TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation SUCCESS TRAINING ACADEMY CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ CHỦ ĐỀ III: TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ Học viên: Khóa : L ớp : TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation GIỚI THIỆU TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Một lần cảm ơn chúc mừng bạn nhập đại gia đình STA! Để bắt đầu hành trình leo núi tới đỉnh vinh quang STA mong muốn bạn hiểu thêm đôi điều trung tâm: “ STA đời dựa NIỀM ĐAM MÊ - SỰ KHÁT KHAO cống hiến cho cộng đông để mang lại giá trị vô to lớn thiết thực ” Với lí STA mang vai TẦM NHÌN : “ Trở thành tập đoàn giáo dục đào tạo số Châu Á STA khát vọng đồng hành 10 triệu thiếu niên thiếu niên Vi ệt Nam phát triển toàn diện thái độ tư kĩ năng, hướng tới xây dựng Việt Nam trở thành cường quốc giới” Với SỨ MỆNH : “ Đào tạo thái độ tư kĩ thành công cho hệ thiếu niên Việt Nam Hướng tới mục tiêu nâng tầm người Việt.” Với tầm nhìn sứ mệnh theo đuổi giá trị cốt lõi là: 3S : SÁNG TẠO - SAN SẺ - SẴN SÀNG 3T : TÂM - TẦM - TÀI 3A : ANH MINH - ANH DŨNG - ANH HÙNG Hơn mang tới khác biệt mô hình giáo dục: + Truyền cảm hứng học tập cho bạn học sinh có cấp độ người thầy Người thầy bình thường người thầy nói cho học sinh hiểu Người thầy giỏi người thầy giải thích vấn đề sâu Người thầy xuất chúng người thầy họa trực quan vấn đề Người thầy vĩ đại người thầy truyền cảm hứng cho học sinh học tập, khiến học sinh yêu thích đam mê việc học cách tự nhiên + Cài đặt tư tự học cho bạn học sinh( khảo sát khoa học cho thấy 80% học sinh xuất sắc tự học) - + Áp dụng mô hình đào tạo tiên tiến bậc giới => ĐÀO TẠO GIA TỐC - Phát huy tối đa bán cầu não: kết hợp massage não phải tăng tốc logic cho não trái - Kích thích giác quan đa chiều ( âm thanh, hình ảnh )=> tạo chuyển bi ến t ại l ớp học - Môi trường giàu lượng: hifive, nhắc lại, tuyên bố, làm vi ệc theo nhóm TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation CHỦ TỊCH NGUYỄN VĂN SƠN TÂM THƯ STA GỬI HỌC VIÊN Chúng hướng tới phát triển toàn diện cho hệ học sinh Vi ệt Nam môn văn hóa lẫn kỹ sống, động lực tinh thần sống! Một tu ần h ọc chuyên môn có buổi học động lực, kỹ vào cuối tuần nạp thêm nhi ều lượng hứng khởi để tập trung kiên trì trình luyện tập môn văn hóa Khi có chuyên môn văn hóa kỹ tinh thần, động lực định bạn thành công bền vững! Trong trình giảng dạy, có đội ngũ giảng viên vô tr ẻ trung nhi ệt huyết, đam mê đặc biệt tinh thần cống hiến, làm điều để truyền cảm hứng cho hệ trẻ sau Họ sinh viên xuất s ắc tr ương Bách Khoa, Giao Thông Vân Tải, Sư Phạm, Kinh Tế Quốc Dân,… với điểm thi đại học thuộc hàng cao nh ất Việt Nam từ 26 điểm trở lên Sẽ có hoài nghi khả sư phạm có trình đào tạo quan trọng mu ốn phong cách gi ảng dạy phải thật gần gũi, vui vẻ, hài hước hiệu quả, kích thích hào h ứng, tò mò say mê khám phá em học sinh Chúng muốn em học sinh đa phần em học sinh Hà N ội có nh ững gương gần gũi ý chí, nghị lực, đam mê anh chị gi ảng viên đ ể khao khát phấn đấu trân trọng thân điều có sống! Ngoài hoạt động học tập, STA thường xuyên có hoạt động ngoại khóa Từ thiện Chùa, Trại trẻ mồ côi, Người già neo đơn, Thăm danh lam thắng cảnh có ý nghĩa lịch sử Đền thờ Trạng trình Nguyễn Bỉnh Khiêm, Văn Miếu Quốc Tử Giám, với mục đích giúp em vượt qua ích kỷ thân, hòa đ ồng, hướng tới c ộng đồng tăng cường tâm thánh thiện học sinh! Tất phát triển toàn diện học sinh STA hướng tới phục vụ cống hiến đất nước Việt Nam yêu dấu TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation Trân trọng Diễn giả - Tác giả - CEO Lê Văn Thành A Tóm tắt lý thuyết I Phương trình tiếp tuyến Tiếp tuyến điểm Tiếp tuyến với ( C) M ( x0 ; f ( x0 ) ) ∆ : y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) đường thẳng ( C ) hay ( C ) tiếp xúc ∆ , Ta nói ∆ tiếp xúc với ( C ) tiếp xúc ∆ Chú ý Khi nói đến tiếp tuyến xảy tiếp xúc ( C) ( C ) M nơi M , ta phải hiểu M thuộc Tiếp tuyến qua điểm ( C ) tiếp tuyến với ( C ) điểm N Điểm M Tiếp tuyến qua M ( C) thuộc không, trường hợp thu ộc không (xem hình vẽ dưới) ( C) M lại ti ếp điểm TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation Bài toán Viết phương trình tiếp tuyến qua Phương pháp giải: M ( x1; y1 ) B1 Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hoành độ ( C) x0 ( C ) : ∆ : y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) y = f ' ( x0 ) ( x1 − x0 ) + f ( x0 ) x B2 ∆ qua M Giải phương trình để tìm x B3 Thay tìm bước vào phương trình ∆ ,ta tiếp tuyến qua M (C) Ví dụ minh họa TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation Ví dụ Cho x2 − x + 3x + ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M có hoành y= độ băng y' = Giải Ta có y ' ( 1) = − 3x − x − ( 3x + 1) Lần lượt thay x = vào biểu thức y y ' , ta 1 y ( 1) = Suy phương trình tiếp tuyến với ( C ) M là: ∆:y=− 1 ( x − 1) + ⇔ ∆ : y = − x + 8 Chú ý Ta dùng ký hi ệu y y ' thay cho f f ' trường hợp toán đ ề cập đến hàm số Ví dụ Cho y = x + x + x + giao điểm ( C) ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) với trục hoành Giải Từ phương trình ( C ) , cho y = ta được:  x = −2  x3 + x + x + = ⇔ ( x + ) ( x + 1) = ⇔  x = − Suy ( C) có hai giao điểm với trục hoành M ( − 2;0 ) M ( − 1;0 ) y ' ( −2 ) = y ' ( − 1) = ( C ) Từ y ' = 3x + x + suy , Do phương trình tiếp tuyến với điểm M , M là: ∆ : y = ( x + ) + ⇔ ∆ : y = x + , ∆ : y = ( x + 1) + ⇔ ∆ : y = TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation Cho y = x3 − x + ( C ) Đáp số ∆:y= Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm 15 21 x− 4 , ∆ : y = 24 x + 15 M ( − 1; − ) (C) II Điều kiện tồn tiếp tuyến Xét toán sau Bài toán Cho đồ thị hàm số mãn điều kiện Phương pháp giải: B1 y = f ( x) ( C) Tìm điều kiện tham số để Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hoành độ ( C) có tiếp tuyến thỏa x0 ( C ) : ∆ : y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) x Áp điều kiện toán lên đường thẳng ∆ để nhận phương trình ẩn Tiếp B2 tuyến tồn lại phương trình có nghiệm x0 Ví dụ minh họa Ví dụ Cho y ( x) = 1− x x + ( C ) Chứng minh qua điểm I ( − 1; − 1) không tồn tiếp tuyến ( C ) Giải Xét tiếp tuyến điểm có hoành độ ∆ : y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) ⇔ x0 ( C ) ∆: y = −2 ( x0 + 1) ( x − x0 ) + − x0 x0 + ∆ qua I ( − 1; − 1) nghĩa −1 = ⇔ −2 ( x0 + 1) −1 = ( −1 − x0 ) + − x0 x0 + ⇔ − x0 − x0 −1 = + x0 + ⇔ x0 + x0 +  − ( x0 + 1) = − x0   x0 + ≠ ⇔ x0 ∈ ∅ Vậy không tồn x0 để ∆ qua I Nói cách khác qua I tiếp tuyến ( C ) ( C ) Tìm m để ( C ) có tiếp tuyến qua A ( 1; − ) Ví dụ Cho y = x + 3mx + Giải Phương trình tiếp tuyến với ( C) điểm có hoành độ x0 là: ∆ : y = y ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y ( x0 ) ⇔ ∆ : y = ( x0 + 3m ) ( x − x0 ) + x02 + 3mx0 + ( C) có tiếp tuyến qua A ( 1; − ) phương trình sau có nghiệm − = ( x0 + 3m ) ( − x0 ) + x02 + 3mx0 + x0 : ( *) Ta có ( *) Do ( *) ⇔ x0 − x0 − 3m − = ( ∆ ' = 12m + 48 ) có nghiệm ∆ ' ≥ ⇔ 12m + 48 ≥ ⇔ m ≥ − Vậy ( C) có tiếp tuyến qua Ví dụ Cho y= A ( 1; − ) m ≥ − 2x + x − ( C ) Tìm đường thẳng x = điểm mà qua có tiếp tuyến ( C) Giải Phương trình tiếp tuyến ( C) ∆ : y = y ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y ( x0 ) ⇔ điểm có hoành độ ∆:y= −5 ( x0 − ) ( x − x0 ) + x0 ( x0 ≠ ) là: x0 + x0 − A ( 3; a ) Điểm A năm đường thẳng x = ⇔ tọa độ A có dạng ( C ) phương trình sau có nghiệm x0 : Qua A có tiếp tuyến tới ∆ :a = −5 ( x0 − ) − x0 ) + ( x0 + x0 − ( 1) Ta thấy a ( x0 − ) = −5 ( − x0 ) + ( x0 + 1) ( x0 − ) ( ⇒ x0 − ≠ )  ⇔  x0 − ≠ ( 1) ⇔ a ( x0 − ) = − ( − x0 ) + ( x0 + 1) ( x0 − ) ⇔ ( a − ) x02 − ( 2a + 1) x0 + 4a + 17 = ( 2) ( ) trở thành Trường hợp a − = ⇔ a = Khi 21 − 10 x0 + 21 = ⇔ x0 = 10 Trong trường hợp ( 2) ( 1) có nghiệm có nghiệm ⇒ ( ) phương trình bậc hai có ∆ ′ = − 5a + 35 Do đó, Trường hợp a − ≠ ⇔ a ≠ Khi trường hợp ( 1) có nghiệm ( 2) có nghiệm, tức ∆ ′ ≥ ⇔ − 5a + 35 ≥ ⇔ a ≤ Vậy tập hợp điểm thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ Cho 2m − 1) x − m ( y= x −1 ( C) Giải Phương trình tiếp tuyến { A ( 3; a ) a ≤ 7} ( C ) tiếp xúc với d d : y = x Tìm m để ( C) điểm có hoành độ 10 x0 ( x0 ≠ ) là: TRUNG TÂM HUẤN LUYEN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Faceook : https://www.facebook.com/STAeducation Vậy m = giá trị cần tìm Ví dụ 5: Cho hàm số y = x − x + m (1) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (1) điểm có hoành độ băng cắt trục Ox, Oy l ần lượt điểm A B cho diện tích tam giác OAB băng Giải Với x0 = ⇒ y0 = m − ⇒ M(1 ; m – 2) - Tiếp tuyến M d: y = (3x02 − x0 )( x − x0 ) + m − ⇒ d: y = -3x + m + - d cắt trục Ox A: - d cắt trục Oy B: - SOAB = = −3xA + m + ⇔ x A = m+ ⇒  m+  A ; 0÷   yB = m + ⇒ B (0 ; m + 2) 3 m+2 ⇔ | OA || OB |= ⇔ | OA || OB |= ⇔ m + = ⇔ ( m + 2) = 2 m + = ⇔ ⇔ m + = −  m =  m = −5  Vậy m = m = - 1.2 Dạng 2: Viết tiếp tuyến đồ thi hàm số y = f ( x ) (C) biết trước hệ số góc 33 TRUNG TÂM HUẤN LUYEN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Faceook : https://www.facebook.com/STAeducation ' M ( x , y ) f ( x0 ) = k ⇒ x = x0 , y0 = f ( x0 ) 0 + Gọi tiếp điểm, giải phương trình + Đến trở dạng 1,ta dễ dàng lập tiếp tuyến đồ thị:  y = k ( x − x0 ) + y0 Các dạng biểu diễn hệ số góc k:hoctoancapba.com k = 5; k = ±1; k = ± 3; k = ± *) Cho trực tiếp: 2π π   α ∈ 150 ;300 ;450 ; ;  3  Khi  *) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox góc α , với hệ số góc k = tan α *) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b Khi hệ s ố góc k = a *) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y = ax + b ⇒ ka = − ⇔ k = −1 a k−a = tan α + ka *) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): y = ax + b góc α Khi đó, Ví dụ 6: Cho hàm số y = x − 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết hệ số góc tiếp tuyến k = -3 Giải: Ta có: y ' = 3x − x Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm ⇒ Tiếp tuyến M có hệ số góc k = f ' ( x0 ) = x02 − x0 Theo giả thiết, hệ số góc tiếp tuyến k = - nên: Vì 3x02 − x0 = − ⇔ x02 − x0 + = ⇔ x0 = x0 = ⇒ y0 = −2 ⇒ M (1; −2) Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = − 3( x − 1) − ⇔ y = − 3x + 34 TRUNG TÂM HUẤN LUYEN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Faceook : https://www.facebook.com/STAeducation Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − 3x + (C) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + Giải: Ta có: y ' = 3x − x Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm ⇒ Tiếp tuyến M có hệ số góc k = f ' ( x0 ) = x02 − x0 Theo giả thiết, tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + +6 ⇒ tiếp tuyến có hệ số  x0 = − ⇒ M (− 1; − 3) 3x02 − x0 = ⇔ x02 − x0 − = ⇔   x0 = ⇒ M (3;1) góc k = ⇒ Phương trình tiếp tuyến (C) M(-1;-3) là: y = 9( x + 1) − ⇔ y = x + (loại) Phương trình tiếp tuyến (C) M(3;1) là: y = 9( x − 3) + ⇔ y = x − 26 Ví dụ 8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số: tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x+ 5y – 2015 =0 y= x + 2x2 , biết Giải: 1 y = − x + 402 (d) có phương trình: nên (d) có hệ số góc - − k = − ⇔ k = ( ∆ ⊥ (d )) Gọi ∆ tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k 3 Ta có: y ' = x + x nên hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình: x + x = 35 TRUNG TÂM HUẤN LUYEN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Faceook : https://www.facebook.com/STAeducation ⇔ x3 + x − = ⇔ ( x − 1)( x + x + 5) = ⇔ x − = ⇔ x = ⇒ y =  9 M  1; ÷ Vậy tiếp điểm M có tọa độ   Tiếp tuyến có phương trình: y− 11 = 5( x − 1) ⇔ y = x − 4 Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình: y = 5x − 11 2x − Ví dụ 9: Cho hàm số y = x − có đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho ti ếp ến c tr ục O x, Oy điểm A B thỏa mãn OA = 4OB Giải Giả sử tiếp tuyến d (C) M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) cắt Ox A, Oy B cho OA = 4OB Do ∆OAB vuông O nên tan A = OB 1 = − OA ⇒ Hệ số góc d băng   x0 = −1 ( y0 =  1 x = (y = y ′( x0 ) = − < ⇒ − = − 2 0 ( x − 1) ( x − 1) 0 Hệ số góc d ⇔  36 ) ) TRUNG TÂM HUẤN LUYEN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Faceook : https://www.facebook.com/STAeducation  y = − ( x + 1) +  2⇔   y = − ( x − 3) + Khi có tiếp tuyến thỏa mãn là:   y = − x +  4   y = − x + 13  4 1.3 Dạng 3: Tiếp tuyến qua điểm Cho đồ thị (C): y = f(x) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết ti ếp ến qua ểm A(α ; β ) Cách giải + Tiếp tuyến có phương trình dạng: điểm) y − f ( x0 ) = f '( x0 )( x − x0 ) , (với x hoành độ tiếp β − f ( x0 ) = f '( x0 )(α − x0 ) (*) + Tiếp tuyến qua A(α ; β ) nên + Giải phương trình (*) để tìm x0 suy phương trình tiếp tuyến Ví dụ 10: Cho đồ thị (C): y = x − x + , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(-2; -1) Giải: Ta có: y ' = 3x − ( x ;x Gọi M − 3x0 + 1) tiếp điểm Hệ số góc tiếp tuyến y '( x0 ) = 3x02 − y − ( x03 − x0 + 1) = (3x02 − 3)( x − x0 ) ∆ Phương trình tiếp tuyến với (C) M : 37 TRUNG TÂM HUẤN LUYEN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Faceook : https://www.facebook.com/STAeducation 3 ∆ qua A(-2;-1) nên ta có: − − ( x0 − 3x0 + 1) = (3x0 − 3)(− − x0 ) ⇔ x0 + 3x0 − =  x0 = ⇒ y0 = − ⇔ ( x0 − 1)( x02 + x0 + 4) = ⇔   x0 = − ⇒ y0 = − Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: ∆ : y = − 1; ∆ : y = x + 17 1.4 Dạng Một số toán tiếp tuyến nâng cao Ví dụ 11: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) hàm số: y = x − 3x + cho tiếp tuyến (C) A B song song với đ ộ dài đoạn AB = Giải: Gọi A(a; a − 3a + 2) , B(b; b3 − 3b + 2) , a ≠ b hai điểm phân biệt (C) Ta có: y ' = 3x − nên tiếp tuyến với (C) A B có hệ số góc là: y '(a) = 3a − y '(b) = 3b2 − Tiếp tuyến A B song song với khi: y '(a) = y '(b) ⇔ 3a − = 3b − ⇔ (a − b)(a + b) = ⇔ a = − b (vì a ≠ b ⇔ a − b ≠ 0) AB = ⇔ AB = 32 ⇔ (a − b)2 +  (a − 3a + 2) − (b3 − 3b + 2)  = 32 2 ⇔ (a − b) +  (a − b3 ) − 3(a − b)  = 32 ⇔ (a − b) +  (a − b)(a + ab + b ) − 3(a − b)  = 32 ⇔ (a − b) + (a − b)2  (a + ab + b ) − 3 = 32 , thay a = -b ta được: 4b + 4b ( b − 3) = 32 ⇔ b + b ( b − 3) − = ⇔ b − 6b + 10b − = 2 b = ⇒ a = −2 ⇔ (b − 4)(b − 2b + 2) = ⇔ b − = ⇔  b = −2 ⇒ a = 38 TRUNG TÂM HUẤN LUYEN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Faceook : https://www.facebook.com/STAeducation - Với a = −2 b = ⇒ A(−2;0) , B (2;4) - Với a = b = −2 ⇒ A(2;4) , B(−2;0) Tóm lại cặp điểm A, B cần tìm có tọa độ là: (− 2; 0) (2; 4) Ví dụ 12: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + có đồ (C m); (m tham số) Xác định m để (C m) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt C(0, 1), D, E cho ti ếp ến c (C m) D E vuông góc với Giải Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) đường thẳng y = là: x3 + 3x2 + mx + = ⇔ x =  x + 3x + m = x(x + 3x + m) = ⇔  * (Cm) cắt đường thẳng y = C(0, 1), D, E phân biệt: ⇔ Phương trình (2) có nghiệm xD, xE ≠ ⇔ m ≠  ∆ = − 4m >  ⇔  0 + × + m ≠  m <  Lúc tiếp tuyến D, E có hệ số góc là: x + xD + m = − ( xD + 2m); D kD = y’(xD) = kE = y’(xE) = 3xE2 + xE + m = − ( xE + 2m) Các tiếp tuyến D, E vuông góc khi: kDkE = –1 ⇔ (3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1 ⇔ 9m + 6m × (–3) + 4m2 = –1; (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo định lý Vi-t) 39 (2) TRUNG TÂM HUẤN LUYEN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Faceook : https://www.facebook.com/STAeducation ( m 65 4m2 – 9m + = ⇔ m = ⇔ ( ) ( 1 − 65 hay m = m 65 ĐS: m = ) ) Ví dụ 13: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm s ố: khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến lớn y= 2x − x + , biết Giải:  2a −   a; ÷ , ( M ∈ (C ) ) a +   Gọi ∆ tiếp tuyến đồ thị (C) tiếp điểm M y' = Ta có: ∆: y− Vậy d ( I;∆ ) = 4 ⇒ y '(a ) = , ( a ≠ − 1) ( x + 1) ( a + 1) 2a − = ( x − a) ⇔ x − (a + 1) y + 2a − 4a − = (*) a + (a + 1) 4(−1) − ( a + 1) 2 + 2a − 4a − + (a + 1) = a +1 + (a + 1) Ta có: + ( a + 1) = 2 +  ( a + 1)  ≥ 2.2( a + 1) ⇒ + (a + 1) ≥ 2.2( a + 1) = a + ⇒ d ( I;∆) ≤ a +1 =4 a +1 Vậy d ( I;∆ ) lớn d ( I;∆ ) =4 a + = a = ⇔ 22 = (a + 1) ⇔  ⇔  a + = −2  a = −3 Cả hai giá trị thỏa mãn a ≠ + Với a = thay vào (*) ta phương trình tiếp tuyến là: 40 4x − y − = ⇔ x − y − = TRUNG TÂM HUẤN LUYEN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Faceook : https://www.facebook.com/STAeducation + Với a = -3 thay vào (*) ta phương trình tiếp tuyến là: Tóm lại: Có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: Ví dụ 14: Cho (C) đồ thị hàm số y= x − y + 28 = ⇔ x − y + = x− y −1= 0; x − y − = x +1 x + Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung tương ứng điểm A, B thỏa mãn ∆ OAB vuông cân gốc tọa độ O Giải: M( x ;y ) 0 tiếp điểm Tiếp tuyến với (C) M ph ải th ỏa mãn song song v ới Gọi đường thẳng y = x y = -x y' = − Ta có: 1 y '( x0 ) = −