TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn A Tóm tắt lí thuyết * Định nghĩa: Số phức số có dạng z  a  bi (a, b  R) , i đơn vị ảo, tức i  1 a gọi phần thực z, kí hiệu a  Re z b gọi phần ảo z, kí hiệu b  imz Tập hợp số phức kí hiệu C * Các phép toán số phức: +) Cho z1  a1  b1i, z2  a2  b2i +) z1  z2   a1  a2    b1  b2  i +) z1  z2   a1  a2    b1  b2  i +) z1.z2   a1  b1i   a2  b2i   a1a2  a1b2i  a2b1i  b1b2i  a1a2  b1b2  (a1b2  a2b1 )i +) z1  a1  b1i   a1  b1i  a2  b2i  a1a2  b1b2  ( a2b1  a1b2 )i    z2  a2  b2i   a2  b2i  a2  b2i  a22  b22 * Mô đun số phức, số phức liên hợp Cho số phức z  a  bi Khi : +) Đại lượng a  b gọi môđun z Kí hiệu z  a  b +) Số phức z  a  bi gọi số phức liên hợp z B Hệ thống tập I Các phép toán số phức Ví dụ 1: Cho z1   i, z2   i Tính z1  z1 z2 Lời giải z1  z1 z2   i    i   i   10  10  0i  z1  z1 z2  102  02  10 Ví dụ Tìm số phức z biết z  z    i  1  i  (1) Lời giải: Giả sử z  a  bi  z  a  bi TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn (1)  a  bi  2( a  bi )  (23  3.2 i  3.2i  i )(1  i )  a  bi  2a  2bi  (8  12i   i )(1  i)  (11i  2)(1  i ) 13  3a  13  a  13  3a  bi  11i  11i   2i  13  9i     z   9i  b  b  9 Ví dụ Cho z1   3i, z2   i Tính z1  3z2 ; z1  z2 ; z13  3z2 z2 Lời giải +) z1  3z2   3i   3i   6i  z1  3z2  52  62  61 +) z1  z2  4i   4i 1  i   i z z 49        z2 1 i 1 i z2 4 +) z13  3z2   36i  54i  27i   3i  49  6i  z13  3z2  2437 Ví dụ Tìm số phức z biết: z  3z    2i    i  (1) Lời giải Giả sử z=a+bi, ta có: (1)  a  bi  3a  3bi    12i  4i    i     12i    i   4a  2bi  10  24i  5i  12i  22  19i  a  11 19 11 19 ;b  Vậy z   i 12 2 Ví dụ Tìm phần ảo z biết: z  3z    i    i  (1) Lời giải Giả sử z=a+bi (1)  a  bi  3a  3bi    12i  6i  i    i     11i    i   4a  2bi   2i  22i  11i  20i  15  a  15 ; b  10 Vậy phần ảo z -10 (1  i 2) 1  i  (1) Ví dụ Tìm môđun z biết z  z  2i Lời giải TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn (1)  a  bi  2a  2bi   3a  bi  a (1  i 2) 1  2i  i  2i  2i  2i 2i (2i  2)   i  i (4  2)     i2 2 4  2 ;b  15  z  32   16  144  72  144 225  128  225 15 Ví dụ (A+A 2012) Cho số phức z thỏa mãn 5( z  i )   i (1) z 1 Tính môđun số phức    z  z Lời giải Giả sử z=a+bi (1)  5(a  bi  i )  2i a  bi   5a  5i (b  1)  2a  2bi    bi  i  3a   b  i(5b   2b  a  1)  3a   b  a     z  1 i 3b  a   b      i   2i    3i      13 Ví dụ (D-2012) Cho số phức z thỏa mãn: (2  i ) z  2(1  2i )   8i (1) 1 i Tìm môđun số phức   z   i Lời giải Giả sử z  a  bi (1)  (2  i )(a  bi )  2(1  2i )   8i 1 i  2a  2bi   bi  2(1  2i )(1  i)   8i  i2 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn  2a  b   a   2a  2bi   bi   i  2i  2i   8i     2b  a   b  Do    2i   i   3i    16   Ví dụ (A-2011) Tìm tất số phức z, biết z  z  z (1) Lời giải (1)   a  bi   a  b  a  bi  a  b 2i  2abi  a  b  a  bi 1  a   ; b  2b  a    2b  a  bi  2abi     b  0; a  b  2ab   1 1 a  ; b  2  Vậy z  0; z  1 1  i; z   i 2 2 Ví dụ 10 ( A-2011) Tính môđun số phức z biết: (2 z  1)(1  i )  ( z  1)(1  i )   2i (1) Lời giải (1)  (2a  2bi  1))(1  i )  (a  bi  1)(1  i )   2i  2a  2ai  2bi  2bi   i  a   bi  bi   i   2i  3a  3ba   bi  2i   2i  a  3a  3b  1 Suy z       9 a  b   2 b   Ví dụ 11 Tìm số nguyên x, y cho số phức z  x  iy thỏa mãn z  18  26i Lời giải  x3  3xy  18 Ta có ( x  iy )  18  26i    18(3 x y  y )  26( x3  xy ) 3x y  y  26 Giải phương trình cách đặt y=tx ta t   x  3, y  Vậy z=3+i 3 Bài luyện tập Bài Thức phép tính: a (3i  4)  (3  2i )  (4  7i )   5i 1  i    3i  2i  b c 1  i  2012 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn d   4i    7i  g  3  4i   e   i   1  2i   7i  5i h f   i   3  2i   5i 2i    4i  2i Bài Tìm phần thực ; phần ảo;mô đun số phức liên hợp số phức sau: a z1  (2i  1)  3i (i  1)  2i b z2   2i  3i i2 c z4  3i10   2i   Bài Tìm phần ảo số phức z, biết: z = ( + i)2 (1- i) Bài Cho số phức z thỏa mãn: (2  3i)z  (4  i) z  (1  3i)2 Xác định phần thực phần ảo z Bài Tính mô đun số phưc sau: z1  (2  3i )  (3  4i ); z2  (3  2i )3 ; z3  (2i  1)  (3  i )2 Bài Cho số phức z thỏa mãn: z  (1  3i)3 Tìm môđun z  iz 1 i Bài Tính mô đun số phức z , biết (2 z  1)(1  i )  ( z  1)(1  i )   2i Bài Tìm số phức z thỏa mãn: z  z  6; z.z  25 Bài Tìm số phức z thỏa mãn | z  (2  i) |  10 Bài 10 Tìm số phức z, biết: z  z.z  25 5i 1  z Bài 11 Tìm số thực x, y thỏa mãn: x(3  5i )  y (1  2i )3   14i Bài 12 Tìm số phức z biết: ( z  z )( 1  6i ) 37(1  i ) z  1 i 10 II Căn bậc số phức phương trình bậc hai tập số phức Định nghĩa: Cho số phức z  a  bi Căn bậc hai số phức z số phức z1  a1  b1i thỏa mãn z12  z Ví dụ 1: Tìm bậc hai số phức z   12i Lời giải Giả sử m+ni (m; n R) bậc hai z Ta có: (m  ni )2   12i TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn  m  2mni  n 2i   12i  m  2mni  n   12i m  n  5(1) m2  n2      2mn  12 m  (2) n  6 Thay (2) vào (1) ta có:    n   36  n  5n n  n  5n  36   n  4; n  9(loai ) n   m   n  2  m  3  Vậy z có hai bậc hai 3+2i -3-2i Ví dụ 2: Tìm bậc hai số phức z  164  48 5i Lời giải Giả sử m+ni (m; n R) bậc hai z Ta có: (m  ni)  164  48 5i  m  2mni  n  164  48 5i m  n  164(1) 2  m  n  164    24 (2)  2mn  48 n  m  Thay (2) vào (1) ta có: m  ( 24 )  164  m  164m  2880  m  m  16; m  180(loai ) m   n    n  4  m  6 Vậy z có hai bậc hai  5i,   5i Bài luyện tập Tìm bậc số phức sau: 5  12i,   24i,  3i,  23  6i III Giải phương trình bậc hai tập số phức TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Xét phương trình az  bz  c  0( a, b, c  C ; a  0) Cách giải Tính   b  4ac Gọi  k bậc hai  , nghiệm phương trình là: z  b  k b  k ,z 2a 2a Đặc biệt b=2b’, ta tính  ' Gọi  k ' bậc hai  ' , nghiệm phương trình là: z  b ' k ' b ' k ' ,z a a Ví dụ 1: Giải phương trình: z  (3i  8) z  11i  13  Lời giải   (3i  8)  4(11i  13)  4i  Giả sử m+ni (m; n R) bậc hai  Ta có: (m  ni )   12i  m  2mni  n 2i   4i  m  2mni  n   4i m  n  3(1) m2  n2      2mn  n  (2) m  m2  2 Thay (2) vào (1) ta có: m      m  3m     m  m  1(loai) m   n   m  2  n  1  Vậy  có hai bậc hai 2+i -2-i  3i   i   2i  z  Do nghiệm phương trình   z  3i   i   i   Ví dụ Giải phương trình: z  z   Lời giải  '  22   3  3i  bậc hai  ' i Vậy nghiệm phương trình là: z  2  3i, z  2  3i TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Ví dụ giải phương trình: z  z  (4  i) z   3i  (1) Lời giải Dễ thấy z=-i nghiệm (1) nên (1)  ( z  i )( z  (4  i ) z   3i )  z  i    z  (4  i ) z   3i  0(2) Giải (2)   (4  i )  12  12i  16   8i  12  12i   4i   2.2.i  i  (2  i ) Vậy  có hai bậc hai là: 2+i -2-i  4  i   i  1  i z  Do nghiệm (2)   z  4  i   i   3  Vậy (1) có nghiệm –i, -3, -1+i Ví dụ Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình: 1  i  z    i  z   3i  2 Tính z1  z2 Lời giải Ta có  '    i 2  1  i   3i   16 Vậy phương trình có hai nghiệm phức z1  1 2  i, z2    i Do z1  z2  2 2 Ví dụ Gọi z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phương trình z  z  z  z   tập số phức tính tổng: S  1 1    z12 z22 z32 z42 Lời giải PT: z  z  z  z     z  1 z    z  z    (1)  z1   z  2 Không tính tổng quát ta gọi nghiệm của(1)là   z3   i   z4   i Thay biểu thức ta có: S  1 1 1     1    2 z1 z2 z3 z4 1  i  1  i  Ví dụ Giải phương trình sau tập số phức C: z  z  Lời giải z2  z   (1) TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Nhận xét z=0 không nghiệm phương trình (1) z  Chia hai vế PT (1) cho z2 ta : ( z  Đặt t= z  1 )  ( z  )   (2) z z 1 Khi t  z    z   t  z z z Phương trình (2) có dạng : t2-t+  (3)     9  9i 2 Vậy PT (3) có nghiệm t= Với t=  3i  3i , t= 2  3i 1  3i ta có z    z  (1  3i ) z   (4) z Có   (1  3i)  16   6i   6i  i  (3  i ) Vậy PT(4) có nghiệm : z= (1  3i )  (3  i ) (1  3i)  (3  i ) i    i , z=  4 Do PT cho có nghiệm : z=1+i; z=1-i ; z= i 1  i 1 ; z= 2 Bài luyện tập Giải phương trình sau: z  z  11  i  z  2(1  2i ) z  (7  4i)  z  2(2  i ) z   8i  z  (2  i ) z  i   z  (2  i) z  (2  2i ) z  2i  IV Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Cách giải: Giả sử z = a + b i ; thay vào giả thiết, tìm hệ thức a b Từ suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Ví dụ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho u  z   3i số z i ảo Lời giải Giả sử z  a  ib ( a, b  R ) , u  a   bi  3i ( a   (b  3)i )(a  (b  1)i )  a  (b  1)i a  (b  1) Tử số a  b  2a  2b   2(2a  b  1)i a  b  2a  2b   (a  1)  (b  1)  u số ảo    2a  b   (a; b)  (0;1), (2; 3) Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (1; 1) , bán kính , khuyết điểm (0;1) (-2;-3) Ví dụ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn: z   3i  1(*) z 4i Lời giải Giả sử z  a  bi (*)  a   (b  3)i  x   (b  1)i  (a  2)  (b  3)2  (a  4)  (b  1)2  3a  b   Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình 3x-y-1=0 Ví dụ Tìm quĩ tích điểm M biểu diễn số phức   (1  i 3) z  biết số phức z thỏa mãn: z   (1) Lời giải Giả sử   a  bi Ta có a  bi  (1  i 3) z   z  (1)  a   bi a   (b  3i )  z 1  1 i 1 i a   (b  3)i (a  3)2  (b  3) a   (b  3)i 2 2 2 1 i 1 i  (a  3)  (b  3)2  16 10 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Vậy quĩ tích điểm M biểu diễn số phức hình tròn ( x  3)2  ( y  3)2  16 (kể điểm nằm biên) Bài luyện tập Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: a  z  i  z b z  c z  z   4i z i f | z  (3  4i) |  g z   z  d z i  e | z  i |  | (1  i)z | z i V Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn Bài toán: Cho số phức z=a+bi thỏa mãn điều kiện G Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất, lớn Trường hợp 1: giả thiết G có dạng ma  nb  k Ta rút a theo b (hoặc b theo a) sau ta sử dụng phương pháp nhóm tổng bình phương Ví dụ Biết số phức z thỏa mãn u  ( z   i )( z   3i) số thực Tìm giá trị nhỏ |z| Lời giải Giả sử z  a  ib , ta có u  (a   (b  1)i )(a   (b  3)i )  a  b  4a  4b   2( a  b  4)i uR  ab4   a  b4 | z |min  | z |2 | z |2  a  b  (b  4)2  b  2b  8b  16  2(b  2)   Dấu = xảy b  2  a  Vậy | z |min  z   2i Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn: z  i   z  2i Tìm giá trị nhỏ z Lời giải 11 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn 2 a  bi  i   a  bi  2i   a  1   b  1  a   b    a  2a   b  2b   a  b  4b   2a  2b    a  b   a   b  a  b   b  1  b  2b  2b    z  1 1 Vậy Min z  a ; b 2 2 Trường hợp 2: Giả thiết G có dạng ( x  a)  ( y  b)  k Bài toán: Tìm GTNN, GTLN S  A sin mx  B cos nx  C Ta có S  A2  B (sin mx A  cos mx A2  B A  cos    A2  B Đặt  Khi S  B sin    A2  B A2  B )C A2  B (sin mx.cos   cos mx.sin  )  C Do MinS   A2  B  C  x  MaxS  A2  B  C  x  B   k 2   2m m m  2m   m  k 2 m  x  a  k sin   y  b  k cos  Vì trường hợp để tìm GTNN, GTLN |z| ta đặt  Sau ta làm tương tự toán Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn: z   4i  Tìm giá trị nhỏ z Lời giải 2 Giả sử z=a+bi, ta có: a  bi   4i    a  3   b    16 a   4sin  a   4sin   b   4cos  b  4cos   Đặt   z  a  b   16sin   24sin   16cos   16  32cos   41  24sin   32cos   41  40( sin   cos  ) 5 12 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Đặt cos   ,sin   5  z  a  b  41  40sin(   )  Dấu = xảy        k 2         k 2 Do Min z  Ngoài để tìm GTNN, GTLN z ta sử dụng phương pháp hình học Ví dụ Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1   5, z2   3i  z2   6i Tìm giá trị nhỏ z1  z2 Lời giải Giả sử M (a; b) điểm biểu diễn số phức z1  a  bi , N (c; d ) điểm biểu diễn số phức z2  c  di Ta có z1    (a  5)  b  25 Vậy M thuộc đường tròn (C ) :( x  5)  y  25 z2   3i  z2   6i  8c  6d  35 Vậy N thuộc đường thẳng  : x  y  35 Dễ thấy đường thẳng  không cắt (C ) z1  z2  MN Bài toán trở thành: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) :( x  5)  y  25 đường thẳng  : x  y  35 Tìm giá trị nhỏ MN, biết M chạy (C ) , N chạy đường thẳng  13 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn L M d H Gọi d đường thẳng qua I vuông góc với  PT đường thẳng d 6x-8y=-30 Gọi H giao điểm d  Tọa độ điểm H nghiệm hệ x  8 x  y  35     H (1; ) 6 x  y  30  y  Gọi K, L giao điểm d với đường tròn (C ) Tọa độ K, L nghiệm hệ ( x  5)2  y  25  x  1; y  Vậy K(-1;3), L(-9;-3)    x  9; y  3 6 x  y  30 Tính trực tiếp HK, HL Suy MinMN  Min z1  z2   M  K , N  H Khi Bài luyện tập Trong số phức z thỏa mãn: 2z   i  , tìm số phức z có môđun nhỏ z   2i Trong số phức z thỏa mãn: 2z   i  , tìm số phức z có môđun nhỏ z 1 i nhất, lớn cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  i  5, z2   z2  Tìm giá trị nhỏ 14 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn z1  z2 VI Dạng lượng giác số phức ứng dụng ( BÀI ĐỌC THÊM ) Xét số phức dạng đại số: z  a  bi  a Ta có z  a  b    a b  a Nhận xét    a b a Đặt cos = a2  b 2  i   a2  b  b  2   b       a b ;sin  =   1   b a2  b ; Khi z  a  b (cos +sin )=r(cos +isin ) (*) r  z  a2  b  (*) Gọi dạng lượng giác số phức z,  gọi acgumen z Nhận xét: Nếu  acgumen z   k 2 acgumen z + Nhân chia số phức dạng lượng giác Cho z1  r1 (cos1 +isin1 ); z = r2 (cos +isin ) Khi z1z  r1r2 [cos(1 + )+isin(1 + )] z1 r1  [cos(1   )+isin(1   )] z r2 Đặc biệt với z  r (cos +isin )  z = r (cos2 +isin2 ) z = r (cos3 +isin3 ) z n = r n (cosn +isinn ) (**) (**) gọi công thức moavơrơ Ví dụ Viết số phức sau dạng lương giác: z   i Lời giải 15 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn  i         z  2     cos  sin i    cos  i sin  6  6     2 Ví dụ Tìm acgumen số phức: z   sin    icos   5 Lời giải       3 3  3 3    z   cos(  )  i sin(  )    cos  i sin )  i sin( )    cos( 5  10 10  10 10      acgumen z 3  k 2 10 Ví dụ Cho z   2i Tìm dạng đại số z 2012 Lời giải     z 2 2  i  2   i  2 2       2  cos  i sin  4  Áp dụng công thức moavơrơ ta có: 2012 2012  i sin ) 4  (2 2) 2012 ( 1  i.0)  (2 2) 2012 z 2012  (2 2) 2012 (cos Ví dụ Viết số phức sau có dạng lượng giác: z = 2-2i Lời giải      z  2  i   2  cos  i sin  4         2  cos( )  i sin( )  4   Ví dụ 5.Tìm acgumen z   2i Lời giải          z   2i    i    cos  i sin    cos( )  i sin( )  6 6     2  16 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Vậy acgumen z   k 2 Ví dụ Biết z   i Tìm dạng đại số z 2012 Lời giải 1 z   i = 2  i 2 3       cos  i sin   3        cos( )  i sin( )  3   2012 2012  i sin ) 4  (2 2)2012 ( 1  i.0)  (2 2) 2012 z 2012  (2 2) 2012 (cos Ví dụ Cho z1   i ; z2   2i Tìm dạng đại số z 20 z15 Lời giải        i    cos  i sin    cos( )  i sin( )  z1   i   4 4      20 20   z120  ( 2) 20  cos( )  i sin( ) 4    210.(1  i.0)  210       i    cos  i sin  6   2  z2   2i   15 15  15  z15  i sin   cos  6    415.(0  i1)  415 i Suy z 20 z15  240 i Ví dụ Tìm acgumen z   sin    icos   7 Lời giải    z   sin  icos  7  17 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn         cos(  )  i sin(  )  7   5 5  5 5      cos  i sin )  i sin( )    cos( 14 14  14 14     acgumen z 5  k 2 14 Ví dụ Tìm acgumen z  3  sin    icos   5 Lời giải    z  3  sin  icos  5         3  cos(  )  i sin(  )  5   3 3    3  cos  i sin  10 10    acgumen z 3  k 2 10 Ví dụ 10 (B-2012)Gọi z1 ; z2 nghiệm phức phương trình: z  3iz   , viết dạng lượng giác z1 ; z2 Lời giải z  3i.z   ,   3i     z1  3i  1; z2  3i   1  2 2   z1    i    cos  isin   3    1     z2    i    cos  isin  3  2  2010 2012 Ví dụ 11 Tính tổng S  C2012  C2012  C2012  C2012   C2012  C2012 Lời giải 18 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn 2011 2011 2012 2012  C2012 i  C2012 i  C2012 i   C2012 i  C2012 i Ta có (1  i ) 2012  C2012 2011 2011 2012 2012 (1  i )2012  C2012  C2012 i  C2012 i  C2012 i   C2012 i  C2012 i 2010 2012 Suy (1  i ) 2012  (1  i ) 2012  2(C2012  C2012  C2012   C2012  C2012  2S Mặt khác (1  i ) 2012  [ 2(cos (1  i )2012  [ 2(cos    i sin )]2012  21006 (cos 503  i sin 503 )  21006 4   2012  i sin )]  21006 (cos  503  i sin  503 )  21006 4 Từ S  21006 Bài luyện tập Bài Tìm acgumen số phức sau : a 1  i ;   4 b cos  i sin   8 ; c  sin  i cos ; d  sin   i cos  Bài Viết dạng lượng giác số z =  Suy i       ; 2  bậc hai số phức z: Bài Viết dạng lượng giác số phức sau: a sin   i sin  b cos   i(1  sin  ) Bài Tìm phần thực phần ảo số phức sau: a 1  i 10 ;  i  b z 2000  z 2000 z biết z   VII Một số toán chứng minh Lời giải toán chứng minh thường dựa tính chất mô đun liên hợp số phức, ý số phức z1 , z2 có điểm biểu diễn tương ứng A, B OA  z1 ; OB  z2 ; AB  z1  z2 Từ suy ra: +) z1  z2  z1  z2 +) z1  z2  z1  z2 +) z1  z2  z1  z2 Ví dụ Giả sử z1 , z2 số phức khác không thỏa mãn z12  z1 z2  z22  gọi A, B điểm biểu diễn tương ứng z1 , z2 Chứng minh tam giác OAB Lời giải 19 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Ta có z13  z23  ( z1  z2 )( z12  z1 z2  z22 )  , suy ra: 3 z13   z23  z1  z2  z1  z2  OA  OB Lại có ( z1  z2 )2  ( z12  z1 z2  z22 )  z1 z2   z1 z2 nên z1  z2  z1 z2  AB  OA.OB  OA2 Suy AB=OA=OB  OAB Ví dụ cho số phức z1 , z2 , z3 có mô đun Chứng minh rằng: z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 Lời giải Vì z1 z2 z3 =1 nên z1 z2  z2 z3  z3 z1  z1 z2  z2 z3  z3 z1 1    z1 z2 z3 z1 z2 z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3 (Đpcm) Ví dụ Cho số phức z  thỏa mãn z   Chứng minh z   3 z z Lời giải Đặt a  z  2 ( a  0) Ta có: ( z  )3  z   6( z  ) Suy ra: z z z z  z   z    6a z z z Do a  6a    (a  3)(a  3a  3)  a3  z  Vì a  3a   , nên a  z   (Đpcm) z Bài tập luyện tập Bài 1.Cho hai số phức z1 , z2 có mô đun Chứng minh z  z1  z2  z1 z2 số thực Bài Cho số phức z  thỏa mãn z  1  Chứng minh z   z z Bài Chứng minh với số phức z, có hai bất đẳng thức sau xảy ra: z   z   20 ... Bài 12 Tìm số phức z biết: ( z  z )( 1  6i ) 37(1  i ) z  1 i 10 II Căn bậc số phức phương trình bậc hai tập số phức Định nghĩa: Cho số phức z  a  bi Căn bậc hai số phức z số phức z1 ... luyện tập Trong số phức z thỏa mãn: 2z   i  , tìm số phức z có môđun nhỏ z   2i Trong số phức z thỏa mãn: 2z   i  , tìm số phức z có môđun nhỏ z 1 i nhất, lớn cho hai số phức z1 , z2 thỏa... ảo;mô đun số phức liên hợp số phức sau: a z1  (2i  1)  3i (i  1)  2i b z2   2i  3i i2 c z4  3i10   2i   Bài Tìm phần ảo số phức z, biết: z = ( + i)2 (1- i) Bài Cho số phức z thỏa