Đang tải... (xem toàn văn)
Đây là tài liệu được chỉnh sửa, dịch sang song ngữ AnhViệt và thêm phần giải chi tiết cho bộ đề toán Quốc tế IMC từ năm 2000 đến nay.Nếu các bạn đọc chưa hiểu hay có vân đề thắc mắc thì liên hệ với mình qua mail Quangnhienxstkk26gmail.com. Thank you.Đây là một phần của tài liệuELEMENTARY MATHEMATICS INTERNATIONAL CONTESTTime limit: 90 minutes 27th July 2010 Incheon, KoreaQUESTION1. A computer billboard is displaying the three “words” : IMC 2010 INCHEON. Amalfunction causes the initial “letter” of each of the three words to be shifted tothe end of that word every minute. Thus after 1 minute, the billboard reads MCI0102 NCHEONI, and after 2 minutes, it reads CIM 1020 CHEONIN. After howmany minutes will the original three words reappear for the first time?Một bảng quảng cáo trên máy tính hiển thị ba cụm từ: IMC 2010 INCHEON. Mộttrục trặc xảy ra, cứ một phút thì chữ cái đầu tiên của mỗi cụm từ sẽ chuyển tới vịtrí cuối của cụm đó. Như vậy, sau 1 phút, bảng quảng cáo sẽ hiển thị : MCI 0102NCHEONI và sau 2 phút, bảng quảng cáo sẽ hiển thị: CIM 1020 CHEONIN. Vậysau bao nhiêu phút thì ba cụm từ ban đầu xuất hiện lại lần đầu tiên?2. What is the sum of the digits of the number ?Tổng các chữ số của là bao nhiêu?3. By the notation dn , we mean an ndigit number consisting of n times of thedigit d. Thus 53=555 and 43 95 81 36 =444999998333333. If 2 w 3 x 5 y + 3 y 5 w 2 x =53 72 8z 51 7 3 for some integers w, x, y and z, what is the value of w + x + y + z?Chúng ta định nghĩa một số có n chữ số d bởi dn . Như vậy 53=555 và 43 95 81 36=444999998333333. Nếu 2 w 3 x 5 y + 3 y 5 w 2 x = 53 72 8z 5173 với x,y,w và z là cácsố nguyên. Giá trị của w + x + y + z là bao nhiêu?4. A man weighs 60 kg plus onequarter of his weight. His wife weighs 64 kg plusonefifth of her weight. What is the absolute difference between the weights ofthe man and his wife in kg?Một người đàn ông nặng 60 kg cộng với một phần tư trọng lượng của mình. Vợông nặng 64 kg cộng một phần năm trọng lượng của cô ấy. Tìm hiệu khối lượngcủa 2 người?
Editor: Quangnhienxstkk26@gmail.com ELEMENTARY MATHEMATICS INTERNATIONAL CONTEST Time limit: 90 minutes 27th July 2010 Incheon, Korea QUESTION A computer billboard is displaying the three “words” : IMC 2010 INCHEON A malfunction causes the initial “letter” of each of the three words to be shifted to the end of that word every minute Thus after minute, the billboard reads MCI 0102 NCHEONI, and after minutes, it reads CIM 1020 CHEONIN After how many minutes will the original three words reappear for the first time? Một bảng quảng cáo máy tính hiển thị ba cụm từ: IMC 2010 INCHEON Một trục trặc xảy ra, phút chữ cụm từ chuyển tới vị trí cuối cụm Như vậy, sau phút, bảng quảng cáo hiển thị : MCI 0102 NCHEONI sau phút, bảng quảng cáo hiển thị: CIM 1020 CHEONIN Vậy sau phút ba cụm từ ban đầu xuất lại lần đầu tiên? What is the sum of the digits of the number Tổng chữ số ? bao nhiêu? By the notation dn , we mean an n-digit number consisting of n times of the digit d Thus 53=555 and 43 95 81 36 =444999998333333 If w x y + y w x = 53 72 8z 51 for some integers w, x, y and z, what is the value of w + x + y + z? Chúng ta định nghĩa số có n chữ số d dn Như 53=555 43 95 81 36 =444999998333333 Nếu w x y + y w x = 53 72 8z 5173 với x,y,w z số nguyên Giá trị w + x + y + z bao nhiêu? A man weighs 60 kg plus one-quarter of his weight His wife weighs 64 kg plus one-fifth of her weight What is the absolute difference between the weights of the man and his wife in kg? Một người đàn ông nặng 60 kg cộng với phần tư trọng lượng Vợ ông nặng 64 kg cộng phần năm trọng lượng cô Tìm hiệu khối lượng người? IMC 2010 Hàn Quốc Page | Editor: Quangnhienxstkk26@gmail.com In quadrilateral ABCD, AB=6 cm, AD=4 cm, BC=7 cm and CD=15 cm If the length of AC is an integer number of cm, what is this number? Trong tứ giác ABCD, AB=6 cm, AD=4 cm, BC=7 cm CD=15 cm Nếu chiều dài AC số nguyên đo cm Tìm độ dài cạnh AC A B D C The speed of the current in the river is km per hour A man rows a boat at constant speed He rows upstreams for hours, and rows downstreams for hours to return to his starting point What is the distance, in km, between the starting point of the boat and the point at which the boat turns around? Tốc độ dòng chảy dòng sông km/giờ Một người đàn ông thuyền với tốc độ không đổi Anh ta ngược dòng sông lên thượng lưu giờ, xuôi dòng sông để lại điểm xuất phát Tính khoảng cách điểm bắt đầu điểm mà thuyền quay đầu lại? In the quadrilateral ABCD, AB is parallel to DC and AD = BC If eight copies of this quadrilateral can be used to form a hollow regular octagon as shown in the diagram below, what is the measure of ∠BAD, in degree ? Trong tứ giác ABCD, AB song song với DC AD = BC Nếu tứ giác sử dụng để tạo nên hình tám góc rỗng thể hình vẽ góc BAD bao nhiêu? IMC 2010 Hàn Quốc Page | Editor: Quangnhienxstkk26@gmail.com Let , be two different 3-digit numbers If the difference is divisible by 2010, what is the largest possible sum of these two 3-digit numbers? Lấy hai số có chữ số khác Nếu hiệu chia hết cho 2010 giá trị lớn tổng số có chữ số ban đầu bao nhiêu? What is the average of all different 9-digits numbers where each consists of the digit five times and the digit four times? Tìm trung bình cộng tất số có chín chữ số khác mà số bao gồm năm số bốn số 10 ABCD is a rectangle with AB=4 cm and BC=6 cm E, F, G and H are points on the sides AB, BC, CD and DA respectively, such that AE=CG=3 cm and BF=DH=4 cm If P is a point inside ABCD such that the area of the quadrilateral AEPH is , what is the area the quadrilateral PFCG, in ? ABCD hình chữ nhật với AB = cm BC = cm E, F, G H điểm cạnh AB, BC, CD DA Biết AE = CG = cm BF = DH = cm Nếu P điểm nằm bên ABCD cho diện tích tứ giác AEPH Tìm diện tích tứ giác PFCG IMC 2010 Hàn Quốc Page | Editor: Quangnhienxstkk26@gmail.com 11 Narrow vegetable spring-rolls of length cm are supposed to be made by rolling 8-cm bean sprouts inside cm × cm rice papers into cylinders Instead, the workers are provided with cm bean sprouts So they roll the rice paper the other way and get wide cylinders of length cm For either kind of spring rolls, there is an overlap of cm in order for the rice paper to stick What is the ratio of the volume of the cm spring roll to the volume of the cm spring roll? Một cuộn chả giò dài cm làm cách cuộn bánh tráng có kích thước cm × cm với cọng giá đỗ dài cm bên Thay vào đó, người làm chả giò cung cấp cọng giá dài cm Vì họ phải cuộn bánh tráng cách khác tạo đoạn chả giò dài cm ( kích thước bánh tráng không đổi) Đối với kiểu làm có đoạn bánh tráng dài cm trùng để cuộn chả dính lại Tính tỉ số thể tích đoạn chả giò dài cm với đoạn chả giò dài cm 12 The largest of 23 consecutive odd numbers is times the smallest What is the average of these 23 numbers? Số lớn 23 số lẻ liên tiếp lần số nhỏ Tính trung bình 23 số 13 The digits 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, and are to be written in the squares so that every row and every column with three numbers has a total of 13 Two numbers have already been entered What is the number in the square marked ＊? Các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, viết vào ô vuông cho mội hàng cột gồm chữ số có tổng 13 Có hai số điền Tìm chữ số ô vuông đánh dấu ＊ IMC 2010 Hàn Quốc Page | Editor: Quangnhienxstkk26@gmail.com 14 In a test given in four subjects, each of five students obtained a score of w, x, y or z in each individual subject, as shown in the table below The total score of each student had been computed, as well as the class total for each subject except for one What was the class total for Biology? Trong đợt kiểm tra cho bốn môn học, bạn năm học sinh đạt số điểm w, x, y z môn học bảng Tổng số điểm học sinh tính tổng số điểm môn học Tính tổng số điểm mà năm học sinh đạt môn sinh học 15 What is the largest positive integer n which does not contain the digit 0, such that the sum of its digits is 15 and the sum of the digits of 2n is less than 20? Số dương lớn n không chứa chữ số mà tổng chữ số 15 tổng chữ số 2n nhỏ 20? IMC 2010 Hàn Quốc Page | Editor: Quangnhienxstkk26@gmail.com SOLUTION Ta thấy Trong cụm từ IMC, phút quay lại vị trí ban đầu Trong cụm từ thứ hai 2010, phút quay lại vị trí ban đầu Trong cụm từ thứ ba INCHEON, phút quay vị trí ban đầu Ta có BCNN(3,4,7) = 84 Vậy sau 84 phút ba cụm từ ban đầu xuất lại lần Ta có: 2010 chữ số 2006 chữ số 2006 chữ số Vậy tổng chữ số Ta có: A = w x y + y w x = 53 72 8z 51 → (x, y) = Nếu x = tổng A có dạng 0m73 (loại) Do y = Ta viết lại: w x + y w x-3 = 53 72 8z 51 → x – = → x = Viết lại: w 3 + y w = 53 72 8z → w > suy z = Viết lại: w + y w-3 = 53 72 → w – = suy w = Vậy w + x + y + z = 15 60kg = ¾ khối lượng người chồng Suy người chồng nặng 80 kg 64kg= 4/5 khối lượng người vợ Suy người vợ nặng 80 kg Hiệu khối lượng người IMC 2010 Hàn Quốc Page | Editor: Quangnhienxstkk26@gmail.com A B D C Xét tam giác ABC, theo định lý cạnh tam giác, ta có: AC < AB + BC = + = 13 (1) Xét tam giác ADC, ta có: AC > DC – AD = 15 – = 11 (2) Từ (1) (2) suy AC = 12 cm Gọi khoảng cách cần tìm A Vận tốc chèo thuyền v Ta có Do Suy ra: Vậy khoảng cách cần tìm 12 km Ta biết: Tổng góc tam giác Tổng góc tứ giác Dễ dàng cmđ tổng góc bát giác : Bát giác đề cho bát giác nên góc Suy góc Suy góc DCB Suy góc BAD IMC 2010 Hàn Quốc Page | Editor: Quangnhienxstkk26@gmail.com Giả sử Theo đề ta có: Suy ra: Vì 333 670 nguyên tố nên Mà ( ) Suy ra: (loại ) Vậy Tổng lớn lớn Suy Vậy tổng lớn số có chữ số bao gồm chữ số chữ số Như tỷ lệ số lần xuất chữ số vị trí : Tương tự vậy: Tỷ lệ số lần xuất chữ số vị trí : fg Tỷ lệ số lần xuất chữ số vị trí : Trung bình cộng cần tìm: IMC 2010 Hàn Quốc Page | Editor: Quangnhienxstkk26@gmail.com 10 cm cm cm b cm M a d N cm c cm cm cm Ta dễ dàng tính độ dài cạnh hình Gọi diện tích AEP, AHP, CFP CGP a, b, c d Ta có Tương tự: Suy Ta có Suy Hay diện tích tứ giác FCGP 11 Cuộn chả giò kiểu thứ có chiều dài cm chu vi đáy cm Cuộn chả giò kiểu thứ hai có chiều dài cm chu vi đáy cm Tỷ lệ thể tích = IMC 2010 Hàn Quốc Page | Editor: Quangnhienxstkk26@gmail.com 12 Gọi n số lẻ nhỏ chuỗi 23 số lẻ liên tiếp Thì dãy là: n, n+2, n+4, , n+44 Ta có n + 44 = 5n Suy ra: n = 11 Dãy là: 11, 13, 15, , 55 11+ 13 + 15 + + 55 = ( )( ) Trung bình cộng: 13 Cột a1 Hàng a2 a3 Cột a4 a5 Hàng a6 Xét cột 1: chữ số thiếu phải có tổng Nên số Xét hàng 2: chữ số thiếu có tổng phải khác 9,5,3,1 Nên số Ta có + + + = 45 Tổng cột + tổng hàng + tổng cột + tổng hàng = a2 + + a5 =52 – 45 = Do số a2, a5 số 1, Vậy 14 Ta nhận thấy: Tổng số điểm bạn = tổng số điểm môn học Có nghĩa là: 349 + 330 + 349 + 326 + 315 = 416 + ? + 428 + 401 Suy ra: ? = tổng số điểm môn sinh = 424 IMC 2010 Hàn Quốc Page | 10 Editor: Quangnhienxstkk26@gmail.com 15 Nhận thấy n bao gồm chữ số bé tổng chữ số 2n gấp đôi tổng chữ số n 30 Do n phải có chữ số lớn Vì ta cần tìm số lớn nên ta xét trường hợp n có nhiều chữ số nhất: Xét trường hợp n chứa chữ số chữ số lại 1: n có dạng: (15-a) chữ số Ta thử1từng trường hợp a = 5,6,7,8 tổng chữ số 2n 21 ( loại) Xét trường hợp n chứa chữ số lớn chữ số lại 1: Ta chọn n số lớn trường hợp n= 5511111 Khi 2n = 11022222 có tổng chữ số 12, thõa đề Vậy n = 5511111 Chú ý: Có vấn đề chưa hiểu hay cần hỏi, em liên hệ qua mail: Quangnhienxstkk26@gmail.com Thầy giải đáp thắc mắc Best regards IMC 2010 Hàn Quốc Page | 11