảng cách từ điểm tới đỉnh xa C ngắn Bước khởi đầu Chọn x0 = (0, 0), tham số ρ = dãy βk = k+1 Cho k := 35 Bước Tìm v Ta có: x0 − a1 2 x −a x0 − a3 x −a 0 − 0 = = 0 − = − = − 0 0 = = −1 = −1 −1 = −1 2 = = = 2 = Vậy v = a3 0 Bước Tính g = 2(x0 − v ) = ⇒ g = g = Có β0 = α0 = 1 = −1 −1 = 1 = = max{ρ, g } max{1, 8} x1 = PD (x0 − α0 g ) = PD = PD − + 4 = PD −2 − −2 4 = (0, 0) Ta thấy x1 = x0 Vậy thuật toán dừng: x1 điểm tối ưu cần tìm −2 −2 36 2.3 Bài toán tối ưu toàn cục Xét toán min{f (x) : x ∈ D} Như ta thấy f lồi, D lồi toán tối ưu lồi Một đặc điểm quan trọng toán này, chứng minh cực tiểu địa phương cực tiểu toàn cục Trong trường hợp D / f không lồi tính chất không Ví dụ xét toán: min{−x2 : −1 ≤ x < 2} Ta thấy hàm −x2 không lồi (mà hàm lõm) điểm x = −1 cực tiểu địa phương cực tiểu toàn cục (Điểm cực tiểu toàn cục 2) • Một toán tối ưu điển hình tối ưu toàn cục toán cực tiểu hàm lõm tập lồi đa diện Tức toán min{f (x) : x ∈ D} Với f : Rn → R lõm Rn D tập lồi đa diện • Mệnh đề: Cho D tập lồi đa diện bị chặn f hàm lõm D Khi cực tiểu f D đạt đỉnh D Chứng minh: Theo định lý biểu diễn tập lồi ta có x ∈ D viết dạng tổ hợp lồi đỉnh D Tức là: k λj v j , λj > 0, x= λj = 1, v j đỉnh D j=1 Do f lõm nên với x ∈ D ta có: f (x) ≥ Bổ đề: λ; f (v j ) ≥ min{f (v j ) : j = 1, k} λj = f (v j ) 37 Gọi coD bao lồi tập D Khi (ii) max f (x) đạt cực đại đỉnh D x∈D Ví dụ: Cho D = {x1 , , xk } Rn nói chung k >> n Cho hàm lồi f xác định Rn Tìm x∗ ∈ D cho f (x∗ ) ≥ f (x) với x ∈ D 38 Kết luận Trong khoa học thực tiễn, ta thường bắt gặp nhiều toán tối ưu Nội dung toán theo suốt trình phát triển lịch sử loài người nói chung lịch sử Toán học nói riêng Trước hết luận văn trình bày kiến thức Giải tích lồi như: Các định nghĩa, định lý tập lồi, hàm lồi, toán tử chiếu, định lí Karush - Kuhn - Tucker điều kiện cần đủ cho toán quy hoạch lồi, toán tối ưu, toán tối ưu lồi, áp dụng cho toán định vị cực đại hàm lồi Luận văn trình bày lý thuyết vài ứng dụng bao lồi tối ưu toàn cục Một đặc điểm quan trọng toán cực tiểu địa phương cực tiểu toàn cục f lồi Xét số ví dụ đơn giản hàm lồi, cực tiểu hàm lồi, cực đại hàm lồi 39 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] , Nguyễn Văn Hiển, Lê Dũng Mưu, Nguyễn Hữu Điền (2009), Giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Tiếng Anh [3] T.R Rockafellar (1970), Convex Analysis, Rinceton Press [4] H Tuy (2003), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Publisher ... tập không lồi Bao lồi có phạm vi ứng dụng rộng rãi đặc biệt tối ưu toàn cục Tối ưu toàn cục lớp toán tối ưu hóa Hiện toán tối ưu toàn cục nhiều người quan tâm nghiên cứu có nhiều ứng dụng thực... thức bao lồi (của tập hàm lồi) - Xét đến ứng dụng bao lồi vào số toán tối ưu toàn cục Luận văn trình bày cách có hệ thống kiến thức giải tích lồi hàm lồi, bao lồi toán tối ưu toàn cục Bố cục luận... TRƯƠNG THỊ HUỆ BAO LỒI VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƯU TOÀN CỤC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên
