3 Chủ đề 3: Bài toán tương giao 3.1 Kiến thức 3.1.1 Bài toán tương giao tổng quát: Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) y = g(x,m) Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình f(x, m) = g(x,m) (1)  Nhận xét: Số nghiệm (1) số giao điểm hai đồ thị hàm số Sau lập phương trình tương giao d (C) 3.1.2 Bài toán bản: Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) d: y =ax+b Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình f(x,m) = ax+b (1) Chú ý: + Nếu đường thẳng d qua điểm M(x 0; y0) có hệ số góc k phương trình d có Dạng: y – y0 = k(x – x0) M ( xM ; y M ) xM + Khai thác tọa độ giao điểm ( (C) d, ta cần ý: yM = axM + b nghiệm (1);M thuộc d nên + Nếu (1) dẫn đên phương trình bậc hai, ta sử dụng định lý Viet phương pháp nhẩm nghiệm nguyên - Nhẩm nghiệm theo x: sở phương pháp => làm x Vd: - Nhẩm nghiệm theo m: sở phương pháp => làm m  Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ f ( x) = an x n + an −1 x n−1 + + a1 x + a0 = Cho phương trình: p x= q \ an p \ a0 q Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ (p, q)=1  Phương pháp hàm số +) Xét hàm gián tiếp -Chuyển phương trình hoành độ tương giao về: g(x) = g(m) Khi số nghiệm số giao điểm đồ thị y = g(x) đường thẳng y = g(m) +) Xét hàm trưc tiếp - Xét trực tiếp hàm số f(x) : coi m ẩn biến x tham số 3.2 Ví dụ tập Ví dụ Cho hàm số y = − x3 + 3x − a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 − 3x + m = Giải a) • • TXĐ: D = R y ' = −3x + 6x x = y ' = ⇔ −3x + 6x=0 ⇔  x = lim y = +∞, lim y = −∞ • x →−∞ Giới hạn: • Bảng biến thiên: x →+∞ (−∞;0) (2; +∞) Hàm số đồng biến (0 ; 2); hàm số nghịch biến • Hàm số đạt cực đại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT = -1 • Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1) • b) • • x3 - 3x2 + m = Û - x3 + 3x2 - = m - Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = − x3 + 3x − với đường thẳng y = m – Vậy m −1 > ⇔ m > m −1 = ⇔ m = : Phương trình có nghiệm : Phương trình có nghiệm > m − > −1 ⇔ > m > : Phương trình có nghiệm m − = −1 ⇔ m = : Phương trình có nghiệm m − < −1 ⇔ m < : Phương trình có nghiệm y = x3 − 3x + ( C) Ví dụ 2.Cho hàm số Gọi d đường thẳng qua điểm A(- 1; 0) với hệ số góc k ( k thuộc R) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) ba điểm phân biệt hai giao điểm B, C (B, C khác A ) với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích Giải Đường thẳng d qua A(-1; 0) với hệ số góc k, có phương trình là: y = k(x+1) = kx+ k Nếu d cắt (C) ba điểm phân biệt phương trình: x3 – 3x2 + = kx + k ⇔ ⇔ x – 3x2 – kx + – k = (x + 1)( x2 – 4x + – k ) =  x = −1  ⇔  g ( x) = x − x + − k = ⇔ có ba nghiệm phân biệt g(x) = x2 – 4x + – k = có ∆ ' > k > ⇔ ⇔ ⇔ < k ≠ (*) g ( − 1) ≠ − k ≠   hai nghiệm phân biệt khác - Với điều kiện: (*) d cắt (C) ba điểm phân biệt A, B, C.Với A(-1;0), B,C có hoành độ hai nghiệm phương trình g(x) = B ( x1 ; y1 ) ; C ( x2 ; y2 ) x1; x2 x2 − 4x + − k = Gọi với hai nghiệm phương trình: y1 = kx1 + k ; y2 = kx2 + k Còn Ta có: uuur BC = ( x2 − x1 ; k ( x2 − x1 ) ) ⇒ BC = h= Khoảng cách từ O đến đường thẳng d: Vậy theo giả thiết: S= 1 k h.BC = k 2 1+ k2 y= Ví dụ Cho hàm số ( x2 − x1 ) ( 1+ k ) = x ⇔ 1+ k2 1 ⇔ k3 = ⇒ k = 4 Tìm tham số m để đường thẳng d: y = - 2x + m cắt đồ thị hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác OAB Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm d (C): 2x + = −2 x + m ( x ≠ −1) ⇔ g ( x) = x − ( m − 4) x + − m = (1) x +1 D cắt (C) điểm phân biệt (1+ k ) − x1 k 1+ k = k3 =1 ⇒ k3 = 2x + ( C) x +1 (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1 ∆ = (m − 4) − 8(1 − m) > m + > ⇔ ⇔  g (−1) ≠  g (−1) = −1 ≠ ⇔ m + > ⇒ m ∈ R Chứng tỏ với m d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B A ( x1 ; −2 x1 + m ) ; B ( x2 ; −2 x2 + m ) x1 , x2 Gọi Với: hai nghiệm phương trình (1) uuur 2 AB = x2 − x1 ; x1 − x2 ⇒ AB = ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) = x2 − x1 Ta có Gọi H hình chiếu vuông góc O d, khoảng cách từ O đến d h: m m ⇒h= = 22 + ( ( S= Theo giả thiết: )) 1 x2 − x1 AB.h = 2 ∆ 5= = m2 + = 2 m + = 42.3 ⇔ m + = 2.3 ⇒ m = 40 ⇔ m = 10 (*) Vậy: Với m thỏa mãn điều kiện (*) d cắt (C) A, B thỏa mãn yêu cầu toán y = x − ( m + 1) x + m ( Cm ) m >1 ( Cm ) Ví dụ Cho hàm số Xác định để đồ thị cắt trục Ox điểm phân biệt cho hình phẳng giới hạn trục Ox có diện tích phần phía trục Ox diện tích phần phía trục Ox Giải ⇔ x − ( m + 1) x + m = Đồ thị hàm số cắt Ox điểm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt ⇔ t − ( m + 1) t + m = (2) có nghiệm dương phân biệt ∆ = ( m + 1) − 4m >  ⇔ m + > ⇔ m > 0& m ≠ m >  Hai nghiệm (2) t = 1, t = m , m >1 nên nghiệm phân biệt (1) theo thứ tự tăng là: − m , − 1,1, m Hàm số chẵn nên hình phẳng toán nhận Oy làm trục đối xứng Khi đồ thị có dạng hình bên Bài toán thỏa mãn S H1 = S H ⇔ ∫ x − ( m + 1) x + m dx = m ∫ x − ( m + 1) x + m dx 1 m ⇔ ∫ ( x − ( m + 1) x + m ) dx = − ∫ ( x − ( m + 1) x + m ) dx m ⇔ ∫ ( x − ( m + 1) x + m ) dx = m  x5  x3 m m +1 − m + +1 = ⇔ m = ( ) + mx ÷ = ⇔ −  5  0 KL: m=5 thỏa mãn yêu cầu Ví dụ Cho hàm số ( Cm ) y = x − ( m + 1) x + 2m + có đồ thị ( Cm ) Định m để đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Giải x − ( m + 1) x + 2m + = Xét phương trình hoành độ giao điểm: (1) 2 f (t ) = t − ( m + 1) t + 2m + = t = x ,t ≥ Đặt (1) trở thành: f (t ) = Để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt phải có nghiệm dương phân biệt ∆ ' = m >   m > − ⇔  S = ( m + 1) > ⇔   P = 2m + > m ≠  (*) t1 < t2 f (t ) = Với (*), gọi nghiệm , hoành độ giao điểm (Cm) với Ox x1 = − t2 ; x2 = − t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2 là: x1 , x2 , x3 , x4 ⇔ x2 − x1 = x3 − x2 = x4 − x3 ⇔ t2 = 9t1 lập thành cấp số cộng m = 5m = 4m + ⇔ m + + m = ( m + − m ) ⇔ m = ( m + 1) ⇔  ⇔ m = −  −5m = 4m +  Vậy 4  m = 4; −  9   Bài tập đề nghị y = x3 + 3(m − 1) x − 3mx + Bài (Cho hàm số đường thẳng đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt d : y = x − Tìm m để a) có hoành độ dương b) có hoành độ lớn c) có hoành độ x1 ; x2 ; x3 x12 + x22 + x32 = 21 thỏa mãn y = x − 3mx + (m − 1) x + m + d : y = x − m − Bài Cho hàm số đường thẳng Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt có hoành độ lớn Bài Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4, có đồ thị (Cm) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b) Cho d đường thẳng có phương trình y = x + điểm K(1 ; 3) Tìm m để d cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0 ; 4), B, Csao cho tam giác KBC có diện tích y = x3 − 3x − Bài Cho hàm số: a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) điểm phân biệt A, M, N cho xA = MN = 2 Bài :Cho hàm số y = x3 − x + ( m + 1) x + 1( 1) có đồ thị ( Cm ) với m tham số m = −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) ( d ) : y = x +1 ( Cm ) b) Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị điểm phân biệt P ( 0,1) , M , N cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN 2 với O ( 0;0 ) Bài :Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + có đồ thị (Cm); (m tham số) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt C(0;1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D E vuông góc với Bài :Cho hàm số y = x3- (m+1)x2 + (m - 1)x + 1Chứng tỏ với giá trị khác m, đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt A, B, C B, C có hoành độ phụ thuộc tham số m Tìm giá trị m để tiếp tuyến B, C song song với 2x + y= ( C) 1− x Bài Cho hàm số a) Khảo sát hàm số b) Gọi (d) đường thẳng qua A( 1; ) có hệ số góc k Tìm k cho (d) cắt MN = 10 ( C ) hai điểm M, N 2x −1 y= x −1 Bài 10 Cho hàm số có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x+m AB = b) Tìm m để đường thẳng cắt (C) hai điểm A, B cho y= 2x + x+2 Bài 11:Cho hàm số có đồ thị (C) Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ x+2 ( C) x −1 Bài 12: Cho hàm số y = (C) đường thẳng d: y = x+m cắt đồ thị điểm A B cho tam giác hai đường tiệm cận y= IAB nhận điểm H ( 4; −2 ) làm trực tâm Với I giao điểm 2x + x −1 Bài 13: Cho hàm số (1).Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C), đường thẳng (d ) : x − y + = (C ) A cắt hai điểm A, B với có hoành độ dương Viết phương trình (C ) tiếp tuyến vuông góc với IA y= Bài 14 :Cho hàm số x −1 x +1 Tìm a b để đường thẳng (d): y = ax + b cắt (C) hai ∆ x − 2y + = điểm phân biệt đối xứng qua đường thẳng ( ): ... →−∞ Giới hạn: • Bảng biến thiên: x →+∞ (−∞;0) (2; +∞) Hàm số đồng biến (0 ; 2); hàm số nghịch biến • Hàm số đạt cực đại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT = -1 • Đồ thị: Điểm đặc biệt:... thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt A, B, C B, C có hoành độ phụ thuộc tham số m Tìm giá trị m để tiếp tuyến B, C song song với 2x + y= ( C) 1− x Bài Cho hàm số a) Khảo sát hàm số b)... y = x3 − 3x − Bài Cho hàm số: a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) điểm phân biệt A, M, N cho xA = MN = 2 Bài :Cho hàm số y = x3 − x + ( m +