hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội - lưu) Tháng năm 2012 HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN I PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Bài Giải phương trình sau : x x  a  sin + cos ÷ + 3cosx=2 2  c s inx+cosxsin2x+ 3cos3x=2 ( cos4x+sin x ) b ( − 2sin x ) cosx ( + 2sin x ) ( − s inx ) = d 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0 Giải  x x a  sin + cos ÷ + 3cosx=2 ⇔ 1+sinx+ 3cosx=2 ⇔ sinx+ cosx= 2 2  π  π π  x + = + k 2π x = − + k 2π   π π  6 ⇔ sin  x + ÷ = sin ⇔  ⇔ ( k ∈Z) 3   x + π = 5π + k 2π  x = π + k 2π   π  x ≠ − + k 2π    ( − 2sin x ) cosx = 7π s inx ≠  + k 2π ⇔ x ≠ b Điều kiện :  ( + 2sin x ) ( − s inx ) s inx ≠  π   x ≠ + k 2π  ( − 2sin x ) cosx = ⇔ cosx-sin2x=1-sinx+2sinx-2sin x Khi : ( + 2sin x ) ( − s inx ) π π   ⇔ cosx-sinx=sin2x+cos2x ⇔ 2cos  2x- ÷ = 2cos  x + ÷ 4 4   π π π    x = + k 2π  x − = x + + k 2π 2π ⇔ ⇔ ⇒x=k ( k ∈Z)  x = k 2π  x − π = − x − π + k 2π  4  c s inx+cosxsin2x+ 3cos3x=2 ( cos4x+sin x ) ⇔ s inx+ sin3x+sinx 3sinx-sin3x + 3cos3x=2cos4x+ 2 ⇔ 3s inx + sin x + 3cos3x=4cos4x+3sinx-sin3x sin x + cos3x=cos4x 2 π π   x = x + + k 2π x = + k 2π   π  6 ⇔ cos4x=cos  3x+ ÷ ⇔  ⇔ ( k ∈Z) 6   x = −3 x − π + k 2π  x = − π + k 2π 42   d 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0 ⇔ 3cos5x- ( sin5x+sinx ) − s inx=0 ⇔ 2sin 3x + 3cos3x=4cos4x ⇔ ⇔ 3cos5x-sin5x=2sinx ⇔ cos5x- sin x = s inx 2 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sưu tầm soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội - lưu) Tháng năm 2012 π kπ π π   x + = − x + k 2π   x = 18 + π π     ⇔ cos  5x+ ÷ = s inx=cos  − x ÷ ⇔  ⇒ ( k ∈Z) 6  2  5 x + π = x − π + k 2π  x = − π + kπ   6 Bài Giải phương trình sau : 4 a ( sin x + cos x ) + sin x = b 2 ( s inx+cosx ) cosx=3+cos2x c cos x = sin x + ( s inx+cosx ) d sin x − cos x = s inxcosx+1 Giải     ⇔ + ( − 2sin x ) + sin x = ⇔ cos4x+ sin x = −1 4 a ( sin x + cos x ) + sin x = ⇔ 1 − sin x ÷+ sin x = π 2π  cos4x+ sin x = − ⇔ cos  4x- ÷ = − = cos 2 3  π 2π π kπ    x − = + k 2π x = + ⇔ ⇔ ( k ∈Z)  x − π = − 2π + k 2π  x = − π + kπ  3 12  b 2 ( s inx+cosx ) cosx=3+cos2x ⇔ sin x + 2cos x = + cos2x ⇔ ⇔ sin x + ( + cos2x ) = + cos2x ⇔ sin x Ta có : a + b = + ( ) ( ( − = − 2, c = − ( 11 − ) − ( − 2 ) = − ) − cos2x=3- ) = 11 − Do : = 36 − 32 > ⇒ c > a + b Phương trình vô nghiệm   c cos x = sin x + ( s inx+cosx ) ⇔ cos2x- sin x = 2sin  x + π ÷ 4 π π π    cos2xsin x = sin  x + ÷ ⇔ sin  x − ÷ = sin  x + ÷ 2 4 6 4    π π 5π    x − = x + + k 2π  x = 12 + k 2π ⇔ ⇔ ( k ∈Z)  x − π = 3π − x + k 2π  x = 11π + k 2π  36  4 d sin x − cos x = s inxcosx+1 ⇔ cos2x+ sin x = −1 ⇔ ⇔ π π 2π  cos2x+ sin x = −1 ⇔ cos  2x- ÷ = cosπ ⇔ x − = π + k 2π ⇒ x = + kπ 2 3 3  Bài Giải phương trình sau : 2π  4π  π  π    a 4sin x sin  + x ÷sin  − x ÷+ 3cosx cos  x + ÷cos  x + ÷ = 3 3      b 2sin x + 16sin x.cosx + 3cos x = Giải 2π π  π   + x ÷sin  − x ÷+ 3cosx.cos  x + 3  3   a 4sin x sin  Trang    6 c + sin x = cos x + sin x 4π   ÷cos  x +    ÷=  Sưu tầm soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội - lưu) 2π    Tháng năm 2012  2π   ⇔ 2sin x  cos2x-cos ÷+ 3cosx cos ( x + 2π ) + cos  ÷ =      1 ⇔ 2sin xcos2x+2sinx + 3cosx.cos2x-2 3cosx = 2 ⇔ sin x − s inx+sinx + ( cos3x+cosx ) - 3cosx = π π  ⇔ sin x + 3cos3x= ⇔ sin x + cos3x= ⇔ cos  3x- ÷ = cos 2 6  π k 2π  x = +  36 ⇒ ( k ∈Z) π  x = − + k 2π  36 b 2sin x + 16sin x.cosx + 3cos x = Ta có : 16sin xcosx = cos x ( 3sin x − sin 3x ) = 6sin x − 2.2sin x.cosx =6sin2x-2 ( sin4x+sin2x ) = 4sin x − 2sin x Cho nên (1) : 2sin x + 4sin x − 2sin x+3cos2x=5 ⇔ 4sin2x.+3cos2x=5 α ⇔ sin x + cos2x=1 ⇔ cos ( 2x-α ) = ⇔ x − α = k 2π ⇒ x = + kπ ( k ∈ Z ) 5 Và : cosα = ;sin α = 5 6 c + sin x = cos x + sin x 3  − cos4x  6 Do : sin x + cos x = − sin x = −  ÷ = + cos4x 4  8 π  Cho nên (c) trở thành : + sin x = + cos4x ⇔ cos4x-sin4x=1 ⇔ 2cos  4x+ ÷ = 8 4  kπ π π   x= 4x+ = + k 2π   π π  4 ⇔ cos  4x+ ÷ = = cos ⇔  ⇔ ( k ∈Z) 4   x = − π + kπ  4x+ π = − π + k 2π  4  Bài Giải phương trình sau : a sin x − cos6x= ( sin x + cos8x ) c 3sin x − 3cos9x=1+4sin 3 x b cos7x-sin5x= ( cos5x-sin7x ) d 3cos5x+sin5x-2cos2x=0 Giải a sin x − cos6x= ( sin x + cos8x ) ⇔ sin x − 3cos8x= sin x + cos6x Chia hai vế ơhw[ng trình cho ta có : 3 π π   ⇔ sin x + cos6x ⇔ sin  8x- ÷ = sin  x + ÷ 3 6   π π π π    8 x − = x + + k 2π  x = + k 2π  x = + kπ ⇔ ⇔ ⇔ ( k ∈Z) 8 x − π = −6 x + 5π + k 2π 14 x = 7π + k 2π  x = π + kπ    12 b cos7x-sin5x= ( cos5x-sin7x ) ⇔ cos7x+ sin x = 3cos5x+sin5x sin x − cos8x= Sưu tầm soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội - lưu) Chia hai vế phương trình cho ta có kết : Tháng năm 2012 3 π π   cos7x+ sin x = cos5x+ sin5x ⇔ cos  7x+ ÷ = cos  5x- ÷ 2 2 3 6   π π π π    7 x + = x − + k 2π  x = − + k 2π  x = − + kπ ⇔ ⇔ ⇔ ( k ∈Z) 7 x + π = −5 x + π + k 2π 12 x = − π + k 2π  x = − π + kπ 72 6    c 3sin x − 3cos9x=1+4sin 3 x ⇔ Từ công thức nhân ba : sin x = 3sin x − 4sin 3 x phương trình (c) viết lại : 3sin x − 4sin 3 x + 3cos9x=1 ⇔ sin x + 3cos9x=1 ⇔ sin x + cos9x= 2 π k 2π  π π  9x- = k 2π x= +   π π  18 ⇔ cos  9x- ÷= = cos ⇔  ⇔ ( k ∈Z) 6  9x- π = − π + k 2π  x = − π + k 2π   27 ⇔ π  cos5x+ sin5x=cos2x ⇔ cos  5x- ÷ = cos2x 2 6  π π k 2π  = − + k 2π x=− +  30 ⇔ ( k ∈Z) π π k 2π  = + k 2π x= + 10  d 3cos5x+sin5x-2cos2x=0 ⇔ π  5 x − ⇔ 5 x − π  II PHƯƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài Giải phương trình sau :  cos3x+sin3x  a  s inx+ b cos 3x.cos2x-cos x = ÷ = + cos2x + 2sin x   π  π  4 c cos x + sin x + cos  x- ÷.sin  x − ÷− = d 4.s inxcosx+3sin x = 6sin x  4  4 Giải  cos3x+sin3x  a  s inx+ ÷ = + cos2x Điều kiện : sin x ≠ − (*) + 2sin x   Phương trình (a) trở thành :  s inx+2sinx.sin2x+cos3x+sin3x   s inx+cosx-cos3x+cos3x+sin3x  ⇔ 5 ÷ = + cos2x ⇔  ÷ = + cos2x + 2sin x + 2sin x     s inx+cosx+sin3x ( s inx+sin3x ) + cosx 2sin x.cosx+cosx cosx ( 1+2sin2x ) ⇔ = = = = cosx + 2sin x + 2sin x + 2sin x + 2sin x  cosx= 2  Cho nên (a) ⇔ 5cos x = + cos x ⇔ cos x − 5cos x + = ⇔  cosx=2>1 Trang Sưu tầm soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội - lưu) π  x = + k 2π  Vậy : cos x = ⇒  Kiểm tra điều kiện :  x = − π + k 2π Tháng năm 2012  π  2π  - 2sin  + 4kπ ÷+ = + = ≠ Cho nên nghiệm phương trình x = + k 2π    2π   1 - 2sin  − + 4kπ ÷+ =  − ÷+ = Vi phạm điều kiện , loại    2 π Tóm lại phương trình có họ nghiệm : x = + k 2π 1+cos2x =0 b cos 3x.cos2x-cos x = ⇔ cos x.cos2x2 ⇔ cos x.cos2x- ( 1+cos2x ) = ⇔ cos2x ( 1+cos6x ) − − cos2x=0 ⇔ cos6x.cos2x=1 cos4x=1 ⇔ cos8x+cos4x=2 ⇔ cos x + cos4x-3=0 ⇔  cos4x=- < −1  kπ ( k ∈Z) Do : cos x = ⇔ x = k 2π ⇒ x = 2 c π 1  π   π  cos x + sin x + cos  x- ÷.sin  x − ÷− = ⇔ − sin 2 x + sin  x − ÷+ sin x  − = 4 2 2  2  4   1 ⇔ − sin 2 x + [ −cos4x + sin x ] − = ⇔ − sin 2 x +  − ( − 2sin 2 x ) + sin x  − = 2 sin2x=1 π π ⇔ sin 2 x + sin 2x-2=0 ⇔  ⇒ sin x = ⇔ x = + k 2π ⇒ x = + kπ ( k ∈ Z ) sin2x=-21 π   x = − + k 2π ( k ∈ Z ) ( Thỏa mãn diều kiện ) Vậy phương trình có nghiệm : sin x = − ⇔   x = 7π + k 2π  Bài Giải phương trình sau : 1 cosx 2sinx+3 − cos x − = cos x + a 2sin x − b =1 s inx cosx + sin x x x x 3x c cos x.cos cos − s inx.sin sin = d cos3 x + sin x = 8cos x 2 2 Giải d 5.s inx-2=3 ( 1-sinx ) tan x Điều kiện : cos x ≠ ⇔ x ≠ ( Trang ) Sưu tầm soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội - lưu) Tháng năm 2012 s inx ≠ π 1 ⇒ x ≠ k ( k∈Z) = cos x + Điều kiện :  s inx cosx cosx ≠ 1 2sin x.s inx-1 cos x.cosx + = cos x + ⇔ = Khi : 2sin x − s inx cosx s inx cosx cos2x-cos4x-1 cos4x+cos2x + cos2x-2cos x cos2x+2cos 2 x ⇔ = ⇔ = s inx cosx s inx cosx cosx-sinx-2cos2x ( cosx-sinx ) = 1-2cos2 x 1+2cos2 x  ⇔ cos2x  − = ⇔ c os2x cosx  sinx.cosx  s inx π kπ   x = + π kπ  cos2x=0  x= +   π  1-2cos2x   ⇔ cos2x ( cosx-sinx )  ( k∈Z) ÷ = ⇔  tanx=1 ⇔  x = + kπ ⇒  π  sinx.cosx    x = ± + kπ   π cos2x=  x = ± + kπ   a 2sin x − Các họ nghiệm thỏa mãn điều kiện b ( ) cosx 2sinx+3 − cos x − 1 + sin x Khi : ( ) π = Điều kiện : sin x ≠ ⇔ x ≠ + kπ ( k ∈ Z ) (*) cosx 2sinx+3 − cos x − 1 + sin x = ⇔ sin x +3 2cosx − cos x − = + sin x  2 π  cosx= ⇔ cos x − 2cosx + = ⇔  ⇒ cosx= ⇔ x = ± + k 2π 2  cosx= > π Nhưng điều kiện (*) Ta có nghiệm : x = − + k 2π , thỏa mãn Đó nghiệm x 3x x 3x c cos x.cos cos − s inx.sin sin = ⇔ cosx ( cos2x+cosx ) − s inx ( cosx-cos2x ) = 2 2 ⇔ cos2x ( cosx+sinx ) + cos x − sin xcosx = ⇔ cos2x ( cosx+sinx ) − s inxcosx-sin x = ⇔ cos2x ( cosx+sinx ) − s inx ( cosx+sinx ) = ⇔ ( cosx+sinx ) ( cos2x-sinx ) = π   x = − + kπ  t anx=-1  ( cosx+sinx ) = π k 2π  ⇔ ⇔ ⇔ x = + ( k ∈Z) π   cos2x=sinx=cos  − x ÷  ( cos2x-sinx ) =   2   x = − π + k 2π  ( ) d cos x + sin x = 8cos x ⇔ cos x cos x + s inx-4 =  cosx=0   cos x = cosx=0 ⇔ ⇔ ⇔ sinx= 2   ( − sin x ) + s inx-4=0  2sin x − s inx+2=0  s inx= > Sưu tầm soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội - lưu) Tháng năm 2012 π   x = + kπ cosx=0  π   Do Phương trình có nghiệm :  ⇔  x = + k 2π ( k ∈ Z ) sinx=    x = 3π + k 2π  Bài Giải phương trình sau : π π   a cos  x + ÷+ cos  2x- ÷+ 4sin x = + ( − s inx )  4  ( 4 ) 2 b 3cot x + 2 sin x = + cosx 4sin 2 x + 6sin x − − 3cos x =0 c cosx d Cho : f ( x) = s inx+ sin 3x + sin x Hãy giải phương trình : f'(x)=0 Giải π π   ⇒ cos  x + ÷+ cos  2x- ÷+ 4sin x = + ( − s inx ) 4 4   a π ⇔ cos x.cos + 4sin x = + ( − s inx )  x = α + k 2π 2+ ⇔ sin x + = + ⇔ s inx= = sin α ⇔  ( k∈Z) 4+  x = π − α + k 2π ( ) ( ) 2 b 3cot x + 2 sin x = + cosx Điều kiện : sin x ≠ ⇒ x ≠ kπ Chia hai vế phương trình cho : sin x ≠ Khi phương trình có dạng : ( ) ( )  cosx   cosx  ⇒ 3cot x + 2 sin x = + cosx ⇔  ÷ + 2 = +  ÷  sin x   sin x  t = cosx Đặt : t = ⇒ 3t − + t + 2 = ⇔  sin x t=  cosx=- < −1   2  cosx= sin x c osx=  cosx=  c os x + c osx2 =  2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ cosx= sin x   cos x + 3cos x − = cosx= cosx=     2 cosx=-2 1(l ) t − 2t − = Vậy : ⇔ cosx=1- = cosα ⇒ x= ± α +k2π ( k ∈ Z;cosα =1- ) b) sin x cos x + 2sin x + cos x = ⇔ sin x cos x + ( sin x + cos x ) = t2 −1 Đặt : t = s inx+cosx; t ≤ 2;s inxcosx= Thay vào phương trình , ta : t = t −1 π  ⇔ + 2t = ⇔ t + 4t − = ⇔  ⇒ t = ⇔ sin  x + ÷ = 4  t = −5 < − 2(l )  π π  x = k 2π  x + = + k 2π π π  ⇔ sin  x + ÷ = = sin ⇔  ⇔ ( k∈Z)  x = π + k 2π π π 4  x + = + k 2π   4 c) cos x cos x cos x cos8 x = ⇔ 16sin xcosxcos2xcos4xcos8x=sinx 16 ⇔ 8sin xcos2xcos4xcos8x=sinx ⇔ 4sin xcos4xcos8x=sinx ⇔ 2sin xcos8x=sinx  k2π  x= 15 16x=x+k2 π  ⇔ sin16 x =sinx ⇔  ⇔ ( k ∈Z) 16x=π -x+k2π  x= π + k2π  17 17 − cos2x − cos6x + cos4x + cos8x 2 2 + = + d) sin x + sin x = cos x + cos x ⇔ 2 2 ⇔ ( cos8x+cos2x ) + ( cos6x+cos4x ) = ⇔ cos x cos x + 2cos5xcosx=0 Sưu tầm soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 61 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội - lưu) Tháng năm 2012 π kπ  x= + π   10 5 x = + k π  cos5x=0  π kπ ⇔ cos x ( cos3x+cosx ) = ⇔  ⇔ 3 x = π − x + k 2π ⇔  x = − x +  cos3x=-cosx=cos ( π -x ) 3 x = x − π + k 2π  π   x = − + kπ   Bài 20 Giải phương trình lượng giác sau: a) sin x(cos x − sin x) + cos x(1 + sin x − cos x) = 3(1 + sin x) π x  − cos  −  = b) tan x − tan x + 4 cos x 2 Giải a) sin x(cos x − sin x) + cos x(1 + sin x − cos x) = ⇔ ( sin xcosx + cos x s inx ) -2 ( sin 3x+cos x ) +cos3x = π kπ  π x= +   sin x = 4 x = + k 2π  ⇔ sin x + cos3x=2 ⇔  ⇔ ⇔ cos3x=1 3 x = l 2π  x = l 2π  Nếu phương trình có nghiệm tồn k,l cho : π kπ l 2π k 2l 3k + 4l + = ⇔ − = ⇔ = = 12k + 16l = ⇔ ( 6k + 8l ) = Phương trình vô nghiệm ví : Vế trái số chẵn , vế phải số lẻ 3(1 + sin x) π x  − cos  −  = Điều kiện : cos x ≠ ( *) Phương trình : b) tan x − tan x + cos x  2 3(1 + sin x)  π  ⇔ tan x − tan x + − 1 + cos  − x ÷÷ = − sin x 2    ( − cos x ) − cos x  − 4cos x  sin x  − ( − sin x )  ÷+ ⇔ t anx  − + = ⇔ t anx =0 ÷  ÷ − sin x − sin x cos x  cos x    3 − ( + cos2x ) = cos2x=2   t anx ⇔ ( − 4cos x )  + =0⇔ ⇔   cos x − sin x  sinx+cosx+sinxcosx=0  t anx+1+sinx=0  t2 −1 t = s inx+cosx; t ≤ 2;s inxcosx= π   ⇔ ⇒ sin  x + ÷ = −  4  t + t − = ⇔ t + 2t − = ↔ t = −1 − < − 2(l )  t = −1 +  π  π  x + = α + k 2π x = α − + k 2π   π −1  4 ⇔ sin  x + ÷ = = sin α ⇔  ⇔ ( k∈Z) 4   x + π = π − α + k 2π  x = 3π − α + k 2π   Bài 21 Giải phương trình lượng giác sau: a) cos x = sin x b) cos x − sin x − sin x − cos x + = c) cos x = cos x + tan x d) cot x + 2 sin x = (2 + ) cos x Giải Trang 62 Sưu tầm soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội - lưu) Tháng năm 2012 3sin x sin x −4 ⇔ tan x − tan x ( + tan x ) + = 3 cos x cos x t = ⇔ tan x − tan x + = ⇔ ( t − 1) ( t + t − ) = ⇔ ( t − 1) ( t − ) = ⇔  t = π  x = + kπ  t anx = ⇔ ⇔ ( k∈Z)   t anx =  x = arctan2+kπ b) cos x − sin x − sin x − cos x + = Chia vế cho ta :   π π   ⇔ cos x − sin x −  sin x + cos x ÷ + = ⇔ sin x − − sin x +  ÷  ÷ = −2 ÷ 2 2         π  π π π  x = + kπ sin  x − ÷ = −1  x − ÷ = − + k 2π       12 ⇔ ⇔ ⇔ Phương trình có nghiệm π π π π     sin x −   x = − + l π x − ÷ = − + l 2π ÷ = −1     6 6 π π + kπ = − + l 2π ⇔ + 12k = −4 + 24l ⇔ 12k − 24l = −5 Vô nghiệm với k,l : 12 a) cos3 x = 3sin x − 4sin x ⇔ = thuộc Z ví Vt số chẵn , VP số lẻ cosx ≠ ( *) Khi phương trình trở thành :  tanx ≥ -1 c) cos x = cos x + tan x Điều kiện :  t = t anx ≥  0 ≤ t ≤ ⇔ 1 − t ⇔ − t = + t ⇔ ⇒ ( + t ) ( + t ) ( − t ) − 1 =  2   = 1+ t  ( − t ) = + t 1 + t + t π ⇔ ( + t ) ( − t ) − ⇒ t − t + t − = ⇔ ( t − 1) ( t + 1) = ⇔ t = ⇒ t anx=1 ⇔ x= + kπ 2 d) cot x + 2 sin x = (2 + ) cos x Điều kiện : sinx ≠ Khi phương trình :   ⇔  − 1÷+ 2 sin x = (2 + 2) cos x ⇔ + 2 sin x − = (2 + 2) cos x sin x  sin x  ⇔ + 2 sin x − 3sin x = (2 + 2) cos x sin x ⇔ + ( − cos x )  2 1 − cos x  − 3 = (2 + 2) cos x ( − cos x ) t = cosx → t ≤ ⇔ 2 2t + + t + − t − + t + 2 = t = cosx → t ≤  ⇔  1  1 2  t + t ÷+ +  t − t ÷+ − =      1 1   2 2 u = t − t → t + t = u + u = t − t → t + t = u + ⇔ ⇔ 2 ( u + ) + + u + − = 2 2u + + u + =   ( ) ( ) ( ( ( ) ) ) ( ) Sưu tầm soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 63 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội - lưu) ( Ta có : ∆ = + ) Tháng năm 2012  −2 − + − = −3 u1 =  − 2.3 = − ⇒  −2 − − + = −2 u2 =  ( )   − 22 22 − t − t = −3 t + 2t − = < −1 ∨ t = t = − ⇔ ⇔ ⇔ 2 t − = −2 t + 2t − = t = −1 − < −1(loai ) ∨ t = −  t  22 −  = cosα  x = ±α + k 2π  22 − cosx = ⇔ ⇔ , cosβ = − 1÷  k ∈ Z , cosα = ÷  x = ± β + k 2π   cosx= − = cosβ Bài 22 Giải phương trình sau:   =0 b) 4(sin x − cos x) = 5(sin x − 1) cos x   c) cos x + sin x cos x + sin x cos x = 2(sin x + cos x) a) tan x − sin x − cos x + 2 cos x − Giải   a) tan x − sin x − cos x + 2 cos x − ⇔   = Điều kiện : cos x ≠ Phương trình : cos x   cos x −   − cos x   cos x −  sin x − sin x − cos x +  = ⇔ s inx − cos x + ÷  ÷  ÷= cosx  cosx   cosx   cosx  cos2x s inx   cos2x   ⇔ − s inx  = ⇔ cos2x  −1 − ÷− cos x + ÷= cosx cosx   cosx   cosx π π kπ   x = + kπ x= + cos2x=0 π kπ   ⇔ ⇔ ⇔ ( k ∈Z) ⇒x= +   2 2 sinx+cosx=2  x ∈∅  a + b = < = c b) 4(sin x − cos x) = 5(sin x − 1) ⇔ ( 3sin x − 4sin x − + 2sin x ) = ( s inx-1) ⇔ 16sin x − 8sin x − sin x − = ⇔ ( s inx-1) ( 16sin x + 8sin x + 1) = π  x = + k 2π  s inx=1 s inx=1 s inx=1  1   ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  x = α + k 2π k ∈ Z , cosα =- ÷  sinx=4 ( 4sinx+1) = 16sin x + 8sin x + =  x = π − α + k 2π     2 c/ cos x + sin x cos x + sin x cos x = 2(sin x + cos x) ⇔ ( cos x − sin x ) + sin x cos x ( cosx+sinx ) − 2(sin x + cos x) = cosx+sinx=0 cosx+sinx=0 ⇔ ( cosx+sinx ) ( ( cos x − sin x ) + sin x cos x − ) = ⇔  1-t ⇔  t+ −2=0  t -2t-3=0  Trang 64 Sưu tầm soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội - lưu) Tháng năm 2012 π   x = − + kπ  t anx==-1  t anx=-1   π  ⇔ cosx-sinx=-1 ⇔ ⇔  x= + k 2π ( k ∈ Z ) π    cos  x+ ÷= cosx-sinx=3> 2(loai)   x = −π + k 2π       Bài 23 Giải phương trình sau: a) tan x sin x − sin x = 3(cos x + sin x cos x) c) 48 − − (1 + cot x cot x) = cos x sin x e) cos x + cos x + sin x − = b) sin x(cot x + tan x) = cos x d) sin x + cos x = cos x f) + cos x = tan x Giải a) tan x sin x − sin x = 3(cos x + sin x cos x) Điều kiện : cos x ≠ Phương trình : 2 ⇔ t anx sin x − 2sin x = 3cos x − 3sin x + 3sin xx cos x  cosx+sinx  ⇔ t anx sin x + sin x = 3cos x + 3sin x cos x ⇔ sin x  ÷− 3cos x ( cosx+sinx ) =  cosx  cosx+sinx=0  t anx=-1 cosx+sinx=0  sin x  ⇔ ( cosx+sinx )  − 3cos x ÷ = ⇔  ⇔  sin x ⇔  =3  cosx  sin x − 3cos x =  tanx= ±  cos x π   x=- + kπ ⇔  x= ± π + kπ  ( k∈Z) s inx ≠ s inx ≠ ⇔ ( *) sin2x ≠ cosx ≠ cos x s in2 x + ) − cos x = Khi phương trình trở thành : ⇔ 2sin xcosx( s inx cos2x 2 s in x s in x 2 2  2sin x − cos2x  ⇔ 2cos x+ − cos x = ⇔ − cos x = ⇔ cos x  ÷= cos2x cos2x cos2x   π π ⇔ − cos2x-cos2x=0 ⇔ cos2x= ⇔ x = ± + k 2π ⇒ x = ± + kπ ( k ∈ Z ) b) sin x(cot x + tan x) = cos x Điều kiện :  ( Vì cosx khác hai nghiệm thỏa mãn điều kiện (*) ) s inx ≠ − ( + cot x cot x ) = ( *) Khi : Điều kiện :  cos x sin x cosx ≠ co x cos x cos x ⇔ 48 − − (1 + ) = ⇔ 48 − − ( )=0 4 cos x sin x sin x.s inx cos x sin x 2sin x.cosx 1 ⇔ 48 − − = ⇔ cos x + sin x − 48sin x cos x = ⇔ − sin 2 x − 3sin x = cos x sin x  t= t = sin 2 x ↔ ≤ t ≤  π kπ ⇔ ⇔ ⇔ sin 2 x = ⇔ cos4x=0 ⇔ x= + ( k ∈Z) t = − < 0(loai ) 6t + t − =  c) 48 − Sưu tầm soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 65 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội - lưu) Tháng năm 2012  − cos4x  + 3cos x ÷=   6 d) sin x + cos x = cos x ⇔ − sin x = cos4x ⇔ cos4x=1-  4 kπ ( k ∈Z) 2 e) cos x + cos x + 2sin x − = ⇔ cos x ( cosx-1) + ( s inx-1) = ⇔ 8cos x = + 3cos x ⇔ cos4x=1 ⇔ 4x=k2π ⇒ x= ⇔ ( − sin x ) ( cosx-1) + ( s inx-1) = ⇔ ( − s inx ) ( + s inx ) ( cosx-1) −  = s inx=1 s inx=1 1 − s inx=0 s inx=1 ⇔ ⇔  1-t ⇔ ⇔ t + −2=0 cosx-sinx+sinxcosx-2=0  ∆'=1-3=-20 ⇔ sin2x>0 ⇔ 01 4t − 2t + = t =  π + k 2π ( k∈Z) 3π x= + k 2π x= x = x = x2 x2 ⇔ ⇒ x = d) − = cos x ⇔ − cosx= ⇔  2 cosx=1  x=k2π Phương trình có nghiệm : x=0 π π π 3 e) sin  x +  = sin x Đặt : y = x + ⇒ x = y − ( *) Thay vào phương trình ta có :  4 4 π  ⇔ sin y = sin  y − ÷ = sin y − cosy ⇔ siny ( sin y − 1) + cosy=0 ⇔ −sinycos y + cosy=0 4  cosy=0 π π ⇔ cosy ( 1-sinycosy ) =0 ⇔  ⇒ cosy=0 ↔ y= + kπ ⇔ x = + kπ ( k ∈ Z ) sin2y=2>1 sin x sin x = ⇔ 5sin x = 3sin x ⇔ 2sin x = ( sin x − sin x ) f) ⇔ 2sin 3x = 3.2 cos x sin x ⇔ ( 3sin x − 4sin x ) − 6s inxcos4x=0 ⇔ sinx  6-4sin x − cos x  = s inx=0 s inx=0 s inx=0 ⇔ ⇔ ⇔ 2  cos2x=1 ∨ cos2x=- 6-2 1-cos2x − cos x − = ( ) 12 cos x -cos2x-10=0 ( )    -Trường hợp : s inx=0 ⇒ x=kπ - Trường hợp : cos2x=1 ⇒ 2x=k2π ⇔ x=kπ α - Trường hợp : cos2x=- = cosα ⇒ 2x= ± α +k2π ⇔ x= ± + kπ  x = kπ 5  Tóm lại phương trình có nghiệm :  α  k ∈ Z ; cosα =- ÷ 6 x = ± + kπ   Sưu tầm soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 73 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề LG lớp 11( Nội - lưu) Trang 74 Tháng năm 2012 Sưu tầm soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 ... + k 2π 1+cos2x =0 b cos 3x.cos2x-cos x = ⇔ cos x.cos2x2 ⇔ cos x.cos2x- ( 1+cos2x ) = ⇔ cos2x ( 1+cos6x ) − − cos2x=0 ⇔ cos6x.cos2x=1 cos4x=1 ⇔ cos8x+cos4x=2 ⇔ cos x + cos4x-3=0 ⇔  cos4x=-