VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN §1: VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN A Kiến thức cần nhớ I.Các định nghĩa Vectơ- giá- độ dài vectơ - Vectơ khơng gian đoạn thẳng có hướng + Kí hiệu vectơ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B - + Vectơ kí hiệu: Giá vectơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ - Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng - Hai vectơ phương hướng ngược hướng Độ dài vectơ độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút điểm đầu điểm cuối vect VD: - Vectơ có độ dài gọi vectơ đơn vị Hai vectơ - Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng gọi vetơ- khơng Kí hiệu: có độ dài hướng với vectơ Vectơ đối Kí hiệu: II Các phép tốn vectơ Tính chất • • • • • • • 2 Một số qui tắc + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: + Qui tắc trừ: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có: + Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I trung điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý Ta có: ; + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm tam giác ABC, O tuỳ ý Ta có: + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G trọng tâm tứ diện ABCD, O tuỳ ý Ta có: + Điều kiện hai vectơ phương: + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý Ta có: Sự đồng phẳng ba vectơ • Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng • Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ không phương Khi đó: , đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R: • Cho ba vectơ Khi đó: không đồng phẳng, tuỳ ý ∃! m, n, p ∈ R: Tích vô hướng hai vectơ • Góc hai vectơ không gian: • Tích vô hướng hai vectơ không gian: + Cho Khi đó: + Với Qui ước: + B Bài tập DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA VECTƠ VÀ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Phương pháp: Dựa vào phép tốn, tính chất hệ thức vectơ Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Hãy nêu tên vectơ có ểm đầu ểm cuối đỉnh lăng trụ Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Hãy kể tên vectơ có điểm đầu ểm cuối đ ỉnh c hình hộp vectơ Bài Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ Mặt phẳng (P) cắt cạnh bên AA’, BB’,CC;,DD’ l ần l ượt I,K,L,M Hãy vectơ: a) Cùng phương với b) Cùng hướng với c) Ngước hướng với Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ chứng minh rằng: a) b) c) Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi S điểm nằm ngồi mặt phẳng chứa hình bình hành Chứng minh rằng: Bài Cho tứ diện ABCD Gọi M,N trung điểm AB,CD Chứng minh rằng: b) a) c)Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: Bài Cho tứ diện ABCD Gọi M,N trung điểm cạnh AC BD Gọi I trung ểm MN P điểm khơng gian Chứng minh rằng: a) b) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Chứng minh r ằng: Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có P R trung điểm cạnh AB,A’D’ G ọi P’,Q,Q’,R’ tâm đối xứng hình bình hành ABCD,CDD’C’, A’B’C’D, ADD’A’ a) Chứng minh rằng: b) Chứng minh hai tam giác PQR P’Q’R’ có trọng tâm trùng DẠNG 2: CHỨNG MINH BA VECTƠ ĐỒNG PHẲNG- PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ QUA BA VECTƠ KHƠNG ĐỒNG PHẲNG • Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta chứng minh cách: + Chứng minh giá ba vectơ song song với mặt phẳng + Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n ∈ R: đồng phẳng • Để phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng, ta tìm số m, n, p cho: Bài Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm mặt phẳng (ABC) Trên đoạn SA lấy điểm M cho đoạn BC lấy điểm N cho Chứng minh ba vectơ đồng phẳng Bài Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi K giao điểm AH DE, I giao điểm BH DF Chứng minh ba vectơ đồng phẳng Bài Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi M, N, I, J, K, L trung điểm cạnh AE, CG, AD, DH, GH, FG; P Q trung điểm NG JH a) Chứng minh ba vectơ đồng phẳng b) Chứng minh ba vectơ đồng phẳng Bài Cho hình lăng trụ ABC.DEF Gọi G, H, I, J, K trung điểm AE, EC, CD, BC, BE a) Chứng minh ba vectơ đồng phẳng b) Gọi M, N hai điểm AF CE cho Các đường thẳng vẽ từ M N song song với CF cắt DF EF P Q Chứng minh ba vectơ Bài Cho ba vectơ a) Cho đồng phẳng: đồng phẳng không đồng phẳng vectơ với m n ≠ Chứng minh ba vectơ sau không i) b) Cho ii) với m, n p ≠ Chứng minh ba vectơ sau không đồng phẳng: i) ii) iii) Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có Hãy phân tích vectơ theo vectơ Bài Cho tứ diện OABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC a) Phân tích vectơ theo ba b) Gọi D trọng tâm tứ diện OABC Phân tích vectơ vectơ theo ba Bài Cho hình hộp OABC.DEFG Gọi I tâm hình hộp a) Phân tích hai vectơ b) Phân tích vectơ theo ba vectơ theo ba vectơ Bài Cho hình lập phương ABCD.EFGH a) Phân tích vectơ theo ba vectơ b) Phân tích vectơ theo ba vectơ DẠNG : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN Bài Cho tứ diện ABCD có H trung điểm cạnh AB Hãy tính góc cặp vectơ sau đây: a) b) Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a a) Chứng minh vng góc với b) Xác định góc , , c) Gọi O tâm hình vng ABCD S điểm cho : Tính khoảng cách O S Bài Cho tứ diện ABCD có Gọi P,Q điểm thuộc đường thẳng AB,CD cho Chứng minh Bài Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA=SB=SC=AB=AC=a Hãy tính góc §2: HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC A Kiến thức cần nhớ Vectơ phương đường thẳng: VTCP d giá song song trùng với d Góc hai đường thẳng: • Giả sử VTCP a, VTCP b, Khi đó: • Nếu a//b a ≡ b • a′//a, b′//b ⇒ Chú ý: Hai đường thẳng vuông góc: • a⊥b⇔ • Giả sử VTCP a, VTCP b Khi • Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với cắt chéo Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC Chứng minh SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB Bài Cho tứ diện ABCD, cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD a) Chứng minh AO vuông góc với CD b) Gọi M trung điểm CD Tính góc AC BM Bài Chứng minh tứ diện ABCD có Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA=SB=SC Bài Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD Chứng minh rằng: a) Chứng minh rằng: b) Gọi M,N trung điểm AB,CD Chứng minh: Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi có a) b) c) d) Gọi M,N,P trung điểm SA,SB,SC Tính góc MN AD Tính góc MN BD Chứng minh MP vng góc với BD Tính góc MN BC Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác Mặt bên SAB tam giác có góc S B góc Gọi M,N,P trung điểm SA,SB,AC a) Tính góc MN AC b) Tính góc MN BP c) Chứng minh MP vng góc với BC Bài Cho hình chóp S.ABC có hai mặt SAB,SAC với cạnh a điểm SA,SB,AC a) b) c) d) Gọi M,N,P trung Tính góc MN AC Tính sin góc MN BP Tính góc MP BC Tính góc AB SC Bài Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD a) Chứng minh : b) Nếu I,J trung điểm AB CD Bài 10 Cho tứ diện ABCD có Gọi I,J trung điểm BC,AC,BD Cho , tính góc đường thẳng CD với đường thẳng IJ AB §3 : ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG A Kiến thức cần nhớ Đònh nghóa d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P) Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Tính chất • Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng • • • • • • Đònh lí ba đường vuông góc , a′ hình chiếu a (P) Khi b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′ Cho Góc đường thẳng mặt phẳng • Nếu d ⊥ (P) = 900 • Nếu = Chú ý: 00 ≤ với d′ hình chiếu d (P) ≤ 900 B Bài tập DẠNG : CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG Phương pháp : * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Bài Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với Gọi H hình chiếu vuông góc điểm O mp(ABC) Chứng minh rằng: a) BC ⊥ (OAH) b) H trực tâm tam giác ABC c) d) Các góc tam giác ABC nhọn Bài Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông cạnh a Mặt bên SAB tam giác đều; SAD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm AB CD a) Tính cạnh ∆SIJ chứng minh SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB) b) Gọi H hình chiếu vuông góc S IJ CMR: SH ⊥ AC c) Gọi M điểm thuộc đường thẳng CD cho: BM ⊥ SA Tính AM theo a Bài Cho hình chóp SABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác SC = a AD Gọi H K trung điểm cạnh AB a) CMR: SH ⊥ (ABCD) b) Chứng minh: AC ⊥ SK CK ⊥ SD Bài 10 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A có cạnh bên SA vng góc với (ABC) Gọi D điểm dối xứng điểm B qua trung điểm O AC Chứng minh Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng Bài 12 Cho tứ diện SABC có đáy ABC tam giác vng A, trung điểm SA, AB, BC Chứng minh rằng: a) b) Gọi H,K, I c) Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác SAB SAD Chứng minh d) Gọi AE, AF đường cao Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a mặt bên SAB tam giác đều, SCD tam giác vng cân đỉnh S gọi I J trung điểm AB CD a) Tính cạnh tam giác SIJ chứng minh b) Gọi H hình chiếu S lên IJ Chứng minh c) Gọi N điểm thuộc đường thẳng CD cho Tính AN theo a Bài 15 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tam giác ABC cạnh a, cạnh bên a) Gọi I trung điểm BC Chứng minh b) Gọi M trung điểm BB’ Chứng minh c) Lấy N A’B’ cho CC’=a gọi J trung điểm B’C’ Chứng minh Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, SB=SD a) Chứng minh (SAC) mặt phẳng trung trực đoạn BD b) Gọi H,K hình chiếu vng góc A lên SB SD Chứng minh rằng: SH=SK, OH=OK, HK//BD c) Chứng minh (SAC) mặt phẳng trung trực HK DẠNG 2: GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Phương pháp: Để xác định góc đường thẳng d mặt phẳng (P) ta làm sau: + Bước 1: Tìm giao điểm I d với (P) + Bước 2: Chọn điểm , tìm hình chiếu vng góc H A lên (P) Khi đó: Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, có cạnh hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng SB SD Gọi M,N a) Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (AMN) b) Tính góc SC (ABCD) Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, cạnh bên SA vng góc với đáy Cho AB=a,BC=2a, a) b) c) d) Tính góc SB (ABC) Tính góc SC (SAB) Tính góc SA (SBC) Tính tan góc SB (SAC) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng với đường chéo 2a, cạnh bên SA vng góc với đáy Cho a) b) c) d) Tính sin góc SC (ABCD) Tính cosin góc SB (SAC) Tính góc SA (SBD) Tính tan góc SA (SCD) Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Cho AB=2a, a) Tính góc SA (ABCD) b) Chứng minh SB AC vng góc với Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh a a) Gọi góc SA (ABC) Tính b) Chứng minh AB SC vng góc với Bài Cho lăng trụ ABC.A′B′C′, có đáy ABC tam giác vuông cân A; AA′ ⊥ (ABC) Đoạn nối trung điểm M AB trung điểm N B′C′ có độ dài a, MN hợp với đáy góc α mặt bên BCC′B′ góc β a) Tính cạnh đáy cạnh bên lăng trụ theo a α b) Chứng minh rằng: cosα = sinβ DẠNG 3: THIẾT DIỆN QUA MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC VÀ VNG GĨC VỚI MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC Bài Cho hình chóp S.ABCD cóa đáy ABCD hình thang vng A B với AB=BC=a,AD=2a, SA=2a Gọi M trung điểm cạnh AB, Đặt mặt phẳng qua M vng góc với AB a) Tìm thiết diện hình chóp với b) Tính diện tích thiết diện theo a Thiết diện hình ? Bài Cho tứ diện SABC có ABC tam giác cạnh a, qua B vng góc với SC Tìm thiết diện tứ diện SABC với Gọi mặt phẳng tính diện tích thiết diện Bài Cho tứ diện SABC có ABC tam giác vng cân đỉnh B,AB=a điểm tùy ý cạnh AB, đặt Gọi , M mặt phẳng qua M vng góc với AB a) Tìm thiết diện tứ diện SABC với b) Tính diện tích thiết diện theo a Tìm giá trị để diện tích thiết diện có giá trị lớn Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, a) Tính AH b) Gọi M trung điểm AB, qua M vng góc với SB hình hình ? Tính diện tích thiết diện cắt hình chóp theo thiết diện Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, điểm cạnh AB Gọi M là mặt phẳng qua M vng góc với AB Tìm thiết diện hình chóp với , thiết diện hình ? Bài Cho hình chóp S.ABC có điểm BC a) Chứng minh , tam giác ABC vng A,AB=a, O trung b) Gọi M điểm thuộc cạnh AB Qua M dựng mặt phẳng hình chóp với c) Đặt vng góc với AO Xác định thiết diện Thiết diện hình ? Tính diện tích thiết diện theo a x Tìm x để diện tích thiết diện lớn HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC A Lý thuyết Góc hai mặt phẳng • • Giả sử (P) ∩ (Q) = c Từ I ∈ c, dựng ⇒ Chú ý: Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S′ diện tích hình chiếu (H′) (H) (Q), ϕ = Khi đó: S′ = S.cosϕ Hai mặt phẳng vuông góc • (P) ⊥ (Q) ⇔ • Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: Tính chất • • • Một số hình đa diện thường gặp a) Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy Độ dài cạnh bên gọi chiều cao hình lăng trụ - Hình lăng trụ đứng có đáy đa giác gọi lăng trụ - Hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành gọi hình hộp đứng - Hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật gọi hình hộp chữ nhật - Hình lăng trụ đứng có đáy hình vng mặt hình vng gọi hình lập phương VD: Lăng trụ đứng tam giác b) Hình chóp hình chóp có đáy đa giác chân đường cao hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy -Hình chóp cụt phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy cắt cạnh bên hình chóp B Bài tập Bài Cho hình chóp SABC, có đáy ABC tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA ⊥ (ABC) SA = a Gọi E, F trung điểm cạnh AB AC a) Tính góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) b) Tính góc mặt phẳng (SEF) (SBC) Đáp số: a) = 600 b) cos Bài Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA ⊥ (ABCD) Tính SA theo a để số đo góc hai mặt phẳng (SCB) (SCD) 600 Đáp số: SA=a Bài Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a; SA ⊥ (ABCD) SA = a a) Tính góc mặt phẳng (SAD) (SBC) b) Tính góc mặt phẳng (SBC) (SCD) Đáp số: a) tan b) cos Bài Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a Tính góc cặp mặt phẳng sau: a) (SBC) (ABC) b) (SBD) (ABD) c) (SAB) (SCD) Đáp số: a) 600 c) 300 b) arctan ; SA ⊥ (ABCD) SO = Bài Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB = a) Chứng minh vuông b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vuông góc c) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) (Đáp số: 600) Bài Cho hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABCD) SA = a , đáy ABCD hình thang vuông A D với AB = 2a, AD = DC = a Tính góc cặp mặt phẳng: a) (SBC) (ABC) b) (SAB) (SBC) c) (SBC) (SCD) Đáp số: a) 450 b) 600 c) arccos Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, AB=a, I,J trung điểm đoạn AD,BC Chứng minh rằng: a) b) c) Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B có a) Gọi Chứng minh rằng: b) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình cng tâm O, cạnh a; Gọi M,N hia điểm hai cạnh BC,CD cho Chứng minh Bài 10 Cho hình vng ABCD, I trung điểm cạnh AB Trên đường thẳng vng góc với (ABCD) I ta lấy điểm S ( S khác I) Chứng minh rằng: a) b) Gọi I trung điểm BC Chứng minh Bài 11 Cho tứ diện ABCD có Gọi BE,DF hia đường cao tam giác BCD, DK đường cao tam giác ACD a) Chứng minh rằng: Hai mặt phẳng (ABE), (DFK) vng góc với (ADC) b) Gọi O, H trực tâm hai tam giác BCD ACD Chứng minh Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SA=SB=SC=a chứng minh rằng: b) a) vng S Bài 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác đều, , I trung điểm BC a) Chứng minh b) Gọi H trực tâm tam giác ABC, K trực tâm tam giác SBC Chứng minh: i) AH,SK,BC đồng qui ii) iii) Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, H trung điểm AB Chứng minh rằng: b) Bài 15 Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD vuông góc với đáy DBC Vẽ đường cao BE, DF BCD, đường cao DK ACD a) Chứng minh: AB  (BCD) a) b) Chứng minh mặt phẳng (ABE) (DFK) vuông góc với mp(ADC) c) Gọi O H trực tâm tam giác BCD ADC CMR: OH  (ADC) Bài 16 Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông, SA  (ABCD) a) Chứng minh (SAC)  (SBD) b) Tính góc hai mặt phẳng (SAD) (SCD) c) Gọi BE, DF hai đường cao SBD CMR: (ACF)  (SBC), (AEF)  (SAC) Bài 17 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) Gọi M, N điểm cạnh BC, DC cho BM = Chứng minh mặt phẳng (SAM) (SMN) vuông góc với , DN = Bài 18 Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác vuông góc với đáy Gọi I trung điểm AB a) Chứng minh SI  (ABCD), AD  (SAB) b) Tính góc BD mp(SAD) c) Tính góc SD mp(SCI) Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có góc A 600, cạnh SC = SC ⊥ (ABCD) a) Chứng minh (SBD) ⊥ (SAC) b) Trong tam giác SCA kẻ IK ⊥ SA K Tính độ dài IK c) Chứng minh (SAB) ⊥ (SAD) HD: b) c ) Chứng minh Bài 20 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên a) Tính góc SA (ABC) b) Gọi góc ( SBC) (ABC) Tính Bài 21 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình chữ nhật Tính : a) Góc BC SD b) Góc SB (ABCD), SB (SAD) c) Góc (SCD) (ABCD) Bài 22 Cho hình chóp tam giác S.ABC, có cạnh 3a, cạnh bên 2a a) Tính góc cạnh bên đáy b) Gọi góc mặt bên đáy Tính Bài 23 Trong mặt phẳng chứng minh rằng: a) b) c) cho vng B đọan thẳng AD vng góc với A góc hai mặt phẳng (ABC), (DBC) với H K giao điểm DB DC với mặt phẳng (P) qua A vng góc với DB KHOẢNG CÁCH A Lý thuyết Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng H hình chiếu M a (P) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song d(a,(P)) = d(M,(P)) M điểm nằm a d((P),(Q) = d(M,(Q)) M điểm nằm (P) Khoảng cách hai đường thẳng chéo • Đường thẳng ∆ cắt a, b vuông góc với a, b gọi đường vuông góc chung a, b • Nếu ∆ cắt a, b A, B AB gọi đoạn vuông góc chung a, b • Độ dài đoạn AB gọi khoảng cách a, b • Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với • Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng B Bài tập a) Tìm khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a - Cách 1: Tìm mặt phẳng (P) chứa M a • Vẽ H Khi d(M,a)=MH Cách 2: Dựng mặt phẳng (P) qua M vng góc với a cắt a H Khi d(M,a)=MH Chú ý: Nếu a//b d(a,b)=d(M,b) với b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) Dựng c) • • - Khi d(M,(P))=MH Tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo a,b: Cách 1: Giả sử a ⊥ b: Dựng mặt phẳng (P) chứa b vuông góc với a A Dựng AB ⊥ b B Khi AB đoạn vuông góc chung a b Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a Chọn M ∈ a, dựng MH ⊥ (P) H Từ H dựng đường thẳng a’// a, cắt b B Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a A Khi AB đoạn vuông góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)) • Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vuông góc - Dựng mặt phẳng (P) a O Dựng hình chiếu b’của b (P) - Dựng OH b’ H Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b B Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a A Khi AB đoạn vuông góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = OH Bài Hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD tâm O cạnh a, SA vng góc với đáy SA=a Gọi I trung điểm cạnh SC M trung điểm cạnh AB a) Chứng minh b) Tính d(I,CM) Bài Cho tam giác ABC có AB=7, BC=5,CA=8 Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) A lấy điểm O cho AO=4 Tính khoảng cách từ O đến BC Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a cạnh bên SA vng góc với đáy, a) Tính khoảng cách từ C đến (SAB) (SAD) b) Tính khoảng cách từ A đến (SCD) (SBD) c) Tính khoảng cách từ B đến (SAC) Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân B Cạnh bên SA vng góc v ới đáy Cho Tính d(A,(SBC)) Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a M trung ểm AB C ạnh bên SA vng góc vói đáy Tính d(C,(SAB)), d(B,(SAC)),d(A,(SBC)) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB vng góc v ới mặt đáy SA=SB=b Gọi I, H trung điểm CD AB Tính: a) d( S,(ABCD)) b) Tính d(I,(SHC)) c) Tính khoảng cách từ AD đến (SBC) Bài Cho hình chóp SABCD, có SA  (ABCD) SA = a , đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kinh AD = 2a a) Tính khoảng cách từ A B đến mặt phẳng (SCD) ĐS: d(A, (SCD)) = a , d(B,(SCD)) = b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) ( ) c) Tính diện tích thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với mp(SAD) cách (SAD) khoảng ( ) Bài Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AA’ ⊥ (ABC) AA’ = a, đáy ABC tam giác vuông A có BC = 2a, AB = a a) Tính khoảng cách từ AA’ đến mặt phẳng (BCC’B’) b) Tính khoảng cách từ A đến (A’BC) c) Chứng minh AB ⊥ (ACC’A’) tính khoảng cách từ A’ đến mặt phẳng (ABC’) HD: a) b) c) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Gọi O giao điểm AC BD Đường thẳng SO ⊥ (ABCD) SO = Gọi E trung điểm BC, F trung điểm BE a) Chứng minh (SOF) ⊥ (SBC) b) Tính khoảng cách từ O A đến (SBC) HD: b) d(O,(SBC)) = , d(A,(SBC)) = Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ANCD hình vng cạnh a, SA=h SA vng góc với (ABCD) Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung a) SB CD b) SC BD c) SC AB Bài 11 Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đơi vng góc với OA=OB=OC=a Gọi I trung điểm BC Hãy dựng tính độ dài đoạn vng góc chung của: a) OA BC b) AI OC Bài 12 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Cho AB=2a, a) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) b) Gọi H hình chiếu vng góc S lên (ABCD) -Tính khoảng cách từ H đến (SBC) - Tìm đoạn vng góc chung SH BC Tính khoảng cách SH BC - Tìm đoạn vng góc chung SA BD Tính khoảng cách SA BD Bài 13 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh a a) Tính d(S,(ABC)) b) Tìm đoạn vng góc chung SA BC Tính khoảng cách SA BC Bài 14 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân B SA vng góc với đáy Cho SA=AB=a a) Tìm đoạn vng góc chung SA BC b) Gọi AH đường cao tam giác SAB - Tìm đoạn vng góc chung AH BC Tính d(AH,BC) - Tìm đoạn vng góc chung AH SC Tính khoảng cách hai đường thẳng Bài 15 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a đường cao điểm BC K hình chiếu vng góc O lên SI Gọi I trung a) Tính khoảng cách từ O đến SA b) Chứng minh: c) Tính d(O,(SBC)) Bài 16 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh đáy a, đường cao a) Tính khoảng cách từ O đến SD b) Gọi I trung điểm BC, K hình chiếu vng góc O lên SI Chứng minh tính d(O, (SBC)) c) Tính khoảng cách SI DC Bài 17 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ a) Chứng minh b) Tính khoảng cách ( BA’C’) (ACD’) c) Tính khoảng cách hai đường thẳng BC’ CD’ Bài 18 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Tính khoảng ách hai cạnh đối diện tứ diện Bài 19 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a,BC=b, CC’=c a) Tính khoảng cách từ B đến (ACC’A’) b) Tính khảng ách hai đường thẳng BB’ AC’ Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB vng góc với đáy SA=SB=a Tính khoảng cách: a) Từ S đến (ABCD) b) Từ trung điểm I CD đến (SHC), với H trung điểm AB c) Từ AD đến (SBC) Bài 21 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, mặt phẳng đáy , góc đường chéo A’C a) Tính chiều cao hình hộp b) Tìm đường vng góc chung A’C BB’ Tính khoảng cách hai đường thẳng Bài 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB=2a, BC=a Các cạnh bên hình chóp a) Tính b) Gọi E, F trung điểm cạnh AB CD, K điểm thuộc đường thẳng AD Chứng minh rằng: khoảng cách hai đường thẳng EF SK khơng phụ thuộc vào K, tính khoảng cách theo a Bài 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, cạnh bên a a) Tính b) c) Gọi mặt phẳng qua AB vng góc với (SCD), định điểm M N Tính diện tích tứ giác ABMN cắt SC SD M N Hãy xác Bài 24 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh đáy a, đường cao a) Tính khoảng cách từ O đến SD b) Gọi I trung điểm BC K hình chiếu vng góc O lên SI Chứng minh: c) Tính d) Bài 25 Chứng minh hai đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB CD tứ diện ABCD đường vng góc AB CD AC=BD AD=BC Bài 26 Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a, a) Chứng minh: b) Xác định tính đoạn vng góc chung SC BD c) Tính sin góc d) Tính Bài 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy có cạnh SA=7, trung tuyến Tính Bài 28 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAB tam giác Tính Bài 29 Cho hình chóp S.ABCD có SA=3a, vng góc với đáy ABC Tam giác ABC có AB=BC=2a góc Tính Bài 30 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, cạnh AB=a SA vng góc với (ABC), Gọi E trung điểm AC a) Chứng minh b) Tính c) Tính góc (SBC) (ABC), d) Gọi I, K hình chiếu A lên SB, SC Xác định khoảng cách từ B đến (AIK) ... lăng trụ đứng có đáy hình bình hành gọi hình hộp đứng - Hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật gọi hình hộp chữ nhật - Hình lăng trụ đứng có đáy hình vng mặt hình vng gọi hình lập phương VD:... số hình đa diện thường gặp a) Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy Độ dài cạnh bên gọi chiều cao hình lăng trụ - Hình lăng trụ đứng có đáy đa giác gọi lăng trụ - Hình. .. Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, a) Tính AH b) Gọi M trung điểm AB, qua M vng góc với SB hình hình ? Tính diện tích thiết diện cắt hình chóp theo thiết diện Bài Cho hình chóp