HƯỚNG DẪN ƠN THI TỐT NGHIỆP MƠN GIẢI TÍCH A/ CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP MƠN TỐN CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu I (3 điểm): - Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số - Các tốn liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số: chiều biến thiên hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng ngang) đồ thị hàm số Tìm đồ thị điểm có tính chất cho trước, tương giao hai đồ thị (một hai đồ thị đường thẳng)… Câu II (3 điểm): - Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ lơgarit - Giá trị lớn nhỏ hàm số Tìm ngun hàm, tính tích phân - Bài tốn tổng hợp Câu III (1 điểm): Hình học khơng gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Câu IV.(2 điểm): Nội dung kiến thức: - Xác định tọa độ điểm, vectơ - Mặt cầu - Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng - Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu V.(1 điểm): Nội dung kiến thức: - Số phức: mơđun số phức, phép tốn số phức Căn bậc hai số thực âm Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức ∆ âm - Ứng dụng tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay B/ MỘT SỐ CHỦ ĐỀ TỰ BỒI DƯỠNG Chủ đề I: DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ: I/ Khảo sát hàm đa thức: 1/ Sơ đồ khảo sát hàm đa thức: B1: Tập xác đònh: D= ¡ = B2: Tìm limy x→±∞ B3: Tính đạo hàm y’, tìm nghiệm phương trình y’= 0, tính giá trò hàm số nghiệm vừa tìm B4: Lập bảng biến thiên x f’(x) f(x) Ghi tập xác đònh nghiệm phương trình y/=0 Xét dấu y/ Ghi khoảng tăng, giảm , cực trò hàm số B5: Tính đạo hàm cấp 2, tìm nghiệm y”= ⇒ điểm uốn B6: Tìm điểm đặc biệt thường tìm điểm có hoành độ nhỏ cực trò bên trái điểm có hoành độ lớn cực trò bên phải B7:Vẽ đồ thò Các dạng đồ thò hàm bậc 3: y y y y 0 x  y' = có2 nghiệm phân biệt  a> x x  y ' ≥ ∀x  a > 0  y' = có2 nghiệm phân biệt  a< x  y ' ≤ ∀x  a < Chú ý: Đồ thò hàm bậc nhận điểm uốn làm tâm đối xứng Các dạng đồ thò hàm trùng phương:  y' = có3 nghiệm phân biệt  y' = có1 nghiệm đơn  y' = có3 nghiệm phân biệt  y' = có1 nghiệm đơn      a>  a>  a< a< Chú ý: Đồ thò hàm trùng phương nhận trục oy làm trục đối xứng 2/ Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x3+3x2– Giải: Tập xác đònh: D = R limy = ±∞ x→±∞  x = ⇒ y = −4 y′ = 3x2+6x = 3x(x+2), cho y′ = ⇔   x = −2 ⇒ y = Lập bảng biến thiên −∞ x -2 +∞ / y + 0 + y CT +∞ -∞ CĐ -4 y′′ = 6x + cho y′′ = ⇔ x= –1 ⇒ y= -2, y’’ đổi dấu qua x=-1 ⇒ I(-1 ;-2) điểm uốn Điểm đặc biệt: A(1;0) B(-3;-4) Vẽ đồ thò hàm số: -2 y x -2 Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y = 2x2– x4 Giải MXĐ : D= R -4 limy = −∞ x→±∞  x =0 ⇒ y=0 cho y′ = ⇔ 4x(1–x2)=0 ⇔   x =± 1⇒ y=1 Lập bảng biến thiên: −∞ x -1 ∞ + y/ + 0 + y CT -∞ CĐ CĐ -∞ y′ = 4x–4x3 = 4x(1–x2) y′′ = 4–12x2 cho y′′ = ⇔ x = ± ⇒ y= y′′ đổi dấu qua x = ± ⇒ Đồ thị hàm số có điêm uốn Điểm đặc biệt: A ( ) ( ) y  5 ; ÷  ± 9÷   2;0 B − 2;0 x -2 Đồ thò: 3/ Bài tập đề nghò: Bài 1: Khảo sát hàm số sau: a/ y=x3 – 3x2 b/ y= - x3 + 3x – c/ y= x3 + 3x2 + 4x -8 d/ y = x4 – 6x2 + e/ y = - x4 + 2x2 + f/ y = x4 + 2x2 4 Bài 2: a/Cho hàm số y= x3 – 3m x2 + 4m3 Khảo sát vẽ đồ thò (C) hàm số m=1 b/Cho hàm số y= x4 – m x2 + 4m -11 Khảo sát vẽ đồ thò (C) hàm số m=4 II/ Khảo sát hàm biến: 1/ Sơ đồ khảo sát hàm y =  −d  B1: TXĐ D = R\    c B2: Tiệm cận ngang là: y = B3: Tính đạo hàm y’= ad − bc ( cx + d) ax + b : cx + d −d a Tiệm cận đứng x = c c ⇒ tính đơn điệu hàm số B4: Lập bảng biến thiên x Ghi miền xác đònh hàm số f’(x) Xét dấu y/ f(x) Ghi khoảng tăng giảm hàm số B5:Tìm giao điểm đồ thò với trục toạ độ , lấy thêm số điểm khác để dễ vẽ B6:Vẽ đồ thò Dạng đồ thò hàm b1/b1 y’< ∀x ∈ D y’> ∀x ∈ D 2/ Ví dụ: Khảo sát hàm số : y = 2x − x+ MXĐ: D= R\ { −1} y′ = > ∀x∈ D ⇒ hàm số đồng biến khỏang xác ( x+ 1) đònh TCĐ: x=–1 ; TCN: y = Lập bảng biến thiên x -∞ / y + y +∞ -1 +∞ + -∞ Điểm đặc biệt: A(0;-2), B(1; 0), C(-2;6), D(-3;4) y Đồ thò: -8 -6 -4 -2 Bài tập đề nghò: -2 -4 Bài 1: khảo sát hàm số sau: -6 −x+ x−1 -8 a/ y = b/ y = c/y = 2x + x+ x− Bài 2: mx − m+ Cho hàm số y= khảo sát hàm số m = x− m x Chủ đề II: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ I/Bài toán1: Tìm giao điểm hai đường:  Cho hai hàm số : y= f(x) có đồ thò (C), y= g(x) có đồ thò (C’) Tìm giao điểm (C) (C’)  Phương pháp giải: B1: phương trình hoành độ giao điểm (C) (C’): f(x) = g(x) (1) B2: Giải (1) giả sử nghiệm phương trình x 0,x1,x2 giao điểm (C) (C’) :M0(x0;f(x0) ); M1(x1;f(x1) ); M2(x2;f(x2)) Chú ý: Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C) (C’) Ví dụ 1: Cho đường cong (C): y= x3 -3x +1 đường thẳng d qua điểm A(0;1) có hệ số góc k biện luận số giao điểm (C) d Giải Phương trình đường thẳng d có dạng: y= kx + Phương trình hoành độ giao điểm (C) d : x3 -3x +1 = kx + (1) ⇔ x3-(3+k)x = x = ⇔ x(x2-3-k) = ⇔   g(x) = x − 3− k = (2) ta có ∆ / (2)= 3+k Nếu 3+k < ⇔ k ⇔ k> -3 Mặt khác g(0) = ⇔ -3-k = ⇔ k = -3 phương trình (2) có nghiệm phân biệt khác không ⇒ (1) có nghiệm phân biệt ⇒ (C) d có giao điểm − 2x x −1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho Ví dụ 2: Cho hàm số y = Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y = mx + cắt đồ thị hàm số cho hai điểm phân biệt Giài: 2/ Đường thẳng y = mx + cắt đồ thị hai điểm phân biệt − 2x = mx + có hai nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (ẩn x) x− ⇔ Phương trình (ẩn x) mx2 – (m – 4)x – = có hai nghiệm phân biệt, khác m ≠  ⇔ ∆ = (m − 4) + 20m > m.12 − (m − 4).1 − ≠  m ≠ ⇔  m +12m +16 > m < −6 −  ⇔ −6 + < m < m >   Bài tập đề nghò: x2 + x − đường thẳng d qua gốc toạ x+ độ có hệ số góc k biện luận theo k số giao điểm d (C) Bài 2: Cho đường cong (C): y= Dựa vào đồ thò (C) biện luận theo x− k số giao điểm (C) đường thẳng y=k II/ Bài toán2: Biện luận số nghiệm phương trình đồ thò  Dùng đồ thò biện luận số nghiệm phương trình f(x)= ϕ (m)  Phương pháp giải: B1: Vẽ đồ thò (C) hàm f(x) (Thường có toán khảo sát hàm số ) B2: Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thò (C) đường thẳng y= ϕ (m) Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm Ví dụ: Cho hàm số y=x3 – 6x2 + 9x (C) Dùng đồ thò (C) biện luận số nghiệm phương trình x3 – 6x2 + 9x – m = y Giải: Phương trình x – 6x + 9x – m = ⇔ x3 – 6x2 + 9x = m Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thò (C) đường thẳng d: y=m dựa vào đồ thò ta có: Nếu m > phương trình có nghiệm Nếu m = phương trình có nghiệm Nếu 0< m " m ⇒ y/=0 luôn có 2 nghiệm phân biệt Vậy hàm số có cực đại cực tiểu ( ) 2 3/Đònh m để hàm số y= x − 3mx + m − m x + có cực đại, cực tiểu Giải Txđ D=R y/= 3x2 -6mx +3(m2-m) Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y/=0 có nghiệm phân biệt ⇔ 3x2 -6mx +3(m2-m)=0 có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ / > ⇔ 9m2 -9m2 +9m >0 ⇔ m>0 m>0 giá trò cần tìm Bài tập đề nghò: ( ) ( ) Bài 1: Đònh m để y= x − 3mx + m − x − m − Bài 2: Cho hàm số y= x=1 đạt cực đại x=1 ĐS:m=2 x − ax + b Đònh a,b để hàm số đạt cực trò –2 Bài : Cho hàm số y= x2 − x + m Đònh m để hàm số có cực trò giá trò x +1 cực trò dấu Bài 4: Cho hàm số y= x + ( m − 1) x − ( m + 3) x − CMR đồ thò hàm số lu6n có cực đại cực tiểu.Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trò hàm số Chủ đề III:TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NH NHẤT CA HM SỐ Phương pháp giải: *Tìm giá trò lớn giá trò nhỏ hàm số miền xác đònh hay khoảng : -Tìm tập xác đònh -Tính y’, tìm điểm đạo hàm khơng khơng xác định hàm số liên tục , tính giá trò hàm số điểm -Lập bảng biến thiên bảng biến thiên ⇒ GTLN, GTNN *Giá trò lớn giá trò nhỏ hàm số đoạn [a;b]: -Tính y’, tìm điểm thuộc [a;b] đạo hàm khơng khơng xác định hàm số liên tục Giả sử điểm x1, x2,…, xn - Tính giá trò f(a), f(x 1), f(x2),…., f(xn) , f(b) GTLN số lớn giá trò vừa tìm được, GTNN giá trò nhỏ số vừa tìm Ví dụ a)Tìm giá trò lớn & giá trò nhỏ hàm số y= 2x − x2 b)Tìm giá trò lớn & giá trò nhỏ hàm số b/ y = [ ;2 ] Giải : a)Txđ : D =[0;2] 1− x y/ = cho y/=0 ⇔ 1-x=0 ⇔ x=1 ⇒ y=1 2x − x Bảng biến thiên x y/ + y CĐ 0 max f (x) = f (1) = 1, f (x) = f(0) = (2) =  1  x = ∈  ;2  2  x2 − b) y/= cho y/=0 ⇔ x2-1=0 ⇔   x 1   x = −1 ∉  ;2 2   x2 + x +1 x 7 Ta có y( ) = ; y(1)=3 ; y(2)= 2 max f (x) = f (1) = f (x) = f( ) =f(2)= ;  1;2 [ ;2] 2   Bài tập đề nghò: Bài 1: Tìm giá trò lớn nhất,giá trò nhỏ hàm số : a) y= x2 + (x > 0) b) y = x3 − 3x + [ −10,10] x c) y = 5− 4x đoạn [ −1,1] d) y= x4- 4x2 + đoạn [-2;2] Chủ đề IV: Phương trình, bất phương trình mũ loga 1/ Phương pháp giải phương trình mũ logarit : • Dạng bản: f (x) = g(x) ⇔ f(x) = g(x) a a v(x) = ⇔ ( u −1 ).v(x) = ( u có chứa biến ) f (x) = b ( với b > ) ⇔ f(x) = log a b u a f (x)hoặc >0 g(x) > log a f(x) = log a g(x) ⇔  f (x) = g(x) log a f (x) = b dạng:  0 < a ≠ log u(x) v(x) ⇔ f(x) = a b  v(x) > ; u(x) > ; u(x) ≠ ⇔  =b  v(x) = [ u(x)] • Đặt ẩn phụ : α a 2f (x) +β a f (x) + γ = ; b Đặt : t = a f (x) Đk t > α f (x) +β b f (x) + γ = ; ( với a.b=1) a α a 2f (x) +β ( a.b ) f (x) Đặt : t = a f (x) (Đk t > 0) ⇒ = b f (x) t f (x) a + γ b 2f (x) = ; Đặt t =  ÷ b • Logarit hoá hai vế : 2/ Phương pháp giải bất phương trình mũ logarit • Dạng : f (x) > g(x) a > 10 a f (x) > a g(x) ⇔  f (x) < g(x) < a < 20 a f (x) > b ⇔ Nếu b ≤ có nghiệm ∀x Nếu b > f(x) > log a b a > f(x) < log a b < a < f (x) a < b ⇔ Nếu b ≤ pt vô nghiệm Nếu b > ; f(x) < log a b a > f(x) > log a b < a < •log a f(x) > log a g(x) ⇔ Đk: f(x) > ; g(x) > ; < a ≠ (a−1)[ f(x) − g(x) ] > •log a f(x) > b ⇔ * Nếu a > : bpt f(x) > ab •log a f(x) < b * Nếu < a < bpt < f(x) < ab ⇔ * Nếu a > : bpt < f(x) < ab 10 f(x) > ab * Nếu < a < bpt • ( u(x) ) v(x) > ⇔ u(x) > [ u(x) −1 ].v(x) > • ( u(x)) v(x) < ⇔ u(x) > [ u(x) −1 ].v(x) < Lưu ý: *) trường hợp có ẩn số nên sử dụng cơng thức sau để tốn trở nên dễ dang 10 a f (x) > a g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > 20 log a f(x) > log a g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > *) Khi giải tốn bất phương trình mũ logarit phải nắm thật vững tính chất đơn điệu hai hàm số *) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao hai hay nhiều tập hợp số Bài tập đề nghò: Phương trình mũ: Dạng Đưa số Bài 17 : Giải phương trình sau a) x− = d) x − x +8 b) x −6 x − g) ( − 53− x 5+2 ) +( x ( 5−2 ) x x +17 5 2 x 2 5 x+1 d)  ÷ −  ÷ f) − 15 = 20 x) b) 92x +4 - 4.32x + + 27 = c) 52x + – 110.5x + – 75 = x x +5 g) (1,25) – x = (0, 64) 2(1+ f) 2x + 2x -1 + 2x – = 3x – 3x – + 3x - Dạng đặt ẩn phụ Bài 18 : Giải phương trình a) 22x + + 22x + = 12 e) + x −5 f) 32 x −7 = 128 x −3 e) 52x + – 52x -1 = 110 = 41−3 x c) 32 x −3 = x = 16 ) +( 4+ x 15 ) x + =0 =2 = 10 h)32 x +1 − 9.3x + = i) x + 2.71− x − = (TN – 2007) j) 22 x + − 9.2 x + = Dạng Logarit hóạ Bài 19 Giải phương trình a) 2x - = b) 3x + = 5x – c) 3x – = x − x +12 x −1 d) x − = x −5 x + e) x.8 x = 500 f) 52x + 1- 7x + = 52x + 7x Dạng sử dụng tính đơn điệu Bài 20: giải phương trình a) 3x + x = 5x b) 3x – 12x = 4x c) + 3x/2 = 2x Phương trình logarit Dạng Đưa số Bài 21: giải phương trình a) log4(x + 2) – log4(x -2) = log46 b) lg(x + 1) – lg( – x) = lg(2x + 3) c) log4x + log2x + 2log16x = d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = e) log3x = log9(4x + 5) + ½ f) log4x.log3x = log2x + log3x – x–2 x–2 g) log2(9 +7) – = log2( + 1) h) log ( x + ) + log ( x − ) = log3 Dạng đặt ẩn phụ Bài 22: giải phương trình a) + =1 − ln x + ln x c) logx + 17 + log9x7 = b) logx2 + log2x = 5/2 d) log2x + 11 10 log x + = e) log1/3x + 5/2 = logx3 g) log f) 3logx16 – log16x = 2log2x x + 3log x + log x = h) lg x2 16 + l o g x 64 = Dạng mũ hóa Bài 23: giải phương trình a) – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x) b) log3(3x – 8) = – x Bất phương trình mũ Bài 24: Giải bất phương trình x+ a) 16 x–4 ≥8 1 b)  ÷  3 >1 e)  ÷ 2 5x Bài 25: Giải bất phương trình a) 22x +6 + 2x + > 17 1 c) x −1 > x − + ≤ 15 b) 52x – – 2.5x -2 ≤ d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x e) 16x – 24x – 42x – x +1 x f) -16 ≥ 2log48 g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x Bài 26: Giải bất phương trình a) 3x +1 > b) (1/2) 2x - 3≤ c) 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - x – 2) Bất phương trình logarit Bài 27: Giải bất phương trình a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – c) log2( x2 – 4x – 5) < d) log1/2(log3x) ≥ e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3 f) log2x(x2 -5x + 6) < g) log 3x − >1 x+2 Bài 28: Giải bất phương trình a) log22 + log2x ≤ b) log1/3x > logx3 – 5/2 c) log2 x + log2x ≤ e) log x 2.log x 16 > log x − d) 1 + >1 − log x log x f) log (3x − 1).log ( 3x − )≤ 16 Bài 29 Giải bất phương trình a) log3(x + 2) ≥ – x b) log5(2x + 1) < – 2x c) log2( – x) > x + d) log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ Chủ đề IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN I/TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ: 1/Các kiến thức cần nắm vững : Các đònh nghóa nguyên hàm họ nguyên hàm, tính chất nguyên hàm Bảng nguyên hàm thường dùng 2/Một số dạng toán thường gặp: Dạng 1: Tìm nguyên hàm hàm số đònh nghóa tính chất Phương pháp giải: Thường đưa nguyên hàm cho nguyên hàm tổng hiệu sau vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết Ví dụ: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) f(x) = x3 – 3x + x b) f(x) = x + x c) f(x) = (5x + 3)5 12 d) f(x) = sin4x cosx Giải a/ ∫ 1 x4 3 f (x)dx = ∫ (x - 3x + )dx = ∫ x dx − 3∫ xdx + ∫ dx = − x + ln x + c x x 2x 3x b/ f (x)dx = (2 +3 ) dx = dx + dx = + +c ∫ ∫ ∫ ∫ ln2 ln3 d(5x + 3) (5x + 3)6 c/ f (x)dx = (5x+3)5dx = (5x+3)5 = +c ∫ ∫ ∫ 30 sin5 x d/ f (x)dx = sin4x cosxdx = sin4x d(sin x) = +c ∫ ∫ ∫ x x x x Dạng 2: Tìm nguyên hàm hàm số thoả điều kiện cho trước Phương pháp giải: B1: Tìm họ nguyên hàm hàm số cho B2: Thay điều kiện cho vào họ nguyên hàm tìm C thay vào họ nguyên hàm ⇒ nguyên hàm cần tìm Ví dụ: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)=1+ sin3x biết F( Giải π )= π π π π cos3x + C Do F( ) = ⇔ cos +C=0 ⇔ C=- 6 π Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x – cos3x Ta có F(x)= x – Bài tập đề nghò: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)=sin 2x.cosx, biết giá trò nguyên hàm π − x= 2x + 3x + 3x − Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) = , biết F( 1) = x + 2x + Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) = e 1-2x , biết F( ) = II/ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN : 1/Các kiến thức cần nắm vững : Bảng nguyên hàm thường dùng Đònh nghóa tích phân, tính chất tích phân Các phương pháp tính tích phân 2/Một số dạng toán thường gặp: Dạng 1: Tính tích phân đònh nghóa tính chất Phương pháp giải: Thường đưa tích phân cho tích phân tổng hiệu sau vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết Ví dụ: Tìm tích phân hàm số sau: a/ ∫ (x + 1)dx −1 π 4 − 3sin x)dx b/ ∫ ( cos2 x −π c/ ∫ x − dx −2 Giải a/ ∫ (x −1 + 1)dx = 3 x ∫ x dx + ∫ 1dx = ( + x) −1 −1 =( −1 13 81 + 3) − ( − 1) = 24 4 π π π π 4 4 = − 3sin x ) dx = dx − sin xdx = (4 tgx + 3cos x ) b/ ∫ ( 2 π ∫ ∫ − cos x cos x −π −π −π 4 4 = (4tgπ + 3cosπ )−[4tg(− π )+ 3cos(− π )] =8 4 4 c/ ∫ 2 −2 −2 x − dx = ∫ x − dx + ∫ x − dx = ∫ (1− x)dx + ∫ (x − 1)dx =(x- −2 x2 x2 ) −2 + ( − x) =5 2 Bài tập đề nghò: Tính tích phân sau: π 1 x 2/J= ∫ (e + 2)dx ∫ 1/I= (3+ cos2x).dx ∫ 3/K= (6x + 4x)dx 0 Dạng 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến dạng 1: Phương pháp giải: ′ dt b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b) ⇒ dx = u(t) b2: Đổi cận: x = a ⇒ u(t) = a ⇒ t = α x = b ⇒ u(t) = b ⇒ t = β ( chọn α , β thoả đk đặt trên) b b3: Viết ∫ f(x)dx tích phân theo biến mới, cận tính tích a phân Ví dụ: Tính : ∫ 1− x2 dx π Đặt x = sint ⇒ dx = cost.dt Vì x ∈ [0;1] nên ta chọn t ∈ [0; ] Đổi cận: x = ⇒ t = Vậy : ∫ 1− x2 dx = π ; ∫ cos t.dt = x= ⇒ t = π π 1 sin2t π2 = π (1 + cos2t).dt= ( t + ) ∫0 2 Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dấu tích phân có dạng :    π π ; ] 2 π π a2 + x2 đặt x= a tgt t ∈ (− ; ) 2 a π π t ∈ [− ; ] \ { 0} x2 − a2 đặt x= 2 sint a2 − x2 đặt x= a sint t ∈ [− b Dạng 2: Tính tích phân ∫ f[ϕ (x)]ϕ '(x)dx phương pháp đổi biến a Phương pháp giải: b1: Đặt t = ϕ (x) ⇒ dt = ϕ '(x) dx b2: Đổi cận: x = a ⇒ t = ϕ (a) ; x = b ⇒ t = ϕ (b) b3: Viết tích phân cho theo biến mới, cận tính tích phân tìm Ví dụ : Tính tích phân sau : 14 2x + dx a/ I = ∫ x + x+ b/ J = ∫ x2 + 3.x.dx Giải: a/ Đặt t = x2 + x +1 ⇒ dt = (2x+1) dx 3 Đổi cận: dt x = ⇒ t =1 ; x = ⇒ t = Vậy I= ∫ = ln t = ln3 t 1 b/ Đặt t= x2 + ⇒ t2= x2+ ⇒ tdt = x dx Đổi cận: t3 x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = Vậy J = ∫ t dt = 3 2 = (8− 3) Bài tập đề nghò: Tính tích phân sau: π ∫ 1/ e sin x ex dx 2/ ∫ x e +1 cos x.dx e 3/ ∫ 1+ ln x dx x ∫ 4/ x(x + 3) dx Dạng 3: Tính tích phân phương pháp tùng phần: b Công thức phần : b = uv − ∫ vdu ∫ udv b a a a Phương pháp giải: B1: Đặt biểu thức dấu tích phân u tính du phần lại dv tìm v B2: Khai triển tích phân cho theo công thức phần b B3: Tích phân ∫ vdu suy kết a Chú ý: b a/Khi tính tính tích phân phần đặt u, v cho ∫ vdu a b dễ tính ∫ udv a khó phải tìm cách đặt khác b b/Khi gặp tích phân dạng : ∫ P(x).Q(x).dx a - Nếu P(x) đa thức ,Q(x) hàm số e ax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b) ta đặt u = P(x) ; dv= Q(x).dx Nếu bậc P(x) 2,3,4 ta tính tích phân phần 2,3,4 lần theo cách đặt - Nếu P(x) đa thức ,Q(x) hàm số ln(ax+b) ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx Ví dụ 1: Tính tích phân sau: π ∫ a/ I= x.cos x.dx e ∫ b/J= x.ln x.dx Giải u = x du = dx ⇒ (chú ý: v nguyên hàm cosx ) dv = cos x.dx v = sin x a/ Đặt :  15 I=x cosx π - π π ∫ sin x.dx = cosx = -1 du = dx  u = ln x x ⇒ b/ Đặt :  dv = x.dx v = x2  e e x2 e2 e2 e e2 + x2 e dx = − xdx = − x = Vậy J= lnx - ∫ 2 ∫1 4 1 x Bài tập đề nghò: Tính tích phân sau: ∫ 3x 1/ x.e dx 2/ π e x ∫ cos x dx 3/ π ∫ ln x.dx ∫ 4/ 2x.ln(x − 1).dx 5/ ex cos x.dx ∫ Dạng 4: Tính tích phân số hàm hữu tỉ thường gặp: a/Dạng bậc tử lớn hay bậc mẫu: Phương pháp giải: Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng phần nguyên phần phân số tính Ví dụ: Tính tích phân sau: 2 2x 1 dx =ò (1+ )dx = [x + ln 2x- 1]12 = 1+ ln3 a/ ò 2x- 2x- 2 1 = ln3 x3 + 3x +1 x3 x2 23 dx =ò (x2 + x + 4+ )dx = [ + + 4x + ln x- 1]-0 = - ln2 b/ ò x- x- - - Bài tập đề nghò: Tính tích phân sau: x3 + 2x2 − 3x dx 1/I= ∫ x2 2x2 + 5x + dx 2/J= ∫ x+1 b/Dạng bậc1 bậc 2: Phương pháp giải: Tách thành tổng tích phân tính Trường hợp mẫu số có nghiệm phân biệt: 5( x- 1) dx Ví dụ: Tính tích phân : òx x- Giải 5x- A B A(x- 3) + B(x+ 2) 5( x- 1) = + = Đặt = (x + 2)(x- 3) x - x- (x + 2)(x- 3) x + x- ⇒ A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 ⇒ A=3 cho x=3 ⇒ B=2 ta có: 2 5( x- 1) dx 16 ò x2 - x- = ò( x+ + x- 3)dx = (3ln x+ + 2ln x- ) = ln 27 1 Trường hợp mẫu số có nghiệm kép: Ví dụ: Tính tích phân : (2x +1)dx 4x + òx Giải 16 1 1 (2x +1)dx 2x- d(x2 - 4x + 4) = ò( + )dx = ò + 5ò dx CI: ò x - 4x + x - 4x + x - 4x + x - 4x + (x- 2)2 0 5 ) = − ln4 =(ln x − 4x + − x− 2 2x +1 2x +1 A B A(x- 2) + B = = + = Û A(x- 2) + B = 2x+1 CII: Đặt 2 x - 4x + (x- 2) x- (x- 2) (x- 2)2 A = A = ⇔ Ax -2A+B= ⇔  ⇔  −2A + B =  B = 1 2x +1dx 5 ò x2 - 4x+ = ò[ x- + (x- 2)2 ]dx = (2ln x-2 - x-2 ) = − ln4 0 Vậy Trường hợp mẫu số vô nghiệm: Ví dụ: Tính tích phân :I= (2x- 3)dx + 2x + òx - Giải: 0 d(x2 + 2x + 4) dx = ò (x+1)2 + ò x2 + 2x+ - 5J - 2x + dx2 x + x + - I =ò Ta có d(x2 + 2x + 4) ò x2 + 2x+ = ln/x +2x+4/ −1 = ln4− ln3 = ln 0 Tính J= ò (x+1) - dx +3  −π π  ;  ) ⇒ dx= 3(1+ tg2t)dt Đặt x+1= 3tgt (t ∈   2 π π π 3(1+ tg2t) 36 π Khi x= -1 t = ; x=0 t= J= dt = 1dt = − ∫0 (3+ 3tg2t) ∫ 3 Vậy I= ln π − 5( − ) 3 Bài tập đề nghò: Tính tích phân sau: 1 dx 1/I= ∫ x − x + 1− 2x 3x − dx 3/ I= ∫ dx 2/I= ∫ x − x + x − x + Dạng 5: Tính tích phân hàm vô tỉ: b ∫ n  Dạng1: R(x, ax + b)dx Đặt t= n ax + b a b ∫  Dạng 2: R(x, n a ax + b )dx cx + d Đặt t= n Ví dụ: Tính tích phân I = ∫ ax + b cx + d 1− xdx Giải Đặt t = 1− x ⇔ t3= 1-x ⇔ x= 1-t3 ⇒ dx= -3t2dt Đổi cận: 17 t4 Vậy I= ∫ t.(−3t )dt = 3∫ t dt = = 40 x=0 ⇒ t=1; x=1 ⇒ t=0 Bài tập đề nghò: 1 ∫ 1/ x 1− xdx 2/ ∫ −2 1 Tính tích phân sau: x dx 2− x Dạng 6: Tính tích phân số hàm lượng giác thường gặp β ∫  Dạng: sinax.cosbxdx, α β β α α ∫ sinax.sinbxdx, ∫ cosax.cosbxdx Phương pháp giải: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hiệu tích phân giải  Dạng: β β α α n n ∫ sin xdx; ∫ cos xdx Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi biến Ví dụ : β β β 2n+1 2n n ∫ sin xdx = ∫ sin xsin xdx = ∫ (1− cos x) sin xdx Đặtt =cosx α α β α β β n  1+ cos2x  ∫α cos xdx = α∫ (cos x) dx = α∫   dx 2n n β  Dạng: ∫ R(sin x).cos xdx β ∫ sin 2n Đặc biệt: α x.cos2k+1 xdx α Phương pháp giải: Đặt t =sinx β  Dạng: ∫ R(cosx).sin xdx β Đặc biệt: α ∫ sin α 2n+1 x.cos2k xdx Phương pháp giải: Đặt t =cosx  Các trường hợp lại đặt x=tgt Ví dụ: Tính tích phân sau: a/ π π π ∫ sin3x.cosx.dx ∫ ∫ b/ sin2 xdx c/ cos3 xdx 0 π ∫ d/ cos3 xsin2 xdx Giải a/ π π π = (sin4x + sin2x)dx = − ( cos4x + cos2x ) = sin3 x cos x dx ∫0 ∫0 2 π π π b/ sin2 xdx = 1− cos2x dx = (x − sin2x ) = π ∫ ∫ 2 π π π 0 ∫ ∫ ∫ c/I= cos3 xdx = cos2 x.cos x.dx = (1− sin2 x).cos x.dx đặt u=sinx ⇒ du = cosx dx u3 π ⇒ u=1 vậy: I= ∫ (1− u ).du = (u − ) = x=0 ⇒ u=0 ; x= 3 18 π π π 0 ∫ ∫ ∫ d/J= cos3 xsin2 xdx = cos2 xsin2 x.cos x.dx = (1− sin2 x)sin2 x.cos x.dx đặt u=sinx ⇒ du = cosx dx π ⇒ u=1 x=0 ⇒ u=0 ; x= Bài tập đề nghò: π 1/ ∫ cos x.dx 1 ∫ ∫ 2 J= (1− u )u du = (u − u ).du = ( 0 u3 u5 − ) = 15 Tính tích phân sau: π π 2/ sin3 x.cos3 x.dx ∫ 3/ sin4 x.cos4 x.dx ∫ 0 π 4/ ∫ π dx sin x III/ Diện tích hình phẳng: 1/ Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) liên tục đoạn [a;b] diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C) :y=f(x) đường thẳng x= a; x=b; y= : b S = ∫ f ( x ) dx a 2/ Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C) y=g(x) có đồ thò (C’) liên tục đoạn [a;b] diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C), (C’) b đường thẳng x= a; x=b : S =∫ f ( x ) −g ( x ) dx a Phương pháp giải toán: B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm (C) (C’) B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm: TH1: Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm (a;b) Khi diện tích b hình phẳng cần tìm là: S =∫[ f ( x ) −g ( x )]dx a TH2: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm x ∈ (a;b) Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: b x1 b a a x1 S =∫ f ( x ) −g ( x ) dx = ∫[ f ( x ) −g ( x )]dx + ∫[ f ( x ) −g ( x )]dx TH3: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm x 1; x2 ∈ (a;b) Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: x1 x1 x2 a x2 b S = ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx + ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx + ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều nghiệm làm tương tự trường hợp * Dạng toán trường hợp đặc biệt dạng toán đường cong g(x)=0 Ví dụ 1ï: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thò hàm số y = sinx đoạn [0;2 π ] trục hoành Giải : 19 Ta có :sinx = có nghiệm x= π ∈ ( 0;2π ) diện tích hình phẳng cần tìm là: 2π S= ∫ π sin x dx = ∫ sin xdx + 2π ∫ sin xdx π π 2π = cos x + cos x π =4 Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P 1): y = x2 –2 x , (P2) y= x2 + đường thẳng x = -1 ; x =2 Giải phhđgđ : x2 –2 x = x2 + Û 2x +1= Û x = -1/2 Do : S= - 1/ ò (x 2 2x) - (x +1) dx = - ò [(x - 2x) - (x +1)]dx + - - 1/ = 2 ò ( 2x+1) dx + - ò [(x 2x) - (x2 +1)]dx - 1/ 2 25 13 ò ( 2x+1) dx = ( x2 + x) - 12 + ( x2 + x) - 12 = + = - 1/ Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P): y = x , đường thẳng (d): 2x+y-4 = Giải: Ta có (P): y2 = x ⇔ x = 4− y y2 (d): 2x+y-4 = ⇔ x= Phương trình tung độ giao điểm (P) đường thẳng (d) là: y =  y = −4  y2 − y ⇔ = Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S= ∫( −4 − y y2 y y2 y2 y3 − )dy = ∫ (2 − − )dy = (2y − − ) =9 4 12 −4 −4 Bài tập đề nghò: 1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (P): y= x - 2x trục hoành 2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (H): y = x+ x đường thẳng có phương trình x=1, x=2 y=0 3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C): y= x - 4x2+5 đường thẳng (d): y=5 4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C): y = x –3 x , y = x 2/ Dạng toán 3: Thể tích vật thể tròn xoay Thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong (C) có phương trình y= f(x) đường thẳng x= a, x=b , y= quay b V =Π∫ f ( x ) dx vòng xung quanh trục ox là: a Ví dụ 1: Tính thể tích khối cầu sinh quay hình tròn có tâm O bán kính R quay xung quanh trục ox tạo Giải: Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình :x + y2 = R2 ⇒ y2= R2-x2 Thể tích khối cầu : V= π R x3 ∫ ( R2 − x2 ) dx = π  R2x −   −R R  −R = 2R3  π  2R3 − = πR   (đvtt) Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = ; y = ; y = x2–2x 20 Giải: Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm : 2 −1 −1 S = π ∫ (x2 − 2x)2 dx = π ∫ (x4 − 4x3 + 4x2 )dx =π ( 18π x (đvtt) − x4 + x3 ) −1 = 5 Bài tập đề nghò: Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Ox: a/ y = cosx ; y = ; x = ; x = 0;x=1 π b/ y = sin2x ; y = ; x = ; x = Chủ đề VI: SỐ PHỨC Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,… Cho hai số phức a+bi c+di 1) a+bi = c+di  a = c; b = d 2) mơđun số phức z = a + bi = a + b2 3) số phức liên hiệp z = a+bi z = a − bi * z+ z = 2a; z z = z = a + b2 4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 5) (a+bi ) −( c+di) = (a−c)+(b−d)i 6) ) (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i c + di 7) z = a + bi = 2 [(ac+bd)+(ad-bc)i] a +b Bài tốn 2: Giải phương trình bậc Cho phương trình ax2 + bx + c = với ∆ = b2 − 4ac Nếu ∆ = phương trình có nghiệp kép x1 = x = − b 2a (nghiệm thực) Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm thực: x = −b ± ∆ 2a Nếu ∆ < phương trình có hai nghiệm phức x = −b ± i ∆ 2a Bài tập: Sè phøc D¹ng 1: C¸c phÐp to¸n vỊ sè phøc C©u 1: Thùc hiƯn c¸c phÐp to¸n sau: 1  2  b ( − 3i ) −  − i ÷  − 2i ÷ 3  3       3      − i ÷+  − + 2i ÷− i d  + i ÷−  − + i ÷+  −3 − i ÷      4     a (2 - i) + c C©u 2: Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh sau: a (2 - 3i)(3 + i) b (3 + 4i) b C©u 3: Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh sau: a 1+ i 2−i b − 3i + 5i c 5−i d 1   − 3i ÷ 2  + 3i ( + i ) ( − 2i ) C©u 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau (víi Èn lµ z) trªn tËp sè phøc 21 π c/ y = x xe ;y=0;x= ( ) a − 5i z = + i ( b − 2i ) ( z + i ) = 3i   c z  − C©u 5: Cho hai sè phøc z, w chøng minh: z.w = ⇔  i ÷= + i  d + 5i z = − 4i z = w =  C©u 6: Chøng minh r»ng mäi sè phøc cã m«®un b»ng ®Ịu cã thĨ viÕt díi d¹ng víi x lµ sè thùc mµ ta ph¶i x¸c ®Þnh D¹ng 2: T×m tËp hỵp ®iĨm biĨu diƠn sè phøc tháa m·n ®iỊu kiƯn cho tríc C©u 1: T×m tËp hỵp nh÷ng ®iĨm M biĨu diƠn sè phøc z tháa m·n: a z + = x+i x −i b z + i = z − − 3i C©u 2: T×m tËp hỵp nh÷ng ®iĨm M biĨu diƠn sè phøc z tháa m·n: a z + 2i lµ sè thùc b z - + i lµ sè thn ¶o c z.z = d thùc c¨n bËc hai cđa Sè phøc ph¬ng tr×nh bËc hai D¹ng 1: tÝnh c¨n bËc hai cđa sè Ví dụ : Tìm bậc hai số phức z = − 4i Gọi x + iy bậc hai số phức z = − 4i , ta có :  2 x = y x = −y (x + iy)2 = −4i ⇔ x − y = ⇔   2xy = −4 2xy = −4 2xy = −4 x = y ⇔ (loại) 2x = −4  x = − y x = −y  x = 2;y = − ⇔ ⇔   2  −2x = −4 x =  x = − 2;y = Vậy số phức có hai bậc hai : z1 = − i , z2 = − + i C©u 1: TÝnh c¨n bËc hai cđa c¸c sè phøc sau: a -5 b 2i d − c -18i D¹ng 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai − i VÝ dơ: Giải phương trình x2 − 4x + = tập số phức Giải: ∆ ' = −3 = 3i2 nên ∆' = i Phương trình có hai nghiệm : x1 = − i , x2 = + i C©u 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc a x2 + = b x2 - 3x + = c x2 + 2(1 + i)x + + 2i = d x2 - 2(2 - i)x + 18 + 4i = e ix2 + 4x + - i = g x + (2 - 3i)x = C©u 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc ( a z + 3i c C©u 3: a C©u 4: ) ( z − 2z + 5) = ( b z + ) ( z2 − z + 1) = 2z − 3z + 5z + 3i − = T×m hai sè phøc biÕt tỉng vµ tÝch cđa chóng lÇn lỵt lµ: + 3i vµ -1 + 3i b 2i vµ -4 + 4i T×m ph¬ng tr×nh bËc hai víi hƯ sè thùc nhËn α lµm nghiƯm: 22 z − 3i z+i = lµ sè a α = + 4i b α = −i C©u 5: T×m tham sè m ®Ĩ mçi ph¬ng tr×nh sau ®©y cã hai nghiƯm z1, z2 tháa m·n ®iỊu kiƯn ®· chØ ra: a z2 - mz + m + = ®iỊu kiƯn: z12 + z 2 = z1z + b z2 - 3mz + 5i = ®iỊu kiƯn: z13 + z3 = 18 Bµi tËp: C©u 1: TÝnh c¨n bËc hai cđa c¸c sè phøc sau: a - 24i b -40 + 42i c 11 + id + 2 i C©u 2: Chøng minh r»ng: a NÕu x + iy lµ c¨n bËc hai cđa hai sè phøc a + bi th× x - yi lµ c¨n bËc hai cđa sè phøc a - bi b NÕu x + iy lµ c¨n bËc hai cđa sè phøc a + bi th× x k + y k i lµ c¨n bËc hia cđa sè phøc a b + i 2 (k ≠ 0) k k C©u 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc: a z2 + = b z2 + 2z + = c z2 + 4z + 10 = d z2 - 5z + = + 3z - = C©u 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc: a (z + i)(z2 - 2z + 2) = b (z2 + 2z) - 6(z2 + 2z) - 16 = c (z + 5i)(z - 3)(z + z + 3) = d z3 - (1 + i)z2 + (3 + i)z - 3i = C©u 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc: e -2z2 2 a (z + 2i) + 2(z + 2i) - = b 4z + i  4z + i  +6=0  ÷ −5 z−i  z−i  C©u 6: T×m ®a thøc bËc hai hƯ sè thùc nhËn α lµm nghiƯm biÕt: a) α = - 5i b α = -2 - i c α = − i 2 C©u 7: Chøng minh r»ng nÕu ph¬ng tr×nh az + bz + c = (a, b, c ∈ R) cã nghiƯm phøc α ∉ R th× α còng lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh ®ã C©u 8: Cho ph¬ng tr×nh: (z + i)(z2 - 2mz + m2 - 2m) = H·y x¸c ®Þnh ®iỊu kiƯn cđa tham sè m cho ph¬ng tr×nh a ChØ cã ®óng nghiƯm phøc b/ ChØ cã ®óng nghiƯm thùc C/Cã ba nghiƯm phøc C©u 9: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè phøc: a z2 + z + = b z2 = z + c (z + z )(z - z ) = d 2z + z = + 3i C©u 10: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau biÕt chóng cã mét nghiƯm thn ¶o a z3 - iz2 - 2iz - = b z3 + (i - 3)z2 + (4 - 4i)z - + 4i = 23 ... pháp giải: B1: Đặt biểu thức dấu tích phân u tính du phần lại dv tìm v B2: Khai triển tích phân cho theo công thức phần b B3: Tích phân ∫ vdu suy kết a Chú ý: b a/Khi tính tính tích phân phần. .. PHÁP TÍCH PHÂN : 1/Các kiến thức cần nắm vững : Bảng nguyên hàm thường dùng Đònh nghóa tích phân, tính chất tích phân Các phương pháp tính tích phân 2/Một số dạng toán thường gặp: Dạng 1: Tính tích. .. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ I/Bài toán1 : Tìm giao điểm hai đường:  Cho hai hàm số : y= f(x) có đồ thò (C), y= g(x) có đồ thò (C’) Tìm giao điểm (C) (C’)  Phương pháp giải: B1: