Đang tải... (xem toàn văn)
+) Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆). +) Định nghĩa 8: Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (α).
Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (α) góc a hình chiếu a’ mặt phẳng (α) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (α) +) Định nghĩa 6: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng +) Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu vng góc M mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆) +) Định nghĩa 8: Khoảng cách đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (α) +) Định nghĩa 9: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng +) Định nghĩa 10: Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng 2.2 Các định lý thường sử dụng a∩b Định lý 1: Định lý 2: Định lý 3: + a, b ⊂ ( P ) ⇒ d ⊥ ( P ) d ⊥ a, d ⊥ b a ⊂ ( P) d ⊥ ( P) ⇒ d ⊥ a ∀a ⊂ ( P ) d ⊥ ( P) ⇒ d ' ⊥ ( P) d '/ / d + ( P ) / /(Q) ⇒ d ⊥ (Q) d ⊥ ( P) Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian + Định lý 4: d / /( P ) ⇒d'⊥ d d ' ⊥ ( P) d ⊥ ( P) ⇒ ( P) ⊥ (Q) d ⊂ (Q) ( P ) ⊥ (Q) Định lý 5: ( P ) ∩ (Q) = ∆ ⇒ d ⊥ (Q) d ⊂ ( P) d ⊥∆ ( P ) ∩ (Q ) = ∆ ( P) ⊥ ( R) ⇒ ∆ ⊥ ( R) (Q) ⊥ ( R ) Định lý 6: Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian B NỘI DUNG I Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng, đ ường th ẳng vng góc với đường thẳng, mặt phẳng vng góc với mặt phẳng 1.1 Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng 1.1.1 Phương pháp: Ta thường vận dụng định lý để chứng minh Hoặc sử dụng định lý 3, định lý 5, định lý số trường hợp đặc biệt 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giácvvng C, SA ⊥ ( ABC ) BC ⊥ ( SAC ) a) Chứng minh rằng: AE ⊥ ( SBC ) b) Gọi E hình chiếu vng góc A SC Chứng minh rằng: SB ⊥ ( P) c) Gọi mp(P) qua AE vng góc với (SAB), cắt SB D Chứng minh rằng: d) Đường thẳng DE cắt BC F Chứng minh rằng: AF ⊥ ( SAB ) 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng, tam giác SAB tam giác đều, ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) Gọi I, F trung điểm AB AD Chứng minh rằng: FC ⊥ ( SID) Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc 1.2.1 Phương pháp: Ta thường sử dụng định lý cách chứng minh vng góc có hình học phẳng 1: (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang vng A B, SA ⊥ ( ABCD) , AD=2a, AB=BC=a Chứng minh rằng: tam giác SCD vng Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian 2: (B-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BC CMR: MN ⊥ BD Ví dụ 3: (A-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, tam giác SAD đều, ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) Gọi M, N, P trung điểm SB, BC CD Chứng minh rằng: AM ⊥ BP Giải: Gọi I giao diểm AN BP, H trung điểm AD, K giao điểm AN BH Xét hai tam giác vng ABN BCP có: AB=BC, BN=CP Suy ra, · · · ⇒ BAN = CBP , ·ANB = BPC AN ⊥ BP mà ∆ABN = ∆BCP · · · BAN + ·ANB = 900 ⇒ CBP + ANB = 900 hay (1) SH ⊥ AD ( SAD) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ BP (*) BP ⊂ ( ABCD ) Vì ∆SAD nên: MK / / SH (**) Mặt khác, tứ giác ABNH hình chử nhật nên K trung điểm HB hay BP ⊥ MH (2) Từ (*) (**) suy ra: BP ⊥ ( AMN ) ⇒ BP ⊥ AM Từ (1), (2) suy ra: 1.3 Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc 1.3.1 Phương pháp: Sử dụng định lý 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thoi , SA=SC Chứng minh rằng: ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian 1.4 Bài tập: Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi I trung điểm SD ⊥ ( ABC ), SD = BC, D điểm đối xứng với A qua I, a Chứng minh rằng: ( SBC ) ⊥ ( SAD ) a) ( SAB ) ⊥ ( SAC ) b) Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông tâm O SA ⊥ (ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vuông góc A SB, SC, SD a) CMR: BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC) b) CMR: AH, AK vuông góc với SC Từ suy đường thẳng AH, AI, AK nằm mặt phẳng c) CMR: HK ⊥ (SAC) Từ suy HK ⊥ AI Bài tập 3: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông B; SA ⊥ (ABC) a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB) b) Gọi AH đường cao ∆SAB Chứng minh: AH ⊥ SC Bài tập 4: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết: SA = SC, SB = SD a) Chứng minh: SO ⊥ (ABCD) b) Gọi I, J trung điểm cạnh BA, BC CMR: IJ ⊥ (SBD) Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có ABC DBC tam giác Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh: BC ⊥ (AID) b) Vẽ đường cao AH ∆AID Chứng minh: AH ⊥ (BCD) Bài tập 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với Gọi H hình chiếu vuông góc điểm O mp(ABC) Chứng minh rằng: a) BC ⊥ (OAH) b) H trực tâm tam giác ABC c) OH = OA + OB + OC2 d) Các góc tam giác ABC nhọn Bài tập 7: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông cạnh a Mặt bên SAB tam giác đều; SAD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm AB CD a) Tính cạnh ∆SIJ chứng minh SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB) b) Gọi H hình chiếu vuông góc S IJ CMR: SH ⊥ AC c) Gọi M điểm thuộc đường thẳng CD cho: BM ⊥ SA Tính AM theo a Bài tập 8: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác SC = a trung điểm cạnh AB AD Gọi H K a) CMR: SH ⊥ (ABCD) Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian b) Chứng minh: AC ⊥ SK CK ⊥ SD Bài tập 9: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình chữ nhật có AB = a, BC = a có SD = a , mặt bên SBC vuông B, mặt bên SCD vuông D a) Chứng minh: SA ⊥ (ABCD) tính SA b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt đường thẳng CB, CD I, J Gọi H hình chiếu A SC Hãy xác đònh giao điểm K, L SB, SD với mp(HIJ) CMR: AK ⊥ (SBC), AL ⊥ (SCD) c) Tính diện tích tứ giác AKHL Bài tập 10: Gọi I điểm đường tròn (O;R) CD dây cung (O) qua I Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) I ta lấy điểm S với OS = R Gọi E điểm đối tâm D đường tròn (O) Chứng minh rằng: a) Tam giác SDE vuông S b) SD ⊥ CE c) Tam giác SCD vuông Bài tập 11: Cho ∆MAB vuông M mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vuông góc với (P) A ta lấy điểm C, D hai bên điểm A Gọi C′ hình chiếu C MD, H giao điểm AM CC′ a) Chứng minh: CC′ ⊥ (MBD) b) Gọi K hình chiếu H AB CMR: K trực tâm ∆BCD Bài tập 12: Cho tam giác ABC, cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vuông góc vơi mp(ABC) D lấy Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian điểm S cho SD = a Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với Bài tập 13: Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) (ABD) vuông góc với đáy (DBC) Vẽ đường cao BE, DF BCD, đường cao DK ACD a) Chứng minh: AB (BCD) b) Chứng minh mặt phẳng (ABE) (DFK) vuông góc với mp(ADC) c) Gọi O H trực tâm tam giác BCD ADC CMR: OH (ADC) Bài tập 14: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông, SA (ABCD) a) Chứng minh (SAC) (SBD) b) Gọi BE, DF hai đường cao SBD CMR: (ACF) (SBC), (AEF) (SAC) Bài tập 15: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA (ABCD) Gọi M, N điểm cạnh BC, DC a 3a cho BM = , DN = Chứng minh mặt phẳng (SAM) (SMN) vuông góc với Bài tập 16: Cho tam giác ABC vuông A Vẽ BB CC vuông góc với mp(ABC) a) Chứng minh (ABB) (ACC) b) Gọi AH, AK đường cao ABC ABC Chứng minh mặt phẳng (BCCB) (ABC) vuông góc với mặt phẳng (AHK) Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Bài tập 17: Cho tam giác ABC vuông A có AB = c, AC = b Gọi (P) mặt phẳng qua BC vuông góc với mp(ABC); S điểm di động (P) cho SABC hình chóp có mặt bên SAB, π −α SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo Gọi H, I, J hình chiếu vuông góc S BC, AB, AC a) Chứng minh rằng: SH2 = HI.HJ b) Tìm giá trò lớn SH tìm giá trò Bài tập 18: Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y Tìm hệ thức liên hệ a, b, x, y để: a) Mặt phẳng (ABC) (BCD) b) Mặt phẳng (ABC) (ACD) Bài tập 19: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA (ABCD) ; M N hai điểm nằm cạnh BC, CD Đặt BM = x, DN = y a) Chứng minh điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vuông góc với MN (SAM) Từ suy hệ thức liên hệ x y b) Chứng minh điều kiện cần đủ để góc hai mặt phẳng (SAM) (SAN) có số đo 30 a(x + y) + xy = a2 Bài tập 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có góc A 60 0, cạnh SC = a SC ⊥ (ABCD) a) Chứng minh (SBD) ⊥ (SAC) Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian b) Trong tam giác SCA kẻ IK ⊥ SA K Tính độ dài IK c) Chứng minh · BKD = 900 từ suy (SAB) ⊥ (SAD) II Các dạng tốn góc 2.1 Dạng 1: Góc hai đường thẳng 2.1.1 Phương pháp xác định góc hai đường thẳng a b chéo Cách 1: (a,b)=(a’,b’) a’, b’ hai đường thẳng cắt song song với a b Tức là, chọn hai đường thẳng cắt song song với a b Cách 2: (a,b)=(a,b’) b’ đường thẳng cắt đường thẳng a song song với b Tức chọn a (hoặc b) điểm A từ chọn đường thẳng qua A song song với b (hoặc a) *) Chú ý: Các định lý hay sử dụng 2.1.2 Các ví dụ mẫu: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, SA = a 3, SA ⊥ BC Tính góc hai đường thẳng SD BC? Giải: Ta có: BC//AD BC / / AD · ⇒ SAD = 90 SA ⊥ BC Do đó, · ( SD, BC ) = ( SD, AD ) = SDA · tan SDA = Xét tam giác vSAD vng A ta có: SA · = ⇒ SDA = 600 AD Vậy góc hai đường thẳng SD BC 600 10 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian DH ⊥ ( SBC ) Từ (1) (2) suy ra: hay d ( D,( SBC )) = DH + Xét tam giác vng SBD có: 1 2a = + = ⇒ DH = 2 DH SD BD 2a d ( D,( SBC )) = Vậy, 2a 3 d ( A,( SBC )) AE AB 1 a = = = ⇒ d ( A,( SBC )) = d ( d ,( SBC )) = d ( D,( SBC )) DE CD 2 b) Ta có: d ( A,( SBC )) = Vậy, a 3 Ví dụ 3: (D-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, BA=3a, · ( SBC ) ⊥ ( ABC ), SB = 2a 3, SBC = 300 BC=4a, d ( B,( SAC )) Tính SM ⊥ BC (M ∈ BC) Giải: + Trong mặt phẳng (SBC) kẻ MN ⊥ AC (N ∈ AC) ; mặt phẳng (ABC) kẻ MH ⊥ SN (N ∈ SN ) ; mặt phẳng (SMN) kẻ Suy ra, MH ⊥ ( SAC ) ⇒ d ( M ,( SAC )) = MH 26 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian + Ta có: SM = SB.sin 300 = a , BM = SB.cos300 = 3a ⇒ CM = a MN = AB.CM 3a = AC , Xét tam giác vng SMN có: 1 28 3a = + = ⇒ MH = 2 MH SM MN 9a 28 3a ⇒ d ( M ,( SAC )) = 28 + Mặt khác, ta có: d ( B,( SAC )) BC = =4 d ( M ,( SAC )) MC ⇒ d ( B,( SAC )) = 4.d ( M ,( SAC )) = d ( B,( SAC )) = Vậy 6a 6a 3.2.Dạng 2: Khoảng cách hai đường thẳng chéo 3.2.1 Cách tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d d’ Cách 1: + Xác định đường thẳng vng góc chung d d’ + Tính độ dài đoạn vng góc chung Cách 2: +Tìm mp(P) chứa d’ song song với d 27 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian d (d , d ') = d (d ,( P)) = d ( A,( P)) + Khi với A điểm thuộc d Chú ý: mp(P) có sẵn phải dựng (Cách dựng: qua điểm dựng đường thẳng ∆ song song với d, lúc mp(P)≡(d’,∆)) B∈d ' 3.2.2 Các ví dụ mẫu *) Ví dụ cho cách Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB=a, tất cạnh lại 3a Tính d ( AB, CD) Giải: + Gọi I, J trung điểm CD AB + Vì ACD ACD tam giác nên: CD ⊥ AI , CD ⊥ BI ⇒ CD ⊥ ( AIB ) ⇒ CD ⊥ IJ (1) AIB cân I Do đó, Mặt khác, ∆ACD = ∆ACD nên tam giác IJ ⊥ AB (2) + Từ (1), (2) suy ra: IJ đường vng góc chung AB CD 3a a 2 a 26 IJ = AI − AJ = ÷ − ÷ = 2 + Ta có: d ( AB, CD ) = Vậy a 26 28 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Ví dụ 2: (A_2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M, N trung điểm AB AD, H giao điểm CN DM, SH ⊥ ( ABCD), SH = a Tính d ( DM , SC ) Giải: + Trong mp(SCH) kẻ HK ⊥ SC (1), (K ∈ SC) + Mặt khác, SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ DM (*) DM ⊂ ( ABCD ) Xét hai tam giác vng AMD DNC có ⇒ ∆AMD = ∆DNC AM=DN, AD=DC Từ ta có: ·AMD = DNC · ·ADM = DCN · 0 · · · ⇒ DNC + ADM = 90 ⇒ NHD = 90 ·AMD + ·ADM = 900 Từ (*), (**) suy ra: DM ⊥ ( SCH ) ⇒ DM ⊥ HK (2) hay DM ⊥ CN (**) Từ (1), (2) suy ra: HK đoạn vng góc chung DM SC + Ta có: ∆HCD : ∆DCN ⇒ HC = CD a2 2a = = CN CD − DN Xét tam giác vng SHC ta có: HK = HC + HS = 3a ⇒ HK = a 15 29 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian d ( DM , SC ) = HK = Vậy a 15 *) Ví dụ cho cách Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác cạnh a, AA ' = a 2 d ( AB, CB ') Tính Giải: + Gọi I, J trung điểm AB A’B’ + Ta có: AB / /(CA ' B ') ⇒ d ( AB, CB ') = d ( AB,(CA ' B ')) = = d ( I ,(CA ' B ')) + Trong mp(CIJ) kẻ Ta có: A ' B ' ⊥ ( IJ ) giác đều) nên (vì ABC A’B’C’ hình lăng trụ đứng) A ' B ' ⊥ (CIJ ) ⇒ IH ⊥ A ' B ' (2) IH ⊥ (CA ' B ') Từ (1), (2) suy ra: + Xét tam giác vng CIJ có: d ( AB, CB ') = IH = Vậy IC ⊥ A ' B ' (vì ∆ABC tam d ( AB, CB ') = IH hay IH IH ⊥ CJ (1), (H ∈ CJ) = IC + IJ = 3a + a = 10 3a ⇒ IH = a 30 10 a 30 10 30 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên a d ( AD, SB ) Tính Giải: + Vì AD / / ( SBC ) ⇒ d ( AD, SB ) = d ( AB,( SBC )) + Gọi O giao điểm AC BD I, J trung điểm AD BC + Trong mp(SIJ) kẻ IH ⊥ SJ ,( H ∈ SJ ) (1) SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SIJ ) IJ / / AB ⇒ IJ ⊥ BC ⇒ IH ⊥ BC (2) Từ (1), (2) suy ra: Theo giả thiết ta có: IH ⊥ ( SBC ) d ( AD, SB) = IH hay S SIJ = + Xét tam giác SIJ có: SO = SA2 − AO = a d ( AD, SB ) = IH = Vậy 1 SO.IJ IH SJ = SO.IJ ⇒ IH = 2 SJ a , SJ = SB − BJ = Với: IJ=a, IH = Suy ra: SO.IJ 2a 21 = SJ 2a 21 31 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAD tam d ( SA, BD) giác đều, (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Tính Giải: + Qua A kẻ đường thẳng d song song với BD Gọi O giao điểm AC BD; I, M trung điểm AD OD; N giao điểm d IM + Ta có: d ( SA, BD) = d (( SA, d ), BD) = = d ( M ,( SA, d )) + Trong mp(SMN) kẻ MH ⊥ SN (1), (H ∈ SN) Theo giả thiết: SI ⊥ AD ⇒ SI ⊥ ( ABCD ) ⇒ SI ⊥ d (*) ( SAD) ⊥ ( ABCD ) d / / BD BD ⊥ AO ⇒ d ⊥ MN (**) AO / / MN suy ra: MH ⊥ ( SA, d ) Từ (*), (**) suy ra: Mặt khác ta có: d ⊥ ( SMN ) ⇒ d ⊥ MH (2) Từ (1), (2) 32 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian S SMN = + Xét tam giác SMN có: SI = 1 SI MN MH SN = SI MN ⇒ MH = 2 SN a a a 10 , MN = AO = , SN = SI − IN = 2 d ( SA, BD) = Vậy MH = Do đó, với SI MN a 15 = SN a 15 Ví dụ 4: (A-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng tai B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính d ( AB, SN ) Giải: + Gọi I trung điểm BC Do MN//BC nên N trung điểm AC Do đó, IN//AB hay + Trong mp(ABC) kẻ Trong mp(SAJ) kẻ AJ ⊥ IN ,( J ∈ IN ) (*) AH ⊥ SJ ,( H ∈ SJ ) (1) + Theo giải thiết ta có: Từ (*), (**) ta có: d ( AB, SN ) = d ( AB,( SNI )) ( SAB) ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ IN (**) ( SAC ) ⊥ ( ABC ) IN ⊥ ( SAJ ) ⇒ IN ⊥ AH (2) AH ⊥ ( SIN ) ⇒ d ( AB , SN ) = AH Từ (1), (2) ta có: 33 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian · (( SBC ),( ABC )) = SBA = 600 ⇒ SA = AB.tan 600 = 2a AJ = BI = a + Ta có: ; + Xét tam giác vng SAJ có: d ( AB, SN ) = AH = Vậy AH = SA + AJ = 13 12a ⇒ AH = a 12 13 a 156 13 3.3 Bài tập Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD, SA=a, cạnh lại SA ⊥ SC a Chứng minh: d ( S ,( ABCD)) Tính Bài tập 2: (D-2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác vng B, AB=a, AA’=2a Gọi M trung điểm A’C’, I giao điểm AM A’C Tính d ( A,( IBC )) · Bài tập 3: Cho hình chóp SABC, SA = 3a, SA ⊥ ( ABC ), AB = 2a, ABC = 120 Tính d ( A,(SBC )) Bài tập 4: (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang , ·ABC = BAD · = 900 , BA=BC=a, AD=2a, SA ⊥ ( ABCD) , SA = a Gọi H hình chiếu d ( H ,( SCD)) A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, · BCD = 600 d ( AD, SB) đường cao SO=a Tính 34 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Bài tập : (D-2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng cân B, BA=BC=a, AA ' = a d ( AM , B ' C ) Gọi M trung điểm BC Tính Bài tập 7: (B-2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BC Chứng minh rằng: MN ⊥ BD d ( MN , AC ) Tính Bài tập 8: Cho hình tứ diện OABC, OA, OB, OC = a Gọi I trung điểm BC Hãy dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung cặp đường thẳng: a) OA BC b) AI OC Bài tập 9: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông tâm O, cạnh a, SA (ABCD) SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng: a) SC BD b) AC SD Bài tập 10: Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC) Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui b) Chứng minh SC ⊥ (BHK), HK ⊥ (SBC) c) Xác đònh đường vuông góc chung BC SA Bài tập 11: a) Cho tứ diện ABCD Chứng minh AC = BD, AD = BC dường vuông góc chung AB CD đường nối trung điểm I, K hai cạnh AB CD b) Chứng minh đường thẳng nối trung điểm I, K hai cạnh AB CD tứ diện ABCD đường vuông góc chung AB CD AC = BD, AD = BC 35 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Bài tập 12: Cho hình vuông ABCD cạnh a, I trung điểm a AB Dựng IS (ABCD) IS = Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, SD, SB Hãy dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung cặp đường thẳng: a) NP AC b) MN AP Bài tập 13: Cho hình chóp SABCD, có SA (ABCD) SA = a , đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kinh AD = 2a a) Tính khoảng cách từ A B đến mặt phẳng (SCD) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) c) Tính diện tích thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với mp(SAD) cách (SAD) khoảng a Bài tập 14: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA (ABC) AA = a, đáy ABC tam giác vuông A có BC = 2a, AB = a a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB) b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC) c) Chứng minh AB (ACCA) tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) Bài tập 15: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA (ABCD) SA = 2a a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC), từ C đến mp(SBD) 36 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian b) M, N trung điểm AB AD Chứng minh MN song song với (SBD) tính khoảng cách từ MN đến (SBD) c) Mặt phẳng (P) qua BC cắt cạnh SA, SD theo thứ tự a 2 E, F Cho biết AD cách (P) khoảng , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) diện tích tứ giác BCFE Bài tập 16: Cho hai tia chéo Ax, By hợp với góc 60 0, nhận AB = a làm đoạn vuông góc chung Trên By lấy điểm C với BC = a Gọi D hình chiếu C Ax a) Tính AD khoảng cách từ C đến mp(ABD) b) Tính khoảng cách AC BD Bài tập 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a · BAD = 600 Gọi O giao điểm AC BD Đường thẳng SO ⊥ (ABCD) SO = BE 3a Gọi E trung điểm BC, F trung điểm a) Chứng minh (SOF) ⊥ (SBC) b) Tính khoảng cách từ O A đến (SBC) 37 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian C KẾT LUẬN Qua đề tài này, lần khẳng định tầm quan trọng hình học khơng gian Tốn học nói chung Tốn học phổ thơng nói riêng Việc tiếp thu tốt phần đòi hỏi người học có tính tưởng tượng phong phú, ngồi giáo viên cần trang bị cho em lớp dạng tốn cách giải tương ứng Trên số kinh nghiệm thân đúc kết q trình giảng dạy, có nhiều thiếu sót mong q thầy đóng góp ý kiến đề tài hồn thiện vào áp dụng Xin chân thành cảm ơn! 38 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Anh Trường (2013), Tài liệu tổng ơn tập hình học khơng gian Nhà xuất đại học quốc gia hà nội Trần Văn Thương, Phạm Đình, Lê Văn Đỗ, Cao Quang Đức (2001), Phân loại phương pháp giải tốn hình học khơng gian Nhà xuất đại học quốc gian Thành phố Hồ Chí Minh diendantoanhoc.net Đồng hới, ngày 09 tháng 05 năm 2014 Người viết sáng kiến kinh nghiệm: Lê Duy Hiền Ý KIẾN VÀ XẾP LOẠI CỦA TỔ TỐN: Ý KIẾN VÀ XẾP LOẠI CỦA HĐKH NHÀ TRƯỜNG: 39 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian 40 ... (H ∈ SB) b) + Trong mp(SAB) kẻ BC ⊥ ( SAB) ⇒ AH ⊥ BC Theo a) nên AH ⊥ ( SBC ) hay CH hình chiếu vng góc AC mp(SBC) ⇒ ( AC ,( SBC )) = ·ACH 14 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian + Xét tam... có góc A 60 0, cạnh SC = a SC ⊥ (ABCD) a) Chứng minh (SBD) ⊥ (SAC) Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian b) Trong tam giác SCA kẻ IK ⊥ SA K Tính độ dài IK c) Chứng minh · BKD = 900 từ suy (SAB)... tam SA ⊥ AB ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) giác SAH vng A hay mà hình chiếu vng góc SC lên mp(ABCD) SA ⊥ ( ABCD ) Do đó, AC 13 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian + Ta có: SA · tan SCA = = · ( SC ,( ABCD))