Đang tải... (xem toàn văn)
Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng (LV thạc sĩ)
ì ì P ữỡ Pì ế ì P ệ ì ì P ữỡ Pì ế ì P ệ t số ữớ ữợ ổ t tỹ ữợ sỹ ữợ ổ trũ ợ t tổ t tr tr ữủ ró ỗ ố t ữỡ ỡ ữủ t ữợ sỹ ữợ tọ ỏ t ỡ s s tợ t ữớ ữợ t t ú ù tr sốt q tr tỹ ỷ ỡ tợ trữớ Pỏ ũ t ổ rữớ sữ rữớ ữ ú ù t t ỡ ỗ rữớ P t ú ù t tr q tr t t s ổ t t t sỹ tổ s tớ tọ ỏ t ỡ s s ỹ ỏ ổ tr ọ ỳ t sõt rt ữủ sỹ õ õ ỵ t ổ ữủ t ỡ t ỡ t ữỡ ử ỡ ử é tự ỏ ữợ ỏ ữợ ữủ tữỡ ố ỹ tr tữỡ ố r ự ợ ỹ t ổ ũ tự ỵ ỵ é tự ởt ố tữủ q trồ t õ t t q ỵ rstrss õ r tử tr t t ợ tự ởt õ ỵ tỹ t s tr ởt t ợ tổ q tự tr t ọ ỡ ởt t tự ữ t tự rst r tự ự q tự tr ởt t ổ ỹ tũ ỵ tr ởt số t q ri ữ ỳ ỏ ữợ tr Cn õ tờ qt ỡ ổ tự õ ố ữ s ữỡ tr tự ỏ ữợ ỏ ữợ t q trồ ữủ tữỡ ố ữỡ ỗ ỵ 2.1.2 ợ ỏ ữợ t tr Cn tọ ởt số õ õ ỹ tr ợ tr ỳ t rt õ s ữỡ t ú tổ ỵ 2.1.2 ự ợ tự tr t t tỹ Rn r ú tổ ỏ t ỳ ự t q ổ tự tr t tr t số t tỹ ữỡ tự r ữỡ ú t tr ởt số ụ ữ t q tt ữủ sỷ ữỡ s ỏ ữợ sỷ X ổ tổổ u [; +) : ỷ tử tr tr X ợ ộ R t X = {x X : u(x) < } tr X v : X [; +) ỷ tử ữợ tr X v ỷ tử tr tr X sỷ t tr C u : [; +) ỏ ữợ tr õ ỷ tử tr tr tọ t tự ữợ tr tr ợ w tỗ t > s ợ r < t õ u(w) u(w + reit ) dt ú ỵ r ợ tr t ỗ t tr ữủ ỏ ữợ tr t ỏ ữợ tr SH() t q s ởt ởt ỏ ữợ ỵ sỷ u C () õ u ỏ ữợ tr u tr õ u= 2u x2 + 2u y u sỷ u tr D t tữỡ ố tr h ỏ tr D tử tr D s lim sup(u h)(z) ố ợ D ợ > ự z (z) = u(z) h(z) + |z|2 z D |z|2 z D õ ỷ tử tr D õ t ỹ tr D = u + > tr D t ỹ tr D õ u h sup |z|2 tr D t ữủ u h tr D õ u D ỏ ữợ tr D ữủ sỷ u ỏ ữợ tr tt t t õ u() < õ õ > s u tr (, ) ứ ự t u ỏ ữợ tr (, ) õ u ỏ tr (, ) u() = t õ u ỵ ữủ ự ỵ s t t ỏ ữợ t q ỵ sỷ f : ỳ t tr C u ỏ ữợ tr t u f ỏ ữợ tr t ỏ ữợ t ữỡ ự u f ỏ ữợ tr ộ t tữỡ ố D1 sỷ D1 ữ õ D2 = f (D1) ỏ ữợ trỡ {un} C (D2) s un u tr D2 ỵ 1.1.3 õ un tr D2 ợ n õ ự (u f ) = ( (un ) f ) |f | tr D1 õ t ỵ 1.1.3 t õ u f ỏ ữợ tr D1 ữ un f u f tr D1 u f ỏ ữợ tr D1 ỵ ữủ ự ỏ ữợ sỷ Cn t u : [; +) ỷ tử tr ổ ỗ t tr t tổ u ỏ ữợ tr t u PSH() ợ a b Cn u(a + b) ỏ ữợ tr t tổ t { C : a + b } ỵ sỷ u : [, +) ỷ tử tr ổ ỗ t tr t tổ Cn õ u PSH() ợ a , b Cn s {a + b : C, || 1} t õ u(a) u(a + rei b)d := l(u, a, b) s r tứ 1.2.1 sỷ a , b Cn t ự U = { C : a + b } õ U t tr C t () = u(a+b), U ự () ỏ ữợ tr U ố ự tọ U tỗ t > s r < t (0 ) (0 + rei )d ứ a + 0b U õ > s || < t a + 0b + b ợ r < t õ {a + 0b + rb : || 1} õ tứ tt u(a + b) u(a + b + rbei )d (0) 21 (0 + rei )d õ ự õ trữ s t ỏ ữợ ỵ sỷ Cn t u C 2() õ u PSH() ss Hu (z) = ( zj uzk ) u t z ữỡ ợ w = (w1 , w2 , , wn ) Cn n 2u Hu (z)(w, w) = (z)wj wk z z j k j,k=1 t {fk := fk /|mk |}k1 ộ số ọ ỡ tr B l ổ ữỡ tr Bc(0, r) õ tr ỹ tr tữỡ ố uB l ,Bc (0,r) := sup{v(z) : v PSH(Bc (0, r)), v |B l 1, v 0} t B l ỏ tử B l M (rk ) := max uB l ,Bc (0,r) < Bc (0,tk ) |fk (z)| |M (rk )| ợ ộ z Bc(0, tk ) ứ fk t tự s r r |fk (z)| |M (rk )rk (fk ; xk )| (z Bc (0, tk )) ữ tr ú fk tr Bc(0, tk ) ọ ỡ t õ |rk (fk ; xk )| |M (rk )| k ú t õ | lim rk (fk ; xk )| k , |M (r)| õ M (r) := max uB l ,Bc (0,r) < Bc (0,1) ự t ú t s ự 2.1.6 {f1/k }k1 2.1.5 ữủ s r f Fr f tr Bc(0, r) t trỡ ởt ổ f1/k tr Bc (0, r 1/k) ỡ ỳ {f1/k (z)}k1 ỡ tử tợ f (z) t z Bc (0, r) t õ ợ ợ sỷ k k0 sup f1/k sup f Bc (0,1) Bc (0,1) ữ f1/k C Fr1/k , k k0 ú t t rk := r 1/k t sup f B (x, rk |x| ) 1/k c rk kk0 ứ 2.1.7 s r r sup f1/k > 2C(r) r |x| Bc (x, kr ) k ợ k k1 ( k0 ) f1/k C PSH(Bc(0, rk )) tỗ t ởt z Bc (x, r |x| ) t õ t ữủ tr ú ỳ tỗ t r ởt U z õ f1/k ợ ỡ 2C(r) ữ tỗ t ởt ỳ G q Cn t x s {g(U )}gG ỗ W Bc(x, r |x| ) ỏ ữợ r k k k k gk (x) := max f1/k (gx) (k k1 ) gG tọ Bmax gk = max f1/k (x,s) B (x,s) ợ s (0, rk |x|) gk (w) > 2C(r) ) ợ w Bc(x, r |x| r t c c k k ck := 2C(r) r+1 log 2rk r > số ợ ỡ ợ ợ ú t õ t sỷ r õ ú ợ k k1 ú t ợ k k1 số hk (z) := (z Bc (x, rk |x| rk )) gk (z) (r+1)|zx| max{c log k 2(rk |x|) , gk (z)} c log (r+1)|zx| k 2(rk |x|) (z Bc (x, rk |x|) \ Bc (x, rk |x| rk )) (z / Bc (x, rk |x|)) số ọ ỡ gk tr Bc(x, r |x| ) tr ợ r ỡ tr Bc(x, rk |x|) r > hk ỏ ữợ tr Cn ỡ t ỳ số hk = c1 hk ró r tở L(Cn ) s s hk ợ L ỹ tr t EB (x,t) k k k c EBc(x,t) (z) := sup{u(z) : u L(Cn ), u tr Bc (x, t)} ứ s r r hk sup hk EBc (x,t) Bc (x,t) ú t sỷ q trồ L ỹ tr EBc (x,t) (z) := sup log |p(z)| ; max |P | , deg P Bc (x,t) õ tr ú tr tt tự tr Cn t tự rst tr tự ự t ỡ ữợ ữủ sup EBc (x,t) log s (1 s) Bc (x,st) ứ s r r sup hk sup hk ck log s Bc (x,st) Bc (x,t) ứ t t gk hk t tự t ữủ tứ f1/k ợ số ck k k1 2.1.5 ú t t ữủ t tự rst ợ f Fr ợ c = log2C(r) r+1 2r ú t ự r f Fr ởt t ữủ ữỡ B(x, t)( Bc(x, at) Bc(0, 1)) t sup f c log B(x,t) d|B(x, t)| + sup f || ó r ú t õ t sỷ r t t r tỹ t tr = ( j=1 i) õ |0| = j ởt t t ú ợ j t ú t t ữủ t q ợ j c = c(a, r) d = d(n) ổ tở ú ỵ 2.1.6 2.1.5 õ ự tữỡ ữỡ s Bc(0, 1) Bc(0, a) Ra ỏ ữợ tử f : Bc(0, a) R tọ sup f = B (0,a) sup f c log a B (0,1) ợ số tứ 2.1.6 õ ợ ộ t ữủ B(0, 1) ữủ ữỡ ộ f Ra c c sup f c log B(0,1) d|B(0, 1)| + sup f || é d = d(n) c = c (a, c) r tỹ t t t ợ số 1t Bc(x, t) Bc(x, at) tr Bc(0, 1) Bc(0, a) tữỡ ự số t tr ổ ỡ t ỳ t tự 2.1.6 t r ũ f Fr s tọ ổ tữớ t 2.1.5 ú t õ t sỷ r f tử tr Bc(0, 1) ự ú t t ợ ỗ t số C = C(c, a) > s max f C B(0,1) ợ f Ra ú t õ t õ q 2.1.7 ũ ỹ tr tữỡ ố r trữớ ủ B(0, 1) ổ ỹ ỷ t tự ú t ữủ ợ c log a C = |M (a)| õ ự M (a) := sup uB(0,1),Bc (0,a) Bc (0,(1+a)/2) f Ra xf B(0, 1) s Mf := f (xf ) = max f B(0,1) ởt t q r r t t lf ợ ố xf s mes1 (B(0, 1) lf ) n|B(0, 1)| mes1 ( lf ) || lf ữớ t ự ởt ự lf zf ởt Bc (0, 1) lf s tf := dist(0, lf ) = |zf | t trỏ Df := (Df zf ) rf Df := (D zf ), rf f õ ú t t Df := lf Bc (0, a), Df := lf Bc (0, (a + 1)/2) ố ũ t trỏ rf := a2 t2f , rf := a+1 2 t2f , tữỡ ự t t zf ụ ú ỵ r xf Df ổ t t tờ qt ú t õ t Df Df ợ Ds D1 õ Dr := {z C; |z| r} sf := rf /rf ũ f /Df tợ D1 ữủ f f ỗ t ởt số r = r(a) < s Dsf Dr D1 ợ f Ra ự r tứ t tự rf = rf (a + 1)2 4t2f a+1 s hf /cf ỹ t t tr lf f = hf tr Df ỡ t ỳ c = c (c, a) := sup cf < f Ra h m () t mf () := max f t ró r ọ ỡ c l ỹ tr tữỡ ố El tứ t t L(Cn ) L(lf ) Bc (x, t) lf ũ ỹ tr tữỡ ố t tự ri r ởt ú ỵ s ú t t ữủ f f f f f max Elf log B(0,1)lf 4n|B(0, 1)| 4mes1 (B(0, 1) lf ) log mes1 ( lf ) || ứ lf tr ú t õ max f max f max hf mf () cf max Elf c log B(0,1) B(0,1)lf B(0,1)lf 4n|B(0, 1)| ự t tự t ú ợ f Ra õ õ 2.1.2 ữủ ự ự õ t t q ú t t tự tỹ p R[x1, , xn] ợ t ú t s ổ tự tỹ Pk,n(R) ữ t tự r st max |p| rk max |p| (r > 1) Bc (0,r) Bc (0,1) t ỏ ữợ Fr (z) := (log r)1 k (log |p(z)| sup log |p|) (z Cn ) Bc (0,r) ứ Fr s r Fr Fr , r > ợ r = ú t õ sup |p| B d |B| || ck sup |p| ợ tũ ỵ t ữủ ỹ t tr ộ trữớ ủ ú t õ t c = 1, d = 4n t õ t tự ợ n = ri r tr trữớ ủ tờ qt ỵ ỵ V Rn t số tỹ số m m n õ ợ q x V tỗ t ởt N = N (V ) x s sup |p| B dV (B) V () k deg(V ) sup |p| ợ B N t ữủ B tự p Pk,n (R) é V tr V d = d(m) ởt số tt ố ú t ự r tỗ t ởt x tở V s ự N V sup |p| B dV (B) V () k deg(V ) sup |p| ợ B N t ữủ B tự tỹ p k é deg(V ) t V d = d(m) tở dim(V ) ởt số tt ố ự ú t ữợ ữủ p tr q tr DR := {z C; |z| < R} ìợ ữủ ữủ ự tr sỷ t q trủ s sỷ r f : DR C q sỷ f tr ổ q p õ ợ R < R (0, 1) t tự max |f | C p max |f | DR DR ú ợ C = C(, ) õ := R R ú t t ự M := max |f | DR f (z) = k k=0 k z M := max |f | DR t p k M |k |(R )k =: |k |(R ) k=0 + k=p+1 ứ t tự ợ DR ú t õ p R R M k=0 k p M ữợ ữủ tờ tự ú t số t tự số tr õ j |aj |R A p 2p j 2p max |aj |Rj 1jp ợ j > p õ A ởt số tt ố ỷ t tự õ t ữợ ữủ Rj M max M ()p 1jp (R )j t ủ ợ ú t ữủ A p 2p p () M j 2p j=p+1 R R j A p 2p ()p 2p ()M , kl k l () = ú t s ự r k=1 (4p)2p 2p () < , (1 )2p+1 ũ ợ t tự trữợ ữợ ữủ (4A)2p ()p (1 )2p1 M ứ ỏ ọ t tự ợ (4A)2 , C(, ) = max (1 ) (1 )3 ự ú ỵ r d l () = d l õ q t ú t õ l () = pl () , (1 )l+1 õ pl tự l ỡ t ỳ ú t õ ỗ t tự pl+1 () = (1 )pl () + (l + 1)pl () t à(l) := 01 max |pl ()| tứ ỗ t tự trữợ t tự rst ú t õ à(l+1) max |(1)pl ()|+(l+1)à(l) là(l)+(l+1)à(l) = (2l+1)à(l) 01 t tự 2p1 à(2p) à(0) 2p1 (2l + 1) < (4p)2p , (2l + 1) = l=0 l=0 t ủ ợ t ữợ ữủ t ú t s ự ỵ 2.2.1 Vc ự õ V t ữợ số ự ỹ t Cn s V t tổ Vc Rn õ q x V õ ởt q Vc ổ t t tờ qt ú t sỷ r x trũ ợ ố Rn õ tỗ t ởt Ux Ux Vc x t t Cn Cm õ : Vc Cm Cn s tr Ux s (x) = 0, (Ux) = Bc(0, r), (Ux) = Bc(0, 2r) ợ ộ r > |V : V Rm õ trỡ tr B(0, r) N := 1(B(0, r)) ởt x tr V t tự tỹ p Pk,n rở õ pc tợ Cn ữ tự k z Bc(0, r) ởt tr ú |pc 1| tr B(0, r) L ởt ữớ ự q z ố pc tợ L ởt số ởt õ t ữợ ữủ ỵ t ỵ pc sỷ ổ õ tr ợ ỡ p := k deg(Vc) tr Bc(0, 2r) L 2.2.2 ú t õ Mr := max |pc | C kdeg(V ) max |pc |, Bc (0,3r/2) Bc (0,r) õ C ởt số tt ố t f : Bc(0, 3/2) R f (z) := õ (log |(pc )(rz)| log Mr ) k log c deg(V ) sup f = Bc (0,3/2) sup f Bc (0,1) f F3/2 ỵ 2.1.2 ữủ t ỵ 2.1.2 f ú t õ sup |p | (B) d(m)|(B)| |()| k deg(V ) sup |p | () ợ (B) B(0, r) t ữủ B é := c log C õ c d(m) số tr t tự ỵ 2.1.2 C tứ t tú ự ú t ú ỵ r tr tr Ux V tứ Rn tữỡ ữỡ ợ tr tứ Bc(0, 3r/2) ữỡ ữ t õ t t t ởt ọ ỡ N N x tở tr õ tr tữỡ ữỡ st ợ số õ s õ tr ợ tr B N ởt t ữủ B t t (B) () tữỡ ự ợ C(m) > d(m) t t d(m) ợ s tứ Rn ự t t q t t ú t sỹ tờ qt õ t q r rs tr õ tr ữợ ởt ỵ F1, , , FN, t z tr Bc (0, + r0 ) Cn , r0 > ỗ tớ t tỹ t U Rm õ U t V t t Fk, , k N õ ợ t t K U tỗ t số = (K, r0 ) > s t tự ri r sup |F | B(x,) d(n)|B(x, )| || sup |F | ú ợ ộ F V , K B(x, ) B(0, 1) ỵ rst ỵ ữớ trỏ r ú t õ tt ỵ 2.2.3 t t tự s ự ợ t t t K U F V, K sup |F | C1 sup |F |, Bc (0,r) Bc (0,1) õ r = 2+r2 C1 = C1(K, r0) õ số F := log |F | sup log |F | Fr logC1 Bc (0,r) t tự ỵ 2.1.2 t õ t tự t sup |F | B(x,) d(n)|B(x, )| || sup |F | ( 1) ợ := c log C1 õ c d(n) số tr ỵ 2.1.2 tr s q tự ỡ ỏ ữợ ỏ ữợ ỏ ữợ ỹ tr t q trồ ữủ tữỡ ố ợ ỏ ữợ t tr Cn tọ ởt số õ õ ỹ tr ợ tr ỳ t rt õ s ữỡ ợ ỏ ữợ t tr Cn ự ợ tự tr t t tỹ Rn ỳ ự t q ổ tự tr t tr t số t tỹ t t ỡ s ỵ tt t t sữ r qts r rsr ts s tts r rs rst q t r r rts t tr rst sss st rr r r rs t ts CN t