hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM-T TON Ch S PHC A Túm tt lớ thuyt I S PHC & CC PHẫP TON S phc l mt biu thc dng a + bi, ú a, b l cỏc s thc v s i tha i = Kớ hiu z = a + bi i: n v o, a: phn thc, b: phn o Chỳ ý: z = a + 0i = a c gi l s thc (a Ă Ê ) z = + bi = bi c gi l s o (hay s thun o) = + 0i va l s thc va l s o Biu din hỡnh hc ca s phc M(a;b) biu din cho s phc z z = a + bi Hai s phc bng Cho hai s phc z = a + bi v z ' = a '+ b 'i vi a, b, a ', b ' Ă a = a ' z = z' b = b ' Cng v tr s phc Cho hai s phc z = a + bi v z ' = a '+ b 'i vi a, b, a ', b ' Ă z + z ' = ( a + a ') + ( b + b ') i z z ' = ( a a ') + ( b b ') i Nhõn hai s phc Cho hai s phc z = a + bi v z ' = a '+ b 'i vi a, b, a ', b ' Ă z.z ' = ( aa ' bb ' ) + ( ab '+ a ' b ) i Mụun ca s phc z = a + bi uuuu r z = a + b = OM S phc liờn hp ca s phc z = a + bi l z = a bi z=z z = z z + z = 2a z z = a + b = z 93 hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM-T TON Chia hai s phc Cho hai s phc z = a + bi v z ' = a '+ b 'i vi a, b, a ', b ' Ă o Thng ca z chia cho z (z 0) : z ' z ' z z ' z ac + bd ad bc = = = + i z a + b2 a + b2 zz z II PHNG TRèNH BC NHT, BC HAI TRấN TP S PHC Cn bc hai ca s phc o z = cú mt cn bc hai l o z = a l s thc dng cú cn bc l a o z = a l s thc õm cú cn bc hai l a i Phng trỡnh bc nht ax + b = (a, b l s phc cho trc, a ) Gii tng t phng trỡnh bc nht vi h s thc Phng trỡnh bc hai ax2 + bx + c = (a, b, c l s thc cho trc, a ) Tớnh = b 4ac o > : Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit thc x1 ,2 = o < : Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit phc x1 ,2 = b 2a b i 2a b o = : Phng trỡnh cú nghim kộp l x = 2a III CC V D Dng 1: Tỡm s phc tha cỏc iu kin cho trc Vớ d 1: Cho s phc z tha iu kin z - iz = + 5i Tỡm phn thc v phn o ca z Bi gii t z = a + bi , ( a, b ẻ Ă ) ta cú: z - iz = + 5i ( a + bi ) - i ( a - bi ) = + 5i ( 2a - b) +( 2b - a ) i = + 5i ùỡ 2a - b = ùớ ùùợ - a + 2b = ỡù a = ùớ ùùợ b = Vy s phc z cn tỡm cú phn thc bng v phn o bng r 94 hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM-T TON Vớ d 2: Cho s phc z tha iu kin ( z - z ) ( + i ) - z = 8i - Tớnh mụun ca z Bi gii hoctoancapba.com t z = a + bi , ( a, b ẻ Ă ( 3z - z ) ( 1+ i) - ) ta cú: ự z = 8i - ộ ở3( a + bi ) - ( a - bi ) ỷ( + i ) - ( a + bi ) = 8i - ( - 3a - 4b) +( 2a - b) i =- + 8i ùỡ 3a + 4b = ùớ ùùợ 2a - b = ỡù a = ùớ ùùợ b =- 2 Vy mụun ca z l z = a + b = 32 +( - 2) = 13 r Vớ d 3: Cho s phc z tha iu kin z + 3( 1- i ) z = 1- 9i Tớnh mụun ca z Bi gii t z = a + bi , ( a, b ẻ Ă ) ta cú: z + 3( 1- i ) z = 1- 9i ( a + bi ) + 3( 1- i ) ( a - bi ) = 1- 9i ( 5a - 3b) +( - 3a - b) i = 1- 9i ùỡ 5a - 3b = ùớ ùùợ 3a + b = ùỡ a = ùớ ùùợ b = Vy mụun ca z l z = a + b = 22 + 32 = 13 r Vớ d 4: Cho s phc z tha iu kin z +( + i ) z = + 5i Tỡm phn thc v phn o ca z Bi gii t z = a + bi , ( a, b ẻ Ă ) ta cú: z +( + i ) z = + 5i ( a + bi ) +( + i ) ( a - bi ) = + 5i ( 3a + b) +( a - b) i = + 5i ỡù 3a + b = ùớ ùùợ a - b = ùỡ a = ùớ ùùợ b =- 95 hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM-T TON Vy s phc z cn tỡm cú phn thc bng v phn o bng - r Vớ d 5: Tỡm s phc z tha ( z + 1)(1 + i ) + z = | z |2 i Bi gii t z = x + yi, (x, y ẻ Ă ) ta cú: ( z + 1)(1 + i ) + z =z i ( x +1 + yi ) (1 + i ) + ( x - 1- yi ) (1 + i ) = x2 + y2 3x +1- y + (3 x +1 + y )i = 2( x + y ) 3x + y = 2( x + y ) 3x + + y = ùỡ y =- (3x +1) ùớ ùùợ 10 x + x = ỡù x = 0, y =- ù ùớ ùù x =- , y =- ùợ 10 10 Vy s phc z cn tỡm l z = i hoc z = i r 10 10 Vớ d 6: Tỡm s phc z tha z 3i = i z v z l s thun o z Bi gii t z = a + bi (a, b ẻ Ă ) ta cú: ã | z 3i | = | iz | | a + (b - 3)i | = |1- i(a - bi ) | | a + (b - 3)i | = |1- b - | a + (b - 3) = (1- b) + (- a ) b=2 ã z = a + 2i = a + 2i 9(a2 2i ) = a 5a +2 (2a + 26)i l s o z a + 2i a +4 a +4 a 5a = a = 0, a = Vy cỏc s phc cn tỡm l z = 2i, z = + 2i, z = + 2i r Vớ d 7: Tỡm s phc z tha z = z - - 2i v z - 2i l s thun o z- Bi gii hoctoancapba.com t z = x + yi (x, y ẻ Ă ) v z ta cú: ã z = z - - 2i x + yi = x - + ( y - 2)i x + y = ( x - 2) + ( y - 2) x + y = y = - x ã Ta cú (1) z 2i x + ( y 2)i [ x + ( y 2)i ].[( x 2) yi] = = z ( x 2) + yi ( x 2) + y 96 hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG = HBM-T TON x( x 2) + ( y 2) y ( x 2)( y 2) xy x( x 2) + ( y 2) y + i l s o v ch =0 2 2 ( x 2) + y ( x 2) + y ( x 2) + y x + y = 2( x + y ) ( x 2) + y (2) ( x 1) = x = Suy y = x Thay (1) vo (2) ta c Vy cỏc s phc cn tỡm l z = 2i r Vớ d 8: Cho s phc z tha z = i Tớnh A = + (1 + i ) z z +1 Bi gii t z = a + bi, ( a, b ẻ Ă ) ta cú: z= i a + b + a bi = b + (a + 1)i z +1 a + b + a = b b = a + a = 1, b = a = 2, b = Vy ã Vi a = 1, b = ta cú A = + (1 + i)(1 + 2i) = 3i = ã Vi a = 2, b = ta cú A = + (1 + i )(2 i ) = 3i = r Vớ d 9: Tỡm s phc z tha ng thc z + 1+ i = 2z + z 3i cho z 2i t giỏ tri nh nht Bi gii t z = x + yi , ( x, y ẻ Ă ) ta cú: ã z + 1+ i = (x + 1) + (y + 1)i = ã 2z + z 3i = 3x 5+ (y 3)i = (x + 1)2 + (y + 1)2 (3x 5)2 + (y 3)2 Do ú: z + 1+ i = 2z + z 3i (x + 1)2 + (y + 1)2 = (3x 5)2 + (y 3)2 8y = 8x2 32x + 32 y = x2 4x + Ta cú z 2i = (x 2)2 + (y 2)2 = y + ( y 2) = 2 y 3y + = y ữ + 2 3 (x 2)2 = x = 2 6 Vy z = + + i hay z = + i thỡ z 2i t GTNN r 2 2 Du "=" xy y = 97 hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM-T TON Dng 2: Tỡm hp im biu din s phc tha iu kin cho trc Vớ d 10: Trong mt phng ta , tỡm hp im biu din cỏc s phc z tha z - i = ( + i ) z Bi gii t z = x + yi ( x, y ẻ Ă ) v M ( x; y ) l im biu din ca z trờn mt phng ( Oxy ) ta cú: z - i = ( 1+ i) z ( x + yi ) - i = ( + i ) ( x + iy ) x +( y - 1) i = ( x - y ) +( x + y ) i x +( y - 1) = ( x - y ) +( x + y ) x + y - y +1 = x - xy + y + x + xy + y x2 + y + y - = Tp hp im M biu din ca s phc z l ng trũn cú phng trỡnh x + y + y - = r B Bi Bi 1: Cho s phc z tha iu kin (3 + 2i) z + (2 i) = + i Tỡm phn thc v phn o ca s phc Bi 2: Cho s phc z tha (1 + 2i) z + z = 4i 20 Tớnh mụun ca z Bi 3: Cho s phc z tha (1 + i ) z 4i = Tỡm s phc liờn hp ca z Bi 4: Cho s phc z tho (2 3i ) z + (4 + i) z = (1 + 3i ) Tỡm phn thc v phn o ca z Bi 5: Cho s phc z tho (1 + i) (2 i ) z = + i + (1 + 2i ) z Tỡm phn thc v phn o ca z Bi 6: Cho s phc z tho z (2 + 3i) z = 9i Tỡm s phc z Bi 7: Cho s phc z tha (2 z 1)(1 + i ) + ( z + 1)(1 i) = 2i Tớnh mụun ca z Bi 8: Cho s phc z tha z = ( + i ) (1 2i) Tỡm phn o ca z 5+i Bi 9: Cho s phc z tho z = Tỡm s phc z z Bi 10: Cho s phc z tho z = z + z Tỡm s phc z Bi 11: Cho s phc z tha ng thc z (2 4i) = Tỡm hp im M biu din cho s phc z Bi 12: Cho s phc z tha ng thc z i = (1+ i)z Tỡm hp im M biu din cho s phc z Bi 13: Cho s phc z tha (1 2i ) z 2i = (3 i ) z Tỡm ta im biu din ca z mp (Oxy ) 1+ i Bi 14: Tỡm s phc z tha ng thc z + 2i = Tỡm hp im M biu din cho s phc w, bit w z = + 3i hoctoancapba.com 98 hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM-T TON Bi 15: Cho s phc z tho + z = z i + ( iz 1) Tớnh mụ un ca z + z +1 Bi 16: Tỡm s phc z tha ng thc iz = z i cho z t giỏ tri nh nht Bi 17: Tỡm s phc z tho z + = z + z + cho s phc w = z cú mụun nh nht z 2z + Bi 18: Cho s phc z tho (1 + i)( z i) + z = 2i Tớnh mụun ca s phc w = z2 2(1 + 2i ) = + 8i Tớnh mụun ca s phc w = z + + i Bi 19: Cho s phc z tho (2 + i ) z + 1+ i Bi 20: Cho s phc z tho z = v z l s thun o Tỡm s phc z Bi 21: Cho s phc z tho z (2 + i) = 10 v z.z = 25 Tỡm s phc z 5( z + i ) Bi 22: Cho s phc z tho = i Tớnh mụun ca s phc w = + z + z z +1 Bi 23: Cho s phc z tho z z + i = v (2 z )(i + z ) l s o Tỡm s phc z Bi 24: Cho s phc z tha z z = + 6i Tớnh T = z + z + z Bi 25: Cho s phc z tho + z = z i + ( iz 1) Tớnh mụun ca z + z +1 Bi 26: Tỡm s phc z tho z = v 17 ( z + z ) = z.z (1 3i )3 Bi 27: Cho s phc z tha z = Tỡm mụun ca s phc w = z + iz i Bi 28: Cho s phc z = + 9i 5i Tỡm cỏc cn bc hai ca z i Bi 29: Gii cỏc phng trỡnh sau trờn s phc 1) (3 + 2i) z (4 + 7i) = 5i 2) (7 3i ) z + (2 + 3i ) = (5 4i) z Bi 30: Gii cỏc phng trỡnh sau trờn s phc 1) x x + = 2) x x + 25 = 3) x x + = 3) z z + = Ht - 99 ... tha iu kin z - iz = + 5i Tỡm phn thc v phn o ca z Bi gii t z = a + bi , ( a, b ẻ Ă ) ta cú: z - iz = + 5i ( a + bi ) - i ( a - bi ) = + 5i ( 2a - b) +( 2b - a ) i = + 5i ùỡ 2a - b = ùớ ùùợ... a, b ẻ Ă ) ta cú: z +( + i ) z = + 5i ( a + bi ) +( + i ) ( a - bi ) = + 5i ( 3a + b) +( a - b) i = + 5i ỡù 3a + b = ùớ ùùợ a - b = ùỡ a = ùớ ùùợ b =- 95 hoctoancapba.com - Kho thi THPT... 1- 9i ( 5a - 3b) +( - 3a - b) i = 1- 9i ùỡ 5a - 3b = ùớ ùùợ 3a + b = ùỡ a = ùớ ùùợ b = Vy mụun ca z l z = a + b = 22 + 32 = 13 r Vớ d 4: Cho s phc z tha iu kin z +( + i ) z = + 5i Tỡm phn