MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Bài toán tiếp tuyến đồ thị hàm số nội dung quan trọng thường gặp kỳ thi tốt nghiệp THPT tuyển sinh vào Cao đẳng – Đại học năm gần Trong trình giảng dạy trường THPT giảng dạy số lớp luyện thi đại học nhận thấy nhiều học sinh chưa có phương pháp giải toán này, nhiều em mơ hồ lúng túng giải sai với yêu cầu đề Bài toán viết phương trình tiếp tuyến có nhiều dạng khác nhau, học sinh thường mắc sai lầm toán viết phương trình tiếp tuyến qua điểm viết phương trình tiếp tuyến điểm Học sinh phương pháp làm tập viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số em biết sơ qua cuối năm lớp 11 lại luyện tập Hơn em phân loại tập để có cách giải hữu hiệu, trình làm tập nhiều giải học sinh bỏ sót trường hợp chưa tìm hết tiếp điểm; đánh tráo đề bài… Mặt khác, chương trình sách giáo khoa đại số giải tích lớp 11 học sinh tiếp cận hiểu biết toán viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số mức độ bản; chưa hiểu sâu lý thuyết; chưa rèn luyện nhiều kĩ Chính mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn luyện cho học sinh lớp 12 phương pháp giải toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số”, với mong muốn giúp học sinh hiểu sâu toán rèn kĩ nhiều hơn, vận dụng vào giải toán thành thạo hơn, giải toán cách tốt Mục tiêu nghiên cứu: Rèn luyện cho học sinh có lực giải toán tiếp tuyến với đường cong, qua nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen khả tự học, tinh thần hợp tác, kĩ vận dụng kiến thức vào tình khác để chủ động giải toán tiếp tuyến với đường cong cách tốt Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Về phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 12 trường THCS & THPT Trần Ngọc Hoằng, xã Thới Hưng, huyện Cờ Đỏ, thành phố Cần Thơ - Về đối tượng nghiên cứu: + Nghiên cứu dạng toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu SGK, sách tham khảo tài liệu có liên quan trực tiếp đến đề tài - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp thống kê toán học NỘI DUNG Thực trạng vấn đề: Qua thực tiễn giảng dạy cho thấy đa phần học sinh không cảm thấy khó khăn việc khảo sát hàm số Tuy nhiên học sinh gặp phải khó khăn làm tập tiếp tuyến đồ thị hàm số, thường mắc phải khó khăn sai lầm sau: - Chưa có phương pháp giải cụ thể cho dạng - Nhầm hai khái niệm tiếp tuyến qua điểm tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị hàm số - Trong trình giải học sinh mắc phải sai lầm tính toán, biến đổi… bước trung gian Lập luận không chặt chẽ; đánh tráo đề bài…Chẳng hạn, gặp toán sau: Cho hàm số y = x − 3x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0;3) Các em thường giải sau: Gọi d đường thẳng qua điểm A(0;3), phương trình d có dạng y = kx + d tiếp tuyến đồ thị hàm số hệ phương trình  x − 3x + = kx + (1) có nghiệm x  3 x − x = k (2) Thay k (2) vào (1) ta x − 3x + = (3x − x) x + ⇔ ( x − 1)(2 x − x − 1) = (*) Bây phương trình (* ) học sinh không ý: Từ phương trình (*) ta có x −1 = mà lại viết  2 x − x − =  x −1 = ⇔ x =1  2 x − x − =  Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = −3x + Khi lời giải bị sai từ bước trung gian nên thiếu phương trình tiếp tuyến Như lời giải x =  k = −3 x −1 =  ⇔ ⇒ Từ phương trình (*) ta có  x =  k = 15 2x − x − =   Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = −3x + y = 15 x+3 Có học sinh lại đánh tráo đầu viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A(0;3) Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) qua A có dạng y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) Theo đầu ta có x0 = 0, y0 = y '( x0 ) = f '( x0 ) = Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = Hoặc có học sinh lại bỏ sót trường hợp trình giải… Giải vấn đề: Để giúp học sinh tránh khó khăn, sai lầm, thiếu sót nêu giải toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số Tôi nhận thấy rằng, việc làm phải trang bị cho em nắm vững sở lý thuyết Tiếp theo đó, đưa dạng toán tiếp tuyến đồ thị hàm số phương pháp giải cụ thể cho dạng để em rèn luyện , với mức độ tập từ dễ đến khó dần Từ đó, em lúng túng việc lựa chọn cách giải mà có cách giải xác xác định yêu cầu toán Kinh nghiệm hai năm gần phần dạy tập tiếp tuyến đồ thị hàm số cố gắng giúp học sinh biết cách nhận dạng tập, phương pháp giải dạng Từ em tự tin có hứng thú học tập gặp dạng toán 2.1 Cơ sở lý thuyết 2.1.1 Định nghĩa tiếp tuyến đường cong phẳng Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C): y = f(x) M0(x ; f (x0)) ∈ (C ) Kí hiệu M(x; f(x)) điểm di chuyển ( C) Đường thẳng M0M cát tuyến ( C) Khi x →x0 M(x; f(x)) di chuyển ( C) tới M0(x ; f (x )) ngược lại y f(x) M Giả sử M0M có vị trí giới hạn, kí hiệu M0T M0T gọi tiếp tuyến ( C) M0 Điểm M0 gọi tiếp điểm Sau ta không xét trường hợp tiếp f(xo) M0 O tuyến song song trùng với Oy xo T x 2.1.2 Định lý 1: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến điểm M ( xo ; yo ) ∈ (C ) có dạng: y = f '( xo )( x − xo ) + yo Với: f '( xo ) hệ số góc tiếp tuyến y = f (x0) 2.1.3 Định lý 2: Cho hàm số (C) y = f(x) đường thẳng (d) có phương trình: y = kx + b  f ( x) = kx + b Đường thẳng d tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm:  k = f '( x) Khi nghiệm x hệ phương trình hoành độ tiếp điểm Ta định nghĩa tiếp tuyến đồ thị sau: x Đường thẳng ( d ) : y = kx + m gọi tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) (d) tiếp xúc với đồ thị y = f ( x) điểm xo Khi đó: d: y = kx+m + (d) gọi tiếp tuyến y = f(x) + xo gọi tiếp điểm + k hệ số góc tiếp tuyến + k = f '( xo ) k = tan α với α = (·d , Ox ) α xo 2.1.4 Định nghĩa hai đường cong tiếp xúc Cho hai đường cong (C1), C2) có phương trình y = f1(x), y = f2(x) Vì (C1) C2) có đạo hàm M(x, y) nên (C 1) (C2) gọi tiếp xúc với M0 M điểm chung chúng chúng có chung tiếp tuyến (d) điểm M Điểm M gọi tiếp điểm (C1) C2) Điều kiện cần đủ để (C1), (C2) tiếp xúc điểm M(x; y) hệ:  f1 ( x) = f ( x)  ' '  f1 ( x) = f ( x) 2.2 có nghiệm Rèn luyện cho học sinh dạng toán tiếp tuyến đồ thị hàm số 2.2.1 Dạng 1: Bài toán tiếp tuyến điểm M0(x0;y0) thuộc đồ thị hàm số Phương pháp: - Phương trình đường thẳng qua M o ( xo ; yo ) : (d ) : y = k ( x − xo ) + yo - Nếu (d) tiếp tuyến M o ( xo ; yo ) ∈ (C ) k = f '( xo ) - Phương trình tiếp tuyến M o ( xo ; yo ) ∈ (C ) (d ) : y = f '( xo )( x − xo ) + yo * Chú ý: - Trường hợp biết hoành độ tiếp điểm ta thay x = x vào hàm số y = f(x) để tìm tung độ tiếp điểm y0 - Trường hợp biết tung độ tiếp điểm ta thay y = y vào hàm số y = f(x) để tìm hoành độ tiếp điểm x0 Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) = x − 3x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) A(2; 4) Giải Vì điểm A(2;4) nằm đồ thị hàm số ( C): y = f ( x) = x − 3x + Suy ra: Phương trình tiếp tuyến (d ) : y = f '(2)( x − 2) + Với f '( x ) = 3x − f '(2) = Vậy tiếp tuyến: (d ) : y = 9( x − 2) + hay (d ) : y = x − 14 Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) = x − 3x − có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) M (0; −4) Giải Vì điểm M (0; −4) nằm đồ thị hàm số (C): y = f ( x ) = x − 3x − Suy ra: Phương trình tiếp tuyến (d ) : y = f '(0)( x − 0) − Với f '( x) = x − x suy f '(0) = Vậy tiếp tuyến: (d ) : y = −4 Ví dụ 3: Cho hàm số y = x − x có đồ thị (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ hoành độ x = −2 Giải Ta có: y ' = x3 − x Với x = −2 ⇒ y = y '( −2) = −24 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm A(-2;8) là: y = −24( x + 2) + hay y = −24 x − 40 Ví dụ 4: Cho hàm số y = x − 3x + (C ) Viết phương trình tiếp tuyến điểm có tung độ y = Giải  xo =  Với y = ⇒ x − x + = ⇔  xo =   xo = Với M(0; 5) ⇒ Tiếp tuyến y = f '(0)( x − 0) + = −3 x + Với N( ; 5) ⇒ Tiếp tuyến y = f '( 3)( x − 3) + = x − + Với P( − ; 5) ⇒ Tiếp tuyến y = f '( − 3)( x + 3) + = x + + x2 − 2x − Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x) = có đồ thị (C) x +1 (C) cắt trục hoành A B Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) A B Giải - Tập xác định: D = R\{- 1} - Hoành độ giao điểm (C) trục hoành nghiệm phương trình x2 − 2x − = ⇔ x2 − 2x − = ⇔ x = ± x +1 ⇒ (C) cắt Ox điểm A (1 + 3; 0) B(1 − 3; 0) x + 2x y' = ⇒ y ' = (1 + 3) = (2 − ) ( x + 1) y ' = (1 − 3) = −2 (2 + 3) Phương trình tiếp tuyến với (C) A có dạng: y = (2 − 3) ( x − − 3) Phương trình tiếp tuyến với (C) B có dạng: y = −2 (2 + 3) ( x − + 3) * Nhận xét: Qua ví dụ cho thấy học sinh lúng túng không viết phương trình tiếp tuyến không tìm tọa độ A B Vì giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm tọa độ tiếp điểm A, B trước viết phương trình tiếp tuyến theo công thức x2 + 2x + (C ) Tìm điểm M thuộc (C) để tiếp tuyến M Ví dụ 6: Cho hàm số y = x +1 tạo với Ox góc 45o Giải Giả sử M ( xo ; yo ) thuộc (C) xo2 + xo Suy tiếp tuyến M có hệ số góc: k = y '( xo ) = ( xo + 1) Do tiếp tuyến tạo với Ox góc 45o suy hệ số góc k = tan 45o = xo2 + xo = ⇔ xo2 + xo = ( xo + 1) (vô nghiệm) Do đó: ( xo + 1) Kết luận: Không có điểm M ∈ (C ) để tiếp tuyến tạo với Ox góc 45o Ví dụ 7: Cho hàm số y = x2 + 2x + (C ) Tìm điểm M thuộc (C) để tiếp tuyến M x +1 tạo đường thẳng y = −2 góc 45o Giải Giả sử M ( xo ; yo ) thuộc (C) xo2 + xo Suy tiếp tuyến M có hệ số góc: k = y '( xo ) = ( xo + 1) Do đường thẳng y = −2 song song Ox nên tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = −2 góc 45o ⇒ tạo với Ox góc 45o Do hệ số góc k = ±1 xo2 + xo Nếu k = ⇒ = ⇔ xo2 + xo = ( xo + 1) (vô nghiệm) ( xo + 1) xo2 + xo Nếu k = −1 ⇒ = −1 ⇔ xo2 + xo − = ( xo + 1) Viết y = x − + xo = −2 ± 6 = −1 ± 2   ⇒ y0 = −3 ±  + ÷ x +1 6  Kết luận: có điểm thỏa yêu cầu toán   6  6  M  −1 + ; −3+ ;− −3− ÷; M  −1 − ÷ 2 2 6 6   10 Giải Ta có hệ số góc tiếp tuyến điểm đồ thị (C) là: k = y' = 3x + x − y ' ' = x + ⇒ y ' ' = ⇔ x + = ⇔ x = −1 Xét dấu y” tìm điểm uốn U(-1; 14) Hệ số góc tiếp tuyến điểm uốn là: k1 = -12 Bảng biến thiên hàm số y ' = x + x − x y’’ −∞ +∞ +∞ -1 - + +∞ y’ -12 Từ bảng biến thiên suy k ≥ −12 Dấu “ = ” xảy x = - (hoành độ điểm uốn) (Điều phải chứng minh) Ví dụ 6: Cho hàm số: y = mx + (m − 1) x + m + m x−m (C ) Tìm điểm x0 để với m ≠ , tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm x song song với đường thẳng cố định Tìm hệ số góc đường thẳng Giải Ta có: y ' = mx02 − 2m x − 2m mx − 2m x − 2m ⇒ y ' ( x ) = ( x − m) ( x − m) Yêu cầu toán tìm x0 để y’(x0) = k ( hằng số) ∀m ≠ 15 mx02 − 2m x0 − 2m ⇔ = k ∀m ( x − m) ⇔ (2 x + + k ) m − (2kx0 + x 02 )m + kx02 = ∀m ≠ 2 x + + k = (1)  ⇔ 2kx0 + x02 = (2)  kx0 = (3) k = Ta có : (3) ⇔   x0 = + Với x0 = suy k = -2 (thoả mãn)  x = −1 (vô nghiệm)  x0 = + Với k = ⇒  Vậy, x0 = k = - thì tiếp tuyến (C) x song song với đường thẳng cố định Chú ý: Đối với toán tiếp tuyến mà từ yêu vầu đề ta xác định hệ số góc tiếp tuyến kt Khi lời giải cần giả sử xo hoành độ tiếp điểm ta tìm hoành độ xo bằng việc giải phương trình f '( xo ) = kt từ suy tiếp tuyến 2.2.3 Dạng 3: Bài toán tiếp tuyến qua điểm M0(x0;y0) cho trước Phương pháp : - Phương trình đường thẳng qua điểm M ( xo ; yo ) : ( d ) : y = k ( x − xo ) + yo  f ( x ) = k ( x − xo ) + yo - (d) tiếp tuyến (C) hệ pt sau:  (*) có nghiệm k = f '( x) Chú ý: Số tiếp tuyến qua điểm M ( xo ; yo ) bằng số nghiệm hệ phương trình (*) Ví dụ 1: Cho y = x3 − x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm M ( ; −1) 16 Giải 2  Phương trình đường thẳng qua M ( ; −1) : (d ) : y = k  x − ÷− 3   2   x − x + = k  x − ÷− 3  (d) tiếp tuyến: hệ điều kiện tiếp xúc  k = 3x −  (1) (2) 2  Thế pt(2) pt(1) được: x − x + = 3( x − 1)  x − ÷− 3  x = ⇔ x3 − x + = 3x − x − 3x + ⇔ x3 − x = ⇔  x = 2  Với xo = ⇒ k = −3 ⇒ tiếp tuyến: (d ) : y = −3  x − ÷− = −3 x + 3  Với xo = ⇒ k = ⇒ tiếp tuyến: (d ) : y = −1 Ví dụ 2: Cho hàm số y = 3x − (C ) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) x −1 qua điểm A (2; 0) Giải Ta có y ' = −1 , ∀x ≠ ( x − 1)2 Phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k y = k ( x − 2) 17 - Hoành độ tiếp điểm xo hệ số góc k tiếp tuyến nghiệm hệ phương trình:  x =  3x − = k ( x − 2)   x −1  k = −1  f ( x) = k ( x − x A ) xy A  ⇔ ⇔   =k  x = f x' = k   ( x − 1)     x ≠  k = −9  y = −x + - Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số qua A(2; 0)   y = −9 x + 18 Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x) = x − 3x + (C ) Lập phương trình tiếp tuyến với 2  3 đồ thị (C) hàm số (2) biết tiếp tuyến qua A  0; ÷   Giải - Pt đường thẳng (d) qua điểm A(0; 3/2) có hệ số góc k y = kx + - Để đường thẳng (d) trở thành tiếp tuyến đồ thị hàm số (2) hệ phương trình: 3 1  x − 3x + = kx + 2 có nghiệm 2  2x − 6x = k  x = ⇔  x = ±2 k = ⇒  k = ±2 Vậy phương trình tiếp tuyến cần viết là: y = 3 ; y = −2 x + ; y = 2 x + 2 Nhận xét: Đối với toán học sinh thường lầm hai khái niệm tiếp tuyến qua tiếp tuyến tại điểm từ dẫn đến việc xác định thiếu tiếp tuyến đồ thị (C) 18 Vì qua tập phải cho học sinh nhận rõ hai loại tiếp tuyến có khác rõ rệt Ví dụ 4: Cho hàm số y = x − x + x − (C) Từ điểm đường thẳng x = kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) Giải Gọi điểm B(2; b) điểm nằm đường thẳng x = 2.Phương trình đường thẳng qua B(2; b) có dạng: y = k(x - 2) + b (d) Đường thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C ) hệ sau có nghiệm:  x − x + x − = k ( x − 2) + b  3 x − 12 x + = k ⇒ x − x + x − = (3 x − 12 x + 9)( x − 2) + b ⇔ −b = x − 12 x + 24 x − 17 (*) Số tiếp tuyến cần tìm bằng số nghiệm phương trình (*) Xét hàm số y = x − 12 x + 24 x − 17 Tập xác định: D = R y ' = x − 24 x + 24 = 6( x − 2) ≥ 0∀x ∈ R Do hàm số đồng biến Vì hàm số cho đồng biến nên đường thẳng y = - b cắt đồ thị hàm số : y = x − 12 x + 24 x − 17 điểm hay pt (*) có nghiệm Vậy, từ điểm nằm đường thẳng x = kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) Ví dụ 5: Cho y = x2 + x + Tìm Oy điểm mà từ kẻ tiếp x −1 tuyến tới đồ thị Giải Gọi A(0; a ) ∈ Oy ⇒ đường thẳng qua A(0; a) ∈ Oy : (d ) : y = kx + a 19  x2 + x +  x − = kx + a  (d) tiếp tuyến ⇒  k = x − x −  ( x − 1) (1) (2) x2 + x + x2 − 2x − = x + a ⇒ x −1 ( x − 1) ⇔ ( x + x + 2)( x − 1) = x − x − 3x + a ( x − x + 1) ⇔ (a − 2) x − 2(a + 1) x + a + = f ( x) = (3) Để từ A(0; a ) ∈ Oy kẻ tiếp tuyến pt (3) có đứng nghiệm x ≠ Nếu a = ⇒ (3) có nghiệm x =  (a + 1) − ( a − 4) =  ∆ ' =   f (1) ≠    f (1) = −2 ≠ ⇔ Nếu a ≠ ⇒ (3) có nghiệm x ≠ ⇔   ∆ ' ≠ (a + 1) − ( a − 4) ≠      f (1) = −2 =   f (1) = (loai)  2a + = −5 ⇔ ⇔a=  f (1) = −2 ≠ Kết luận: Điểm A(0; −5 ) ∈ Oy từ kẻ tiếp tuyến tới đồ thị hàm số Ví dụ 6: Cho y = − x + 3x − (C) Tìm tập hợp điểm M thuộc đường thẳng y = mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm số Giải Gọi M (a;2) ∈ y = Phương trình đường thẳng qua M (a;2) : (d ) : y = k ( x − a) +  − x + x − = k ( x − a) + (d) tiếp tuyến ⇒   k = −3x + x = −3x ( x − 2) 20 (1) (2) Thế (2) vào (1) ⇒ − x + x − = −3 x( x − 2)( x − a) x = ⇔ ( x − 2)(2 x − (3a − 1) x + 2) = ⇔   x − (3a − 1) x + = (3) Để từ M (a;2) kẻ tiếp tuyến phân biệt thị hệ điều kiện có nghiệm phân biệt ⇒ phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác  ∆ = (3a − 1) − 16 > ⇔ 8 − 2(3a − 1) + ≠  3a − <  ⇔  3a − > 6a ≠ 12    a < −1   ⇔ a >   a ≠ 5  Kết luận: M (a;2) ∈ y = với a ∈ (−∞; −1) ∪  ; +∞ ÷\ { 2} từ M (a;2) ∈ y = kẻ 3  tiếp tuyến phân biệt tới (C) Ví dụ 7: Cho hàm số: y = x2 + x +1 x +1 (C ) CMR: Có hai tiếp tuyến (C) qua A(1;0) vuông góc với Giải Phương trình đường thẳng qua A(1; 0) với hệ số góc k có dạng: y = k(x -1) (d) Ta có: y = x2 + x +1 = x +1+ (C) x +1 x +1 Đường thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hệ sau:   x + + x + = k ( x − 1) (1) (I )  có nghiệm 1 − = k ( )  ( x + 1) Từ (2) ⇔ x + − = k ( x + 1) (3) x +1 21 Lấy (1) – (3) ta được: = −k x +1   x + = − k Do ( I ) ⇔  Hệ có nghiệm 1 − =k  ( x + 1) k ≠  k = − − (t / m) k ≠ k ≠ ⇔ ⇔   2  1 − k = k k + k − =  k = − + (t / m)  2 Vì k1k2 = - nên hai tiếp tuyến (C) qua A(1; 0) vuông góc với Ví dụ 8: Cho hàm số: y = x+2 (C) điểm A(0; a) Xác định a để từ A kẻ hai x −1 tiếp tuyến đến (C) cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía so với trục Ox Giải Phương trình đường thẳng qua A(0; a) có dạng: y = kx + a (d) Đường thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hệ sau: x +  x − = kx + a có nghiệm  −3  =k  ( x − 1) ⇒ x+2 −3 = x + a ⇔ (a − 1) x − 2(a + 2) x + a + = (*) (x = không nghiệm) x − ( x − 1) Qua A kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt a − ≠ a ≠ a ≠ ⇔ ⇔ ⇔ (**) ∆ ' > 3(a + 2) >  a > −2 22 Gọi x1; x2 tiếp điểm Do hai tiếp điểm nằm hai phía trục hoành nên y(x1).y(x2) < (x1; x2 nghiệm phương trình (*)) ⇔ x1 + x + x x + 2( x1 + x ) + ⇔ a − > ⇔ a > (thoả mãn (**)) a −1 a −1 −4 a+2 −4 9a + −2 ⇔ < ⇔ Vậy,  − yêu cầu toán thoả mãn < a