N G U Y ÊN PH Ú KHÁNH (Tái Ịần thứ nhâU TRỌNG TÂM a:, k iế n th ứ c PHƯƠNG PHÁP GĐG H N ội NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ Nộ7 ^ N G U Y ỄN PH Ú KHÁNH (Tái lần thứ nhẩt) TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG PHÁP "•'•1 — \ ‘SS \ l â y [ 1} □ hl ĐM H N ội niHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội Điện thoại: Biên tập: (04) 39714896; Quản lý xuất bản: (04) 39728806; Tổng biên tập: (04) 39715011 Fax; (04) 39729436 Chịu trách nhiệm xu ất bản: G iám đốc - Tổng biên tập: TS PH Ạ M T H Ị TRÂM B iên tập: HẢI NHƯ C hế bản: N H À SÁCH H Ồ N G ÂN T rìn h bày bia: N H À SÁCH H N G  N Đối tác liên kết xuất bản: N H À SÁCH H Ồ N G ÂN 20C N guy ễn T h ị M in h K h - Q1 - TP Hồ C hí M in h SÁCH LIÊN KÊT TRONG TÂM KlẾN THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ LƯỢNG GIÁC Mã số: 1L - 68ĐH2015 In 1.000 cuô'n, khổ 17 X 24cm Công ti cổphần Văn hóa Văn Lang Địa chỉ: số6 Nguyễn Trung Trực - P5 - Q Bình Thạnh - TP, Hồ Chí Minh Sô xuất bản: 268- 2016/CXB,IPH/30 - 53/ĐHQGHn ’ Quyêt định xuất số; 144 LK-TN/QĐ - NXBĐHQGHN, In xong nộp lưu chiểu quý I năm 2016 n â ẻ ã íầ c ù Đại thi hào VVilliam A.VVard nói: "Người thầy trung bình chi biết nói, người thầy giỏi biết cách giải thích, người thầy xuất chúng biết cách minh họa, người thầy v ĩ đại biết cách truyên cảm hứng” Và tác giả thực hi vọng sách trở thành ng u n cảm h ứ n g n h tư liệu b ổ ích cho bạn thí sinh kì thi Đ ại học tới Nội d u n g sách trình bày theo từ ng vấn đề, tương ứ n g từ n g chương, gần giống sách giáo khoa câu trúc đ ề thi Đại học Bộ Giáo dục Đ tạo (theo chương trình giảm tải hành) "T rọng tâm k iế n thứ c p h n g p h áp giải toán: Đ ại số Lượng giác" nhữ ng thuộc sách "Trọng tâm kiên thức phương pháp giải toán", tác giả biên soạn Bộ sách gồm tập: Tập I: K hảo sát hàm số ứ n g d ụ n g đạo hàm Tập II: H àm số m ũ - Logarit, Tích p h ân , Đ ại số tổ hợp, Xác suất - số phứ c Tập III: Đ ại số Lượng giác Tập IV: H ìn h học k h ô n g gian Tập V: H ìn h học tro n g tọa độ Tập VI: Bất đẳng thứ c b ài toán max - m in tro n g kiểm tra, thi học k ì tro n g kì th i tuyển sin h Đ ại học Với cách viết khoa học sinh động giúp bạn đọc tiếp cận với m ôn Toán m ột cách tự nhiên, không áp lực, bạn đọc trở nên tự tm động hơn; hiểu rõ châ't, biết cách phân tích đ ể tìm trọng tâm vâh đ ề biết giải thích, lập luận cho từ ng toán Sự đa dạng hệ thống tập tình hu ô h g giúp bạn đọc ng thú giải toán Trong sách, ví d ụ m inh họa chọn lọc, xếp từ dễ đến khó dẫn dắt đến n h ữ ng toán thi Đại học Tác giả trọng gợi m lời giải đ ể bạn đọc khám phá, bạn đọc ngạc nhiên với đường tìm tòi m ình đư a phưcmg pháp giải đầy thú vị, sau lời giải có lời bình, đúc kết kũứi nghiệm N hững câu hỏi m sách có nội d u n g bám sát sách giáo khoa câu trúc đ ề thi Đại học, thời phân chia tập thàrửi dạng toán có lời giải chi tiết H iện đ ề thi Đại học không khó, tổ hợp nhiều vân đ ề đơn giản, ng chứa nhiều câu hỏi m không nắm lý thuyết lúng túng việc tìm lời giải toán Với m ột toán, không nên thỏa m ãn với m ột lời giải m ình vừa tìm mà phải cố gắng tìm nhiều cách giải n h ất cho toán đó, m ỗi m ột cách giải có thêm phần kiến thức ôn tập Khi giải m ột toán, thay dùng thời gian đ ể lục lọi trí nhó, ta cần phải suy nghĩ phân tích đ ể tìm phư ơng pháp giải toán Đối với Toán học, h a n g sách thừa Từng trang, từ ng dòng phải hiểu Môn Toán đòi hỏi phải kiên nhẫn bền bỉ từ lứiững tập đơn giản nhâ't, nhữ ng kiến thức nhâ't, chúih n h ữ ng kiến thức giúp bạn đọc hiểu nhữ ng kiến thức nâng cao sau Giờ đây, nh tới câu nói Ludvvig Van Beethoven: "Giọt nước có th ể làm mòn tảng đá, giọt nước có sức mạnh, mà nước chảy liên tục ngày đêm Chi có phấn đâu không mệt mỏi đem lại tài Do ta có thê’khẳng định, không nhích bước th ể di xa ngàn dặm" Mặc dù tác giả d àn h nhiều tâm huyết cho cuôh sách, song sai sót điều khó ữ án h khỏi C húng m ong nhận phản biện góp ý quý báu quý độc giả đ ể nh ữ n g lần tái sau cuôh sách hoàn thiện Tác giả CHỦ ĐÊ 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH A CHUẨN KIẾN THỨC TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Cho hai hàm số y = f(x) y = g(x) có tập xác định Df Dg Đặt D = Dj n Dg Mệnh đề chứa biến "f(x) = g(x)" gọi phương trình ẩn; X gọi ẩn sô"(hay ân) D gọi tập xác định phưcmg trình Xq e D gọi m ộ t n g h i ệ m p h o T i g t r ì n h f(x) = g ( x ) n ế u "f(xg) = g(xQ)" m ệ n h đề Chú ý: Các nghiệm phưong trình f (x) = g(x) hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số y = f(x) y = g (x ) PhưoTig trình tương đương, phương trình hệ a) Phương trình tương đương: Hai phương trình (x) = gj (x) Ỉ2 (x) = g (x) gọi tưong đương chúng có tập nghiệm Kí hiệu (x) = g, (x) (x) = g (x) Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm phưcmg trình gọi phép biên đôi tương đương b) Phương trình hệ quả; Í2 (x) = g (x) gọi phương trình hệ phương trình (x) = g^ (x) tập nghiệm chứa tập nghiệm phưong trình (^) = gi (^) ^ Bi (^) h (x) = 82 (^) c) Các định lý: Định lý 1: Cho phưong trình f (x) = g(x) có tập xác định D; y = h(x) hàm số xác định D Khi D, phương trình cho tương đưong với phương trình sau: 1) f(x) + h(x) = g(x) + h(x) 2) f(x).h(x) = g(x).h(x) h(x) với X e D Định lý 2: Khi bình phương hai vế phương trình, ta phương trình hệ cùa phương trình cho f(x) = g (x )^ f^ (x ) = g^(x) Lưu ý: Khi giải phương trình, ta cần ý: • Đặt điều kiện xác định(đkxđ) phương trình tìm nghiệm phương trình phải đôì chiếu với điều kiện xác định • Nêu hai vê'của phương trình dấu bình phương hai v ế ta thu phương trình tương đương • Khi biêh đổi phương trình thu phương trình hệ tìm nghiệm phương trình hệ phải thử lại phương trình ban đầu đê’loại bỏ nghiệm ngoại lai B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: TÌM ĐIỂU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải - Điều kiện xác định phương trình bao gổm điều kiện đê giá trị f (x), g(x) xác định điều kiện khác (nếu có yêu cầu đề bài) - Điều kiện đ ể biểu thức • f ũ ) xác định f (x) > f(x) xác đinh f (x) íit xác định f (x) > 7f(x) Các ví dụ Ví dụ Tim điều kiện xác địiứi phương trình sau: x + ^ =1 x^ - 2.1 + + V x -3 - V x -2 x+1 V -2 x x ^ -3 x + Lời giải Điều kiện xác định phương trình x^ - » x^ X ±2 , , , 0 íx Điều kiên xác đinh phương trình ] Điều kiện xác định phương trình ^ ^ 3x - > -í x>ỉ 3 - Ị Í4-2x>0 [x ^-3 x + 2?t0 x - ( x - 3)^ > X= Thay X= vào thây thỏa mãn phương trình Vậy tập nghiệp phương trình s = Ị s Ị Điều kiện xác định phương trình x>0 x>2 X< -3 X< 15-3x>0 x _ _= -5 Nếu X5^ (*) -^ o -i 3x-5>0 x> — Vậy điều kiện xác định phương ữình X= X: Thay X= X= — vào phương trinh thây có X= thỏa mãn Vậy tập nghiệm phương trình s = Ị s Ị CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tim điều kiện xác định phương trình sau: - — x^-x-1 +^ / ) ^ ^ =^ / ) n ’ l + V x - = V - x „ V x - 6- x+1 x^ - 3x + Bài 2: Tim điều kiện xác định phương trình sau suy tập nghiệm nó: 4x + \l4 x -3 = y Ịịx -3 + 3 yíĩx + V x - = y j2 -x + Bài 3: Giải phương trình: Vx^ - 4x^ + x - + X = \l2 - x x^+x-l +x=l 3x + Vx - = n/ - x x - V x - ==Vs - X +16 Dạnp 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG p h é p BIEN ĐỔI t n g đ n g v h ệ q u ả Phương pháp giải Đê giải phương ưìrửi, ta thực phép biên đổi đê’ đưa phương trình tương đương với phương trình cho đơn giản việc giải Một sô' phép biến đổi thường sử dụng: • Cộng (trừ) hai v ế phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định phương trình, ta thu phương trình tương đương phương trình cho • Nhân (chia) vào hai vê'với biểu thức khác không không làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trìiứi tương đương với phương trình cho • Bình phương hai vê' phương trình ta thu phương trình hệ phương trình cho • Bình phương hai vê' phương trình (hai vê' dâ'u) ta thu phương trình tương đương với phương trình cho Các ví dụ _ Ví dụ Giải phương trình sau: ,1 11 + —— = — x -3 x ^ -x -6 „ x^ /— r -J=== = —f= = = -^Jx-2 Vx-2 Vx-2 Vx + ( x ^ - x ^ + ) = Vn/ x -l ( x^ - X- ) = Lời giải ĐKXĐ: X [x^-x-6í*0 ị x^3 [x;*-2 Với điều kiện phương trình tương đương với + —^ _ = :Ậ. TT (x -3 ) ( x + ) + X + = x^ = X = ±3 x - ( x - ) ( x + 2) V y Đôì chiêu với điều kiện ta có nghiệm phương trình X = - ĐKXĐ: X > Vói điều kiện phương trình tương đương với x^ = l - ( x - ) < » x ^ + x - = 0x= Đôì chiêh với điều kiện ta thấy giá trị thỏa mãn Vậy phương trình vô nghiệm ĐKXĐ: X > - x V s =0 , Phương trình tương đương với x'^ -3x^ +2 = X = -3 X = -3 X = -3 x^ - = x = ±l ( x2 - i ) ( x - ) = ^ LV X = ±yỈ2 x^ -2 = Đô'i chiếu với điều kiện ta nghiệm phương trình X = -3, X = ±1 X = ±\Ỉ2 x>0 ĐKXĐ: ị r- Vx-1>0 íx>0 1 X>1 Với điều kiện phương trình tương đương với v>/x- = x^-x-2 =0 X= x = - l x=2 ĐỎI chiêu với điều kiện ta cỏ nghiệm phương trình X = X = ■ Ví dụ Giải phương trình sau: n/2 x - = V4x^ -1 l2x + 1| = |x —2 I -3 x + = - x |2x + l| = x - l ■ Lời giải 2x-3>0 ĐKXĐ: , n 4x^ - > Vói điều kiện (*) phương trình tương đương với Ụ lx - j 2x - = 4x^ -1 o 4x^ - x - = 0x = - Ệ X = Thay vào điều kiện {*) ta thây chi có X = thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm nhâ't X= Hệ cho trỏ thành: 3x^ + 5x (tx) - (tx)^ =38 hệ viết lại; 5x^ -9 x (tx )-3 (tx )^ =15 x^(3 + t- t^ ) = 38(l) x^(3 + t- t2 Ị = 38 hay x ^ ( - t - t^ ) = 15 3+5 t-4 t^ _ ^ -9 t-3 t^ ^2) 15 Quy đồng mẫu sô' phương trình ( ) rút gọn ta được: 541^ + 417t -145 = 0, giải phưcmg trình ta hai nghiệm: t = 145 t = — 18 38 , : tức X= -3 X = Với t = — thê x'^ 3 + t-4 t^ 145 Với t = — — tương tự trên, trường hợp không thỏa mãn 18 Vậy hệ cho có nghiệm là; (x;y) = ( - ;- l) , (3 ;l) Ví dụ Giải hệ phương trình: [(3x + y)(x + 3y)ựxỹ = 14 |(x + y)(x^+y^ + 14xy) = 36 Lời giải Điều kiện: xy > 3(x + y)^ + 4xyJ Jxỹ = 14 Hệ cho viết lại: ^(x + y)[(x + y)^+12xy] = w ă ía = x + y í(3a^+4b^)b = 14 t r — ,th u đ c h ê ;< ' Ịb = ^ > [a(a^+12b^) = 36 Í3a^b + 4b^ =14 , , í*) |a ^ + 12ab^=36 ^ Nhận thâ'y a = không nghiệm hệ ía^(3k + 4k^) = 14(l) Với a Tí 0, đăt b = ka thay vào (*), ta được: < [a^(l + 12k^) = 36(2) Lâ'y ( ) chia ( ) thu phương trình: 72k^ - 84k^ + 54k - = o k = —=>b = — 6 hay a = b Thay a = 6b vào phương trình ( ), tìm a = => b = — x+y =3 X+ y = Ta có hệ: ■ /— (m + 6)^ - ( m -1 )(m + 6) > 22(m + 6) > m > -6 Vậy hệ phương trình có nghiệm chi m > -6 349 v í dụ Cho X, y thay đổi thỏa mãn điều kiện: + y^ = Tìm giá trị lớn 2(x^ +6xy) giá trị nhỏ nhâ't biểu thức: p = l + 2xy + 2y^ Lời giải 2(x^ +6xy) Vì x^ + y^ = nên p = x^ +2xy+ 3y^ Với y = => p = Với y 0, đặt X = t y Khi p = r + I2t (p-2)t^ + ( P - ) t + 3P = t" + t + V / V / Khi p 2, phưcmg trình có nghiệm A' = -2P^ - 6P + 36 > -6 < p < 3 Vậy: m inP = -6 x = —^ ; y = — ~ v l3 v l3 maxP = \ = - y = - ,y =~ = VlO VlO CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải hệ phương trình sau: [ 3x^ + 5xy - 4y^ = 38 [5x^ -9 x y - y ^ =15 Bài 2; Giải hệ phương trình: |3x^+2xy + y2 =11 [x^ +2xy + 3y^ =17 Bài 3: Cho hệ phương trình: Ịx^ - 4xy + y^ = m [y^ -3 x y = Giải hệ phương trình với m = Tìm m đ ể hệ phương trình có nghiệm 350 Dạng 5: HỆPHƯƠNGTRÌNHQUYVỂHỆPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI HAI Ẩn Phương pháp giải • Đưa phương trình tích: Việc phân tích thành tích có thê’ có từ phương trình hệ qua phép biên đổi đại sô' (phép thế, cộng đại sô) ta thu phương trình tích • Đặt ẩn phụ: Điều quan trọng ta cần phát ẩn phụ Thường cần biê'n đổi đại sô' (cộng, trừ, nhân, chia với sô', biểu thức) xuất ẩn phụ Loại 1: Hệ phương trình có thê đưa phương trình tích Các ví dụ Ví dụ Giải hệ phương trình: S { x - y ) =2 ^ { ĩ ) x -y ^ =8(2) Lòi giải Điều kiện; xy > Bình phương hai vê'của ( l ) , ta 3x^ - lOxy + 3y^ = 0, phương trình tương đương: (3x - y)(x - 3y) = X = 3y y = 3x Trường hợp 1: Với X = 3y thay vào phương trình ( ) ta y^ - 6y + = giải phương trình ta y = y = 4, hệ cho có nghiệm (x;y) = (6;2),(l2;4) Trường hợp 2; Với y = 3x thay vào phương trình ( ) ta thây phương trình nghiệm thực Kêĩ luận: Hệ cho có hai nghiệm (x;y) = (6 ;2 ),(l2 ;4 ) Ví dụ Giải hệ phương trình: Lời giải Phương trình ( ) (y - x)[y - (x + l ) ] [ y - (x - )] = 0, giải phương trình ta y = X y = X+1 y = X- Trường hợp 1: Với y = X thay vào phương trình ( ) ta 2y^ = tức y = 0, hệ cho có nghiệm (x; y) = (O; 0) Trường hợp 2; Với y = X+1 thay vào phương trình (2 ) ta (x + )^ + x^ = X- (x + ) o x^ + X+1 hệ vô nghiệm 351 Trường hợp 3: Với y = X - thay vào phương trình ( ) ta ( x - l) ^ + x ^ = x - ( x - l) < = > x ^ - x = 0, phương trình có hai nghiệm X = X = 1, hệ cho có nghiệm (x;y) = Kêì luận: Hệ phương trình cho có ba nghiệm (0 ;0 ),(0 ;-l),(l;0 ) xy + X + y = x ^ -2 y ^ ( ) Ví dụ Giải hệ phương trình; < ịx y ịĩỹ - Ỵ ' J x - l = x - y ( ) Lời giải Điều kiện: X > 1, y > Phương trình ( ) x^ - xy - 2y^ - (x + y) = (x + y)(x - 2y - ) = (*) Vì x > l,y > = > x + y > nên phương trình (*) )= > x = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) (5; ) Ví dụ Giải hệ phưcmg trình: 2x^ + xy - y^ - 5x + y + = ( ) x^ + y^ + X+ y - = ( ) Lời giải Phương trình ( ) tương đương với Ị^y - (2 - x )][y - (2x - l)J = Trường hợp 1: Thay y = - X vào phương trình ( ), suy (x;y) = (l;l) Trường hợp 2: Thay y = x - l vào phương trình ( ) , suy (x ;y )= í ^5 Kêt luận: Hệ cho có hai nghiệm: (x;y) = Ị • V 5j Đê’hiểu kĩ vấn đề này, tham khảo toán đây: Ta xét toán sau: Giải hệ phương trình: 2x^ + 2xy + y = ( ) y^ +xy + 5x = ( ) Lời giải Lây (1 ) trừ ( ), ta được: 2x^ - y ^ + x y + y - x + = < = > [y -(2 -x )][y - ( x - l ) J = Tương tự Hệ cho có nghiệm ( - l; - ) ,( l; l) 352 13 '' Ta xét toán sau: +4y = Giải phương trình: +16x(l) \ Ị y ' + l = 5(l + x2) (2) Lòi giải Từ phương trình ( ) suy = y^ - 5x^ ( 3) Thay ( 3) vào phương trình ( ), ta được; x^ + Ịy^ - 5x^ jy = y^ + 16x, phương trình tương đương với X= x^ - y x - = = vào phương trình ( ) suy y = ±2 Trường hơp 2: từ x^ - y x - = suy y = — — , x ^ ( 4) 5x Trường hợp 1: thay X Thay ( 4) vào ( ) biến đổi ta được; 124x'^ + 132x^ - 256 = , phương trình có nghiệm x^ = tức X = ±1 Kêì luận: Hệ cho có bôh nghiệm: (-l;3 ),(l;-3 ),(0 ;-2 ),(0 ;2 ) Ta xét toán sau: Giải hệ phương trình: x ^ + y ^ -4 x y ^ = ( ) x ^ + y ^ -4 x y = l ( ) Lời giải Í4x^= ^ Khi y = , ta có , vô nghiêm 4x^ =1 Khi y nhân hai vê'của ( ) cho y^ ta có hệ 4x^ + y ^ -4 x y ^ = 4x^y^ + y^ - 4xy^ = y^ (1) ( 3) Lâ'y ( 3) trừ ( ) vê'theo vế, ta được: 4x^y^ + y^ -4x^ = y^ x = ± ỉ Vậy hệ có hai nghiệm: U' /í Ta xét toán sau; Giải hệ phương trình: ị\lx + ĩ + yJy + = (1 ) [x + y = 17 ( ) Lời giải Điểu kiện: X > -1, y > -2 Bình phương hai vê'phương trình ( ) rút gọn ta 353 yjxỴ + 2x + y + = xy + 2x + y - 62 = ( 3) Từ phương trình ( ) suy y = 17 - X ( 4) Thay ( 4) vào ( 3), ta x^ - 18x + 45 = 0, giải phương trình ta hai nghiệm Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) = (3;1 ),(l5 ;2 ) X = X = 15 Ta xét toán sau: Giải hệ phương trình: ịy^ =(5x + ) ( - x ) ( l) [y^ -5x^ -4 x y + x -8 y + 16 = 0(2) Lời giải Phươngtrình (2)y^ - ( - x ) y - ( x + )y -5 x ^ +16x + 16 = < »l^y- (Sx + )J [y - ( - x)J = 0y = 5x + y = - X * Với y = 5x + 4, thay vào phương trình ( ) ta r (5x + 4)^ =(5x + 4)(4-x) ^ = =^ X = => y = * Với y = - X, thay vào phương trình ( ) ta (4 - x)^ = (5x + 4)(4 - x) X = => y = X = => y = Vậy hệ phương trình cho có ba nghiệm (x;y) (0;4),(4;0), í ^ Ta xét toán sau: Giải hệ phương trình: 272x + y = - x - y ( l ) x^ - x y - y ^ =2 ( Đề thi C Đ - 2010) (2) Lời giải Phương trình ( ) viết lại: 2yjlx + y + (2x + y) - = 0( 3) Đặt t = yj2x + y ,t > Khi phương trìrủi ( 3) trờ thành t^ + 2t - = 0, giải phương trìiứi ta t = -3 (không thỏa) t = Với t = tức 2x + y = l= > y = l - x thay vào phương trình (2 ) ta được: x^ + 2x - = X = -3 X = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) = ( - ;7 ) ,( l;- l) Ví dụ Giải hệ phương trình: x ^ + x y ^ + (8 y ^+ x ^)y = (l) yjx + Ỵ + l + l = 4(x + y)^ + ự 3(x + y)(2) 354 Lời giải Điều kiện: X+ y > Phương trình (l) viết lại: + 8y^ j +xy (x + 2y) = tức (x + 2y)(x^ - x y + 4y^) = 0(3) Dễ thây x^ - xy + 4y^ = Ị^X-—j + — y ^ > với Vx, y eM Khi ( 3) tương đương X+ 2y = tức X= -2 y ( 3) Đặt t = X+ y > Phương trình ( ) trớ thành Vt + +1 = 4t^ + o Vt + Ĩ - x/it = 4t^ -1 o = - ( ĩ - t)(ĩ + 2t) Vt + + v t ( l - t ) + i + 2t V t7 ĩ +Vst : =z> t = — - V vìÌ , — 7F= = + + 2t > với Vt > Vt + 1+V3t Với t = —=>x + y = — ( 4) Thay ( ) vào ( ) ta y = => X= Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: (x;y) Lời giải Điều kiện y < — ^ Đặt u = 2x, V = ^ - y Phương trình ( ) trở thành; uỊu^ + 1j = vỊv^ + 1j tức (u - v)Ịu^ + uv + v^ +1 j = (*) Vì u^ + uv + v^ +1 > với Vu, v e # nên phương trình (*) y = 31 31^11 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (13 ; - — 355 Ví dụ 7, Giải hệ phưong trình sau: í 2xy + 3x + 4y = -6 Ix^ -y ^ + x - y = 4x^ + l = y^ - x X +y x^ + xy + y^ = ( x - l f = y (3 -5 y ) Lời giải (x + 2)(2y + 3) = Hệ phương trình tương đương với x^ - y^ + 2x - y = x+2=0 , 2y+3=0 (1) )ặc \ (2) |x ^ - y^ + 2x - 4y = [x'^ - y^ + 2x - y = í T a c ó (l)« |2 I x = -2 x = -2 -y ^ + x - y = |y ^ + y + = (2) x^ - y^ + 2x - 4y = 4x^ + x - = Vậy hệ phương trình có nghiệm f 3^ l 2; Hệ phương trình tương đương với Xét hệ (Vô nghiệm) ^1 X= —— X= — 2 hoăc ■ r i 3"ị l2 2) (2x + l f =y2 y = ±(2x + l) x^+xy + y ^ = l [x ^+ x y + y ^ = l y = 2x + l j y = 2x + l + xy + y ^ = l Ịx ^ + x (2 x + l) + (2x + l)^ =1 jx = ỵ = 2x + \ O' [ y = 2x + l 7x^ + 5x = y = - Xét hệ 2x - ■+ xy + y ^ = l [y = - x - l • 3x^ + 3x = 356 ịy =l x=0 X= X= í Ị x ^ -x ( y = - 2x x =-l - + l ) + ( x + l)^ I x=0 y =- x - l X= 2x [y = - l [x = - l [y = l =1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) — ĐKXĐ: X y Phương trình thứ hệ phương trình tương đương với i ^ = ( y l) « x - y -2 X2 + y X2 + y = ^ x y -2 x ^ -2 y ^ „ ^ (x -2 y )(y -2 x ) X- 2y + — -— —-—— = o X- 2y + i -z = X2 + y X2 + y x = 2y o ( x - 2y)(x^ + y^ - x + yj = 0/Ĩ3 + VĨ3 ' ' - V Ĩ - V Ĩ ' f l 1^ 9 r s x ^ -2 x = - y ^ - y x ^ -2 x + - = l (4) ( x - l) ^ = y ( - y ) Jl r s J ' U ' 2j f3 l ì U ' 2j Ví dụ Giải hệ phương trình sau: X + = xy [y^ +5x^ = x y + x^ + 2y^ + 2y^ = 2xy (x + 1) 3xy = Ịx^ - y j 2+ 2x + y 2x + y j \/ỹ = 2 357 Lời giải xy - x^ = Hệ phưong trình tương đương với y^ + 5x^ = 4xy + Ịxy “ Ị xy - =3 ^ j xy X [ 2x-y =0 Giải hệ (1): (l) • w2=_ 3o xy - x^ I [ó x ^-5 x y + y^ = j Ị(2x - y)(3x - y) = j x y - x ^ =3 ( ) 1[ 33xx vy = n I X= ± y Ỉ ■; y = 2x [y-2x x^ =3 [ X= -V3 [ X= Vs i r- y = 2V3 [y = -2V3 X= X= — V hoăc h o ặ c ^2 3V6 ■ 3V6 [y = ^ [ y r 2x^ =3 X= ±-— Giải hệ (2): 121 (2) < Giái -^1 y = 3x yy -=33x x iì Vậy hệ phương trình có nghiệm Ị^/3;2^/3Ị, ị-yj3;-2\Í3y ^ ' 3yÍ6 |x^ +2y^ - x ^ y + y ( y - x ) = Hệ phương trình tương đương với -Ị ^ ' 2y = 2\^ -3 x y x^ +2y^ -2x^y + (2x^ - x y j ( y - x ) = Ịx^ -3x^y + 3xy^ -2y^ = 2y = 2x^-3xy ( x - y ) ( x = - x y + y^) = ^ | 2y = 2x^-3xy x-2y = í x^ - xy + y^ = s 2y = 2x^-3xy [ 2y = 2x^ -3 x y [2y = 2x - x y (4) x = 2y íx = , „ x = Già, h| (3)- ( ) í ’" ■ ? , oíi ^O i y = 0, - 3x^/x < 0) y = 2x y = 2x ly = 2x 2(2x)^ - 2(2x) +1 = 3x(2x) [2x^ - 4x +1 = + yÍ2 :2 + V2 ■ 2±V2 -V 2 (thỏa mãn điều kiện) [y = 2-yỈ2 + >/2 ;2 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) + ^ ^ /■ -^ /2 ;2 -^ /2 361 ĐKXĐ: [ x>2y [y^O Phương trình thứ hệ tương đương với 6y^ + y ^ x - y - ( x - y ) = 0Ị y - ^ x - y Ị Ị y + ^ x - y j = y - x - y =0 (1) o _2y + V x - y = (2) T H I: Với 3y - ^Jx-2y = 3y = ^x - y : Dễ thây y < phương • trình vô nghiệm Ta xét y > ta có (l) Cí> 9y^ = X - 2y kê't hợp với phương trình thứ hai hệ [ 9y^=x-2y 9y^=x-2y 9y^=x-2y l x ( l - y ) = x ^ +2y |x ^ + x y = 9y^ l(x - y)(x + 9y) = 9y = x - y (P) hơặc f y = " - ^ ( " ) lx-y=0 ' [x+9y=0 y =0 x=y =0 9y^ = —y 11 ■! Hệ phương trình (!') tương đương ị ^ ^ “i v = - — x = y: x -y = x=y Hệ phương trình (1") tương đương y =0 n ^ Ị x =o |9y^=-9y-2y^_ y = - phương trình vô nghiệm Ta xét y < ta có ( ) 4y^ = X - 2y kết hợp với phương trình thứ hai hệ I 4y^=x-2y j 4y^=x-2y I 4y^=x-2y | x ( l - y ) = x^+2y Ịx^+8xy = 4y^ | x = -4y±2>/5y o Ị C Th o ặco l [x = (-4 + 2V5)y (2-) [x = (-4 -2 V )y 4y2 = í - + 2V5]y Hệ phương trình (2') tương đương với x = [-4 + 2V5jy 362 ... thi Đại học Bộ Giáo dục Đ tạo (theo chương trình giảm tải hành) "T rọng tâm k iế n thứ c p h n g p h áp giải toán: Đ ại số Lượng giác" nhữ ng thuộc sách "Trọng tâm kiên thức phương pháp giải toán" ,... KÊT TRONG TÂM KlẾN THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ LƯỢNG GIÁC Mã số: 1L - 68ĐH2015 In 1.000 cuô'n, khổ 17 X 24cm Công ti cổphần Văn hóa Văn Lang Địa chỉ: số6 Nguyễn... lời giải toán Với m ột toán, không nên thỏa m ãn với m ột lời giải m ình vừa tìm mà phải cố gắng tìm nhiều cách giải n h ất cho toán đó, m ỗi m ột cách giải có thêm phần kiến thức ôn tập Khi giải