Đang tải... (xem toàn văn)
Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)Về một số thuật toán phân tích đa thức một biến thành nhân tử (LV thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - DƢƠNG THỊ LAN HƢƠNG VỀ MỘT SỐ THUẬT TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC MỘT BIẾN THÀNH NHÂN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Đoàn Trung Cƣờng THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Danh sách ký hiệu iii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phân tích bất khả quy đa thức 1.2 Thuật toán chia đa thức Chương Thu gọn mod p đa thức bất khả quy 11 2.1 Thu gọn mod p đa thức bất khả quy 11 2.2 Tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein 16 2.3 Trường hợp đa thức thu gọn P(X) nghiệm F p 24 2.4 Bài tập đề nghị 26 Chương Một số thuật toán phân tích đa thức thành nhân tử 28 3.1 Phân tích đa thức thành nhân tử 28 3.2 Thuật toán Yun phân tích không bình phương 32 3.2.1 Phân tích không bình phương 32 3.2.2 Thuật toán Yun 35 Phân tích nhân tử đa thức trường hữu hạn F p 38 3.3.1 Thuật toán tổng quát 38 3.3.2 Phân tích tách bậc 40 3.3.3 Phân tích đồng bậc 42 Phân tích bất khả quy Z[X] 44 3.3 3.4 ii 3.4.1 Chặn cho hệ số ước vành đa thức nguyên 44 3.4.2 Phân tích bất khả quy mod pe 48 3.4.3 Thuật toán Zassenhaus 51 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 Mở đầu Đa thức khái niệm sở toán học Một mặt đa thức đối tượng nghiên cứu đại số, mặt chúng xuất tất lĩnh vực toán học nhiều lĩnh vực khoa học khác Các toán đa thức xuất toán phổ thông toán cao cấp Trong toán phổ thông, toán đa thức thường toán khó, hay xuất kỳ thi học sinh giỏi, kể kỳ thi Học sinh giỏi Quốc gia Olympic Toán Quốc tế Khi xét đa thức, vấn đề người ta quan tâm tính bất khả quy rộng phân tích đa thức thành tích đa thức bất khả quy Tính chất tương tự số nguyên tính chất nguyên tố phân tích thành tích số nguyên tố Các câu hỏi tính bất khả quy phân tích bất khả quy đa thức nói chung khó trả lời nhiều Do vậy, việc hệ thống lại số tiêu chuẩn đa thức bất khả quy nghiên cứu số thuật toán phân tích đa thức biến (với hệ số nguyên) thành nhân tử cần thiết Với lý vậy, chọn đề tài “Về số thuật toán phân tích đa thức biến thành nhân tử” Khác với số nguyên, thuật toán để phân tích đa thức nguyên thành tích đa thức nguyên bất khả quy không hiển nhiên Nếu xét đa thức với hệ số trường hữu hạn việc phân tích khả thi hơn, có hữu hạn đa thức có bậc nhỏ bậc đa thức cho trước Với đa thức hệ số nguyên, thuật toán phân tích đa thức thành nhân tử mà hiệu (về mặt tính toán) đưa đa thức xét trường hữu hạn, sau nâng phân tích tìm lên lại vành số nguyên Trong luận văn này, trình bày số thuật toán phân tích đa thức thành tích nhân tử bất khả quy, xét trường hợp đa thức nguyên, đa thức có hệ số trường hữu hạn F p Nội dung luận văn trình bày chi tiết kết chọn lọc số tài liệu tiêu chuẩn đa thức bất khả quy thông qua thu gọn mod p (reduction mod p) thuật toán phân tích đa thức biến thành nhân tử bất khả quy thuật toán Kronecker, thuật toán Yun, thuật toán Zassenhaus Nội dung luận văn trình bày ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày kiến thức sở chuẩn bị cho chương sau định lý phân tích đa thức thành nhân tử, bổ đề Gauss, thuật toán chia đa thức thuật toán tìm ước chung lớn hai đa thức Chương Thu gọn mod p đa thức bất khả quy Chúng trình bày việc xét tính chất bất khả quy đa thức nguyên thông qua thu gọn mod p với p số nguyên tố Kết trình bày tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein mở rộng Các tiêu chuẩn trình bày ngắn gọn thông qua thu gọn mod p Chương Một số thuật toán phân tích đa thức thành nhân tử Trong chương trình bày thuật toán Kronecker để phân tích đa thức nguyên thành nhân tử Đây thuật toán để phân tích đa thức nguyên, nhiên có ý nghĩa lý thuyết mặt tính toán không hiệu Tiếp theo trình bày thuật toán Yun để phân tích đa thức thành ước không chứa bình phương Thuật toán trình bày phân tích đa thức với hệ số trường hữu hạn thành nhân tử Ý tưởng thuật toán sử dụng thuật toán Zassenhaus, trình bày phần cuối Chương 3, để phân tích đa thức nguyên thành tích đa thức nguyên bất khả quy Ý tưởng thuật toán chuyển việc xét đa thức nguyên xét trường F p , sau sử dụng thuật toán trước để phân tích đa thức thành tích đa thức bất khả quy F p Cuối cùng, sử dụng dạng Bổ đề Hensel để nâng phân tích lên Z Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành với hướng dẫn TS Đoàn Trung Cường (Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tác giả muốn gửi lời cảm ơn tốt đẹp tới tập thể Lớp B, cao học Toán khóa (2014-2016) động viên giúp đỡ tác giả nhiều suốt trình học tập Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Lê Hồng Phong, Thành phố Hải Phòng tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập công tác Cuối cùng, tác giả muốn dành lời cảm ơn đặc biệt đến bố mẹ đại gia đình động viên chia sẻ khó khăn để tác giả hoàn thành tốt luận văn Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2016 Tác giả Dương Thị Lan Hương Chương Kiến thức chuẩn bị Mục đích chương nhắc lại số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho việc trình bày kết chương sau Nội dung chương nhắc lại số định lí đa thức bất khả quy phân tích bất khả quy, thuật toán chia đa thức, thuật toán tìm ước chung lớn hai đa thức Hầu hết kết chương trình bày dựa theo tài liệu [2] 1.1 Phân tích bất khả quy đa thức Trong tiết này, nhắc lại số kết đa thức bất khả quy tồn phân tích bất khả quy Nhắc lại, đa thức khác với hệ số trường bất khả quy không phân tích thành tích hai đa thức có bậc nhỏ Ví dụ, đa thức bậc aX + b, với a = 0, bất khả quy Tính chất bất khả quy đa thức phụ thuộc vào trường hệ số xét Ví dụ, đa thức P(X) = X + đa thức bất khả quy R[X] đa thức khả quy C[X] P(X) = (X − i)(X + i) Để xét tính chất bất khả quy đa thức, ta hay dùng bổ đề đơn giản sau để biến đổi đa thức dạng mà ta áp dụng số tiêu chuẩn bất khả quy biết Bổ đề 1.1.1 Cho đa thức P(X) với hệ số trường K Với a ∈ K, đa thức P(X) bất khả quy đa thức P(X + a) bất khả quy Chứng minh Trước hết nhận xét deg P(X) = deg P(X + a) Ngoài ra, phân tích P(X) = H(X)K(X) tương đương với phân tích P(X + a) = H(X + a)K(X + a) Vì P(X) khả quy P(X + a) khả quy Hai đa thức P(X), Q(X) gọi liên hợp P(X) = λ Q(X) với số λ = Định lí 1.1.2 (Phân tích thành nhân tử) Giả sử K trường Khi đa thức P(X) ∈ K[X] khác có phân tích P(X) = P1α1 Prαr với Pi ∈ K[X] đa thức bất khả quy đôi không liên hợp, α1 , , αr > Hơn phân tích sai khác thứ tự ước bất khả quy Với đa thức nguyên, ta định nghĩa đa thức nguyên khác bất khả quy không phân tích thành tích hai đa thức có bậc nhỏ Với định nghĩa đa thức nguyên bất khả quy không phần tử bất khả quy vành Z[X] định nghĩa thông thường Ví dụ, đa thức nguyên 2X + = 2(X + 2) đa thức bất khả quy theo định nghĩa Trong toàn luận văn ta sử dụng định nghĩa đa thức nguyên bất khả quy Một đa thức nguyên đa thức hữu tỷ (có hệ số trường số hữu tỷ Q) Liên hệ tính chất bất khả quy Z Q thể định lý tiếng sau, thường gọi Bổ đề Gauss Định lí 1.1.3 (Bổ đề Gauss) Cho đa thức nguyên P(X) khác Giả sử có phân tích P(X) = G(X)F(X) với G(X), F(X) đa thức có hệ số hữu tỷ Khi tồn đa thức nguyên G∗ (X), F∗ (X) cho deg G(X) = deg G∗ (X), deg F(X) = deg F∗ (X) P(X) = G∗ (X)F∗ (X) Nói riêng, P(X) khả quy Q phân tích thành tích hai đa thức với hệ số nguyên có bậc thấp Chứng minh Viết F(X) = aF1 (X) G(X) = bG1 (X) a, b ∈ Q F1 (X), G1 (X) ∈ Z[X] đa thức nguyên mà hệ số có ước chung lớn (thường gọi đa thức nguyên bản) Rõ ràng P(X) = abF1 (X)G1 (X) ∈ Z[X] Ta chứng minh ab ∈ Z Thật vậy, giả sử ab ∈ / Z Khi đó, ab = r/s với r/s phân số tối giản s > Viết F1 (X)G1 (X) = an X n + + a1 X + a0 Vì F1 (X)G1 (X) nguyên nên gcd(an , an−1 , , a0 ) = Vì P(X) ∈ Z[X] nên ta có ra1 ra0 ran , , , ∈ Z s s s Suy s ước chung an , , a1 , a0 Điều vô lý Vậy ab ∈ Z Đặt F∗ (X) = abF1 (X) G∗ (X) = G1 (X) Khi đó, P(X) = F∗ (X)G∗ (X) với F∗ (X) G∗ (X) có hệ số nguyên, deg F(X) = deg F∗ (X) deg G( X) = deg G∗ (X) Như với đa thức nguyên tính chất bất khả quy Z Q tương đương Tương tự định lý phân tích đa thức với hệ số trường, ta có định lý phân tích cho đa thức nguyên Nhắc lại đa thức nguyên gọi đa thức nguyên (primitive) hệ số đa thức có ước chung lớn Định lí 1.1.4 (Phân tích thành nhân tử) Mọi đa thức nguyên khác có phân tích P(X) = λ P1α1 Prαr , λ ∈ Z, P1 , , Pr đa thức nguyên bất khả quy đôi không liên hợp α1 , , αr > Hơn nữa, phân tích sai khác thứ tự nhân tử bất khả quy 1.2 Thuật toán chia đa thức Trong tính toán đa thức, thuật toán chia Euclid đóng vai trò then chốt Từ thuật toán người ta dẫn đến thuật toán khác tìm ước chung lớn nhất, tìm bội chung nhỏ nhất, Trong thuật toán phân tích đa thức thành nhân tử mà ta xét phần sau, thuật toán chia đa thức tìm ước chung nhỏ thường xuyên dùng Trong tiết ta nhắc lại thuật toán Trong tiết sau ta không nhắc lại mà sử dụng thuật toán sở biết Giả sử K trường Cho F(X), G(X) hai đa thức với hệ số K, G(X) = Khi tồn hai đa thức Q(X) R(X) cho F(X) = G(X)Q(X) + R(X), deg R(X) < deg G(X) Để tìm đa thức thương Q(X) dư R(X) ta thực sau: Nếu F(X) = deg F(X) < deg G(X) ta chọn Q(X) = R(X) = F(X) Giả sử F(X) = deg F(X) ≥ deg G(X) Đặt deg F(x) = n deg G(X) = m Giả sử am , bm hệ số cao F(X), G(X) Vì K trường nên tồn phần tử b−1 m ∈K −1 n−m Đặt F (X) = F(X) − G(X)H(X) cho bm b−1 m = Chọn H(X) = am bm x Khi F1 (X) = deg F1 (X) < deg F(X) Nếu F1 (X) = deg F1 (X) < deg G(X) dư phép chia R(X) = F1 (X) thương Q(X) = H(X) Nếu F1 (X) = deg F1 (X) ≥ deg G(X) ta tiếp tục làm tương tự cặp đa thức F1 (X) G(X) ta đa thức F2 (X) H1 (X) thỏa mãn F2 (X) = F1 (X) − G(X)H(X), F2 (X) = deg F2 (X) < deg F1 (X) Cứ tiếp tục trình này, ta thu dãy F1 (X), F2 (X), , Fk−1 (X) gồm đa thức khác với bậc giảm dần Các bậc giảm nên trình phải dừng bước k đó, mà Fk (X) đa thức hoặc có bậc bé bậc G(X) Thuật toán gọi thuật toán chia Eulid Các bước thuật toán cụ thể 40 3.3.2 Phân tích tách bậc Ta xét đa thức không chứa bình phương P(X) ∈ F p [X] Ta nhóm ước bất khả quy bậc P(X) thuật toán tách bậc Trước hết ta có mệnh đề sau đa thức bất khả quy F p Mệnh đề 3.3.2 Cho Q(X) ∈ F p [X] đa thức bất khả quy bậc d Khi d d P(X) | X p − X Ngược lại, P(X) ước bất khả quy X p − X không d ước X p − X với e < d deg P(X) = d Chứng minh Vì Q(X) bất khả quy nên I := (Q(X)) iđêan cực đại F p [X] Do F p [X]/I mở rộng trường hữu hạn F p Ngoài dimF p F p [X]/(Q(X)) = d nên số phần tử F p [X]/(Q(X)) pd Do phần tử y trường d thỏa mãn y p = y Với y = X d Xp −X = mod Q(X) d Do Q(X) | X p − X Bây ta trình bày thuật toán Mục đích với P(X) ∈ F p [X] không chứa bình phương, thuật toán cho ta ứng với số d ≤ deg P(X) đa thức Pd tích ước bất khả quy, monic có bậc d P(X) Thuật toán phân tích tách bậc Fp [X] Bước Đặt Q = P, Y = X, d = Bước Đặt e = deg Q • Nếu d + > 12 e: với e > ta đặt Pe := Q và dừng thuật toán Pi = với i > d, i = e, 41 • Nếu d + ≤ 12 e, đặt d := d + 1, Y := Y p mod Q Bước Đặt Pd := gcd(Y − X, Q) Nếu Pd = đặt Q := Q , Pd Y := Y mod Q quay lại Bước Định lí 3.3.3 Thuật toán cho ta phân tích tách bậc đa thức P(X) Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo d Lặp lại bước thuật toán sau: • d = Nếu = d + > 12 e nghĩa e ∈ {0, 1} ta dừng (do deg P(X) = e) Nếu = d + ≤ 12 e nghĩa e ≥ ta đặt d := d + = 1, Y =Yp mod P(X) Đặt P1 := gcd(Y − X, Q) = gcd(X p − X, P(X)), P1 tích ước bất khả quy bậc (không liên hợp P(X)) (theo Mệnh đề 3.3.2) Ta có nhận xét: Xét d > 0, sau bước d, Q(X) ước bất khả quy bậc 1, 2, , d Ta chứng minh Pd+1 tích ước bất khả quy bậc d + P(X) • Nếu d + > 12 e Vì Q(X) ước bất khả quy bậc 1, 2, , d nên Q(X) bất khả quy Thật vậy, Q(X) = Q1 Q2 với deg Qi ≥ (với i = 1, 2) deg Qi ≥ d + 1, với i = 1, Nhưng deg(Q1 Q2 ) ≥ 2(d + 1) > e = deg Q 42 Suy Q = Q1 Q2 Điều mâu thuẫn Do thuật toán dừng, đặt Pe = Q, Pi = với i > d, i = e • Nếu d + ≤ 12 e Ta có d+1 Y := X p mod Q(X) Đặt d+1 Pd+1 := gcd(Y − X, Q(X)) = gcd X p − X, Q(X) Chú ý Q(X) ước bất khả quy bậc 1, 2, , d Do Pd+1 tích ước bất khả quy bậc d + Q(X) ước P(X) (do Mệnh đề 3.3.2) Định lý chứng minh Hệ 3.3.4 Cho đa thức P(X) ∈ F p [X] có bậc deg P(X) = d > Đa thức P(X) d bất khả quy P(X) | X p − X với ước nguyên tố q d, ta có d/q gcd P(X), X p 3.3.3 − X = Phân tích đồng bậc Cho đa thức P(X) ∈ F p [X] tích đa thức bất khả quy có bậc d đôi không liên hợp Mục đích bước tìm phân tích bất khả quy P(X) Bổ đề sau suy dễ dàng Bổ đề 3.3.5 Ta có deg P(X) = dr với r số ước bất khả quy đôi không liên hợp P(X) Nói riêng, P(X) bất khả quy deg P(X) = d Mệnh đề 3.3.6 Cho p số nguyên tố lẻ P(X) đa thức Với đa thức Q(X) ∈ F p [X] ta có P(X) = gcd(P, Q) gcd P, Q pd −1 + gcd P, Q pd −1 −1 43 d Chứng minh Do P(X) có đủ nghiệm (đều nghiệm đơn) F pd Q p − Q d nhận tất phần từ F pd nghiệm nên P(X) | Q p − Q P(X) Ngoài ta có d −1 d Y p −Y = Y Y p =Y Y pd −1 −1 Y pd +1 pd +1 +1 +1 −1 với Y, Y pd −1 − 1, Y đôi nguyên tố nhau, nên từ d P(X) | Q p − Q = Q Q pd +1 +1 − gcd P, Q pd +1 pd −1 −1 Q ta suy P(X) = gcd(P, Q) gcd P, Q pd −1 +1 Phép chứng minh kết thúc d Nhận xét 3.3.7 Ta có nhận xét đa thức X p − X có pd nghiệm khác F pd Do xác suất để P(X) đa thức X pd −1 − có nghiệm chung F pd , hay nói cách khác có ước chung không tầm thường F p [X], xấp xỉ 12 Do Q(X) ∈ F p [X] đa thức monic chuẩn ngẫu nhiên có bậc nhỏ 2d − xác suất để P(X) Q pd −1 − có ước chung không tầm thường xấp xỉ 12 Từ Nhận xét 3.3.7 ta có thuật toán tách Cantor-Zassenhaus sau Mục đích thuật toán đưa phân tích bất khả quy đa thức P(X) biết trước P(X) tích đa thức bất khả quy có bậc d đôi không liên hợp Thuật toán gồm ba bước Thuật toán Cantor-Zassenhaus (phân tích đồng bậc) 44 Bước Đặt r = deg P d Nếu r = cho P1 = P dừng Bước Chọn Q(X) ∈ F p [X] ngẫu nhiên monic với deg Q(X) ≤ 2d − Đặt B = gcd P, Q pd −1 −1 Nếu deg B = deg B = deg P quay lại Bước Nếu < deg B < deg P đặt P := PB Bước Lặp lại phân tích P B Chú ý trường hợp p = ta có thuật toán tương tự Ở ta không nhắc tới p lẻ đủ ta xét phân tích bất khả quy Z 3.4 Phân tích bất khả quy Z[X] Trong phần đầu chương ta xét thuật toán Kronecker tìm phân tích bất khả quy đa thức nguyên Tuy nhiên thuật toán không hiệu số lượng tính toán lớn Trong tiết xét thuật toán hiệu 3.4.1 Chặn cho hệ số ước vành đa thức nguyên Cho đa thức nguyên P(X) = a0 +a1 X +a2 X + .+an X n với (a1 , a2 , , an ) = Ta có khẳng định thú vị sau cho chặn cho hệ số ước nguyên P(X) Đặt |P(X)| = |a0 |2 + |a1 |2 + + |an |2 Định lí 3.4.1 Cho đa thức nguyên n m P(X) = ∑ X i ∈ Z[X] i=0 Q(X) = ∑ bi X i ∈ Z[X] i=0 Giả sử Q(X) | P(X) Z[X] Khi j j−1 |b j | ≤ Cm−1 |P(X)| +Cm−1 |an | 45 Chọn B số lớn số j j−1 Cm−1 |P(X)| +Cm−1 |an | Ta suy hệ số b j đa thức Q(X) nằm [−B, B] Để chứng minh Định lí 3.4.1 ta cần kết sau Ta trình bày kết dạng bổ đề hệ chúng Bổ đề 3.4.2 Cho x1 , x2 , , xm ≥ số thực Đặt σm,k = xi1 xik ∑ với < k ≤ m, 1≤i1 < 12 deg P Nếu Q | (P)P Z[X] đặt F lũy thừa cao Q P0 (X) Khi • Đặt P := FP • Bỏ Pi1 , Pi2 , , Pid khỏi phân tích mod pe • Đặt r := r − d d ≤ 12 r d d > 12 r dừng lại 53 Bước Đặt d := d + Nếu d ≤ 12 r quay Bước Nếu d > 12 r dừng thuật toán Thu F lũy thừa Q(X) P0 (X) 54 Kết luận Trong luận văn trình bày số kết sau: Tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein số mở rộng, có minh họa ví dụ Thuật toán Kronecker phân tích đa thức nguyên thành nhân tử bất khả quy Phân tích không bình phương thuật toán Yun Thuật toán phân tích bất khả quy trường hữu hạn F p Thuật toán phân tích bất khả quy vành đa thức nguyên Z[X] ... mod p Chương Một số thuật toán phân tích đa thức thành nhân tử Trong chương trình bày thuật toán Kronecker để phân tích đa thức nguyên thành nhân tử Đây thuật toán để phân tích đa thức nguyên,... số tiêu chuẩn đa thức bất khả quy nghiên cứu số thuật toán phân tích đa thức biến (với hệ số nguyên) thành nhân tử cần thiết Với lý vậy, chọn đề tài Về số thuật toán phân tích đa thức biến thành. .. hạn đa thức có bậc nhỏ bậc đa thức cho trước Với đa thức hệ số nguyên, thuật toán phân tích đa thức thành nhân tử mà hiệu (về mặt tính toán) đưa đa thức xét trường hữu hạn, sau nâng phân tích