Đang tải... (xem toàn văn)
20 ĐỀ THI HỌC KỲ 1 TOÁN LỚP 2 CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn...
Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) – phần 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG… ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ SỐ 1: Môn thi: Toán (Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1(4đ): cho n số : [ ] 1 2 3 4 , , , , 0;1 n a a a a a ∈ Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 (1 ) 4( ) n n a a a a a a a a a a+ + + + + + ≥ + + + + + Bài 2(4đ): Giải phương trình: 2012 2012 2014 2014 3 sin os 2(sin os ) os2 2 x c x x c x c x + = + + Bài 3(4đ): Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển (1 ) n x+ có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là 7 15 Bài 4(4đ): Cho hình vuông ABCD, H là trung điểm của AB, K là trung điểm của AD. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) lấy điểm S khác H. Chứng minh rằng: a) ( )AC SHK⊥ . b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH). Bài 5(4đ): Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và · · · 0 ' ' 60B BA B BC ABC= = = . Chứng minh A’B’CD là hình vuông. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bài Nội dung Điểm Bài 1 (4đ) Xét tam thức 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) (1 ) ( ) n n f x x a a a a a x a a a a a= − + + + + + + + + + + + + Ta có 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4 (1) 1 1 (1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) n n n n f a a a a a a a a a a f a a a a a a a a a a = − − − − − − − + + + + + + ⇒ = − + − + − + − + + − Mặt khác [ ] 1 2 3 4 , , , , 0;1 n a a a a a ∈ nên 0,5 0,5 0.5 0.5 1 Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) – phần 1 1 1 2 2 3 3 ( 1) 0 ( 1) 0 ( 1) 0 (1) 0 ( 1) 0 n n a a a a a a f a a − ≤ − ≤ − ≤ ⇒ ≤ − ≤ Mà 2 2 2 2 2 1 2 3 4 (0) 0 (1). (0) 0 n f a a a a a f f= + + + + + ≥ ⇒ ≤ Do đó phương trình f(x)=0 có nghiệm trên [ ] 0;1 vậy 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 (1 ) 4( ) 0 (1 ) 4( ) n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ∆ = + + + + + + − + + + + + ≥ ⇒ + + + + + + ≥ + + + + + 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 2 (4đ) 2012 2012 2014 2014 2012 2 2012 2 12 12 2012 2012 2012 20 3 sin os 2(sin os ) os2 2 3 os (2cos 1) sin (1 2sin ) os2 0 2 os2 0(1) 3 os2 ( os sin ) 0 3 2 os sin 0(2) 2 * os2 0 ( ) 4 2 3 * os sin 2 x c x x c x c x c x x x c x c x c x c x c x x c x x k k Z c x x x π π + = + + ⇔ − − − + = = ⇔ + − = ⇔ + − = = ⇔ = + ∈ + − 12 0x = Ta nhận thấy 2012 2012 2012 2012 os 0 3 * os sin 0 3 2 sin 0 2 c x x R c x x x R x x R ≥ ∀ ∈ ⇔ + − ∀ ∈ − ∀ ∈ f f Vậy pt(2) vô nghiệm Phương trình có nghiệm là: ( ) 4 2 x k k Z π π = + ∈ 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 2 Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) – phần 1 1 1 1 1 Bài 3 (4đ) 0 (1 ) n n k k n k x C x = + = ⇒ ∑ số hạng liên tiếp là 1 ; k k n n C C + ta có 1 7 1 7 1 7 22 15 3 2 15 15 7 k n k n C k k n k n k C n k + + + = ⇔ = ⇒ = + ⇔ = + + − Do ,n k ∈¥ đặt 1 7 k t + = khi đó 22 1n t = − đế n là số nguyên dương bé nhất thì t cũng phải là số nguyên dương bé nhất vì 0k ≥ nên 1 7 1 0 1 7 t t t− ≥ ⇒ ≥ ⇒ = (vì t là số nguyên dương bé nhất) vậy 22.1 1 21n = − = Bài 4: (4đ) I A D B C S H K a) Cm: ( )AC SHK⊥ Vì H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD nên HK là đường trung bình của tam giác ABD nên HK//BD mà (1)AC BD HK AC⊥ ⇒ ⊥ Mặt khác ( ) (2)SH ABCD SH AC⊥ ⇒ ⊥ từ (1);(2) ta có ( )AC SHK⊥ b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH) Ta có · · ( . . )CDK DAH c g c CKD DHA∆ = ∆ ⇒ = mà · · · · · 0 0 0 90 90 90 ( )HDA DHA CKD HDA KID CK DH I+ = ⇒ + = ⇒ = ∩ = hay CK DH⊥ (1)mặt khác ( ) (2)SH ABCD SH CK⊥ ⇒ ⊥ từ (1); (2) ta có ( )CK SDH⊥ hay góc giữa CK và mặt phẳng (SDH) bằng 90 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 3 Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) – phần 1 Bài 5: (4đ) A' D' B' C' B C D A Theo giả thiết ta có tứ giác A’B’CD là hình thoi 1 1 ' ( ' ) '. . . . . . 0 2 2 ' CB CD BB BC BA BB BA BC BA a a a a CB CD = − = − = − = ⇒ ⊥ uuuruuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur Hay A’B’CD là hình vuông 1 1 1 1 Lưu ý: Học sinh có cách làm khác mà đúng vẫn cho 20 ĐỀ THI HỌC KỲ TOÁN LỚP (CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT) Câu 1: Viết số: (1 điểm) 48 , 29 , 37 , 63 , 81 a) Theo thứ tự từ bé đến lớn: b) Theo thứ tự từ lớn đến bé: Câu 2: (2 điểm) a) Tính nhẩm: 8+9= 29 + = b) Đặt tính tính: 68 – 39 35 – 28 Câu 3: Tìm x: (2 điểm) a) x + 48 = 63 b) x – 24 = 16 Câu 4: Số ? (1 điểm) a) + = + b) 17 – ĐỀ SỐ 17 – = 46 – 27 = 27 + 64 77 + c) 27 + x = 52 d) x – = 47 +6 c) 60 – >7 =5 d) 45 – 18 = 19 + Câu 5: Nối phép tính với kết đúng: (1 điểm) Câu 6: Xem tờ lịch viết tiếp vào chỗ chấm: (1 điểm) Th ứ hai Th ứ ba 13 20 27 14 21 28 Th ứ tư 15 22 29 Thứ nă m 16 23 30 Th ứ sáu 10 17 24 31 Th ứ bảy 11 18 25 Chủ nhậ t 12 19 26 a) Trong tháng 12 có ngày thứ sau ngày … b) Thứ bảy tuần ngày 18 tháng 12 Thứ bảy tuần trước ngày … tháng … Câu 7: Nhà Ba nuôi 100 gà Nhà cô Tư nuôi h ơn nhà Ba 17 gà H ỏi nhà cô T nuôi gà? (1 điểm) Câu 8: Trong hình vẽ bên: (1 điểm) a) Có … hình tam giác b) Có … hình tứ giác ĐÁP ÁN Câu 1: a) Theo thứ tự từ bé đến lớn: 29 , 37 , 63 , 81 b) Theo thứ tự từ lớn đến bé: 81, 63, 37, 29 Câu 2: a) + = 17 b) 68 – 39 68 − 39 29 29 + = 34 35 – 28 35 − 28 Câu 3: a) x + 48 = 63 x x b) x – 24 x x Câu 4: 17 – = 11 27 + 64 27 + 64 91 46 – 27 = 19 77 + 77 + 85 c) 27 + x = 52 x = 52 – 27 x = 25 d) x – = 47 x = 47 + x = 52 = 63 – 48 = 15 = 16 = 16 + 24 = 40 Câu 5: Câu 6: Th ứ hai Th ứ ba 13 20 27 14 21 28 Th ứ tư 15 22 29 Thứ nă m 16 23 30 Th ứ sáu 10 17 24 31 Th ứ bảy 11 18 25 Chủ nhậ t 12 19 26 a) Trong tháng 12 có ngày thứ sáu ngày 3, 10, 17, 24, 31 b) Thứ bảy tuần ngày 18 tháng 12 Thứ bảy tuần trước ngày 25 tháng 12 Câu 7: Nhà Ba nuôi 100 gà Nhà cô Tư nuôi h ơn nhà Ba 17 gà H ỏi nhà cô T nuôi gà? (1 điểm) Bài giải Số gà nhà cô Tư nuôi là: 100 – 17 = 83 (con gà) Đáp số: 83 ga Câu 8: a) Có hình tam giác b) Có hình tứ giác ĐỀ SỐ Câu 1: (2 điểm) a) Tính nhẩm: 18 – = 52l – 4l = 37 + = 64l + 8l = b) Đặt tính tính: 24 + 16 37 + 55 Câu 2: Viết số thích hợp vào ô trống: (1 điểm) a) 65 + 16 = 16 + c) 88 – + = + 23 b) 97 – = 80 d) 100 – = 40 Câu 3: (1 điểm) Câu 4: Năm bố em 45 tuổi, mẹ bố tuổi Hỏi mẹ em tuổi? (1 ểm) Câu 5: (1 điểm) Xem tờ lịch tháng viết vào chỗ chấm: Th ứ hai 14 21 28 Th ứ ba 15 22 29 Th ứ tư 16 23 30 Thứ nă m 10 17 24 Th ứ sáu 11 18 25 Th ứ bảy 12 19 26 Chủ nhậ t 13 20 27 a) Ngày tháng thứ … b) Thứ tư tuần ngày 16 tháng Thứ tư tuần trước ngày … Thứ tư tuần sau ngày … c) Tháng có … ngày Câu 6: Nêu tên ba điểm thẳng hàng có hình bên đây: (1 điểm) Câu 7: (1 điểm) 51 – 28 Câu 8: Viết tiếp câu hỏi giải toán (2 điểm) Bà có 23 táo, Bà cho Hoa táo Hỏi ………………………………………… ? ĐÁP ÁN Câu 1: a) b) 18 – = 38 + = 43 52l – 4l = 48l 64l + 8l = 72l 24 + 16 24 + 16 40 37 + 55 37 + 55 92 97 – 97 − 88 Câu 2: a) 65 + 16 = 16 + 65 c) 88 – = 80 b) 23 + = + 23 d) 100 – 60 = 40 Câu 3: Câu 4: Bài giải Số tuổi mẹ em là: 45 – = 39 (tuổi) Đáp số: 39 tuổi Câu 5: Th ứ hai 14 21 28 Th ứ ba 15 22 29 Th ứ tư 16 23 30 Thứ nă m 10 17 24 Th ứ sáu 11 18 25 Th ứ bảy 12 19 26 Chủ nhậ t 13 20 27 a) Ngày tháng thứ bảy b) Thứ tư tuần ngày 16 tháng Thứ tư tuần trước ngày Thứ tư tuần sau ngày 23 c) Tháng có 30 ngày Câu 6: 51 – 28 51 − 28 23 AEB, ADC, BGC, AOG, EOD Câu 7: Câu 8: a) b) c) d) S Đ Đ S Bà có 23 táo, Bà cho Hoa táo Hỏi bà lại táo? Bài giải Số táo bà lại là: 23 – = 18 (quả táo) Đáp số: 18 táo 1 GV: HỒNG THỊ THANH HẢO ĐỀ THCS THANH CAO Bài : Tìm điều kiện của x để biểu thức sau có nghĩa a/ x b/ x − c/ x +1 d/ ( x + 1)( x − 1) Bài : Rút gọn các biểu thức a) 2 + 18 − 32 b) + (1 − ) c/ +1 + −1 −2 Bài : Xác định hàm sớ bậc nhất y = ax + b a) Biết đờ thị của hàm sớ song song với đường thẳng y = 2x và qua điểm A(1; 4) b) Vẽ đờ thị hàm sớ ứng với a, b vừa tìm được Bài : Cho ∆ABC vng tại A Biết BC = 10 cm, góc C = 300 Giải tam giác vng ABC ? Bài : Cho ∆ABC vng tai A, đường cao AH Biết AB = 3, AC = a) Tính AH , BH ? b) Chứng minh CB là tiếp tún của đường tròn (A, AH) c) Kẻ tiếp tún BI và CK với đường tròn (A, AH) (I, K là tiếp điểm) Chứng minh : BC = BI + CK và ba điểm I, A, K thẳng hàng CÂU Câu Câu Câu Câu Câu C/ ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM HD CHẤM NỢI DUNG Đúng mỡi câu 0.5 điểm a/ b/ − c/ a/ + tìm a + tìm b b/ - xác định điểm - vẽ đờ thị Tìm được mỡi ́u tớ 0.5 đ + hình vẽ TỞNG ĐIỂM 2.0 đ 0.5đ 0.75 đ 0.75đ 0.25đ 0.5 đ 0.5 đ 0.5 đ 1.5 đ 0.5 đ GV: HỒNG THỊ THANH HẢO THCS THANH CAO 0.75 đ K A 0.5 đ 0.5 đ 0.5 đ I B C H CÂU a : - tính BC 0.25 đ - AH 0.25 đ - BH 0.25 đ Câu b CM đúng tiếp tún Câu c + cm BC = BI + CK + cm I, A, K thẳng hàng ĐỀ Câu 1.(1,5 điểm) a) Trong các sớ sau : 52 ; - 52 ; (−5) ; - (−5) sớ nào là CBHSH của 25 b) Tìm m để hàm sớ y = (m-5)x + đờng biến R c) Cho tam giác ABC vng tại A có AC = 12 , BC = 15 Tính giá trị của sinB Câu (2,5 điểm) a) Tìm x để thức 3x − có nghĩa GV: HỒNG THỊ THANH HẢO b) A = THCS THANH CAO 15 − 1− 3x − = c) Tìm x, biết Câu 3.(2,5 điểm) Cho hàm sớ y = 2x + có đờ thị (d) a) Vẽ đờ thị (d) của hàm sớ Tính góc tạo đường thẳng (d) với trục Ox 5 x − y = b) Giải hệ phương trình: 3 x + y = Câu 4.(3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Trên nửa đường tròn lấy điểm C cho CBˆ A = 300 Trên tia tiếp tún Bx của nửa đường tròn lấy điểm M cho BM = BC a) Tam giác ABC là tam giác gì ? Vì ? b) Chứng minh ∆ BMC đều c) Chứng minh MC là tiếp tún của đường tròn tâm (O;R) d) OM cắt nửa đường tròn tại D và cắt BC tại E Tính diện tích tứ giác OBDC theoR Hết HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN - LỚP Bài Câu a,b,c a b c Nội dung Trả lời đúng mỡi câu 0,5 đ 3x − có nghĩa ⇔ 3x – ≥ ⇔ 3x ≥ ⇔ x ≥ 15 − 5 (3 − 1) = − (3 − 1) 1− Căn thức A= Điểm 1,5 2,5 0,5 0,5 0,5 =- 0,5 4 > 3x − = ⇔ 3 x − = ⇔ 3x = 21 ⇔ x = 0,25 0,25 2,5 a + Xác định đúng điểm 0,5 + Vẽ đúng đờ thị 0,5 + Tính đúng góc α 0,5 GV: HỒNG THỊ THANH HẢO 5 x − y = ⇔ b 3 x + y = 8 x = 16 3 x + y = x = ⇔ y = 0,5 Hình vẽ đúng ∆ ABC nội tiếp đường tròn đường kinh AB nên vng tại C C/m được ∆ BMC cân có góc CBM = 600 => ∆ BMC đều C/m được ∆ COM = ∆ BOM (c.c.c) => OCˆ M = 900 nên MC là tiếp tún C/m được OM ⊥ BC tại E và tính được BC = R a b c 1 Tính được DT tứ giác OBDC = OD.BC = R R = R2 d THCS THANH CAO 0,5 3,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ĐỀ Câu 1.(1 điểm) a) Trong các sớ sau sớ nào có bậc hai : 1,1 ; −25; 0; 13 b) Tìm x để thức x − có nghĩa Câu (3,0 điểm) a) Tính 1) 75.48 b) Thực hiện phép tính: c) Rút gọn: 2) ( 6,4 14,4 ) 128 − 50 + 98 : 13 + 5+2 3 Câu 3.(2,0 điểm) Cho hàm sớ y = 2x + có đờ thị là đường thẳng (d) a) Hãy xác định hệ sớ góc và tung độ gớc của đường thẳng (d) ? b) Vẽ đờ thị của hàm sớ c) Đường thẳng (d) có qua điểm A(− 4;6) khơng ? Vì sao? Câu 4.(4,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB = cm và C là điểm thuộc đường tròn cho AC = cm · a) Tam giác ABC là tam giác gì? Vì ? Tính R và sin CAB b) Đường thẳng qua C vng góc với AB tại H, cắt đường tròn (O) tại D Tính CD và chứng minh AB là tiếp tún của đường tròn (C; CH) c) Vẽ tiếp tún BE của đường tròn (C) với E là tiếp điểm khác H Tính diện tích tứ giác AOCE GV: HỒNG THỊ THANH HẢO Hết - THCS THANH CAO GV: HỒNG THỊ THANH HẢO THCS THANH ĐỀ THI OLYMPIC MƠN TỐN LỚP Năm học: 2013 - 2014 Thời gian làm bài: 120 phút PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS KIM AN Đề bài: C©u 1( điểm) 6−x x 3+ x − 1 − ÷ Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: x− = 3− 2 Câu 2: ( điểm ) Chứng minh đẳng thức: x2+y2+1 ≥ x.y + x + y ( với x ;y) C©u 3( điểm) a) T×m sè d phÐp chia cđa biĨu thøc ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + 8) + 2008 cho ®a thøc x + 10 x + 21 b) Tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x − 3x3 + ax + b chia hết cho đa thøc B( x) = x − 3x + Câu 4: ( điểm ) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = 27 − 12 x x2 + Câu : (7điểm) Cho Tam giác ABC vng cân A Điểm M cạnh BC Từ M kẻ ME vng góc với AB, kẻ MF vng góc với AC ( E ∈ AB ; F ∈ AC ) a Chứng minh: FC BA + CA B E = AB2 b Chứng minh chu vi tứ giác MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí M c Tìm vị trí M để diện tích tứ giác MEAF lớn Hết Người đề: Nguyễn Thị Thu Hường Người kiểm tra: Hà Thị Thủy ĐÁP ÁN CHẤM OLYMPIC MƠN TỐN LỚP Năm học: 2013 – 2014 Câu Câu1(3điểm) Nội dung Điểm x 3+ x 6− x − (1 − ) x- =33 2 x 3+ x 6−x ) = – (1 2x – ( − ) 2x + x 6− x ) =6–( − ) 2x – ( − 4 6 2x − − x 3−6+ x 2x – =6– 1.0 24x – 3(x – 3) = 72 – 2(x – 3) 24x – 3x + = 72 – 2x + 24x – 3x+ 2x = 72 + – 23x = 69 => x = Vậy S = { 3} 1,0 0,5 0,5 Câu2(3điểm) Ta có ( x – y)2 ≥ với x,y ( x – 1)2 ≥ với x ( y – 1)2 ≥ với y => ( x – y)2 + ( x – 1)2 + ( y – 1)2 ≥ x2 – 2xy + y2 + x2 – 2x + + y2 – 2y + ≥ 2x2 + 2y2 + ≥ 2xy + 2x + 2y 2(x2 + y2 + 1) ≥ 2(xy + x + y) x2 + y2 + ≥ xy + x + y Câu3(5điểm) a Tìm số dư phép chia: Ta có A = (x + )(x + 4)(x + 6)( x + 8) + 2008 = (x + )(x + 8)(x + 4)( x + 6) + 2008 = (x2 + 10x + 16)( x2 + 10x + 24) + 2008 Đặt x2 + 10x + 21 = a ta có A = ( a – )( a + 3) + 2008 = a2 – 2a – 15 + 2008 = a2 – 2a + 1993 Mà a2 – 2a + 1993 chia cho a dư 1993 Vậy (x + )(x + 4)(x + 6)( x + 8) + 2008 chia cho x2 + 10x + 21 có số dư 1993 b Ta có x4 – 3x3 + ax + b = ( x2 – 3x + 4)(x2 – 4) + (a – 12)x + ( b+16) Để x4 – 3x3 + ax + b chia hết cho x2 – 3x + a – 12 b+16 => a = 12; b = -16 27 − 12 x 36 − 12 x + x − − x Câu4(2điểm) ( − x ) x + (6 − x ) *) Ta có : A = = = - = -1 x +9 x +9 x +9 (6 − x ) Vì (6 – x) ≥ x – > nên A = -1 ≥ -1 x +9 2 x +9 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 x +9 0.5 Vậy GTLN A = -1 (6 – x)2 = 0 x = 27 − 12 x x + 36 − x − 12 x − x + 36 x + 12 x + − = = x2 + x2 + x +9 x2 + 4( x + 9) (2 x + 3) (2 x + 3) − = 4− = x +9 x +9 x +9 (2 x + 3) 2 ≥ ≤ 4 − Vì (2x +3) x + > nên x2 + −3 Dấu = xẩy 2x + = hay x = −3 Vậy GTLN A = x = 2 *) A = 2 0.5 0.5 0.5 B Câu5(7điểm) E A M F C 0.5 a Vì MF ⊥ AC (gt) AB ⊥ AC ( ∠ A= 1v) => FC MF = AC AB FC.AB = AC.MF Vì AB=AC(gt) => FC.AB= AB.MF (1) Vì ME ⊥ AC (gt) AC ⊥ AB ( ∠ A = 1v ) => 0.5 AC AB = ME BE AC.BE = ME.AB hay CA.BE = AB.ME (2) Cộng (1) với (2) ta có FC.BA + CA.BE = AB.MF + AB.ME Hay FC.BA + CA.BE = AB(MF + ME) Mà tứ giác AEMF hình chữ nhật( ∠ A= ∠ E = ∠ F = 1v) => MF = AE Mặt khác xét tam giác BEM có ∠ E = 1v ( ME ⊥ AB) ∠ B = 450 ( Tam giác ABC vng cân A) => tam giác BME vng cân => BE = ME Do FC.BA + CA.BE = AB(MF + ME) = AB(AE + BE ) = AB2 b Vì tứ giác AEMF hình chữ nhật => chu vi AEMF = 2(AE + ME) hay chu vi AEMF = 2AB mà AB khơng đổi nên chu vi AEMF khơng đổi hay khơng phụ thuộc vào vị trí M BC c Ta có SAEMF = ME.EA = BE.EA ( ME = BE) Vì BE > ; EA> theo CơSi BE.EA ≤ ( BE.EA ≤ ( AB AB ) hay SAEMF ≤ ( ) 2 BE + AE ) hay 0.5 0.5 0.5 1.0 2.0 0.5 Vậy SAEMF lớn BE = EA hay E trung điểm AB mà ME//AC nên SAEMF lớn khic M trung điểm BC 0.5 0.5 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN LỚP TRƯỜNG THCS CAO VIÊN Đề thi có 01 trang Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề Câu (3,0 điểm)Giải phương trình = Câu (3,0 điểm) giải bất phương trình sau : Câu (5,0 điểm) a)Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức : x3 – 3x2 – 3x -1 chia hết cho giá trị biểu thức x2 + x + b) Tìm tất số tự nhiên m n cho 2m – 2n = 448 Câu (7,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF Chứng minh rằng: 1 = + 2 AD AM AN Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn abc = Chứng minh : 1 + + ≥ a (b + c) b (c + a ) c (a + b) TRƯỜNG THCS CAO VIÊN HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN THI: TOÁN LỚP Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Câu Hướng dẫn giải 18 18 + = x + 2x − x + 2x + x + 2x + (x − 1)(x + 3) ≠ x ≠ x + 2x − ≠ 2 x + 2x + ≠ ⇔ ( x + 1) + ≠ ⇔ x ≠ −3 ĐKXĐ x ≠ −1 x + 2x + ≠ ( x + 1) ≠ điểm 0,5 Câu (3.0 điểm) Đặtt = x2 + 2x + = (x+1)2 , ta có : 18 18 + = ( t > ; t≠ ) t − t +1 t 0,5 t ( t + ) + 18t(t-4)= 18(t+1)(t-4) t2 - 17t + 72 = ( t – ) ( t – ) = => t = t = 0,75 Với t = (x+1)2 = => x+1 = ± => x = ± -1 Với t = (x+1)2 = => x+1 = ±3=> x =2 x = -4 0,75 Kết hợp với ĐKXĐ ta có tập nghiệm pt : S = { x = ± -1 ; x =2 ; x = -4} 0,5 giải bất phương trình sau : Câu (3.0 điểm) Câu (5.0 điểm) x +1 x + x + + + ≥ −3 99 96 95 x +1 x+4 x+5 ⇔ +1+ +1+ +1≥ 99 96 95 x + + 99 x + + 96 x + + 95 ⇔ + + ≥0 99 96 95 x + 100 x + 100 x + 100 ⇔ + + ≥0 99 96 95 1 ⇔ ( x + 100 ) + + ÷≥ 99 96 95 ⇔ x + 100 ≥ ⇔ x ≥ −100 Vậy tập nghiệm bất phương trình : S = {x/x≥ -100} Thực phép chia x3 – 3x2 – 3x -1cho x2 + x + thương x- dư Suy giá trị x3 – 3x2 – 3x -1chia hết cho giá trị x2 + x + 1khi chia hết cho x2 + x + 1,do : 1 0,5 0,5 x2 + x + = ± x2 + x + = ± a -2,5 Biến đổi 0,5 Suy x2 + x + > với x Vậy loại trường hợp x2 + x + = - x2 + x + = - Từ x2 + x + = => x = ; x = -2 x2 + x + = 1=> x= ; x= -1 Vậy có giá trị nguyên x x = ± ; x= ; x = -2 Ta thấy 2m – 2n = 448> nên m > n 2m – 2n = 2n ( 2m-n – )= 64 (1) b -2,5 0,5 Từ (1) ta thấy 2n ( 2m-n – ) chia hết cho 64 mà 64 (2m-n – 1) nguyên tố nên 2n 64 (2) Từ (1) ta thấy 64 2n mà ( ; 2n ) = nên 64 2n (3) Từ (2) (3)=> 2n = 64 => n = Mặt khác 2m-n – 1= => 2m-n = =>2m-6 = 23 => m – = => m = Vậy m = ; n = Câu 0,5 0,5 (7 điểm) E A B H F D C M N ∠ DAM= ∠ ABF (cùng phụ ∠ BAH) AB = AD ( gt) (7.0 điểm) ∠ BAF= ∠ ADM = 900 (ABCD hình vuông) ⇒ ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM Lại có AE // DM ( AB // DC ) Suy tứ giác AEMD hình bình hành Mặt khác ∠ DAE= 900 (gt) Ta có 0.75 0.5 0.5 Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật Ta có ∆ ABH => 0.5 ∆ FAH (g.g) 0.75 AB BH BC BH = = hay ( AB=BC, AE=AF) AF AH AE AH Lại có ∠ HAB= ∠ HBC (cùng phụ ∠ ABH) => ∆ CBH 0.75 ∆ EAH (c.g.c) 2 SΔCBH SΔCBH BC BC = ⇒ = = nên BC2 = (2AE)2 (gt) ⇒ ÷ , mà S ÷ SΔEAH AE ΔEAH AE ⇒ BC = 2AE ⇒ E trung điểm AB, F trung điểm AD Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.75 0.5 Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: ⇒ AD AM AD CN = ⇒ = CN MN AM MN 0.5 Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: ⇒ MN MC AB MC AD MC = ⇒ = = hay AN AB AN MN AN MN 2 0.5 AD AD CN CM CN + CM MN ⇒ + = + = = =1 ÷ ÷ ÷ ÷ MN MN AM AN MN MN 0.5 (Pytago) 2 1 AD AD ⇒ (đpcm) ÷ + ÷ = => AM + AN = AD AM AN Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với ∀ a, b, c ∈ R x, y, z > ta có a b2 c2 ( a + b + c ) + + ≥ x y z x+ y+z 51 of 51 View on SlideShare ... ba 13 20 27 14 21 28 Th ứ tư 15 22 29 Thứ nă m 16 23 30 Th ứ sáu 10 17 24 31 Th ứ bảy 11 18 25 Chủ nhậ t 12 19 26 a) Trong tháng 12 có ngày thứ sáu ngày 3, 10 , 17 , 24 , 31 b) Thứ bảy tuần ngày 18 ... chỗ chấm: Th ứ hai 14 21 28 Th ứ ba 15 22 29 Th ứ tư 16 23 30 Thứ nă m 10 17 24 Th ứ sáu 11 18 25 Th ứ bảy 12 19 26 Chủ nhậ t 13 20 27 a) Ngày tháng thứ … b) Thứ tư tuần ngày 16 tháng Thứ tư tuần... Bài giải Số tuổi mẹ em là: 45 – = 39 (tuổi) Đáp số: 39 tuổi Câu 5: Th ứ hai 14 21 28 Th ứ ba 15 22 29 Th ứ tư 16 23 30 Thứ nă m 10 17 24 Th ứ sáu 11 18 25 Th ứ bảy 12 19 26 Chủ nhậ t 13 20 27
