Họ tên học viên: Lớp: §1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG tìm hiểu lý thuyết Đầu tiên số qui tắc vẽ hình Hình ảnh đường thẳng không gian đường thẳng, đoạn thẳng đoạn thẳng Hình ảnh không gian phải giữ nguyên quan hệ thuộc điểm đường thẳng Hình ảnh hai đường thẳng song song hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt Tiếp theo, tìm hiểu Điều kiện xác định mặt phẳng Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng (mp(ABC), (ABC)) Hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng (mp(a, b)) Một điểm đường thẳng không qua điểm thuộc mặt phẳng (mp(A,d)) Một số hình Hình chóp Chóp tam giác Chóp tứ giác Lăng trụ Lăng trụ đứng Lăng trụ nghiêng Vị trí tương đối Đường thẳng đường thẳng Trùng Cắt Song song Chéo Đường thẳng mặt phẳng Đường thẳng thuộc mặt phẳng Song song Cắt Mặt phẳng với mặt phẳng Trùng Song song Cắt Bây bạn chúng tớ khám phá dạng tập β b Dạng 1: Xác định giao tuyến hai mặt phẳng a α A Phương pháp - Tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng (α ) (β ) - Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến cần tìm Một số ví dụ Trong mặt phẳng ( α ) cho tứ giác ABCD có cặp cạnh đối không song song điểm S ∉ (α ) a Xác định giao tuyến (SAC ) (SBD) S b Xác định giao tuyến (SAB) (SCD) c Xác định giao tuyến (SAD) (SBC) Giải a Xác định giao tuyến (SAC) (SBD) C A Ta có : S điểm chung (SAC) (SBD) J Trong (α), gọi O = AC ∩ BD • J ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC) • J ∈ BD BD ⊂ (SBD) ⇒ O ∈ (SBD) mà k B O D ⇒ J điểm chung (SAC) (SBD) I Vậy : SJ giao tuyến (SAC) (SBD) b Xác định giao tuyến (SAB) (SCD) Ta có: S điểm chung (SAC) (SBD) Trong (α) , AB không song song với CD Gọi I = AB ∩ CD • I ∈ AB mà AB ⊂ (SAB) ⇒ I ∈ (SAB) • I ∈ CD mà CD ⊂ (SCD) ⇒ I ∈ (SCD) ⇒ I điểm chung (SAB) (SCD) Vậy : SI giao tuyến (SAB) (SCD) c Tương tự câu a, b Cho bốn điểm A,B,C,D không thuộc mặt phẳng Trên đoạn thẳng AB, AC, BD lấy điểm M, N, P cho MN không song song với BC Tìm giao tuyến (BCD) (MNP) Giải A • P ∈ BD mà BD ⊂ (BCD) ⇒ P ∈ (BCD) M • P ∈ (MNP) ⇒ P điểm chung (BCD) (MNP) Trong mp (ABC) , gọi E = MN ∩ BC • E ∈ BC mà BC ⊂ (BCD) ⇒ E ∈ (BCD) P D B N C E • E ∈ MN mà MN ⊂ (MNP) ⇒ E ∈ (MNP) ⇒ E điểm chung (BCD) (MNP) Vậy : PE giao tuyến (BCD) (MNP) Dạng Xác định giao điểm giữ đường thẳng mặt phẳng Phương pháp a β b A α • Tìm đường thẳng b nằm mặt phẳng (α) • Giao điểm a b giao đt a mặt phẳng (α) Một số ví dụ Trong mp (α) cho tam giác ABC Một điểm S không thuộc (α) Trên cạnh AB lấy điểm P đoạn thẳng SA, SB ta lấy hai điểm M, N cho MN không song song với AB a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (α) Giải a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC) Cách : Trong (SAB) , gọi E = SP ∩ MN • E ∈ SP mà SP ⊂ (SPC) ⇒ E ∈(SPC) • E ∈ MN Vậy : E = MN ∩ (SPC) Cách : • Chọn mp phụ (SAB) ⊃ MN • (SAB) ∩ (SPC) = SP • Trong (SAB), gọi E = MN ∩ SP E ∈ MN E ∈ SP mà SP ⊂ (SPC) Vậy : E = MN ∩ (SPC) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mp (α) Cách 1: Trong (SAB) , MN không song song với AB Gọi D = AB ∩ MN • D ∈ AB mà AB ⊂ (α) ⇒ D ∈(α) • D ∈ MN Vậy: D = MN ∩ (α) Cách : • Chọn mp phụ (SAB) ⊃ MN • (SAB) ∩ (α) = AB • Trong (SAB) , MN không song song với AB Gọi D = MN ∩ AB D ∈ AB mà AB ⊂ (α) ⇒ D ∈(α) D ∈ MN Vậy : D = MN ∩ (α) Phương pháp : • Chứng minh ba điểm thuộc hai mp phân biệt Dạng 3: Chứng minh điểm thẳng hàng • Khi ba điểm thuộc đường thẳng giao tuyến hai mp Một số ví dụ Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N điểm cạnh SA, SB AC cho LM không song song với AB, LN không song song với SC a Tìm giao tuyến mp (LMN) (ABC) b Tìm giao điểm I = BC ∩ (LMN) J = SC ∩ (LMN) c Chứng minh M , I , J thẳng hàng Giải S a Tìm giao tuyến mp (LMN) (ABC) Ta có : N điểm chung (LMN) (ABC) L Trong (SAB) , LM không song song với AB C N Gọi K = AB ∩ LM ∈ (LMN) (ABC) (LMN) K ∈ LM mà LM ⊂ (LMN) ⇒ K A K ∈ AB mà AB ⊂ (ABC) ⇒ K ∈ b Tìm giao điểm I = BC ∩ I M B J K • Chọn mp phụ (ABC) ⊃ BC • Tìm giao tuyến (ABC) (LMN) ⇒ (ABC) ∩ (LMN) = NK • Trong (ABC), gọi I = NK ∩ BC I∈ BC I∈ NK mà NK ⊂ (LMN) ⇒ I ∈ (LMN) Vậy : I = BC ∩ (LMN) Tìm giao điểm J = SC ∩ (LMN) • Trong (SAC), LN không song song với SC gọi J = LN ∩ SC J∈ SC J∈ LN mà LN ⊂ (LMN) ⇒ J ∈ (LMN) Vậy : J = SC ∩ (LMN) c Chứng minh M , I , J thẳng hàng Ta có : M , I , J điểm chung (LMN) (SBC) Vậy : M , I , J thẳng hàng 10 Cách : Xác định thiết diện cách kéo dài giao tuyến Dạng : Tìm thiết diện hình chóp mặt phẳng (α) Cách :Xác định thiết diện cách vẽ giao tuyến phụ : Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N , I ba điểm lấy AD , CD , SO Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNI) Giải Trong (ABCD), gọi S J = BD ∩ MN K = MN ∩ AB H = MN ∩ BC Trong (SBD), gọi Q = IJ ∩ SB Trong (SAB), gọi R = KQ ∩ SA Trong (SBC), gọi P = QH ∩ SC B A Vậy : thiết diện ngũ giác MNPQR C D 2.Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N trung điểm SB SC Giả sử AD BC không song song a Xác định giao tuyến (SAD) (SBC) 11 b Xác định thiết diện mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD S Giải M a Xác định giao tuyến (SAD) (SBC) : Trong (ABCD) , gọi I = AD ∩ BC N A Vậy : SI = (SAD) ∩ (SBC) K b Xác định thiết diện mặt phẳng (AMN) J D C với hình chóp S.ABCD Trong (SBC) , gọi J = MN ∩ SI Trong (SAD) , gọi K = SD ∩ AJ B I Vậy : thiết diện tứ giác AMN §2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Áp dụng tính chất hình học phẳng • Sử dụng định lý Dạng : Chứng minh hai đường thẳng a b song song • Chứng minh a b đồng phẳng điểm chung • Chứng minh phản chứng • Chứng minh a b phân biệt song song với đường thẳng thứ ba 12 Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình bình hành Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ trung điểm cạnh SA , SB , SC , SD a Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành b Gọi M điểm BC Tìm thiết diện (A’B’M) với hình chóp S.ABCD S Giải a Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành : Trong tam giác SAB, ta có : A’B’ // AB Trong tam giác SCD, ta có : C’D’ // CD Mặt khác AB // CD D' A' C' B' D A C N M B ⇒ A’B’ // C’D’ Vậy : A’B’C’D’ hình bình hành b Tìm thiết diện (A’B’M) với hình chóp S.ABCD: Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ M điểm chung (A’B’M) (ABCD) Do giao tuyến (A’B’M) (ABCD) Mx song song AB A’B’ Gọi N = Mx ∩ AD Vậy : Thiết diện hình thang A’B’MN Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình thang với cạnh đáy AB CD (AB > CD) Gọi M , N trung điểm cạnh SA , SB a Chứng minh : MN ∕ ∕ CD S Giải a Chứng minh : MN ∕ ∕ CD : Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ AB N Mà AB ∕ ∕ CD (ABCD hình thang) M C Vậy : MN ∕ ∕ CD D A B A E I Cho tứ diện ABCD Gọi I ,J trọng tâm tam giác ABC ABD Chứng minh : IJ ∕ ∕ CD B J C D 13 Giải Gọi E trung điểm AB  I ∈ CE ⇒ IJ CD đồng phẳng  J ∈ DE Ta có :  Do : EI EJ = = (tính chất trọng tâm) EC ED Vậy : IJ // CD §3: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Chứng minh Dạng : Chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P) d a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M ,N trung điểm cạnh AB CD a Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD) b Gọi P trung điểm cạnh SA Chứng minh SB SC 14 song song với (MNP) c Gọi G ,G trọng tâm ∆ABC ∆SBC Chứng minh G1G2 // (SAB) Giải a Chứng minh MN // (SBC): MN ⊄ ( SBC )  Ta có : MN // BC  BC ⊂ ( SBC )  ⇒ MN ⊄ ( SAD)  Tương tự : MN // AD  AD ⊂ ( SAD)  MN //( SBC ) ⇒ MN //( SAD) b Chứng minh SB // (MNP): SB ⊄ ( MNP )  Ta có : SB // MP MP ⊂ ( MNP )  ⇒ SB //( MNP ) Chứng minh SC // (MNP): Tìm giao tuyến (MNP) (SAD) Ta có : P điểm chung (MNP) (SAD) MN // AD Do giao tuyến đường thẳng qua P song song MN cắt SD Q ⇒ PQ = (MNP) ∩ (SAD) Xét ∆ SAD , Ta có : PQ // AD P trung điểm SA ⇒ Q trung điểm SD Xét ∆ SCD , Ta có : QN // SC SC ⊄ ( MNP )  Ta có : SC // NQ  NQ ⊂ ( MNP)  ⇒ SC //( MNP ) Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lẩy trung điểm M , cạnh BC lẩy trung điểm N Gọi ( α ) mặt phẳng chứa đường thẳng MN song song với CD 15 a Hãy xác định thiết diện mặt phẳng ( α ) với tứ diện ABCD b Xác định vị trí N CD cho thiết diện hình bình hành Giải a Hãy xác định thiết diện mặt phẳng ( α ) với tứ diện ABCD (α ) // CD  Ta có : CD ⊂ ( ACD ) M ∈ (α ) ∩ ( ACD)  ⇒ (α ) // CD  Tương tự : CD ⊂ ( BCD)  N ∈ (α ) ∩ ( BCD)  MP // CD ⇒ NQ // CD (1) (2) Từ (1) (2), ta : MP // NQ Vậy: thiết diện hình thang MPNQ b Xác định vị trí N BC cho thiết diện hình bình hành A Ta có : MP // NQ MP = CD M P MP // NQ MP = NQ MPNQ hình bình hành ⇔  ⇔ MP // NQ B   MP = NQ = CD D Q N C Do : N trung điểm BC Vậy : N trung điểm BC MPNQ hình bình hành §4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Dạng : Chứng minh (α) // (β) 16 Cách 1: Cách 2: – Cách Một số tập ví dụ 1.Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA ,SD a Chứng minh : (OMN) // (SBC) b Gọi P, Q , R trung điểm AB ,ON, SB Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) 17 a Chứng minh : (OMN) // (SBC): S Xét tam giác SAC SDB : OM // SC ON // SB Ta có :  ⇒ (OMN ) //( SBC ) b Chứng minh : PQ // (SBC) OP // AD Ta có :   AD // MN ⇒ R M N P A OP // MN Q O ⇒ M, N, P, O đồng phẳng D ⇒ PQ ⊂ (MNO) B C Mà  PQ ⊂ ( MNO)  ( MNO) // (SBC) Vậy : ⇒ PQ //( SBC ) PQ // (SBC) Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) : MR // AB  AB // DC Ta có :  ⇒ MR // DC (1) Xét tam giác SDB : ta có OR // SD (2) MR // DC OR // SD  Từ (1) (2) , ta MR ⊂ ( MOR) OR ⊂ ( MOR)   DC ⊂ ( SCD) SD ⊂ ( SCD ) ⇒ ( MOR) //( SCD ) Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB không đồng phẳng I , J , K trung điểm cạnh AB , CD, EF Chứng minh : a (ADF) // (BCE) b (DIK) // (JBE) Giải F a (ADF)//(BCE): K A D E I J B C 18  AD // BC  Ta có :  AD ⊄ ( BCE )  BC ⊂ ( BCE )   AF // BE  Tương tự :  AF ⊄ ( BCE )  BE ⊂ ( BCE )  ⇒ AD //( BCE ) ⇒ (1) AF //( BCE ) (2) Từ (1) (2) , ta :  AD //( BCE )   AF //( BCE )  AD ⊂ ( ADF ) AF ⊂ ( ADF )  ⇒ ( ADF ) //( BCE ) Vậy : ( ADF ) //( BCE ) b (DIK)//(JBE) :  DI // JB  IK // BE Ta có :  ⇒ ( DIK ) //( JBE ) Vậy : (DIK)//(JBE) Bài tập luyện tập lớp Bài 1: Cho tứ diện ABCD, lấy điểm M đoạn AB, điểm N đoạn AC I tam giác BCD Giả sử MN không song song với BC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng: a (MNI) (BCD) b (MNI) (ABD) c (MNI) (ACD) Bài 2: Cho tứ giác ABCD có cặp cạnh đối không song song điểm S không thuộc mp (ABC) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng : 19 a (SAC) (SBD) b (SAB) (SCD) c (SAD) (SBC) Bài 3: Cho đường thẳng d cắt mặt phằng (a) I Lấy hai điểm A B d điểm M không gian không thuộc d (a) Giả sử MA MB cắt (a) A’ B’ Chứng minh ba điểm I, A’, B thẳng hang Bài 4: Cho tứ diện ABCD Gọi M trung điểm CD, E trung điểm AM F trung điểm BM a) Chứng minh EF song song với mặt phẳng (ABC) (ABD) b) Lấy điểm N cạnh AC Xác định thiết diện hình chóp với mp(NEF) Thiết diện hình gì? Bài : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M trung điểm B’C’ a) Chứng tỏ mp(AA’M) cắt BC N AN//A’M b) Chứng minh đường thẳng AC’ song song với mp(BA’M) c) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (AB’C’) (A’BC) 20 ... thuyết Đầu tiên số qui tắc vẽ hình Hình ảnh đường thẳng không gian đường thẳng, đoạn thẳng đoạn thẳng Hình ảnh không gian phải giữ nguyên quan hệ thuộc điểm đường thẳng Hình ảnh hai đường thẳng song... thiết diện hình chóp mặt phẳng (α) Cách :Xác định thiết diện cách vẽ giao tuyến phụ : Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N , I ba điểm lấy AD , CD , SO Tìm thiết diện hình chóp... 12 Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình bình hành Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ trung điểm cạnh SA , SB , SC , SD a Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành b Gọi M điểm BC Tìm thiết diện (A’B’M) với hình