VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP HAI I ĐỊNH NGHĨA VI PHÂN Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) có đạo hàm x  (a; b) Giả sử x số gia x Ta gọi tích f’(x).x vi phân hàm số y = f(x) x ứng với số gia x, kí hiệu df(x) dy, tức là: dy = df(x) = f’(x) x Ví dụ 1: Tìm vi phân hàm số sau 1) y  x  5x  2) y  sin3 x 3) y  x.cot x II ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM CẤP HAI Định nghĩa đạo hàm cấp hai Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x  (a; b) Khi đó, hệ thức y’ = f’(x) xác định hàm số khoảng (a; b) Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm x ta gọi đạo hàm hàm số y’ đạo hàm cấp hai hàm số y = f(x) kí hiệu là: y’’ f’’(x) Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp hai hàm số sau: 2) y  x  5x  4x 1) y  s in3x 3) y   x  10  4) y = x -3 x+4 Ví dụ 3: Tính đạo hàm cấp hai hàm số sau: a) y = x + x Ví dụ 4: Cho hàm số y = b) y = tanx x -3 Chứng minh y '2 = (y – 1)y’’ x+4 Cho hàm số y = cosx Chứng minh: 2(cosx – y’) + x(y’’ + y’) Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f  x  = x - 2x + 3x (C) điểm có hoành độ x biết f ''  x   Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f  x  = x - 2x (C) điểm có hoành độ x biết f ''  x   1 ( Tốt nghiệp 2012) Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp ba hàm số y = f(x) định nghĩa tương tự kí hiệu y’’’ f’’’(x) f(3)(x) Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1,kí hiệu f Nếu f (n – 1) (x), (n  ,n  4) (n – 1) (x) có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp n f(x), kí hiệu y(n) f(n)(x) Khi đó: f (n) (x) = (f (n-1) (x)) ' III Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI Xét chuyển động xác định phương trình s = f(t), s = f(t) hàm số có đạo hàm đến cấp hai Vận tốc tức thời t chuyển động v(t) = f’(t) Gia tốc tức thời chuyển động s = f(t) thời điểm t (t) = f’’(t)  Tìm gia tốc tức thời thời điểm t chuyển động Ví dụ 6: Xét chuyển động có phương trình s(t) = 3sin(10t + ) ... X t chuyển động xác định phương trình s = f (t) , s = f (t) hàm số có đạo hàm đến cấp hai Vận t c t c thời t chuyển động v (t) = f’ (t) Gia t c t c thời chuyển động s = f (t) thời điểm t  (t) = f’’ (t) ... chuyển động s = f (t) thời điểm t  (t) = f’’ (t)  T m gia t c t c thời thời điểm t chuyển động Ví dụ 6: X t chuyển động có phương trình s (t) = 3sin(1 0t + ) ...2 Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp ba hàm số y = f(x) định nghĩa t ơng t kí hiệu y’’’ f’’’(x) f(3)(x) Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1,kí hiệu f Nếu f (n –