CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I/Các hàm số lượng giác: 1/Các hàm số lượng giác và tính chất Hàm số siny x= Hàm số cosy x= -Tập xác định là ¡ -Tập xác định là ¡ -Tập giá trị là [ ] 1;1− -Tập giá trị là [ ] 1;1− -Là hàm số lẻ -Là hàm số chẵn -Tuần hoàn với chu kỳ 2 π -Tuần hoàn với chu kỳ 2 π -Đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 2 2 k k π π   − + π + π  ÷   Và nghịch biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 , 2 2 k k k π 3π   + π + π ∈  ÷   ¢ -Đồng biến trên mỗi khoảng ( ) 2 ; 2k k−π + π π Và nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) 2 ; 2 ,k k kπ π + π ∈ ¢ -Có đồ thị là đường hình Sin -Có đồ thị là đường hình Sin Hàm số tany x= Hàm số coty x= -Tập xác định là \ 2 k k π   = + π ∈     ¢¡ 1 D -Tập xác định là { } \ k k= π ∈ ¢¡ 2 D -Tập giá trị là ¡ -Tập giá trị là ¡ -Là hàm số lẻ -Là hàm số lẻ -Tuần hoàn với chu kỳ π -Tuần hoàn với chu kỳ π -Đồng biến trên mỗi khoảng ; , 2 2 k k k π π   − + π + π ∈  ÷   ¢ -Và nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) ; ,k k kπ π + π ∈ ¢ -Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng , 2 x k k π = + π ∈ ¢ làm đường tiệm cận -Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng ,x k k= π ∈ ¢ làm đường tiệm cận 2.Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt Cung đối nhau α và −α ( ) ( ) ( ) cos cos sin sin tan( ) tan cot cot −α = α −α = − α −α = − α −α = − α Cung bù nhau: α và π −α ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos tan tan cot cot π−α = α π −α = − α π−α = − α π−α − − α Cung hơn kém π : α và α + π ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos tan tan cot cot α + π = − α α + π = − α α + π = α α + π = α Cung phụ nhau: α và 2 π − α sin cos ;cos sin 2 2 tan cot ;cot tan 2 2 π π     −α = α −α = α  ÷  ÷     π π     −α = α − α = α  ÷  ÷     Trang 1 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC II/Các công thức: 1/ Các công thức lượng giác cơ bản: 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos 1; tan ;cot cos sin 1 1 tan 1 ;cot 1 cos sin x x x x x x x x x x x x + = = = + = + = a) công thức cộng: b)Công thức nhân: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos cos .cos sin .sin cos cos .cos sin .sin sin sin .cos cos .sin sin sin .cos cos .sin tan tan tan 1 tan .tan tan tan tan 1 tan . tan α −β = α β+ α β α + β = α β − α β α −β = α β − α β α + β = α β + α β α − β α −β = + α β α + β α + β = − α β 2 2 2 2 3 3 2 cos 2 cos sin 2cos 1 1 sin sin 2 2sin .cos sin 3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos 2 tan tan 2 1 tan α = α − α = α − = − α α = α α α = α − α α = α − α α α = − α Hệ quả: Công thức đại số hoá: 2 2 2 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 sin 2 1 cos 2 tan 1 cos 2 + α α = − α α = − α α = + α Nếu đặt tan 2 t α = thì 2 2 2 2 1 cos 1 2 sin 1 2 tan 1 t t t t t t − α = + α = + α = − c)Công thức biến đổi tích thành tổng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 cos .cos cos cos 2 1 sin .sin cos cos 2 1 sin .cos sin sin 2 1 cos .sin sin sin( 2 α β = α +β + α −β    α β = α +β − α −β     α β = α +β + α −β    α β = α +β − α −β    d)Công thức biến đổi tổng thành tích: Trang 2 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ( ) ( ) cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 sin sin 2sin cos ;sin sin 2 cos sin 2 2 2 2 sin sin tan tan ; tan tan cos .cos cos .cos α +β α −β α + β = α +β α −β α − β = − α + β α −β α + β α −β α + β = α − β = α +β α −β α + β = α − β = α β α β B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I/Phương trình lượng giác cơ bản: ) cosu = cosv u = v + k2 2 ) sinu = sinv u = ,k 2 c) tanu = tanv u = v + k ,k d) cotu = cotv u = v + k ,k a v k b v k ⇔ ± π , κ∈ + π  ⇔ ∈  π− + π  ⇔ π ∈ ⇔ π ∈ ¢ ¢ ¢ ¢ *Phương trình bậc nhất đối với sin ,cosu u : sin cosA x B x C+ = Điều kiện có nghiệm 2 2 2 A B C+ ≥ Phương pháp: đưa phương trình về dạng 2 2 2 2 sin( ) cos( ) C x A B C x A B  + α =  +   −β =  +  II/Phương trình chỉ chứa 1 hàm số lượng giác. 1Phương trình chỉ chứa 1 hàm số lượng giác. Dạng: F(sinx) = 0 hoặcF(cosx) = 0 hoặc F(tanx) = 0 hoặc F(cotx) = 0 Cách giải: Đặt t = sinx, cosx, tanx, cotx tùy từng dạng; đưa phương trình về dạng F(t)=0. Chú ý với t = sinx hoặc t = cosx thì 1t ≤ . 2.Phương trình đẳng cấp cấp n của sinx, cosx: Dạng: 1 0 1 sin sin .cos . cos 0 n n n n a x a x x a x − + + + = Cách giải: *Khi 0 0a = phương trình dạng ( ) 1 2 2 1 1 2 cos sin sin .cos . cos 0 n n n n x a x a x x a x − − − + + + = 1 2 2 1 1 2 sin sin .cos . cos 0 n n n n a x a x x a x − − − + + + = phương trình đẳng cấp cấp n-1 *Khi 0 0a ≠ ⇒ cos 0x = không là nghiệm; chia cả 2 vế phương trình cho cos x , sau đó đặt tant x= rồi đưa về phương trình đạn số theo biến t. 3.Một số phương trình đưa về đẳng cấp: *Dạng: 2 2 sin sin .cos cosa x b x x c x d+ + = Cách giải: chuyển về phương trình đẳng cấp cấp 2 bằng cách thay ( ) 2 2 sin cosd d x x= + *Dạng: 3 2 2 3 asin sin .cos sin .cos cos sin cosx b x x c x x d x e x f x g+ + + + + = Cách giải: chuyển về phương trình đẳng cấp cấp 3 bằng cách thay ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 sin cos sin cos sin cos sin cos e x f x e x f x x x g g x x + = + + = + III/Phương trình chỉ chứa đồng thời ( ) sin cos m x x± và ( ) sin .cos n x x Dạng: ( ) ( ) sin cos sin .cos 0 m n A x x B x x C± + + = Trang 3 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Cách giải: Đặt ( ) 2 1 sin cos ; 2 2 sin .cos 2 t t x x t x x − = ± − ≤ ≤ ⇒ = ± .Đưa phương trình về phương trình đại số theo t: 2 1 0 2 n m t At B C   − + ± + =  ÷   IV/Phương pháp đánh giá. Nếu A B C D E F ≤   ≤   ≤  Thì phương trình A C E B D F+ + = + + tương đương với phương trình A B C D E F =   =   =  C.BÀI TẬP. I/ Phương trình cơ bản. 1. Giải các phương trình sau: 1) 3 sin 2 2 x = 2) ( ) 2 cos 2 25 2 x + = − o 3) ( ) cot 4 2 3x + = − 4) ( ) 3 tan 15 3 x + = o 5) ( ) 2 sin 2 15 2 x − = o với 120 90x− < < o o 6) ( ) 1 cos 2 1 2 x + = với x−π < < π 7) ( ) tan 3 2 3x + = với 2 2 x −π π < < 8) ( ) ( ) sin 2 1 sin 3x x− = + 9) sin 3 cos 2xx = 10) ( ) tan 3 2 cot 2 0x x+ + = 11) sin 4 cos 5x=0x + 12) 2sin 2 sin 2 0x x+ = 13) 2 2 sin 2 cos 3 1x x+ = 14) tan .tan 5 1x x = 15) 2 2 2 sin 5 cos 5 4 x x π     + = + π  ÷  ÷     16) cot 3 3 3 x π   + =  ÷   17) ( ) ( ) sin 2 1 sin 3 1x x− = + 18) cos cos 2 0 4 3 x x π π     − + + =  ÷  ÷     19) ( ) sin 8 20 sin 2 0x x+ + = o 20) ( ) tan sin 1 1 4 x π   + =  ÷   21) tan cot 2 4 x x π   = −  ÷   22) ( ) cot cot cot tan 2 x x π   π = − π  ÷   23) 2cos 3 3 0 3 x π   − − =  ÷   24) tan 3 1 0 3 x π   + + =  ÷   25) cos 3 sin 2 0 6 x x π   + + =  ÷   26) tan cot 2 0 4 x x π   + + =  ÷   27) 2 2 cos 2 sin 0 3 3 x x π π     + − − =  ÷  ÷     28) 2 3tan 3 1 6 x π   + =  ÷   29) tan 3 cot 6 3 x x π π     + = +  ÷  ÷     30) ( ) 2 tan tan 0x x xπ − + π = 2. Giải các phương trình sau. a) ( ) tan 3 tan 72x x= − o b) tan 4 .tan 1x x = − c) 3 tan 2 2;(0 2 )x x+ = < < π d) tan .tan 1 tan .tan tan .tan ;( 2 2 ) 9 9 90 90 x x x π π π π = + + − π < < π e) 2 2 1 tan 2 7;(0 360 ) cos 2 x x x + = < < o f) ( ) 3 2 1 tan 4 3 1 tan 8 7 tan ;( ) cos x x x x x + + + = + −π < < π 3.Tính sin ;cos 10 10 π π sau đó giải phương trình ( ) 10 2 5 tan 5 1;x x+ = − −π < < π 4. Giải phương trình. Trang 4 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC a) ( ) ( ) cos 3 sin cos sinx xπ = π b) 4 4 5 sin cos 8 x x+ = c) 6 6 cos sin cos 2x x x− = d) 4 6 cos cos 2 2sin 0x x x− + = e) 3 3 5 cos .cos3 sin .sin 3 8 x x x x− = f) 3 3 3 cos .cos3 sin .sin 3 cos 4x x x x x+ = g) 3 3 1 cos .cos3 sin .sin 3 8 x x x x+ = h) 4 4 1 sin cos 4 4 x x π   + + =  ÷   5.Giải và biện luận các phương trình sau. a) sin 3 .sin 3x m m x+ = b) ( ) 2 2 1 cos3 2m m x m m+ + = − − c) 2 2 2 .cos 3 .cos 2 x m x m m+ = + 6.Tìm m để phương trình có nghiệm. a) ( ) ( ) 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos 2m m x m m x m x+ − = + + b) 2 3 3 2sin cos 3 1 2 2 x x m m+ = + 7.Tìm m để phương trình ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 cos cos 2 2 4 cos 4 cos 2 cos 1m x x m x m m x x− + + = + + − + có nghiệm thuộc khoảng ; 2 π   π  ÷   8.Tìm m để phương trình sau vô nghiệm. 2 3 3cos 4 2 cos 2 9x m x m− = − II/Phương trình mẫu mực. 9. Giải các phương trình. 1) 2 2cos 3cos 1 0x x− + = 2) 2 cos sin 1 0x x+ + = 3) 3sin 4 cos 5x x+ = 4) 2sin 2 cos 2x x− = 5) 2 1 sin 2 sin 2 x x+ = 6) 5cos 2 12sin 2 13x x− = 7) sin 6 3 cos6 2x x+ = 8) ( ) 2 sin cos 4sin .cos 1x x x x+ = + 9) ( ) sin 2 12 sin cos 12 0x x x− + + = 10) ( ) sin 2 12 sin cos 12 0x x x− − + = 11) 2 2 sin 3sin .cos 2 cos 0x x x x+ + = 12) 2 2 2cos 3sin 2 8sin 0x x x+ − = 13) 2 2 2sin 5sin .cos 8cos 2x x x x− − = − 14) ( ) 3 sin cos 2sin 2 3 0x x x+ + + = 15) sin cos 4sin .cos 1 0x x x x− + + = 16) sin 2 12(sin cos ) 12 0x x x− − + = 17) 3 3 sin cos 1x x+ = 18) ( ) 2 2 3sin 8sin .cos 8 3 9 cos 0x x x x+ + − = 19) 2 2 4sin 3 3 sin 2 2cos 4x x x+ − = 20) 2 2 1 sin sin 2 2cos 2 x x x+ − = 21) ( ) ( ) 2 2 2sin 3 3 sin .cos 3 1 cos 1x x x x+ + + − = − 22) 2 16sin 6sin 7 0x x− − = 23) 2 9sin 9 cos 5 0x x+ − = 24) 2 2 3 sin 2 cos 0 4 x x− + = 25) cos 8 cos 0 4 8 x x − = 26) 3 17 sin cos3 0 2 x x− = 27) 2 5 cos 2 4sin 3 3 2 x x π π     + + + =  ÷  ÷     28) ( ) ( ) 2 2 11 14sin 6 5 3cos 2 6 5x x− π − = π − 29) 2 tan 5 tan 6 0x x− + = 30) 2 1 3cot 1 0 sin x x + + = 31) 2 1 _ tan 3 0 cos x x − = 32) 2 2 5 3 12sin 2 cos 4 1 tan x x x − − = − + 33) 2 2 cos12 2cos 6 3 0 12 8 x x x − − = − π + π 34) 4 4 5 1 sin cos 0 3 x x− − = 35) cos 2 sin 1 2 x x − = 10.Giải các phương trình sau. Trang 5 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC a) 2 10 tan 3 cos 4 3; 1 tan 4 2 x x x x − π π   + = < <  ÷ +   b) ( ) ( ) 1 tan 1 sin 2 1 tanx x x− + = + c) 9 3 sin 2 4 tan 2 x x+ = d) 1 cos 2 2sin 2 tan 0 2 x x x+ − + = e) tan 3 tan tan 3 x x x + = − f) 4 2cos8 tan 4 4 x x+ = 11.Giải và biện luận. a) ( ) 2 2 1 cos 2 cos 1 0m x m x m− − + − = b) 2 sin 4sin 6 0m x x m− + + = 12.Tìm m để phương trình có nghiệm. a) ( ) 2 sin 2 2 sin 2 0m x m x m− − + + = b) 4 2 cos 4cos 9 5 0m x x m+ + − = 13. a)Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm ( ) 2 2 sin 2 1 sin 1 0m x m x m+ − − − = b)Tìm m để phương trình sau vô nghiệm ( ) ( ) 2 sin 2 1 sin 2 3 0m x m x m+ + − − = 14. a)Tìm m để phương trình ( ) 4 cos 2 4 cos 3 4 0m x m x m− − + − = có đúng 2 nghiệm thuộc ( ) 0;π b)Tìm m để phương trình 2 2 sin 4 cos 3 2 0x m x m m+ − − = có đúng 1 nghiệm thuộc 4 ; 3 π   π     c)Tìm m để phương trình ( ) 4 2 2 tan 2 1 tan 1 0m x m x m− + + − = có nghiệm thuộc ; 4 4 −π π    ÷   15.Giải các phương trình sau. a) 2sin 3 cos 1x x− = b) 3 cos sin 2x x+ = c) 3 sin 3 cos3 1x x− = d) 2 2 5sin 4sin .cos cos 4x x x x− − = e) 2 2 3cos 4 sin .cos sin 2 3x x x x+ − = + f) 3 sin 7 cos7 2sin 5 6 x x x π   − = −  ÷   g) 2 cos 3 sin 2 4sin 5x x x− + = h) ( ) 2 sin 2 3 cos 2 5 cos 2 6 x x x π   + = + −  ÷   i) 2 sin 2 3 cos 2 3cos 2 2 6 x x x π   + = + −  ÷   16.Tìm m để phương trình sau có nghiệm. a) ( ) cos 5 sin 1 6m m x x m+ = − b) ( ) 2 1 cos sin 1 2m x m x m− + = + 17. a)Tìm m để phương trình 2 2 sin sin 2 3 cos 1m x x m x+ + = có nghiệm b)Tìm m để phương trình ( ) 2 2 2sin sin 2 2 2 cos 4x m x m x− + − = có nghiệm thuộc ; 4 2 π π    ÷   18.Giải phương trình. a) ( ) 2sin 2 3 6 sin cos 8x x x− + = − b) sin 2 2 cos 1 4 x x π   + − =  ÷   c) ( ) ( ) 2 1 sin 2 cos sin 1 2sinx x x x− − = − 19.Giải phương trình. a) ( ) 3 3 sin cos 1 2 2 sin .cosx x x x+ = + − b) cos 2 sin cos 1 sin 2 x x x x + = − III/Phương trình không mẫu mực. 20.Giải các phương trình. 1) sin17 .cos3 sin11 .cos9x x x x = 2) sin 5 .sin 4 3 .sin 2x x cox x x = 3) sin sin 2 sin 3 cos cos 2 3x x x x x cox x+ + = + + 4) sin 3 sin 5 sin 7 0x x x+ + = 5) tan tan 2 tan 3x x x+ = 6) sin 2 sin 5 cosx x x= − 7) 3 2sin .sin 3 3cos 2x x x + = 8) 2sin .cos 3 1 2cos 2 sin 0x x x x − + − = 9) 2 2 2 2 sin sin 2 sin 3 sin 4 2x x x x+ + + = 10) 4 4 3 cos 6 sin cos 4 x x x − + = Trang 6 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 11) 2 2cos 4 sin10 1x x+ = 12) ( ) ( ) 1 tan 1 sin 2 1 tanx x x− + = + 13) tan tan 2 sin 3 cosx x x x + = 14) tan 2 cot 2 2 cot 4x x x + − 15) sin .sin 4 2cos 3 cos .sin 4 6 x x x x x π   = − −  ÷   16) sin sin 2 sin 3 1 cos cos 2x x x x x + + = + + 17) 2 2 1 sin sin 3 sin .sin 3 4 x x x x+ = 18) ( ) 2cos 2 sin 2 2 sin 2 cosx x x x− = + 19) cos10 cos8 cos 6 1 0x x x− − + = 20) cot tan sin cosx x x x− = + 21) ( ) ( ) sin 3 cos 2sin 3 cos 3 1 sin 2 cos 3 0x x x x x x− + + − = 22) ( ) ( ) 2 2 2 2 sin 2 3 cos 2 cos 2 5 sin 6 4 4 x x x x π π     + + + = − + −  ÷  ÷     23) 9cos 3 .cos5 7 9cos3 .cos 12 cos 4x x x x x + = + 24) ( ) 3 2cos13 3 cos 5 cos3 8cos .cos 4x x x x x+ + = 21.Giải các phương trình sau. a) 1 1 2 sin 2 cos sin 4x x x + = b) 2 2sin 3 2 sin sin 2 1 1 0 sin 2 1 x x x x + − + + = + c) 3 2 cot 2 2cot 4 3 sin 2 sin 4 x x x x + = − + d) ( ) 1 2 cos 2 2 sin cos sin cos sin cos x x x x x x x = + − − e) ( ) ( ) 2 sin cos 2 cos 1 tan sin cos 1 sin sin cos x x x x x x x x x − + − = + − − 22.Giải các phương trình sau. a) 2 6 8 2cos 1 3cos 5 5 x x x + = b) 2007 2007 sin cos 1x x+ = c) ( ) 2 2 cos 2 cos 4 4 cos 3x x x− = + 23.Giải các phương trình sau. a) 2 2 4sin 2 3 tan 3 tan 4sin 2 0x x x x− + − + = b) 2 3tan 2 4 tan 3 tan 3 . tan 2x x x x− = 24.Giải các phương trình sau. a) 2sin cot 2sin 2 1x x x+ = + b) 1 3 tan 2sin 2x x+ = c) 5sin 3 3sin 5x x= d) 6 6 2 13 cos sin cos 2 8 x x x− = e) ( ) 4 4 sin cos 1 tan cot sin 2 2 x x x x x + = + f) 2 2sin 3 1 8sin 2 .cos 2 4 x x x π   + = +  ÷   25.Giải các phương trình sau. a) 3 3 7 tan 2 tan 3x x+ + − = b) 3 32 2 3 sin cos 4x x+ = c) 2 2 sin 2 sin sin 2 sin 3x x x x+ − + − = d) 2 2 4 4 10 8sin 8cos 1 1x x+ − − = e) 4 4 1 1 cos 2 cos 2 1 2 2 x x− + + = f) 2 sin sin sin cos 1x x x x+ + + = --------------------------  -------------------------- hết Trang 7