Thông tin tài liệu
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP ĐỊNH NGHĨA F1(t,x1,x2,…, xn, x1’,x2’,…,xn’) = Hệ tổng qt … Fn(t,x1,x2,…, xn, x1’,x2’,…,xn’) = x1’ = f1(t,x1,x2,…, xn) Hệ tắc … xn’ = fn(t,x1,x2,…, xn) t : biến x1, x2 , …, xn : ẩn hàm BÀI TỐN CAUCHY Tìm nghiệm hệ x1’ = f1(t,x1,x2,…, xn) ……………………… xn’ = fn(t,x1,x2,…, xn) x1(t0) = α1 Thỏa điều kiện ………… xn(t0) = αn Hệ n ptvp cấp tương đương ptvp cấp n nên hệ nghiệm có n số tự PHƯƠNG PHÁP KHỬ B1: xây dựng ptvp cấp n theo hàm chọn trước B2: giải ptvp cấp n vừa tìm rút hệ với (n – 1) hàm Vd: x ' = x '(t ) = y + e t t y ' = y '(t ) = − x + 3y − e (1) (2) y′′ = − x '+ 3y '− e t y′′ = −2 y − e t + 3y '− e t (3) ⇒ ⇒ t t x ' = y + e x ' = 2y + e (3) ⇔ y "− 3y '+ y = −2e t t Tt cấp hệ số 2t ⇔ y = C1e + C2e + 2te t (2) ⇒ x = − y '+ 3y − e t t = − C1e − 2C2e 2t t t 2t t −2(t + 1)e + 3(C1e + C2e + 2te ) − e t 2t = 2C1e + C2e + (4t − 3)e x = 2C1et + C2e t + (4t − 3)e t t 2t t y = C1e + C2e + 2te t t Cách khử cho hệ pt (tuyến tính) x ′ = a1x + b1y + f1 (t ) y ′ = a2 x + b2 y + f2 (t ) (1) (2) Lấy đạo hàm pt (1) theo t (3) Thay y’ từ pt (2) vào (3) (4) Rút y từ (1) thay vào (4) Pt kết pt cấp theo ẩn hàm x biến t Nếu xuất phát từ pt (2), ta có pt cấp theo y HỆ PTVP TUYẾN TÍNH CẤP HỆ SỐ HẰNG X’(t) = AX(t) + F(t) x1′ (t ) M ÷ ÷ x′ ( t ) ÷ n x1 (t ) M ÷ ÷ x (t) ÷ n f1 (t ) M÷ ÷ f (t) ÷ n (Hệ ẩn hàm ) a11 L A =L L a n1 L a1n L ÷: ma trậ n vuô ng cấ pn ÷ ann ÷ Ví dụ x ' = x '(t ) = y + e t 1/ t y ' = y '( t ) = − x + y − e x(t ) X( t ) = ÷ y ( t ) et F( t ) = −e t ÷ ÷ 2 A = ÷ − x ' = x + y + 2z + t + sin t 2 / y ' = 2x + 4y + z + t t z ' = y − z + e − ln t t + sin t 1 ÷ ÷ ⇔ X ( t ) = X( t ) + t , ÷ ÷ −2 ÷ et − ln t ÷ x(t ) ÷ X( t ) = y ( t ) ÷ z( t ) ÷ PP TRỊ RIÊNG GIẢI HỆ KHƠNG THUẦN NHẤT A chéo hóa X’ = AX + F(t) ⇔ X’ = PDP-1X + F(t) ( ⇔ ∃ P: P-1AP = D (chéo) ) Đặt Y = P-1X: ⇔ P-1X’ = DP-1X + P-1F(t) ⇔ Y’ = DY + G(t) y1′ λ1 K y1 g1 (t ) y′ λ K y g ( t ) 2= 2 + ′ yn 0 K λn yn gn (t ) PPTRỊ RIÊNG TÌM NGHIỆM HỆ THUẦN NHẤT X’(t) = AX(t) ⇔ Y’ = DY y1 ' λ1 K y1 y ' λ K y = 2 y n ' 0 K λn y n y1 '(t ) = λ1y1 (t ) y '(t ) = λ y (t ) 2 ⇔ yn '(t ) = λn yn (t ) y1 '(t ) = λ1y1 (t ) y '(t ) = λ y (t ) 2 ⇔ yn '(t ) = λn yn (t ) n y1 ( t ) = c1eλ1t λ2 t y ( t ) = c 2e ⇔ λn t y n ( t ) = c ne ⇒ X = PY = ∑ c k e Pk { Xk = e k =1 λk t λk t (Pk cột thứ k P) } Pk , k = 1, , n : hệnghiệ mđltt củ a hệthuầ n nhấ t Định lý: Hệ X’ = AX(t), ma trận A có n giá trị riêng thực λ1, λ2 … λn (kể trị riêng bội), n vector riêng P1, P2 , … , Pn độc lập tuyến tính ⇒ Nghiệm tổng qt pt nhất: n X ( t ) = [ x1 ( t ) , x ( t ) , K , xn ( t ) ] = ∑ c k e Pk T k =1 λk t Vd: x1′ = x1 + x + 2x 1 2 x′2 = x1 + x + 2x ⇔ X′ = 1 ÷X ÷ x′ = x + x + x 2 4÷ 3 1− λ A − λI = 1− λ λ1 = ⇔ λ2 = 2 4−λ A = λ (6 − λ ) = 1 p1 ÷ ÷ ⇔ 1 p =0 ( A − λ1I)P = ÷ ÷ 2 ÷ p ÷ 1 2 Chọn vector riêng: P1 = −1÷, P2 = ÷ ÷ ÷ 0÷ −1÷ p1 −5 ÷ ÷ ( A − λ2I)P = ⇔ −5 p2 = ÷ ÷ 2 −2 ÷ p ÷ 1 Chọn VTR: P3 = ÷ ÷ 2÷ λ1t λ1t λ2 t X1 = e P1, X2 = e P2 , X3 = e P3 = e6 tP2 ⇒ X = ∑ Ck Xk k =1 1 2 1 0t 0t 6t ÷ ÷ ÷ = C1e −1 + C2e + C3e ÷ ÷ ÷ 0÷ −1÷ 2÷ 6t x1 C1 + 2C2 + C3e ÷ 6t ÷ ⇔ x = −C1 + C3e ÷ ÷ x ÷ 6t ÷ ÷ −C2 + 2C3e Cấu trúc nghiệm hệ tt khơng X = X0 + Xr X0 : nghiệm tổng qt hệ pt X’(t) = AX(t) (1) Xr : nghiệm riêng hệ pt khơng Cấu trúc nghiệm tổng qt hệ X0 = C1X1 + C2X2 + …+ CnXn { Xk , k = 1, ,n }: hệ nghiệm độc lập tuyến tính (1) PP biến thiên số tìm Xr Xr = C1(t)X1 + …+ Cn(t)Xn Ci tìm từ hệ pt: C’1(t)X1 + …+ C’n(t)Xn = F(t) Ví dụ x1′ = x + et (1) t x′2 = − x1 + 3x − e Hệ nhất: x1′ = x (2) x′2 = − x1 + 3x 2 A = , ÷ −1 et F( t ) = −e t ÷ ÷ Trị riêng VTR A: 2 1 λ1 = 1, P1 = ÷, λ1 = 2, P2 = ÷, 1 1 Các nghiệm đltt hệ t 2 t 1 X1 = e ÷, X = e ÷ 1 1 Nghiệm tổng qt hệ t 2 t 1 X0 = C1X1 + C2 X2 = C1e ÷+ C2e ÷ 1 1 Tìm Xr pp biến thiên số: Trong X0 xem C1 C2 hàm cố theo t Tìm C1 C2 từ hệ: C’1(t)X1 + …+ C’n(t)Xn = F(t) t e t 2 t 1 ⇔ C1′ e ÷+ C′2e ÷ = ÷ 1 1 −et ÷ C1′ 2et + C′2e t = e t ⇔ t 2t t ′ ′ C1e + C2e = −e C1 (t ) = 2t Chọn: −t C2 (t ) = 3e C1′ = ⇔ −t C′2 = −3e t 2 t 1 X0 = C1X1 + C2 X2 = C1e ÷+ C2e ÷ 1 1 C1 (t ) = 2t −t C2 (t ) = 3e ⇒ Xr = C1 (t ) X1 + C2 (t ) X Nghiệm tổng qt: t 2 − t t 1 = 2te ÷+ 3e e ÷ 1 1 4te t + 3et = ÷ 2te t + 3et ÷ X = X0 + Xr Ví dụ x1′ (t ) = 3x1 + x + e t x′2 (t ) = x1 + x + t F = 2t + A = 3t ÷ ÷ 4 Chéo hóa A 1 −1 / −1 / 0 P= P = D= ÷ ÷ ÷ −1 1/ 1/ 5 Đặt : y1 / −1 / x1 Y = P X ⇔ ÷= ÷ ÷ y2 / / x2 −1 et − t t / − / e 3÷ −1 P F= ÷ ÷= ÷ / / t et + t ÷ 3 3 Hệ viết lại theo y1, y2 Y′ = DY + P −1F et − t y1′ 2y1 3÷ ⇔ ÷= + ÷ ÷ y′2 5y et + t ÷ 3 3 y′ = y + e t − t 3 ⇔ t t y′2 = 5y + e + 3 y = − et + t + + C e2t 12 ⇒ y = − e t − t + + C e5 t 12 15 75 ⇒ X = PY x1 1 y1 hay ÷ = ÷ ÷ x −1 y ... 1 1 = 1, P1 = ÷, 1 = 2, P2 = ÷, 1 1 Các nghiệm đltt hệ t 2 t 1 X1 = e ÷, X = e ÷ 1 1 Nghiệm tổng qt hệ t 2 t 1 X0 = C1X1 + C2 X2 = C1e ÷+ C2e ÷ 1 1 ... nghiệm hệ x1’ = f1(t,x1,x2,…, xn) ……………………… xn’ = fn(t,x1,x2,…, xn) x1(t0) = 1 Thỏa điều kiện ………… xn(t0) = αn Hệ n ptvp cấp tương đương ptvp cấp n nên hệ nghiệm có n số tự PHƯƠNG PHÁP KHỬ B1:... 1 1 y1 1 x1 Y = P X ⇔ ÷= P ÷ y2 x2 1 t t 2e 1 e 1 P F( t ) = = t ÷ ÷ ÷ −3et ÷ 1 −e ÷ 1 (1) ⇔ Y′ = DY + P F(t ) t ′ y y e 1
Ngày đăng: 15/09/2017, 14:52
Xem thêm: Hệ phương trình vi phân cấp 1 , Hệ phương trình vi phân cấp 1