PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017–2018 MÔN: TOÁN (Thời gian làm 120 phút) Bài (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: a) A b) B   a  bc  b  ca    c  ab  b  ca    c  ab  a  bc  10 10 c  ab a  bc b  ca (Với a, b, c số thực dương a + b + c = 1) Bài (3,0 điểm) a) Tìm số a, b cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx – chia hết cho đa thức x2 – 3x + b) Chứng minh rằng: B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 số phương với x, y, z số nguyên Bài (4,0 điểm) a) Tìm m để phương trình: 2m   m  vô nghiệm x2 b) Giải phương trình: x   x  5x  14 c) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: xy yz zx    z x y Bài (7,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Kẻ AH vuông góc với BC H Gọi D, E hình chiếu H AB, AC a) Biết AB = 6cm, HC = 6,4cm Tính BC, AC b) Chứng minh DE3 = BC.BD.CE c) Đường thẳng kẻ qua B vuông góc với BC cắt HD M, Đường thẳng kẻ qua C vuông góc với BC cắt HE N Chứng minh M, A, N thẳng hàng d) Chứng minh BN, CM, DE đồng qui Bài (2,0 điểm) Cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (Với a, b, c, d số thực) Biết f(1) = 10; f(2) = 20; f(3) = 30 Tính giá trị biểu thức A = f (8) f ( 4) –––––––––––––––Hết–––––––––––––––– Họ tên thí sinh: Số báo danh: Phòng số: PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM m¤N: TOÁN (Đáp án biểu điểm chấm gồm 03 trang) BÀI ĐIỂM NỘI DUNG Ý A 10 10 0.5 a 2.0 10 A2 A2 A2 A2 5 A 10 16 10 0.25 0.25 0.25 0.25 A2 5 1 0.25 doA 0.25 Vì a, b, c dương a+b+c=1 nên biểu thức B có nghĩa < a,b,c < Ta có: B b 2.0 B B 1  b  c  bc 1  a  c  ca   a  b  ab  1  a  b  ab 1  a  c  ca   b  c  bc  1  a  b  ab 1  b  c  bc   a  c  ca 0.25 1  b 1  c 1  a 1  c  1  a 1  b 1  a 1  c  1  a 1  b 1  b 1  c    1  a 1  b  1  b 1  c  1  a 1  c  0.5 1  c  0.25  1  a   1  b  B |1  c |  |1  a |  |1  b | B   c   a   b (vì < a,b,c < 1) 0.25 Tính đúng: B = Ta có: x2 – 3x + = (x – 1)(x – 2) Theo ra: f(x) x x f(x) chia hết cho x – f(1) = a + b = b = –a (1) f(x) chia hết cho x – f(2) = 8a + 2b = –15 (2) a 5 2.0 Từ (1) (2) 8a + 2(–a) = –15 a=– b= 2 5 1 Thử lại: (x4 – x3 + x – 1):(x2 – 3x + 2) = x2 + x – 2 2 5 Vậy a = – , b = 2 B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 1.0 B= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2 B= 4(x2 + xy + xz)2 + 4(x2 + xy + xz).yz + y2z2 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 B= (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 Vì x, y, z số nguyên nên 2x2 + 2xy + 2xz + yz số nguyên B số phương ĐKXĐ: x  2m m  2m x 2m mx 2m 3x a 1.5 x m 6 m x 4m * 0.25 + Xét m = 3, phương trình (*) trở thành 0.x = (vô lí) m = phương trình cho vô nghiệm 0.25 4m  m3 + Xét m  , phương trình (*) có nghiệm x  m Vậy với m = 3, m = ½ phương trình cho vô nghiệm ĐKXĐ: x  1 x2 x x B 1.5 0.25 0.25 4m Để phương trình cho vô nghiệm m 3 0.25 6x  x   x x 5x x x x 14 x 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0 x x x2 5x 14 0.25 x 0.25 tm 0.25 Áp dụng BĐT Cosi cho số dương ta có: C 1.0 3 xy yz zx   z x y 33 xy yz zx  3 xyz z x y xyz Vì x, y, z số nguyên dương nên từ (1) x = y = z = Thử lại : Đúng Vậy nghiệm nguyên dương phương trình (x;y;z) = (1;1;1) 0.25 0.25 0.25 0.25 N A E M D B a I C H Đặt BH = x (0 < x < 6) BC = x + 6,4 0.25 2.5 b 2.0 c 1.5 d 1.0 2.0 AB2 = BH.BC 62 = x(x + 6,4) x = 3,6 BC = 10cm AC = 8cm Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật DE = AH 2 Chứng minh: BH = BD.BA, CH = CE.CA AH2 = HB.HC AH4 = HB2.HC2 = BD.BA.CE.CA AH4 = BD.CE.BC.AH AH3 = BD.CE.BC Vậy DE3 = BD.CE.BC Chứng minh CNH BHM , HD = AE Gọi giao điểm NA với HD M’ Ta có: NE NC NE AE cos 2CNH NC NH NH M'H HD HB HD AE cos BHM HB HM HM HM AE AE M'H MH M'H MH M’ trùng M M, A, N thẳng hàng Có BM//CN, BD // NE, MD // CE BDM ~ NEC BD/NE = DM/EC (1) Gọi I giao MC với DE DI/EI = DM/EC (2) Gọi I’ giao BN với DE DI’/EI’ = BD/NE (3) Từ (1), (2), (3) DI/EI = DI’/EI’ I I’ trùng Vậy BN, CM, DE đồng qui Xét đa thức g(x) = f(x) – 10x bậc đa thức g(x) Từ giả thiết g(1) = g(2) = g(3) = Mà g(x) có bậc nên g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – a) (với a số thực đó) f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – a) + 10x f (8) 7.6.5.(8 a) 80 f ( 4) ( 5)( 6)( 7)( a) 40 f(8) + f(–4) = 5.6.7.(8 – a + + a) + 40 Vậy f(8) + f(–4) = 2560 0.5 0.75 0.25 0.75 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 *) Mọi cách giải khác cho điểm tối đa theo thang điểm *) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án thống *) Chấm cho điểm phần, điểm toàn tổng điểm thành phần không làm tròn  ...PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2017- 2018 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM m¤N: TOÁN (Đáp án biểu điểm chấm gồm 03 trang) BÀI ĐIỂM NỘI DUNG Ý A... 10 0.25 0.25 0.25 0.25 A2 5 1 0.25 doA 0.25 Vì a, b, c dương a+b+c=1 nên biểu thức B có nghĩa < a,b,c < Ta có: B b 2.0 B B 1  b  c  bc 1  a  c  ca   a  b  ab  1  a  b  ab... = AE Gọi giao điểm NA với HD M’ Ta có: NE NC NE AE cos 2CNH NC NH NH M'H HD HB HD AE cos BHM HB HM HM HM AE AE M'H MH M'H MH M’ trùng M M, A, N thẳng hàng Có BM//CN, BD // NE, MD // CE BDM ~