hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Chủ đề 10 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRỌNG TÂM KIẾN THỨC CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2 a + b = (a + b) − 2ab a + b = (a − b) + 2ab (a+ b)3 = a3+ 3a2b+ 3ab2 + b3 a + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b) a2 − b2 = (a+ b)(a− b) (a− b)3 = a3− 3a2b+ 3ab2 − b3 a3+ b3 = (a+ b)(a2 − ab+ b2) a3− b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2) ( ) a+ b+ c = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc Nhắc lại: 1) Một số phép biến đổi tương đương phương trình thường sử dụng a) Chuyển vế biểu thức từ vế sang vế (nhớ đổi dấu biểu thức) b) Nhân chia hai vế phương trình với số (khác 0) với biểu thức (khác khơng) c) Thay biểu thức biểu thức khác với biểu thức Lưu ý: + Chia hai vế phương trình cho biểu thức chứa ẩn đề phòng nghiệm + Bình phương hai vế phương trình đề phòng dư nghiệm 2) Các bước giải phương trình Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) ẩn số để hai vế pt có nghĩa Bước 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến pt biết cách giải Bước 3: Giải pt chọn nghiệm phù hợp ( có) Bước 4: Kết luận Các phương pháp giải phương trình đại số thường sử dụng 241 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG a) Phương pháp 1: HĐBM-TỔ TỐN Biến đổi phương trình cho phương trình biết cách giải b) Phương pháp 2: Biến đổi phương trình cho dạng tích số : A.B = 0; A.B.C = A = A =  A.B = ⇔  Định lý: ; A.B.C = ⇔  B = B = C = c) Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ đưa phương trình cho dạng biết cách giải PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I Giải biện luận phương trình bậc nhất: Dạng : x : ẩn số  a,b: thamsố ax + b = (1) Giải biện luận: (1) ⇔ ax = -b Ta có : Biện luận: (2) b a • Nếu a = (2) trở thành 0.x = -b * Nếu b ≠ phương trình (1) vơ nghiệm * Nếu b = phương trình (1) nghiệm với x Tóm lại : b • a ≠ : phương trình (1) có nghiệm x = − a • a = b ≠ : phương trình (1) vơ nghiệm • a = b = : phương trình (1) nghiệm với x • Nếu a ≠ (2) ⇔ x = − Điều kiện nghiệm số phương trình: Định lý: Xét phương trình ax + b = (1) ta có: • • • ⇔ a ≠0 a = ⇔  (1) vơ nghiệm b ≠ a = (1) nghiệm với x ⇔  b = (1) có nghiệm II Giải biện luận phương trình bậc hai: 242 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN ax2 + bx + c = (1) Dạng: x : ẩn số  a,b , c: thamsố Giải biện luận phương trình : Xét hai trường hợp Trường hợp 1: Nếu a = (1) phương trình bậc : bx + c = • b ≠ : phương trình (1) có nghiệm x = − c b • b = c ≠ : phương trình (1) vơ nghiệm • b = c = : phương trình (1) nghiệm với x Trường hợp 2: Nếu a ≠ (1) phương trình bậc hai có ' i b' = ( ∆ = b' − ac vớ Biệt số ∆ = b2 − 4ac b ) Biện luận:  Nếu ∆ < 0thì pt (1) vơ nghiệm Nếu ∆ = pt (1) có nghiệm số kép x1 = x2 = − b 2a  Nếu ∆ > pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1,2 = −b ± ∆ 2a b' ) a ' ' ( x1,2 = −b ± ∆ ) a ( x1 = x2 = − Điều kiện nghiệm số phương trình bậc hai: Định lý : Xét phương trình : ax2 + bx + c = (1)  Pt (1) vơ nghiệm  Pt (1) có nghiệm kép  Pt (1) có hai nghiệm phân biệt  Pt (1) có hai nghiệm  Pt (1) nghiệm với x a = a ≠  ⇔ b =  ∆ < c ≠  a ≠ ⇔  ∆ = a ≠ ⇔  ∆ > a ≠ ⇔  ∆ ≥ a =  ⇔ b = c =  Đặc biệt Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < pt(1) ln có hai nghiệm phân biệt Định lý VIÉT phương trình bậc hai:  Định lý thuận: Nếu phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 243 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN b  S = x + x = −  a   P = x x = c  a  Định lý đảo : Nếu có hai số x, y mà x + y = S x.y = P ( S ≥ P ) x, y nghiệm phương trình X - S.X + P =  Ý nghĩa định lý VIÉT: Cho phép tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm ( tức biểu thức chứa x 1, x2 khơng thay x12 + x 22 1 + + ) mà khơng cần giải pt đổi giá trị ta thay đổi vai trò x1,x2 cho Ví dụ: A = x1 x x1 x tìm x1, x2 , tìm hai số biết tổng tích chúng, Chú ý: c  Nếu pt (1) có hệ số thoả mãn a + b + c = pt (1) có hai nghiệm x1 = vàx2 = a c  Nếu pt (1) có hệ số thoả mãn a - b + c = pt (1) có hai nghiệm x1 = −1 vàx2 = − a Dấu nghiệm số phương trình bậc hai: Dựa vào định lý Viét ta suy định lý sau: Định lý: Xét phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = (1)  ∆ >0   Pt (1) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔  P >0 S >0   Pt (1) có hai nghiệm âm phân biệt  Pt (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ ⇔ ( a ≠ 0)  ∆ >0   P >0 S −b * b ≤ bpt vơ nghiệm * b > bpt nghiệm với x Nếu a > (2) ⇔ x > − II Dấu nhị thức bậc nhất: Dạng: Bảng xét dấu nhị thức: x ax+b f ( x ) = ax + b (a ≠ 0) −∞ − Trái dấu với a III Dấu tam thức bậc hai: Dạng: Bảng xét dấu tam thức bậc hai: b a f ( x ) = ax + bx + c +∞ Cùng dấu với a (a ≠ 0) 247 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN x f(x) ∆0 Cùng dấu a x f(x) Cùng dấu a x f(x) −∞ x1 Cùng dấu a x2 +∞ Cùng dấu a Trái dấu a Cùng dấu a Chú ý: • Nếu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ¹ 0) có hai nghiệm x1,x2 tam thức ln phân tích thành f(x) = ax2 + bx + c = a( x - x1) ( x - x2 ) • Mọi tam thức bậc hai f(x) = ax2+bx+c (a≠ 0) điều biểu diển thành f (x) = ax2 + bx + c = a(x + b ∆ ) − 2a 4a Điều kiện khơng đổi dấu tam thức: hoctoancapba.com Định lý: Cho tam thức bậc hai: f ( x) = ax + bx + c (a ≠ 0) • f (x) > ∀x ∈ R • f (x ) < ∀x ∈ R • f (x ) ≥ ∀x ∈ R • f (x ) ≤ ∀x ∈ R IV Bất phương trình bậc hai: Dạng: ∆ < ⇔  a > ∆ < ⇔  a < ∆ ≤ ⇔  a > ∆ ≤ ⇔  a < ax + bx + c > ( ≥, B2 III Các phương trình bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối & cách giải: Phương pháp chung để giải loại KHỬ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI định nghĩa nâng lũy thừa 2 * Dạng : A = B ⇔ A = B , B ≥ * Dạng : A = B ⇔  2 , A = B * Dạng 4: B > A < B⇔  2 , A < B * Dạng 5: B <  A > B ⇔ B ≥  A > B  A = B ⇔ A = ±B B ≥ A =B⇔ A = ±B B > A < B⇔  ,  −B < A < B ,  A ≥  A = B A =B⇔  A <  − A = B ,  A ≥  A < B A B ⇔  B ≥   A < −B ∨ A > B D PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 250 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Bước 2: Tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y phương pháp hàm số + Biến đổi phương trình hệ dạng f(u) = f(v) (u, v biểu thức chứa x,y) + Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây hệ thức đơn giản chứa x, y) Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm vào phương trình lại hệ để phương trình ẩn Bước 4: Giải phương trình ẩn (cần ơn tập tốt phương pháp giải phương trình ẩn)  x − y + 1− y − 1− x = Ví dụ Giải hệ phương trình   x + 1− y = Bài giải ≤ x ≤1 • Điều kiện ≤ y ≤ (1) (2) { • • Khi đó: ( 1) ⇔ x − − x = y − − y (a) Xét hàm đặc trưng: f ( t ) = t − − t với t ∈ [ 0;1] > ∀t ∈ ( 0;1) f liên tục đoạn [ 0;1] t 1− t Suy ra: f ( t ) đồng biến đoạn [ 0;1] Ta có: f ' ( t ) = • • + Do đó: ( a ) ⇔ f ( x ) = f ( y) ⇔ x = y Thay x = y vào phương trình (2) ta phương trình: x + 1− x = ⇔ x +1− x + x (1− x ) = ⇔ x (1− x ) = ⇔ x = • 1 1 Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y ) =  ; ÷.r 2 2 8 x − y + y − x − y + = (1) Ví dụ Giải hệ phương trình  2 (2)  x + − x − ( y − 1) ( − y ) + = Bài giải 1 • Điều kiện − ≤ x ≤ , ≤ y ≤ 2 • Khi đó: (1) ⇔ x − x = y − y + y − ⇔ (2 x)3 − 3(2 x) = ( y − 2) − 3( y − 2) (a) 1 • Do − ≤ x ≤ nên −1 ≤ x ≤ ≤ y ≤ nên −1 ≤ y − ≤ 2 • Xét hàm đặc trưng f (t ) = t − 3t , với t ∈ [ −1;1] Ta có f '(t ) = 3t − = 3(t − 1) ≤ , với t ∈ [ −1;1] Suy f ( t ) nghịch biến đoạn [ −1;1] • • Do đó: ( a ) ⇔ f (2 x) = f ( y − 2) ⇔ x = y − ⇔ y = x + Thay y = 2x + vào phương trình (2) ta phương trình: x − − x + = ⇔ x + = − x ⇔ 16 x + 24 x − = ⇔ x = ± −3 275 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN • Vậy nghiệm hệ phương trình  −3    −3 ; + − ÷∨ ( x; y ) =  − ; − − ÷.r ( x; y ) =  ÷  ÷ 2     2  x − x y = x − x + y + (1) Ví dụ Giải hệ phương trình  3 (2)  x − y + ( x − y ) − 15 = x + Bài giải 2 2 2 • Ta có: ( 1) ⇔ x − x y = x − x + y + ⇔ x ( x − y ) + ( x − y ) = x + ⇔ ( x − y ) x + = x + ( ⇔ x − y − = (vì x + > 0, ∀x ) Thay y = x − vào phương trình (2) ta phương trình ) • ( ) x − x + x − = 3 x + ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) = x + + 3 x + • Xét hàm đặc trưng f (t ) = t + 3t , với t ∈ ¡ Ta có f '(t ) = 3t + > , với t ∈ ¡ Suy f ( t ) đồng biến ¡ • Do đó: ( a) ⇔ f ( x − 1) = f ( x + 2) ⇔ x − = x + ⇔ x − x + 3x − = ⇔ ( x + 1) = ( x − 1) ⇔ x + = ( x − 1) ⇔ x = 3 Với x = •  +1  ;3 Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y ) =  ÷ ÷ r − −   (6 x + 5) x + − y − y = Ví dụ Giải hệ phương trình   y + x = x + x − 23 Bài giải 2 x + ≥ −2 +  ⇔x≥ • Điều kiện  x ≥  x + x − 23 ≥  (a) • Khi đó: (1) ⇔ x +  + ( x + 1)  = y ( + y ) • 3 +1 −1 +1 ⇒y= −1 −1 • (a) (1) (2) Xét hàm đặc trưng f (t ) = t ( + 3t ) = 3t + 2t , với t ∈ [ 0; +∞ ) Ta có f '(t ) = 9t + > , với t ∈ [ 0; +∞ ) Suy f ( t ) đồng biến [ 0; +∞ ) ( a) ⇔ f ( x + 1) = f ( y ) ⇔ x + = y • Do đó: • Thay y = 2x + vào phương trình (2) ta phương trình: 276 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN x + + x = x + x − 23 ⇔ 3x + + 2 x + x = x + x − 23 ⇔ x + x − 2 x + x − 24 = • • x =  2x2 + x = ⇔ ⇔ x + x − 36 = ⇔  ⇔ x=4 x = −  x + x = −4  Với x = ⇒ y = Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y ) = ( 4;3) r ( )  x + x + ( y − 3) − y = Ví dụ Giải hệ phương trình   x + y + − x = Bài giải • Điều kiện x ≤ , y ≤ 2 (a) • Khi đó: (1) ⇔ ( x + 1) x = ( − y + 1) − y • (1) Xét hàm đặc trưng f (t ) = ( t + 1) t = t + t , với t ∈ ¡ Ta có f '(t ) = 3t + > , với t ∈ ¡ Suy f ( t ) đồng biến ¡ • • • • • x ≥ Do đó: ( a ) ⇔ f (2 x) = f ( − y ) ⇔ x = − y ⇔  − x y =  2 − 4x Thay y = vào phương trình (2) ta phương trình: 2 5 2 4x +  − 2x ÷ + − 4x − = (b) 2  Nhận thấy x = x = khơng nghiệm phương trình (b)  3 Xét hàm số g ( x) = x +  − x ÷ + − x − với x ∈  0; ÷, đó:  4 2  ( b ) ⇔ g ( x ) = g  ÷ (3) 2  3 Khảo sát tính đơn điệu hàm số g khoảng  0; ÷  4 4 5  3 2 = 4x 4x2 − − < ∀x ∈  0; ÷ Ta có: g '( x) = x − x  − x ÷− − 4x − 4x 2   4  3 Do f đồng biến khoảng  0; ÷  4 Suy ra: ( 3) ⇔ x = ( • ) 277 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN ⇒ y=2 • Với x = • 1  Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y ) =  ; ÷ r 2  ( ) ( )  x x2 + y = y y +  Ví dụ Giải hệ phương trình   x + + y + = Bài giải • Điều kiện x ≥ − • Nhận thấy y = khơng thỏa mãn hệ (1) (2) • x x Khi đó: (1) ⇔  ÷ + = y + y (a)  y y Xét hàm đặc trưng f (t ) = t + t , với t ∈ ¡ Ta có f '(t ) = 3t + > , với t ∈ ¡ Suy f ( t ) đồng biến ¡ • Do đó: • • x x f  ÷= f ( y ) ⇔ = y ⇔ x = y2 y  y Thay x = y vào phương trình (2) ta phương trình: ( a) ⇔ 4x + + x + = ⇔ ( x + 5) ( x + 8) = 23 − x • 23  − ≤x≤ 23  23   x ≤ x ≤  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x =1 x =1  2 4 ( x + ) ( x + ) = ( 23 − x )  x − 42 x + 41 =      x = 41 Với x = ⇒ y = ±1 • Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y ) = ( 1; − 1) ∨ ( x; y ) = ( 1;1) r Bài tập tương tự  x + xy = y10 +y Giải hệ phương trình   x + + y + = ìï y +12 y + 25 y +18 = ( x + 9) x + (1) ï Ví dụ Giải hệ phương trình ïí ïï x +1 + 3x - 14 x - = - y - y (2) ïỵ (Thi thử THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa) Bài giải 278 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN ìï ïï x ³ - ♥ Điều kiện: í (*) ïï ïỵ - y - y ³ ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f ( u ) = f ( v ) ) 3 ♦ y +12 y + 25 y +18 = ( x + 9) x + Û ( y + 2) +( y + 2) = ( ) x +4 + x +4 (3) [Tại ?] ♦ Xét hàm đặc trưng f ( t ) = 2t + t ¡ ta có: f ( t ) đồng biến ¡ ìï y ³ - ïì y ³ - ï Û f y + = f x + Û y + = x + Û Û íï ( ) Nên: ( ) í ïï ( y + 2) = x + ïïỵ x = y + y (4) ỵ ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn (5) 3x +1 - - x + x - 14 x - = ♦ Phương trình (5) có nghiệm x = nên biến đổi phương trình tích số kỹ thuật nhân liên hợp ( 5) Û 3x +1 - - - x - + x - 14 x - = [Tại ?] f '( t ) = 6t +1 > 0, " t Ỵ ¡ Þ ( ( ) ) ( 3( x - 5) ) x- +( x - 5) ( x +1) = 3x +1 + - x +1 é ù ê ú ú= Û x = Û ( x - 5) ê + + x + ( ) ê ú x +1 + 6244444444444444 - x +1 ê144444444444444 ú 4 ê ú >0 ë û ♦ Với x = Þ y = (thỏa điều kiện (*)) ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 5;1) r Û + ìï x - y +17 x - 32 y = x - y - 24 (1) ï Ví dụ Giải hệ phương trình í ïï ( y + 2) x + +( x + 9) y - x + = x + y +1 (2) ỵ (Thi thử THPT Chun Vĩnh Phúc) Bài giải ìï x ³ - ♥ Điều kiện: ïí (*) ïïỵ y - x + ³ ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f ( u ) = f ( v ) ) ♦ x - y +17 x - 32 y = x - y - 24 Û x - x +17 x - 18 = y - y + 32 y - 42 Û 3 ( x - ) + ( x - 2) = ( y - ) + ( y - ) [Tại ?] (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f ( t ) = t + 5t ¡ ta có: f '( t ) = 3t + > 0, " t Ỵ ¡ Þ Nên: f ( t ) đồng biến ¡ ( 3) Û f ( x - 2) = f ( y - 3) Û x - = y - Û y = x +1 (4) 279 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn ( x + 3) x + +( x + 9) x +11 = x + x +10 (5) ♦ Phương trình (5) có nghiệm x = nên biến đổi phương trình tích số kỹ thuật nhân liên hợp ( 5) Û ( x + 3) x + - +( x + 9) x +11 - = x + x - 35 [Tại ?] ( Û ( x + 3) é Û ( x - 5) ê ê ë ) ( ) x- x- + ( x + 9) = ( x - 5) ( x + 7) x + +3 x +11 + ù x +3 x +9 + - ( x + 7) ú= ú x + +3 x +11 + û éx - = ê Û ê x +3 x +9 ê + - ( x + 7) = (6) ê x + + x + 11 + ë ♦ Chứng minh (6) vơ nghiệm x +3 x +5 x +9 x +9 + =0 ( 6) Û [Tại ?] 2 x + +3 x +11 + ỉ ỉ 1ư 1ư ÷ ç ÷ ÷ Û ( x + 5) ç - ÷ + x + =0 ( ) ç ç ÷ ÷ ç ç : phương trình VN ÷ ÷ x + +3 2ø 2ø è è x + + x + 11 + 14444444444244444444443 144444444442444444444431444442444443 0, " y Ỵ [ 0; +¥ ) Þ g ( y ) đồng biến [ 0;+¥ Nên: ) ( 5) Û g ( y ) = g ( 1) Û y = ♣ Với y = Þ x = [thỏa (*)] ♣ Với y = Þ x = [thỏa (*)] ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) ( 2;0) ( 3;1) r  x−1 =0  x − 3x − y − 6y − 9y − + ln y+ Ví dụ 10 Giải hệ phương trình:   y log ( x − 3) + log y = x +    ( 1) ( 2) (Thi thử THPT Chun Vĩnh Phúc) Bài giải  x −1  y +1 >  x > ♥ Điều kiện:  x − > ⇔  y > y >   ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y 3 ♦ ( 1) Û ( x − 1) + ( x − 1) + ln ( x − 1) = ( y + 1) + ( y + 1) + ln ( x + 1) (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f ( t ) = t + 3t + ln t khoảng ( 0; +∞ ) f ′ ( t ) = 3t + 6t + > ∀t > ⇒ f ( t ) đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) t Do x - > y +1 > nên ( 3) ⇔ f ( x − 1) = f ( y + 1) ⇔ x − = y + ⇔ y = x − (4) ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn ( x − ) log ( x − 3) + log3 ( x − )  = x + (5) 281 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN ♦ Giải phương trình (5) phương pháp hàm số x +1 x +1 ⇔ log ( x − 3) + log ( x − ) − = ( 6) x−2 x−2 x +1 ♣ Xét hàm số g ( x ) = log ( x − 3) + log ( x − ) − khoảng ( 3; +∞ ) x−2 1 g′ ( x) = + + > ∀x > ( x − 3) ln ( x − ) ln ( x − ) ( 5) ⇔ log ( x − 3) + log3 ( x − ) = ⇒ g ( x ) đồng biến khoảng ( 3; +∞ ) ( 4) Nên y=3 ( ) ⇔ g ( x ) = g ( ) ⇔ x = → ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 5;3) Ä ( ) 3x2 + 3y2 + = ( y − x) y2 + xy + x2 +  Ví dụ 11 Giải hệ phương trình:  ( x + y − 13) 3y − 14 − x + =  ( ) ( 1) ( 2) (Thi thử THPT Chun Vĩnh Phúc) Bài giải  x ≥ −1 x +1 ≥  ⇔ ♥ Điều kiện:  14 3 y − 14 ≥  y ≥  ( *) ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y ♦ ( 1) Û ( x + 1) + ( x + 1) = ( y − 1) + ( y − 1) (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f ( t ) = t + 3t , t ∈ ¡ f ′ ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ ¡ ⇒ f ( t ) đồng biến ¡ Do x +1 > y - > nên ( 3) Û f ( x + 1) = f ( y − 1) ⇔ x + = y − ⇔ x + = y ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn ( x − 11) ( ) 3x − − x + = (4) ( 5) ♦ Giải phương trình (5) phương pháp hàm số Ta nhận thấy x = Xét hàm số 11 khơng nghiệm phương trình ( ) nên = ( 6) ( 5) ⇔ 3x − − x + − x − 11 g ( x ) = 3x − − x + − g′( x) =  11   11  , x ∈  ; ÷∪  ; +∞ ÷ x − 11 3    10 x + − 3x − 10 − + = + > ∀x ∈  ; 11 ÷&  11 ; +∞ ÷ 2 3x − x + ( x − 11) ( 3x − ) ( x + 1) ( x − 11) 3     11   11  ⇒ g ( x ) đồng biến khoảng  ; ÷&  ; +∞ ÷ 3    282 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN  11   11  ♣ Trên khoảng  ; ÷ g ( x ) đồng biến, ∈  ; ÷, g ( 3) = nên 3  3  ( 4) g ( x ) = g ( 3) ⇔ x = → y = thoả mãn (*) ( 6) Û  11   11  ♣ Trên khoảng  ; +∞ ÷thì g ( x ) đồng biến, ∈  ; +∞ ÷, g ( ) = nên 2  2  ( 4) ( 6) Û g ( x ) = g ( ) ⇔ x = → y = 10 thoả mãn (*) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x, y ) = ( 3;5 ) , ( x, y ) = ( 8;10 ) r BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải hệ phương trình ìï ( x +1) x +( y - 3) - y = ï 1) í ïï x + y + - x = ïỵ ìï x - y = y + y - x + ï 2) í ïï x + y + x + y +19 = 105 - y - xy ỵ ìï x + + y + = ï 3) í ïï ( x +1) + x +1 = ( y - 3) y - ïỵ ìï y + y + x 1- x = 1- x ï Ví dụ 12 Giải hệ phương trình í ïï - y = x + y - ïỵ (1) (2) (Thi thử THPT Trần Phú – Thanh Hóa) Bài giải ìï x £ ï ♥ Điều kiện: ïí (*) ïï - £ y £ ïỵ 2 ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f ( u ) = f ( v ) ) ♦ y + y + x - x = 1- x Û y + y = - x - x 1- x + - x Û y + y = ( 1- x ) 1- x + 1- x (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f ( t ) = 2t + t ¡ ta có: f '( t ) = 6t +1 > 0, " t Ỵ ¡ Þ f đồng biến ¡ ìï y ³ ïí Û f y = f x Û y = x Û ( ) ( ) Nên: ïïỵ y = 1- x ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn ( ) (4) x +5 = 2x2 - x - (5) ♦ Giải phương trình (5) phương pháp đặt ẩn phụ chuyển hệ đối xứng loại II 283 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN · Phương trình (5) viết lại thành: ( x - 3) = x + +11 Điều kiện ỉ 3÷ t³ ÷ Đặt x + = 2t - ç , ta hệ phương trình: ç ÷ ç è 2ø ìï ( x - 3) = 4t + (6) ïï í ïï ( 2t - 3) = x + (7) ïỵ · Trừ theo vế (6) (7) ta được: ( x + t - 3) ( x - t ) = 4t - x Û ( x - t ) ( x + t - 2) = + Khi x = t , thay vào (7) ta được: x - 12 x + = x + Û x - x +1 = Û x = ± So với điều kiện x t ta chọn x = + [khơng thỏa (*)] + Khi x + t - = Û t = - x , thay vào (7) ta được: ( 1- x) = x + Û x - x - = Û x = ± (loại) So với điều kiện x t ta chọn x = 1- ♦ Với x = 1- 2Þ [Tại ?] y = ± [thỏa (*)] ( ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) 1- 2; - ) ( 1- ) 2; r III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Tìm điều kiện cho biến x, y hệ phương trình (nếu có) Bước 2: Tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y phương pháp đánh giá Thường sử dụng bất đẳng thức bản: Cơ-si, bất đẳng thức giá trị tuyệt đối, Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm vào phương trình lại hệ để phương trình ẩn Bước 4: Giải phương trình ẩn (cần ơn tập tốt phương pháp giải phương trình ẩn) 284 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN ìï ïï x 12 - y + y ( 12 - x ) = 12 Ví dụ Giải hệ phương trình í ïï ïỵ x - x - = y - (1) (2) (Khối A - 2014) Bài giải ìï - £ x £ ♥ Điều kiện: ïí ïï £ y £ 12 ỵ (*) ♥ Đánh giá phương trình (1) để tìm hệ thức đơn giản liên hệ x y Sử dụng BĐT Cơ-si ta có: ìï ïï x 12 - y £ x +12 - y ïï Þ x 12 - y + y ( 12 - x ) £ 12 nên í ïï y +12 - x ïï y ( 12 - x ) £ ïỵ ïì x ³ ( 1) Û ïí ï ïỵ y = 12 - x ♥ Thế y = 12 - x vào phương trình (2) ta phương trình ẩn: (3) x - x - = 10 - x ♠ Phương trình (3) có nghiệm x = nên ta định hướng phân tích (3) thành dạng ( x - 3) f ( x ) = (3) Û Û ( x - x - + 1- ) 10 - x = ( x - 3) ( x + 3x +1) + 2 ( x - 9) + 10 - x =0 ỉ2 ( x + 3) ÷ ç ÷= x x + x + + ç ( ) ç Û ÷ ÷ Û x =3 ç è ø + 10 x 1444444444442444444444443 >0 ♠ Với x = Þ y = [thỏa (*)] ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ( 3;3) r  5x2 + 2xy + 2y2 + 2x2 + 2xy + 5y2 = 3(x + y) Ví dụ Giải hệ phương trình   2x + y + + 23 7x + 12y + = 2xy + y + Bài giải (1) (2) 285 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN 5 x + xy + y ≥  2 ♠ Điều kiện:  x + xy + y ≥ ⇔ x + y + ≥ x + y +1 ≥  ( ) ♠ Khi hệ có nghiệm ( x; y ) → x + y ≥ Ta thấy x + xy + y ≥ x + y ( *) dấu x = y Thật vậy: ( *) ⇔ x + xy + y ≥ ( x + y ) Tương tự ⇔ ( x − y ) ≥ ln với x, y ∈ ¡ 2 x + xy + y ≥ x + y ( **) dấu x = y Từ ( *) & ( **) ⇒ VT ( 1) = x + xy + y + x + xy + y ≥ ( x + y ) = VP ( 1) Dấu đẳng thức xẩy x = y ( 3) ♠ Thế y = x vào (2), ta được: Ta có: 3x + + 19 x + = x + x + (3) (3) ⇔ x + − ( x + 1) +  19 x + − ( x + )  = x − x − x2 + x + ⇔ 3x + + x + x2 − x + ⇔ 3x + + x + −2 ( x3 + x − x ) ( 19 x + 8) + ( x + 2) 19 x + + ( x + 2) 2 ( x − x ) ( x + 7)  x2 − x =  ⇔ +  3x + + x +  ( 19 x + 8) + ( x + 2) 19 x + + ( x + 2) = x2 − 2x + 2( x − x ) = 2( x + 7) ( 19 x + 8) + ( x + 2) 19 x + + ( x + 2) 2 + = (*) Vì x ≥ nên (*) vơ nghiệm Do (3) ⇔ x = hay x = ♠ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) ∈ { ( 0;0 ) , ( 1;1) } r ïìï xy 17 ỉx y 21 ÷ + ç = ïï ç + ÷ ÷ ÷ èy x ø Ví dụ Giải hệ phương trình í x + y + xy ç ïï ïï x - 16 + y - = ỵ (1) (2) Bài giải ìï x ³ 16 ♥ Điều kiện: ïí ïïỵ y ³ ♥ Đánh giá phương trình (1) để tìm hệ thức đơn giản liên hệ x y 286 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG Ta có: Đặt t = HĐBM-TỔ TỐN 17 ỉx y ÷ + ç + =6 ç + ÷ ÷ ÷ ç y + + èy x ø y x ( 1) Û x x y x y + ³ = ( t = Û x = y ) sử dụng BĐT Cơ-si ta có: y x y x 17 ỉx y 17 ÷ + ç + = + t+ = + ( t + 6) + 2t ³ + 2.2 = ç + ÷ ÷ ÷ ç x y t +6 + + èy x ø t + y x Dấu “=” xảy = ( t + 6) Û t = Û x = y t +6 ♠ Thế y = x vào (2), ta được: x - 16 + x + = Û ( x - 16) ( x - 9) = 37 - x Û x = 25 · Với x = 25 Þ y = 25 [thỏa (*)] ♠ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) ∈ { ( 25; 25 ) } r IV PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Tìm điều kiện cho biến x, y hệ phương trình (nếu có) Bước 2: Biến đổi hai phương trình hệ cho có hai biểu thức giống Bước 3: Thay hai biểu thức hai biến u, v, chuyển sang hệ giải tìm u, v Bước 4: Với u, v tìm ta tìm x, y 287 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN ìï x +1 + y ( x + y ) = y ï Ví dụ Giải hệ phương trình ïí ïï ( x +1) ( x + y - 2) = y ïỵ (1) (2) (*) Bài giải ♥ Biến đổi cho hai phương trình hệ xuất hai biểu thức giống Do y = khơng thỏa mãn hệ nên ìï x +1 ïï +( x + y ) = ïï y ( *) Û í ïï x +1 ïï ( x + y - 2) = ïïỵ y ♥ Đặt ẩn phụ u = x +1 v = x + y - , hệ trở thành y ìïï u + v = Û í ïỵï u.v = ìïï u = í ïỵï v = ìï u = ♥ Với ïí ta hệ phương trình ïïỵ v = ìï x +1 ïï =1 Û í y ïï ïïỵ x + y - = ïíìï x = Úïíìï x =- ïỵï y = ïỵï y = ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) = ( 1; 2) ; ( - 2;5) r Bài tập tương tự Giải hệ phương trình ìï x + xy - 3x + y = 1) ïí ïï x + x y - x + y = ỵ ìï y + x + xy - y +1 = 2) ïí ïï y x - y + x y + x = ỵ ìï ( x + x) y - y + y +1 = ï 3) ïí ïï xy + x y +1- ( - x ) y = ïỵ ìï x ( y +1) = y - ï 4) ïí ïï x y + x y + y ( x +1) = 12 y - ïỵ ìï x + y + xy = 3x - ï 5) ïí ïï ( x + xy ) +( y + 2) = 17 x ïỵ ìï ( x + y ) ( x + y +1) = 25( y +1) ï 6) í ïï x + xy + y + x - y = ïỵ ìï x + + y + + x + y = ï 7) ïí ïï x + + y + - x - y = ïỵ 288 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN ìï x - y - = ïï Ví dụ Giải hệ phương trình ïí =3 ïï ( x + y - 1) ïïỵ ( x - y) (1) (2) (*) Bài giải ♥ Điều kiện: x - y ¹ ♥ Biến đổi hệ phương trình thành dạng có chứa hai biểu thức x + y x - y ìï ( x + y ) ( x - y ) = ïï ïí =3 ïï ( x + y - 1) ïïỵ ( x - y) ♥ Đặt u = x + y v = x - y hệ phương trình trở thành ìï ïï v = 6 ïìï ïìï uv = v= ïï u ï ï Û í Û í Û u í ïï ( u - 1) - 42 = ïï ïï u2 = ïỵ 8u - 18u - 18 = ïï u - 2u +1v ỵï ïỵ ïìï u = 3; v = íï ïï u =- ; v =- ïỵ ìï 35 ìï ïï x =ïï x + y =ï 4Û í ♥ Suy ra: í ïï ïï 29 ïỵ x - y =- ïï y = ïỵ ỉ5 ỉ 35 29 ç ; ÷ ; ; ÷ ÷ ÷ ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) = ç ç ç ÷è ÷r ç2 ø ç 8ø è ìïï x + y = Û í ïïỵ x - y = ìï ïï x = ï í ïï ïï y = ïỵ Bài tập tương tự Giải hệ phương trình ìï x + y = xy + x + y 1) ïí ïï x - y = ỵ ìï x + x + = y +1 ï 2) í ïï x + xy + y = ïỵ ìï ( x + x y + x y ) = x + y + ï 3) í ïï 3x + xy - y = ( x + y +1) ïỵ -Hết - 289 ... bậc hai Ví dụ 1: Giải phương trình x = x +10 x + (1) Lời giải · Với m ta có: (1) Û ( x + m) = (3 + 2m) x +10 x + + m (2) · Đặt f ( x) = (3 + 2m) x +10 x + + m ìï D = 25 - (3 + 2m)(4 + m ) = f... phương trình (1) S = ïí ± ïý r ïï ïïþ ỵ Bài tập tương tự Giải phương trình 1) x - 19 x - 10 x + = 2) x + x - 10 x + = 3) x - x - 16 x - = hoctoancapba.com § CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + bx3 +... trình HĐBM-TỔ TỐN 3x + x + + x +10 x +14 = - x - x (1) Bài giải ♥ Đánh giá hai vế (1) bất đẳng thức ta có VP (1) = - x - x = - ( x +1) £ VT (1) = 3x + x + + x +10 x +14 2 = 3( x +1) + + ( x +1)