TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ Bài toán 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ HOẶC KHÔNG CÓ CỰC TRỊ Phương pháp Quy tắc 1: Áp dụng định lý • Tìm f '( x) • Tìm điểm PHIẾU ÔN TẬP VÀ GIẢNG DẠY BÀI CỰC TRỊ PHIẾU VẬN DỤNG THƯỜNG xi ( i = 1,2,3 ) đạo hàm hàm số liên tục đạo hàm • Xét dấu f '( x) Nếu f '( x) đổi dấu x qua điểm x0 hàm số có cực trị điểm x0 Quy tắc 2: Áp dụng định lý • Tìm f '( x) • Tìm nghiệm xi ( i = 1,2,3 ) phương trình f '( x) = • Với xi tính f ''( xi ) − Nếu f ''( xi ) < hàm số đạt cực đại điểm xi − Nếu f ''( xi ) > hàm số đạt cực tiểu điểm xi Các ví dụ Ví dụ : Định m để hàm số y = x + mx + cực trị x−1 Cho hàm số: y = ( m − 2) x3 − mx − Với giá trị m đồ thị hàm số điểm cực đại điểm cực tiểu Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ \ {1}= ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ ) Ta có: y' = x2 − 2x − m − (x − 1)2 Hàm số cực trị y' = vô nghiệm có nghiệm kép , tức phải có: ∆ ' ≤ ⇒ 1+ m + ≤ ⇒ m ≤ −3 Vậy, với m ≤ −3 hàm số cực trị Hàm số cho xác định ¡ Ta có: y′ = 3( m − 2) x2 − m Để hàm số cực trị phương trình y′ = vô nghiệm có nghiệm kép ⇔ ∆ ≤ ⇔ + 4.3m ( m − 2) ≤ ⇔ ≤ m ≤ Ví dụ : Định m để hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx − có cực đại, cực tiểu Tìm m ∈ ¡ để hàm số: y = mx4 + ( m − 1) x2 + 1− 2m có điểm cực trị Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ Ta có: y' = 3(m + 2)x2 + 6x + m Hàm số có cực đại, cực tiểu y' = có nghiệm phân biệt , tức phải có: m ≠ −2 m ≠ −2 m ≠ −2 m ≠ −2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∆ ' > 9 − 3m(m + 2) > −3m − 6m + > −3 < m < m ≠ −2 hàm số có cực đại, cực tiểu  −3 < m < Vậy, với  Hàm số cho xác định D = ¡ x = Ta có y' = 4mx3 − 2( m − 1) x y' = ⇔   2mx + m − = ( *) Hàm số có cực trị phương trình y' = có nghiệm y' đổi dấu x qua nghiệm Khi phương trình 2mx2 + m − = ( *) vô nghiệm hay có nghiệm kép x = m = m = m ≤  ⇔   m ≠ ⇔ ⇔   ∆ ' = −2m ( m − 1) ≤  m < ∨ m ≥  m ≥   Ví dụ 3: Tìm m∈ ¡ để hàm số y = −2x + + m x2 − 4x + có cực đại Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ Ta có: y' = −2 + m x− x2 − 4x + ; y" = m (x ) − 4x + + Nếu m = y = −2 < ∀x ∈ ¡ nên hàm số cực trị + m ≠ dấu y'' phụ thuộc vào m nên để hàm có cực đại trước hết y" < ⇔ m < Khi hàm số có cực đại ⇔ Phương trình y' = có nghiệm ( 1) Cách 1: Ta có: y' = ⇔ ( x − 2) + = m ( x − 2) ( 2) Đặt t = x − ( 2) trở thành : t ≤ t ≤   mt = t + ⇔  ⇔ ⇒ ( 1) có nghiệm ⇔ m2 − > ⇔ m < −2 (Do m < ) m − t =  t =  m −4 ( ) Vậy m < −2 hàm số có cực đại Cách 2: Với m < hàm số đạt cực đại x = x0 ⇔ y'( x0 ) = ⇔ m ( x0 − 2) x02 − 4x0 + x02 − 4x0 + = 2⇔ x0 − = m ( 1) x2 − 4x0 + Với m < ( 1) ⇒ x0 < Xét hàm số : f ( x0 ) = ,x0 < x0 − lim f ( x0 ) = lim x→−∞ x→−∞ Ta có f '( x0 ) = x02 − 4x0 + x0 − = −1, lim f ( x0 ) = lim x→2− −2 ( x0 − 2) x02 − 4x0 + x02 − 4x0 + x0 − x→2− = −∞ < 0,∀x0 ∈ ( −∞;2) Bảng biến thiên : x −∞ − f '( x) −1 f ( x) −∞ m Phương trình ( 1) có nghiệm x0 < ⇔ < −1 ⇔ m < −2 2 Ví dụ 4: Tìm m∈ ¡ để hàm số y = x + mx + có điểm cực tiểu nằm Parabol ( P ) : y = x2 + x − x−1 Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ \ { 1} Ta có y' = x2 − 2x − m − ( x − 1) ,x ≠ Đặt g ( x) = x2 − 2x − m − Hàm số có cực đại , cực tiểu phương trình g ( x) = có hai nghiệm ∆ ' = 1− ( −m − 2) >  phân biệt khác ⇔  g ( 1) = − m − ≠  ( m + > ⇔ ⇔ m > −3 m ≠ −3 ) A 1+ m + 3;m + + m + điểm cực tiểu đồ thị hàm số ( A ∈ ( P ) ⇔ m + + m + = 1+ m + ) + + m + − ⇔ m = −2 ( ) 2 Ví dụ 5: Cho hàm số y = x − 3mx + m − x − m + m ( 1) , m tham số Tìm m để hàm số ( 1) có cực đại, cực tiểu đồng thời thời khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị đến O Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ ( ) 2 Ta có: y' = 3x − 6mx + m − ( ) y' = ⇔ 3x2 − 6mx + m2 − = ⇔ x2 − 2mx + m2 − = ⇔ x = m − ∨ x = m + àm số có cực đại, cực tiểu ∀m ∈ ¡ Điểm cực đại đồ thị A ( m − 1;2 − 2m) ; Điểm cực tiểu đồ thị B( m + 1; −2 − 2m) OB = 3OA ⇔ ( m + 1) + ( −2 − 2m) = ( m − 1) + ( − 2m) 2 2 ⇔ ( m + 1) + ( −2 − 2m) = 9( m − 1) + ( − 2m)  ⇔ 2m2 − 5m + =   ⇔ m = m = Ví dụ 6: Tìm m∈ ¡ để hàm số y = x2 − ( m + 1) x − m2 + 4m − x−1 có cực trị đồng thời tích giá trị cực đại cực tiểu đạt giá trị nhỏ Lời giải Hàm số cho xác định D = ¡ \ { 1} Ta có y' = x2 − 2x + m2 − 3m + ( x − 1) = g ( x) ( x − 1) ,x ≠ , g ( x) = x2 − 2x + m2 − 3m + Hàm số có cực đại , cực tiểu phương trình g ( x) = 0,x ≠ ∆ ' >  có hai nghiệm phân biệt x1,x2 khác ⇔  g ( 1) ≠ ⇔ 1< m < Gọi A ( x1;y1) ,B( x2;y2 ) điểm cực trị đồ thị hàm số x1,x2 nghiệm phương trình g ( x) = 0,x ≠  x = 1− − m2 + 3m − ⇒ y = 1− m + − m2 + 3m − 1 Khi y' = ⇔  2  x2 = 1+ − m + 3m − ⇒ y2 = 1− m − − m + 3m − ( ) y1.y2 = ( 1− m) − − m2 + 3m − 2  4 y1.y2 = 5m2 − 14m + = f ( m) f ( m) có đỉnh S ; − ÷  5 f ( m) = − Với 1< m < , xét f ( m) có m = ∈ ( 1;2) ⇒ mmin ∈( 1;2) ⇒ y1.y2 = − m = 5 Câu 25 Đồ thị hàm số y = mx4 + (m2 - 9)x2 +10 có điểm cực trị tập giá trị m là: A ¡ { 0} B ( - 3;0) È ( 3;+¥ ) C ( - ¥ ;- 3) È ( 0;3) D ( 3;+¥ ) ” y' = 4mx3 + 2(m2 - 9)x = 2x(2mx2 + m2 - 9) ém Û ê ê ë0< m< 2 “Tìm m để hàm số y = x3 - 3x2 + mx - có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa x1 + x2 = A m= B.m = C.m = – D m= ” y/ = 3x2 - 6x + m, hàm số có cực trị Û y/ = có nghiệm phân biệt Û 3x2 - 6x + m= có nghiệm phân biệt Û m< ìï x1 + x2 = ïï Khi đó: í ïï x1x2 = m ïî x12 + x22 = Û ( x1 + x2 ) - 2x1x2 = Û 4- 2m = Û m= Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ TẠI ĐIỂM Phương pháp Trong dạng toán ta xét trường hợp hàm số có đạo hàm x0 Khi để giải toán ,ta tiến hành theo hai bước Bước Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị x0 y'(x0 ) = , từ điều kiện ta tìm giá trị tham số Bước Kiểm lại cách dùng hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá trị tham số vừa tìm có thỏa mãn yêu cầu toán hay không? Chú ý: Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng ( a;b) chứa điểm x0 , f'( x0 ) = f có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 Nếu f ''( x0 ) < hàm số f đạt cực đại điểm x0 Nếu f ''( x0 ) > hàm số f đạt cực tiểu điểm x0 f '(x0 ) = Trong trường hợp f '( x0 ) = không tồn  định lý không dùng f ''(x0 ) = Các ví dụ ( ) Ví dụ : Cho hàm số: y = x3 − mx2 + m2 − m + x + Với giá trị m hàm số đạt cực đại điểm x = Lời giải Hàm số cho xác định ¡ Ta có: y' = x2 − 2mx + m2 − m + , y'' = 2x − 2m Điều kiện cần: y'( 1) = ⇔ m2 − 3m + = ⇔ m = m = Điều kiện đủ: Với m = y''( 1) = ⇒ hàm số có cực trị Với m = y''( 1) = −2 < ⇒ hàm số có cực đại x = Vậy, m = giá trị cần tìm Nhận xét:  y'(1) = • Nếu trình bày lời giải theo sơ đồ sau: Hàm số đạt cực đại x = ⇔  ( ∗) lời giải chưa  y''(1) < xác Vì dấu hiệu nêu định lí phát biểu y''(x0) ≠ Các bạn thấy điều rõ cách giải toán sau: Tìm m để hàm số y = x4 + 3mx2 + m2 + m đạt cực tiểu x = Tìm m đề hàm số y = −x3 + 3(m − 2)x2 + (m − 4)x + 2m − đạt cực đại x = −1 • Nếu ta khẳng định y''(x0) ≠ ta sử dụng ( ∗) Ví dụ : Tìm hệ số a,b cho hàm số y = ax + bx + ab đạt cực trị điểm x = x = ax + b Lời giải b a Hàm số cho xác định ∀x ≠ − ,a ≠ Ta có đạo hàm y' = a2x2 + 2abx + b2 − a2b ( ax + b) • Điều kiện cần :  b2 − a2b =0  a = −2  y'( 0) =  b ⇔ ⇔ Hàm số đạt cực trị điểm x = x =  2  y'( 4) =  16a + 8ab + b − a b =  b =  ( 4a + b)  a = −2 x2 − 4x ⇒ y' = • Điều kiện đủ :  b = ( −x + 2) x = y' = ⇔  x = Từ bảng biến thiên : hàm số đạt cực trị điểm x = x = Vậy a = −2,b = giá trị cần tìm Ví dụ : Cho hàm số: y = 2x2 − 3(m + 1)x2 + 6mx + m3 Với giá trị m đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho A B = Lời giải Hàm số cho xác định ¡ Ta có: y′ = 6(x − 1)(x − m) Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔y′ = có nghiệm phân biệt tức m ≠ Với m ≠ , đồ thị hàm số có điểm cực trị A(1;m3 + 3m − 1),B(m;3m2) 2 AB = ⇔(m − 1) + (3m − m − 3m + 1) = ⇔m = 0; m = (thoả điều kiện) Câu 101 Đồ thị hàm số y = x3 - 3mx2 + 3mx + 3m+ cực trị khi: A m£ B m³ C 0< m B m= C m< D Không có m Câu 107 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y =- x4 + 2mx2 - 2m+1 có điểm cực trị ? A m> B - C D Câu 108 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x4 - m2x2 + có điểm cực trị ? A m< B m¹ C m> D mÎ ¡ Câu 109 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x4 - 2(m+1)x2 - có điểm cực trị ? A m ≥ B m>- C m> D m> Câu 110 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x4 + (m+1)x2 - 2m- có điểm cực trị ? A m>- B m³ - C m Câu 112 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x4 - 2(m- 1)x2 + m có điểm cực trị ? A Không có m B m³ C m Câu 113 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x4 + 2(m- 2)x2 + m2 - 5m+ có điểm cực trị ? A m< B m> C m Câu 114 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x4 - 2(m+1)x2 + m+1 có cực trị ? A m × D m³ × Câu 116 Đồ thị hàm số y = x4 - 2(3- m)x2 + có điểm cực trị khi: A m< B m> C m£ D m³ Câu 117 Đồ thị hàm số (C) : y =- x4  +2(2m- 1)x2  +3  có điểm cực trị khi: A m= × Câu 118 Đồ thị hàm số y = B m> × C m³ × D m< × m x + (m- 1)x2 + m+1 có điểm cực trị khi: A 0< m C m< D mÎ ( - ¥ ;0] È [1;+¥ ) Câu 119 Đồ thị hàm số y = x4 + 2(1- m)x2 + có cực tiểu mà cực đại khi: A m£ B m D m³ Câu 120 Đồ thị hàm số y =- x4 + 2(5- m)x2 + có cực đại mà cực tiểu khi: A m< Câu 121 Đồ thị hàm số y = A mÎ [ - 1;0] B m³ C m> D m£ m+1 x - mx2 + có cực đại mà cực tiểu khi: 2 B mÎ ( - 1;0] C mÎ [ - 1;0) D mÎ (- 1;0) Câu 122 Đồ thị hàm số y =- x4 + (2m- 4)x2 + m có cực đại, cực tiểu khi: A m= B m> C m£ D m< Câu 123 Đồ thị hàm số sau có điểm cực trị ? A y = 2x4 - 4x2 + B y = (m2 + 4)x4 + 9x2 - C y =- x4 + 2x2 - D y =- x4 + (m2 +1)x2 - Câu 124 Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = (1- m)x4 - mx2 + 2m- có cực trị ? A mÎ Æ B m£ C 0< m- C m