2 Chủ đề 2: Cực trị hàm số 2.1 Kiến thức 2.1.1 Các quy tắc tìm điểm cực trị hàm số: QUY TẮC I Bước 1: Tìm TXĐ f / ( x) Bước 2: Tính Xác định điểm tới hạn Bước 3: Lập bảng biến thiên Kết luận QUY TẮC II Bước 1: Tìm TXĐ f / ( x) Bước 2: Tính Giải phương trình f / ( x) = xi i = 1, 2, kí hiệu ( ) nghiệm f // ( x) f // ( xi ) Bước 3: Tính Kết luận 2.1.2 Sự tồn cực trị a/ Điều kiện để hàm số có cực trị x = x0:  y '( x0 ) =   y ' dôi dau qua x  y ' ( x0 ) =  y ' ' ( x0 ) ≠  b/ Điều kiện để hàm số có cực đại x0:  y '( x0 ) =   y ' doi dau tu + sang − qua.x0 y'(x0 ) =  y''(x0 ) < c/ Điều kiện để hàm số có cực tịểu x0:  y '( x0 ) =   y ' doi dau tu − sang + qua.x0 y'(x0 ) =  y''(x0 ) > 2.1.3 Tìm điều kiện để điểm cực trị hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: • Tìm điều kiện để hàm số có cực trị • Biễu diễn điều kiện toán yếu tố hình học 2.2 Ví dụ tập y= Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số Giải Cách * Tập xác định: R x − x − 2x +  x = −1 y ' = x − x − 2; y ' = ⇔  x = Ta có: * Bảng biến thiên: x −∞ –1 +∞ y ’ y + – + = y ( −1) = Vậy hàm số đạt cực đại x = -1 giá trị cực đại yCĐ = y ( 2) = Hàm số đạt cực tiểu x = giá trị cực tiểu yCT Cách (Sử dụng quy tắc 2) * Tập xác định: −4 19  x = −1 y ' = x − x − 2; y ' = ⇔  x = Ta có: y '' = x − 1, y '' ( −1) = −3 < * = y ( −1) = nên hàm số đạt cực đại điểm x = -1 giá trị cực đại 19 yCĐ y '' ( ) = > nên hàm số đạt cực tiểu x = giá trị cực tiểu Chú ý: Quy tắc có ưu điểm cần tính đạo hàm cấp xét dấu y’ lập bảng xét dấu y’, từ suy điểm cực trị Nhưng quy tắc có nhược điểm đòi hỏi phải xét dấu y’, điều đơn giản * Nếu toán không yêu cầu tìm điểm cực trị quy tắc thừa, ta sử dụng quy tắc Song quy tắc có nhược điểm nhiều việc tính y” phức tạp, f , ( x0 ) f ,, ( x0 ) đặc biệt không sử dụng trường hợp = =0 Quy tắc thường dùng cho hàm đa thức, hàm phân thức tích lũy thừa Quy tắc thường sử dụng cho hàm lượng giác y = x3 + ( m2 − m + ) x + ( 3m + 1) x + m − Ví dụ 3: Tìm m để hàm số: Giải: y′ ( x ) = x + ( m − m + ) x + 3m + ⇒ đạt cực tiểu x = −2 y′′ ( x ) = x + ( m − m + ) Để hàm số đạt cực tiểu x = −2 −m + 4m − =  y′ ( −2 ) = ( m − 1) ( m − 3) = ⇔ ⇔ ⇔m=3   y′′ ( −2 ) > m ( m − 1) > m − m > Ví dụ 4: Cho hàm số: y = x3 − 3(m + 1) x + x − m hàm số cho đạt cực trị x1 , x2 cho , với m tham số thực.Xác định x1 − x2 ≤ Giải − Ta có y ' = 3x − 6( m + 1) x + − Hàm số có cực đại, cực tiểu x1, x2 ⇔ PT y’ = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 x1 , x2 ⇔ x − 2(m + 1) x + = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = ( m + 1) − > ⇔ m > −1 + ∨ m < −1 − (1) x1 − x2 ≤ ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 ≤ Theo đề ta có: (*) x1 + x2 = 2(m + 1); x1 x2 = Theo định lý Viet ta có: (*) ⇔ ( m + 1) − 12 ≤ ⇔ (m + 1) ≤ ⇔ −3 ≤ m ≤ Từ (1) (2) suy giá trị m cần tìm là: −3 ≤ m < −1 − (2) −1 + < m ≤ m để Ví dụ 5: Tìm m để hàm số x1 + x2 = thỏa mãn f ( x ) = mx − ( m − 1) x + ( m − ) x + 3 đạt cực trị x1, x2 Giải: Hàm số có CĐ, CT ⇔ biệt ⇔ { m≠0 ∆′ = ( m − 1) − 3m ( m − ) > Với điều kiện (*) f ′( x) = x1, x2 Theo định lý Viet ta có: Ta có: f ′ ( x ) = mx − ( m − 1) x + ( m − ) = ⇔ 1− < m ≠ < 1+ 2 có nghiệm phân (*) có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm số f (x) đạt cực trị ( ) ( ) x1 + x2 = m − ; x1 x2 = m − m m ( ) ( ) x1 + x2 = ⇔ x2 = − m − = − m ; x1 = m − − − m = 3m − m m m m m m = ( m − 2) ⇔ − m m − m = ⇒ × = ⇔ ( − m ) ( 3m − ) = 3m ( m − )  m m m Cả giá trị thỏa mãn điều kiện (*) Vậy x1 + x2 = ⇔ m = ∨ m = y = x3 − 3mx + 4m Ví dụ Cho hàm số (m tham số) có đồ thị (Cm) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x Giải Ta có: y’ = 3x2 − 6mx = ⇔ x =  x = 2m  Để hàm số có cực đại cực tiểu m ≠ Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) ⇒ uuu r AB = (2m; −4m3 ) Trung điểm đoạn AB I(m; 2m3) Điều kiện để AB đối xứng qua đường thẳng y = x AB vuông góc với đường thẳng y = x I thuộc đường thẳng y = x  2m − 4m3 = ⇔  2m = m m=± Giải hệ phương trình ta m=± Kết hợp với điều kiện ta có: 2 ;m=0 2 y = x − 3mx + 3( m − 1) x − m3 + m Ví dụ Cho hàm số (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O Giải Ta có y ′= x − 6mx + 3(m − 1) y ′= Hàm số (1) có cực trị PT ⇔ x − 2mx + m − = có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = > 0, ∀m có nhiệm phân biệt A(m − 1;2 − 2m) B (m + 1; −2 − 2m) Khi đó, điểm cực đại điểm cực tiểu Ta có  m = −3 + 2 OA = 2OB ⇔ m + 6m + = ⇔   m = −3 − 2 y = x − 2m2 x + Ví dụ Cho hàm số trị ba đỉnh tam giác vuông cân Giải ( Cm ) (1) Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực x = y ' = x − 4m x = x ( x − m ) = ⇔  ⇒ m ≠ (*) x = m Ta có: Với điều kiện (*) hàm số (1) có ba điểm cực trị Gọi ba điểm cực trị là: A ( 0;1) ; B ( − m;1 − m ) ; C ( m;1 − m4 ) Do ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân, đỉnh A Do tính chất hàm số trùng phương, tam giác ABC tam giác cân rồi, để thỏa mãn điều kiện tam giác vuông, AB vuông góc với AC uuu r uuur uuur ⇔ AB = ( − m; − m ) ; AC = ( m; −m ) ; BC = ( 2m;0 ) Tam giác ABC vuông khi: BC = AB + AC ⇔ 4m = m + m8 + ( m + m8 ) ⇔ 2m ( m4 − 1) = 0; ⇒ m = ⇔ m = ±1 Vậy với m = -1 m = thỏa mãn yêu cầu toán y = x − 2m x + Ví dụ Cho hàm số (1).Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C diện tích tam giác ABC 32 (đơn vị diện tích) Giải x =  2 x = m ⇔ ≠ +) Ta có y’ = 4x – 4m x ; y’ = ; ĐK có điểm cực trị: m +) Tọa độ ba điểm cực trị: A(0 ; 1), B(- m ; – m4), C(m ; – m4) ; +) CM tam giác ABC cân đỉnh A Tọa độ trung điểm I BC I(0 ; – m4) SVABC = AI BC = m m = m = 32 ⇔ m = ±2 +) (tm) y = x − 2mx + Ví dụ 12 Cho hàm số (1) Tìm giá trị tham số m để đồ thi hàm số (1) có ba điểm cực trị đường tròn qua ba điểm có bán kính Giải y ' = x − 4mx Ta có x = y' = ⇔  x = m ⇔ Hàm số có cực trị y’ đổi dấu lần ⇔ ⇔ phương trình y’ = có nghiệm phân biệt m>0 Khi m > 0, đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị A( m ;1 − m ) , B (− m ;1 − m ) , C (0 ; 1) Gọi I tâm R bán kính đường tròn qua điểm A, B, C Vì điểm A, B đối xứng qua trục tung nên I nằm trục tung  y0 = ⇔ (1 − y0 ) = ⇔   y0 = Đặt I(0 ; y0) Ta có: IC = R ⇒ I ≡ O(0 ; 0) I (0 ; 2) I ≡ O (0 ; 0) * Với m = m =   ⇔ m + (1 − m ) = ⇔ m − 2m + m = ⇔  m = −1 −   −1 + m =  IA = R So sánh điều kiện m > 0, ta m = m = * Với I(0 ; 2) −1 + ⇔ m + ( −1 − m ) = ⇔ m + m + m = IA = R Phương trình (*) vô nghiệm m > Vậy toán thỏa mãn m = m = (*) −1 + y = x − 2mx + m − m m Ví dụ 13 Cho hàm số (1), với tham số thực Xác định để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp Giải x = y ' = x − 4mx = x x − m = ⇔  x = m ( ) ⇔ y' = Hàm số cho có ba điểm cực trị pt có ba nghiệm phân biệt ⇔m>0 x qua nghiệm • Khi ba điểm cực trị đồ thị hàm số là: ( ) ( A ( 0; m − 1) , B − m ; −m + m − , C • đổi dấu ) m ; −m + m − 1 y B − y A xC − xB = m m SVABC = y' ; AB = AC = m + m , BC = m m = m4 + m ) m ( AB AC.BC R= =1⇔ = ⇔ m3 − m + = ⇔  m = − SVABC 4m m   Bài tập tự luyện Bài Tìm cho: m y= để hàm số x − mx − ( 3m − 1) x + 3 có hai điểm cực trị x1 x2 x1 x2 + ( x1 + x2 ) = y= x − mx + ( m2 − 3) x m Bài Tìm tất giá trị để hàm số có cực đại xCT xCT xCĐ cực tiểu cho xCĐ, độ dài cạnh góc vuông tam giác vuông có độ dài cạnh huyền Bài Xác định x1 − x2 = m để hàm số y = x3 − ( m + 1) x + x − m đạt cực trị x1 , x2 cho m y = x − 3mx + 3m3 Bài Tìm để đồ thị hàm số tam giác OAB có diện tích 48 có hai điểm cực trị A B cho y = x3 − x + 3x Bài Cho hàm số (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) A, B Gọi điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số (1) Tìm điểm M thuộc trục hoành cho tam giác MAB có diện tích y = − x + x + ( m − 1) x − 3m − ( 1) Bài Cho hàm số Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu, đồng thời điểm cực đại cực tiểu với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O Bài Cho hàm số y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + 1, m tham số.Tìm tất giá trị m để hàm số có cực đại xCĐ, cực tiểu xCT thỏa mãn: x2CĐ= xCT y = x − 3x + ( − m ) x + + 3m ( Cm ) Bài Cho hàm số Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời điểm cực đại cực tiểu với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích y = x − 3x + 3(1 − m ) x + 2m − 2m − Bài Cho hàm số (m tham số)Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số cho có cực đại, cực tiểu; đồng thời hai điểm d : x − y − = cực trị đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng ... − m ) x + 2m − 2m − Bài Cho hàm số (m tham số) Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số cho có cực đại, cực tiểu; đồng thời hai điểm d : x − y − = cực trị đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng... dụ 12 Cho hàm số (1) Tìm giá trị tham số m để đồ thi hàm số (1) có ba điểm cực trị đường tròn qua ba điểm có bán kính Giải y ' = x − 4mx Ta có x = y' = ⇔  x = m ⇔ Hàm số có cực trị y’ đổi... hàm số Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu, đồng thời điểm cực đại cực tiểu với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O Bài Cho hàm số y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + 1, m tham số. Tìm tất giá trị