hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON Ch NGUYấN HM - TCH PHN - NG DNG CA TCH PHN A Túm tt lớ thuyt Ni dung 1: Nguyờn hm Bng tớnh nguyờn hm c bn Bng Hm s f(x) a ( hng s) x ( a - 1) x ax Bng H nguyờn hm F(x)+C ax + C x +1 +C +1 Hm s f(x) H nguyờn hm F(x)+C (ax + b) ln x + C ax + b A ax+ b (ax + b) +1 +C a +1 ln ax + b + C a Aax+b +C A lna ax+b e +C a cos(ax + b) + C a sin(ax + b) + C a tan(ax + b) + C a cot(ax + b) + C a x a ln +C 2a x + a ex ax +C lna ex + C sinx -cosx + C sin(ax+b) cosx sinx + C cos(ax+b) cos2 x sin2 x tanx + C cos (ax + b) sin2(ax + b) x a2 eax+ b -cotx + C ln u(x) + C u'(x) u(x) tanx ln cosx + C cotx ln sinx + C Cỏc phng phỏp tỡm nguyờn hm ca hm s Phng phỏp 1: S dng nh ngha v tớnh cht kt hp vi bng tớnh cỏc nguyờn hm c bn Phõn tớch hm s ó cho thnh tng, hiu ca cỏc hm s n gin cú cụng thc bng nguyờn hm c bn Cỏch phõn tớch : Dựng bin i i s nh m, ly tha, cỏc hng ng thc v bin i lng giỏc bng cỏc cụng thc lng giỏc c bn Phng phỏp 2: Phng phỏp i bin s nh lớ c bn: Nu ũ f ( u ) du = F ( u ) + C v u = u ( x) l hm s cú o hm liờn tc thỡ ũ f ( u ( x) ) u '( x) dx = F ( u ( x) ) +C 47 hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON Cỏch thc hin: Tớnh f [ u(x)] u'(x)dx bng pp i bin s Bc 1: t u = u(x) du = u'(x)dx (tớnh vi phõn ca u) Bc 2: Tớnh f [ u(x)] u'(x)dx = f(u)du = F(u) + C = F [ u(x)] + C Phng phỏp 3: Phng phỏp tớnh nguyờn hm tng phn nh lớ c bn: Nu hai hm s u = u ( x) v v = v ( x) cú o hm liờn tc trờn K thỡ ũu ( x) v '( x) dx = u ( x) v ( x) - ũu '( x) v ( x) dx Cỏch thc hin: Bc 1: t u = u ( x) du = u ' ( x) dx dv = v' ( x)dx v = v( x) vdu Bc 2: Thay vo cụng thc nguyờn hm tng phn : udv = uv Bc 3: Tớnh vdu B Bi Bi 1: Tớnh 1) I = x2 dx x2 2) I = x dx x 3) I = 2) I = dx x ( x 1) 3) I = 2) I = ln x dx x 3) I = x ln xdx x3 3x dx x+2 Bi 2: Tớnh 1) 3x x x dx x dx x + 3x + 2 Bi 3: Tớnh 1) I = x ln xdx Bi 4: Tớnh ( ) 1) I = ln x x dx 2x 2) I = ( x ) e dx 3) I = x s in2xdx ex 2) I = dx + 2e x 3) I = cos xdx Bi 5: Tớnh 1) I = x sin x dx cos x 48 hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON Ni dung 2: Tớnh tớch phõn A Túm tt lớ thuyt I CC PHNG PHP TNH TCH PHN S DNG N V CC TNH CHT TCH PHN a nh ngha: Cho hm s y = f(x) liờn tc trờn K v a, b K Gi s F(x) l mt nguyờn hm ca hm s f(x) trờn K thỡ : b f (x)dx = [ F (x)] a = F (b) F (a) b ( Cụng thc NewTon - Leipniz) a b Cỏc tớnh cht ca tớch phõn b a a b f (x)dx = f (x)dx Tớnh cht 1: Tớnh cht 2: Nu hai hm s f(x) v g(x) liờn tc trờn [ a; b] thỡ b b b a a a [ f (x) g(x)] dx = f (x)dx g(x)dx Tớnh cht 3: Nu hm s f(x) liờn tc trờn [ a; b] v k l mt hng s thỡ b b a a k f (x)dx = k. f (x)dx Tớnh cht 4: Nu hm s f(x) liờn tc trờn [ a; b] v c l mt hng s thỡ b c b a a c b b b a a a f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx Tớnh cht 5: Tớch phõn ca hm s trờn [ a; b] cho trc khụng ph thuc vo bin s , f (x)dx = f (t)dt = f (u)du = ngha l : PHNG PHP I BIN S b ' a) DNG 1: Tớnh I = f[u(x)].u(x)dx bng cỏch t t = u(x) a Cụng thc i bin s dng 1: b u (b ) a u (a) f [ u ( x )].u ' ( x)dx = f (t )dt Cỏch thc hin: t = u ( x) dt = u ' ( x) dx x=b t = u (b ) Bc 2: i cn : x=a t = u (a ) Bc 3: Chuyn tớch phõn ó cho sang tớch phõn theo bin t ta c Bc 1: t b u (b ) a u(a) I = f [ u ( x)].u ' ( x)dx = f (t )dt (tip tc tớnh tớch phõn mi) 49 hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON b b) DNG 2: Tớnh I = f(x)dx bng cỏch t x = (t) a b a I = f ( x)dx = f [ (t )] ' (t )dt Cụng thc i bin s dng Cỏch thc hin x = (t ) dx = ' (t )dt x=b t= Bc 2: i cn : x=a t = Bc 3: Chuyn tớch phõn ó cho sang tớch phõn theo bin t ta c Bc 1: t b a I = f ( x)dx = f [ (t )] ' (t )dt (tip tc tớnh tớch phõn mi) PHNG PHP TCH PHN TNG PHN Cụng thc tớch phõn tng phn b b u ( x ).v ' ( x )dx = [ u ( x).v( x)] a v( x).u ' ( x )dx b a a b b udv = [ u.v ] a vdu hay: b a a Cỏch thc hin Bc 1: t u = u ( x) du = u ' ( x) dx dv = v' ( x)dx v = v( x) b b Bc 2: Thay vo cụng thc tớch phõn tng tng phn : udv = [ u.v ] a vdu a Bc 3: Tớnh [ u.v ] ba b a b v vdu a 50 hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON II CC V D Vớ d 1: Tớnh tớch phõn I = ũ x + x +1 dx x2 + x (Phõn tớch & dựng nh ngha) Bi gii x + x +1 x +1 =1+ Bin i hm s thnh dng x +x x +x Khi ú: I = ũ 2 ã x + x +1 x +1 dx = ũ dx + ũ dx x +x x + x 1 ũ dx = x =1 ã 2 x +1 dx = ln x + x = ln +x ũx Vy I = + ln r Vớ d 2: Tớnh tớch phõn I = ũ ( x +1) dx x +1 (Phõn tớch & dựng nh ngha) Bi gii Bin i hm s thnh dng Khi ú: I = ũ ( x +1) ã ũ dx = x 2 x +1 ( x +1) = x +1 1 dx = ũ dx + ũ 0 x + x +1 2x =1+ 2 x +1 x +1 2x dx x +1 =1 ã ũx 2x dx = ln x +1 = ln +1 Vy I = + ln r ln 2 x x Vớ d 3: Tớnh tớch phõn I = ũ( e - 1) e dx (i bin s dng 1) Bi gii t t = e x - ị dt = e x dx 51 hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG ùỡ x = ln ị i cn: ùớ ùợù x = HBM - T TON ùỡù t = ùợù t = 1 t3 = Suy ra: I = ũ t dt = 30 Vy I = r Vớ d 4: Tớnh tớch phõn I = ũ x - x dx (i bin s dng 1) Bi gii t t = - x t = - x ị 2tdt =- xdx ị tdt =- xdx ỡù x = ị i cn: ùớ ùùợ x = ùỡù t = ùợù t = 2 t3 Suy ra: I = ũ t dt = Vy I = = 2- 2- r e Vớ d 5: Tớnh tớch phõn I = ũ + 5ln x dx x (i bin s dng 1) Bi gii t t = + 5ln x t = + 5ln x ị 2tdt = dx x ỡù x = e ị i cn: ùớ ùợù x = ỡùù t = ùợù t = 3 2 3 38 Suy ra: I = ũ t dt = t = ( - ) = 15 15 15 Vy I = 38 r 15 p Vớ d 6: Tớnh tớch phõn I = ( x +1) sin xdx ũ (Tớch phõn tng phn) Bi gii 52 hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON ỡù du = dx ùù ùùù v =- cos x ợ ùỡ u = x +1 ị t ùớ ùùợ dv = sin xdx p p 4 Suy ra: I =- ( x +1) cos x + sin x 0 p p 4 1 =- ( x +1) cos x + sin x = 4 0 Vy I = r p Vớ d 7: Tớnh tớch phõn I = x ( + sin x ) dx ũ (Tớch phõn tng phn) p p p Ta cú: I = xdx + x sin xdx = x ũ ũ 0 p + ũ x sin xdx = p p + x sin xdx 32 ũ ỡù du = dx ùù ùùù v =- cos x ợ ỡù u = x ị t ùớ ùùợ dv = sin xdx p p p p p Suy ra: x sin xdx =- x cos x + cos xdx = cos xdx = sin x = ũ 2ũ 2ũ 4 0 0 Vy I = p2 + r 32 Vớ d 8: Tớnh tớch phõn I = ũ x + ln x dx x (Phõn tớch + i bin s dng 1) Bi gii 2 Ta cú: I = ũ xdx + ũ ln x dx x x2 ã ũ xdx = = 2 Tớnh ũ ln x dx x 53 hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON t t = ln x ị dt = dx x ỡù x = ị i cn: ùớ ùợù x = ỡùù t = ln ùợù t = ln ln x t2 dx = tdt = Suy ra: ũ ũ x ln = ln 2 Vy I = + ln r 2 Vớ d 9: Tớnh tớch phõn I = ũ ùỡù u = ln x ù ị t ùù dv = x - dx x2 ùùợ x2 - ln xdx x2 (Tớch phõn tng phn) ỡù ùù du = dx x ùớ ùù ùù v = x + x ùợ 2 ổ 1ử x+ ữ Suy ra: I = ỗ ữ ỗ ữln x ỗ ố xứ ổ 1ử ữ ũốỗỗỗx + x ứữ ữx dx 2 ổ 1ử ổ 1ử ỗ =ỗ x+ ữ ln x x- ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố x xứ 1 = ln 2 Vy I = ln - r 2 Vớ d 10: Tớnh tớch phõn I = (2ex + ex )xdx (Phõn tớch + i bin dng 1+ tớch phõn tng phn) Bi gii Ta cú: I = ã I1 = ã I2 = 1 2xex dx + xexdx ex2 = e 2xe dx = e d ( x ) = 0 1 x2 x2 xe dx x t u = x du = exdx x dv = e dx v = ex 1 Suy ra: I2 = xex exdx = e ex = 0 Vy I = e + = e r 54 hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON B Bi Bi 1: Tớnh cỏc tớch phõn sau 1) I = x (x +4 ) dx 2) I = sin x ( + cos x ) dx Bi 2: Tớnh cỏc tớch phõn sau e3 e ln x + dx 1) I = x 2) I = ln x + dx x Bi 3: Tớnh cỏc tớch phõn sau 1) I = sin x cos xdx 2) I = sin2x(1+ sin2 x)3dx Bi 4: Tớnh cỏc tớch phõn sau 1) I = x x + 3dx 2 2) I = x2 x3 + dx Bi 5: Tớnh cỏc tớch phõn sau ( ) x 1) I = x x + e dx e ln x 2) I = x + ữdx x Bi 6: Tớnh cỏc tớch phõn sau e + 3ln x ln x dx x 1) I = ln 2) I = ex (e x ) +1 dx Bi 7: Tớnh cỏc tớch phõn sau 1) I = s in2x cos x dx + cos x 2) I = tan x dx cos x Bi 8: Tớnh cỏc tớch phõn sau 1) I = s in2x + sin x dx + 3cos x 2) I = sin2x cos2 x + 4sin2 x dx Bi 9: Tớnh cỏc tớch phõn sau ( ) 1) I = cos3 x cos xdx s in2x dx + 4sin x cos x 2) I = Bi 10: Tớnh cỏc tớch phõn sau 55 hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON dx cos x tan x + 1) I = cot x + dx sin x 2) I = Bi 11: Tớnh cỏc tớch phõn sau e 1) I = x dx cot x dx sin x + 2) I = ln x Bi 12: Tớnh cỏc tớch phõn sau 1) I = tan x cos x + cos x ln dx 2) I = e2 x ex ln dx Bi 13: Tớnh cỏc tớch phõn sau 1) I = cos3 x sin x cos5 xdx 2) I = sin2x(1+ sin2 x)3dx Bi 14: Tớnh cỏc tớch phõn sau 1) I = x x + 3dx ln 2) I = (e ) +1 ex x dx ex ln Bi 15: Tớnh cỏc tớch phõn sau 1) I = x cos xdx ( ) cos x 2) I = e + x sin xdx Bi 16: Tớnh cỏc tớch phõn sau ln x dx x2 ( ) 2) I = x ln + x dx 1) I = Bi 17: Tớnh cỏc tớch phõn sau e ( ) 1) I = x ln xdx 2) I = x ln ( x 1) dx Bi 18: Tớnh cỏc tớch phõn sau e x2 + ln xdx 1) I = x e 2) I = x ln xdx Bi 19: Tớnh cỏc tớch phõn sau 1) I = ( x ) e dx 2x ( ) 2) I = ln x x dx Bi 20: Tớnh cỏc tớch phõn sau 56 hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG ( HBM - T TON ) 1) I = ecos x + cos3 x sin xdx dx sin x.(2 + cot x) 2) I = Bi 21: Tớnh cỏc tớch phõn sau 2x + dx 1+ 2x +1 1) I = 2) I = dx x (x 2 + 1) Bi 22: Tớnh cỏc tớch phõn sau 1) I = cos x ( sin x cos x + ) dx x3 + x + x + dx 2) I = x2 + Bi 23: Tớnh cỏc tớch phõn sau 1) I = x sin xdx 2) cot x dx + sin x I= Bi 24: Tớnh cỏc tớch phõn sau dx 1) I = 2x +1+ 4x +1 2) I = sin x + cos x dx + sin x Bi 25: Tớnh cỏc tớch phõn sau sin x dx + 4sin x cos x 1) I = x2 dx ( x + 1) x + 2) I = 57 hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON Ni dung 3: ng dng ca tớch phõn A Túm tt lớ thuyt I CễNG THC Cụng thc tớnh din tớch hỡnh phng (C1 ) : y = f ( x) (C ) : y = g ( x ) (H ) : : x = a : x = b y x=a (H ) a O x=b (C1 ) : y = f ( x) (C ) : y = g ( x) x b b S = ũ f ( x ) - g ( x) dx y (C ) : x = (C1 ) : x = f ( y ) (C ) : x = g ( y ) (H ) : : y = a : y = b g ( y) y=b b (H ) a y=a x S = ũ f ( y ) - g ( y ) dy a ) : x = f ( y) (C b O a Cụng thc tớnh th tớch vt th trũn xoay y x=a O a x=b (C ) : y = f ( x ) y=0 b b V = [ f ( x )] dx a x y b x=0 a y=b (C ) : x = f ( y ) y=a x O b V = [ f ( y )] dy a II CC V D Vớ d 1: Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi ng cong y = x - x + v ng thng y = x +1 58 hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON Bi gii Phng trỡnh honh giao im ca hai ng ộx = x - x + = x +1 x - 3x + = ờ ởx = Din tớch hỡnh phng cn tỡm l S = ũ x - x + dx ổx 3x ữ = ũ( x - 3x + 2) = ỗ + xữ = r ỗ ữ ữ ỗ ố3 ứ 1 2 Vớ d 2: Tớnh th tớch trũn xoay to thnh quay hỡnh phng c gii hn bi cỏc ng y= , y = 0, x = v x = xung quanh trc honh + 3x Bi gii Th tớch trũn xoay l V = (1+ dx 3x ) t t = 3x , ta cú x = thỡ t = 2, x = thỡ t = v x = 2t t2 nờn dx = dt 3 2t t 1 dt = dt = ữdt 2 (t + 1) t + (t + 1) (1 + t ) Khi ú ta cú V = 2 = ln | t + 1| + ữ = ln ữ = 6ln 1ữ r t +1 B Bi 59 hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG HBM - T TON y = x2 4x + y = Bi 1: Trong mt phng ( Oxy ) , tớnh din tớch ca hỡnh phng (H): x = x = y = x Bi 2: Trong mt phng ( Oxy ) , tớnh din tớch ca hỡnh phng (H): y = x 3x y = x Bi 3: Trong mt phng ( Oxy ) , tớnh din tớch ca hỡnh phng (H): y = x = y = x Bi 4: Trong mt phng ( Oxy ) , tớnh din tớch ca hỡnh phng (H): x = y y = x2 2x Bi 5: Trong mt phng ( Oxy ) , tớnh din tớch ca hỡnh phng (H) : y = x + 4x (C ) : y = x Bi 6: Trong mt phng ( Oxy ) , tớnh din tớch ca hỡnh phng (H): (d ) : y = x (Ox) (C ) : y = e x Bi 7: Trong mt phng ( Oxy ) , tớnh din tớch ca hỡnh phng (H): (d ) : y = () : x = Bi 8: Trong mt phng ( Oxy ) cho hỡnh phng (H) gii hn bi cc ng y = x v y = x Tớnh th tớch vt th trũn xoay quay (H) quanh trc Ox Bi 9: Trong mt phng ( Oxy ) , cho D gii hn bi hai ng : y = x2 + x - ; x + y - = Tớnh th tớch trũn xoay c to nờn D quay quanh trc Ox Bi 10: Trong mt phng ( Oxy ) , cho D gii hn bi cỏc ng : y = x;y = x;y = Tớnh th tớch trũn xoay c to nờn D quay quanh trc Ox Bi 11: Trong mt phng ( Oxy ) , cho D gii hn bi hai ng : y = x2; y = x2 + Tớnh th tớch trũn xoay c to nờn D quay quanh trc Ox Ht -60 ... x. (2 + cot x) 2) I = Bi 21 : Tớnh cỏc tớch phõn sau 2x + dx 1+ 2x +1 1) I = 2) I = dx x (x 2 + 1) Bi 22 : Tớnh cỏc tớch phõn sau 1) I = cos x ( sin x cos x + ) dx x3 + x + x + dx 2) I = x2... xdx x3 3x dx x +2 Bi 2: Tớnh 1) 3x x x dx x dx x + 3x + 2 Bi 3: Tớnh 1) I = x ln xdx Bi 4: Tớnh ( ) 1) I = ln x x dx 2x 2) I = ( x ) e dx 3) I = x s in2xdx ex 2) I = dx + 2e x 3) I = ... cỏc tớch phõn sau 1) I = s in2x cos x dx + cos x 2) I = tan x dx cos x Bi 8: Tớnh cỏc tớch phõn sau 1) I = s in2x + sin x dx + 3cos x 2) I = sin2x cos2 x + 4sin2 x dx Bi 9: Tớnh cỏc tớch phõn