TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Cực trị hàm số • Tiếp tuyến hàm số • Sự tương giao hai đồ thị hàm số • CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ • Tính đơn điệu hàm số Sơ đồ tổng quan • Tính đơn điệu hàm số Lời tuyên bố Tôi học sinh lớp Tôi hứa tâm học đạt điểm phần học ! Kế hoạch học tập STT Dạng Xét tính đơn điệu trực tiếp Tìm m để hàm số đơn điệu ( khoảng, đoạn , D , ) Số tập rèn luyện Thời gian rèn luyện Ghi Bản thân             LÍ THUYẾT CƠ BẢN Hàm số f(x) đồng biến / D ⇔ (∀x1, x2 ∈ D, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) Định nghĩa Hàm số f(x) nghịch biến / D ⇔ (∀x1, x2 ∈ D, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)   Giả sử f(x) có đạo hàm khoảng D Nếu f(x) đồng biến / D f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ D Điều kiện cần Nếu f(x) nghịch biến / D f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ D   Điều kiện đủ Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ D (f′(x) = số hữu hạn điểm) f(x) đồng biến /D Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ D (f′(x) = số hữu hạn điểm) f(x) nghịch biến / D   Nếu khoảng D thay đoạn nửa khoảng f(x) phải liên tục Dạng Xét trực tiếp tính đơn điệu hàm xác định sơ đồ đường Tập xác định Tính y’ = Lập bẳng xét dấu kết luận Ví dụ : Xét tính đồng biến , nghịch biến hàm số Bài giải Tập xác định : D = R Sơ đồ đường Bước : Tập xác định Bước : Tính y ‘ = ; Tìm x  Bước : Lập bảng xét dấu kết luận Hàm số đồng biến khoảng ( Hàm số nghịch biến khoảng ( + + -2   Bài tập đề nghị : Xét tinh đồng biến, nghịch biến hàm số sau y = - Dạng Tìm m để hàm số đơn điệu đoạn, khoảng , miền xác định   BẤT PHƯƠNG TRÌNH   Phương pháp hàm số Xét điều kiện m Chuyển vế f(x) vế lại f(m)   Xét hàm f(x) Ví dụ : Cho hàm số: Tìm m để hàm đồng biến khoảng Bài Bài giải giải Sơ Sơ đồ đồ con đường đường Ta có : y’ = Bước 1: Tính y’ • Hàm đồng biến Hàm đồng biến : y’    với  Bước : Chuyển x sang bên m sang  với bên   Xét hàm số f(x) = khoảng (0; Bước : Xét hàm số f(x)  x f Từ ta đến kết luận:  + + Bước : Xét điều kiện m  m Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y=: đồng biến khoảng (1;3) Bài giải Sơ đồ đường Ta có : y’ = Bước 1: Tính y’ Hàm số đồng biến khoảng (1;3) nên y’ với x ( 1; 3) Hàm đồng biến nên y’  x ( 1; 3)    4x( Bước : Chuyển x sang bên m sang  x ( 1; 3) Xét hàm số f(x) = khoảng (1; 3) bên   f’(x) = 2x với x ( 1; 3) nên hàm số đồng biến Bước : Xét hàm số f(x) Suy Min f(x) = f(1)   Vậy m giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu toán  Bước : Xét điều kiện m ( m Ví dụ : Tìm m để hàm số sau : y = đồng biến khoảng [1; + Bài giải Ta có : y’ = (x Sơ đồ đường Bước 1: Tính y’ Hàm số đồng biến khoảng [1; +  Hàm đồng biến nên  Chú ý : Điều kiện x   m Phương pháp xét hàm Xét đồ thị f(x) f(m)     Bước 3: Xử lí tính chất Vậy số giao điểm = số nghiệm phương trình Kết luận:   + m–1>3 m>4 Phương trình có nghiệm + m – =  m=4 Phương trình có nghiệm + > m – > -1  > m > Phương trình có nghiệm + m – = -1  m=0 Phương trình có nghiệm + m – < -1  m < Phương trình có nghiệm Ví dụ Cho hàm số y = ( *) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox Bài giải - Đồ thị (*) tiếp xúc với Ox hệ sau có nghiệm Sơ đồ đường Bước 1: Thiết lập phương trình   Sử dụng điều kiện tiếp xúc   • • PT (2)   Bước : Giải phương trình Với x = thay vào (1) ta m =   Với x = m thay vào (1) ta  Vậy giá trị m thỏa mãn : ; PT (2) => Tìm x Thế vào PT (1)   m= Bước 3: Xử lí tính chất    Điều kiện tiếp xúc Ví dụ Cho hàm số Gọi d đường thẳng qua điểm A(- 1; 0) với hệ số góc k ( k thuộc R) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) ba điểm phân biệt hai giao điểm B, C (B, C khác A ) với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích Bài giải Sơ đồ đường Đường thẳng d qua A(-1; 0) với hệ số góc k có phương trình là: y = k(x+1) = kx+ k Bước 1: Thiết lập phương trình Nếu d cắt (C) ba điểm phân biệt phương trình (1) có nghiệm phân biệt : x – 3x + = kx + k  f(x) = g(x) 2  x – 3x – kx + – k =  (x + 1)( x – 4x + – k ) =  x – 4x + – k = có hai nghiệm phân biệt khác -1    0 PT bậc Để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt f(t) = phải có nghiệm dương phân biệt Tìm t =>   (*)     Với (*), gọi nghiệm f(t) =0 , hoành độ giao điểm (Cm) với Ox là: = ; = = = Bước : Xử lí tính chất CSC ; lập thành cấp số cộng => => =>   Vậy m = giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu toán     ⇔ x2 − x1 = x3 − x2 = x4 − x3 ⇔ t2 = 9t1 m = 5m = 4m + 4 ⇔ m + + m = ( m + − m ) ⇔ m = ( m + 1) ⇔  −5m = 4m + ⇔  m=−     Ví dụ 6: Cho hàm số (Cm) Tìm giá trị m để đường thẳng cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có hoành độ lớn Bài giải Sơ đồ đường Hoành dộ giao điểm nghiệm phương trình: Bước 1 : Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm : = Bước 2 : Giải phương trình bậc    =0 Bằng cách Nhẩm nghiệm theo x =0 ( m ) ( x – 1) ( + 3m ) x - 2m – ) = Để đồ thị Cm cắt đường thẳng đ điểm phân biệt phương trình f(x) = + 3m ) x - 2m – = có nghiệm phân biệt khác   Hoành độ giao điểm lớn   ( với ; nghiệm phương trình f(x) = )  (*) Áp dụng định lí Viet ta : thay vào ( *) ta  PT  x=1 Chia đa thức => PT bậc (   Tìm điều kiện có nghiệm > Bước 3 : Xử lí tính chất  Xét hiệu đưa hệ thức Viet  m>1 < x1 − < x2 − < x1 − < x2 − Bài tập vận dụng Bài 1: Cho hàm số có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành hai điểm phân biệt Bài 2: Cho hàm số có đồ thị (C) Chứng minh đường thẳng d: cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ Bài 3: Cho hàm số có đồ thị (Cm), m tham số Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Bài 4: Cho hàm số (C) Tìm m để đường thẳng d: cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho ∆OAB vuông O Bài 5: Cho hàm số Tìm a b để đường thẳng (d): cắt (C) hai điểm phân biệt đối xứng qua đường thẳng ( ): Bài Cho hàm số đường thẳng Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt a) có hoành độ dương b) có hoành độ lớn c) có hoành độ thỏa mãn Bài Cho hàm số đường thẳng Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt có hoành độ lớn Cực trị hàm số • Tiếp tuyến hàm số • Sự tương giao hai đồ thị hàm số • CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ • Tính đơn điệu hàm số Tiếp tuyến hàm số Tiếp tuyến hàm số Lời tuyên bố Tôi học sinh lớp Tôi hứa tâm học đạt điểm phần học ! Kế hoạch học tập STT Dạng Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm Số tập rèn luyện Thời gian rèn luyện Ghi Bản thân             ( khác tiếp điểm ) Viết PTTT điểm thỏa mãn tính chất PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN QUA ĐIỂM Tiếp tuyến qua M ( C ) Điểm M thuộc không, trường hợp thuộc lại tiếp điểm không (xem hình vẽ dưới)   PTTT tiếp điểm M : y = y’ ().( x - ) + Bài tập ví dụ Ví dụ 1: Cho (C) Tìm m để (C) có tiếp tuyến qua Bài giải Sơ đồ đường Ta có : Bước 1 : Gọi tiếp điểm phương trình tiếp Gọi tiếp điểm tiếp tuyến với (C) M( tuyến với (C) Phương trình tiếp tuyến đồ thi (C) tiếp điểm là:   Bước 2 : Viết PTTT tiếp điểm    Đồ thị (C) có tiếp tuyến qua   phương trình sau có nghiệm :   Bước 3 : Giải phương trình  (1) Do (1) có nghiệm   Vậy (C) có tiếp tuyến qua Thay tọa độ vào PT tiếp tuyến vừa viết DẠNG Viết PTTT điểm thỏa mãn tính chất ...Cực trị hàm số • Tiếp tuyến hàm số • Sự tương giao hai đồ thị hàm số • CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ • Tính đơn điệu hàm số Sơ đồ tổng quan • Tính đơn điệu hàm số Lời tuyên bố Tôi ... trường hợp so sánh nghiệm  Bài Tập Vận   Bài : Xét tính đơn điệu hàm số: y= Bài : Tìm m để hàm số sau đồng biến khoảng có độ dài đồng biến R Bài 3: Chứng minh hàm số nghịch biến đoạn Trên đường... • Tiếp tuyến hàm số • Sự tương giao hai đồ thị hàm số • CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ • Tính đơn điệu hàm số CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ SƠ ĐỒ TỔNG QUAN Cực trị hàm số Why? What ? ( Cực Đại , Cực Tiểu ) Tìm CĐ , CT