0 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC ====== NGUYỄN THỊ HUYỀN TRANG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀO GIẢI BÀI TOÁN DIỆN TÍCH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Tiểu học HÀ NỘI, 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC ====== NGUYỄN THỊ HUYỀN TRANG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀO GIẢI BÀI TOÁN DIỆN TÍCH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Tiểu học Người hướng dẫn khoa học: Th.S Phạm Thanh Tâm HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn hướng dẫn, giúp đỡ thầy cô khoa Giáo dục Tiểu học, thầy cô tổ Hình học khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện cho em trình làm khoá luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Phạm Thanh Tâm, người trực tiếp hướng dẫn em, bảo, định hướng cho em để em hoàn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân có hạn chế nên trình nghiên cứu khó tránh khỏi thiếu sót, mong đóng góp ý kiến thầy cô bạn để khóa luận em hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Vĩnh Phúc, ngày tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Huyền Trang LỜI CAM ĐOAN Trong trình nghiên cứu khoá luận "Ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào giải toán diện tích", em có sử dụng số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa luận Danh sách tài liệu em đưa vào mục Tài liệu tham khảo khoá luận Em xin cam đoan khoá luận hoàn thành cố gắng, nỗ lực thân với hướng dẫn tận tình thầy giáo Phạm Thanh Tâm thầy cô tổ Hình học Khóa luận em không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Vĩnh Phúc, ngày tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Huyền Trang MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nguyên cứu Giả thuyết khoa học Cấu trúc đề tài NỘI DUNG CHƯƠNG 1: DIỆN TÍCH CỦA MỘT HÌNH 1.1 Khái niệm hình diện tích hình 1.1.1 Khái niệm hình 1.1.2 Diện tích hình 1.2 Các phương pháp giải toán diện tích 11 1.2.1 Phương pháp diện tích 11 1.2.2 Phương pháp giả thiết tạm 13 1.2.3 Phương pháp sơ đồ diện tích 14 1.2.4 Phương pháp suy luận 16 1.2.5 Phương pháp dùng đơn vị quy ước 18 1.3 Đẳng hợp – mối quan hệ đẳng hợp đẳng diện 20 1.3.1 Khái niện đẳng hợp 20 1.3.2 Tính chất 20 1.3.3 Mối quan hệ đẳng hợp đẳng diện 21 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀO GIẢI BÀI TOÁN DIỆN TÍCH 25 2.1 Nguyên lí Dirichlet 25 2.1.1 Nguyên lí Dirichlet 25 2.1.2 Nguyên lí Dirichlet mở rộng 26 2.1.3 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp 26 2.1.4 Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp mở rộng 26 2.1.5 Nguyên li Dirichlet vô hạn 27 2.2 Ứng dụng 28 2.3 Một số toán đề nghị 46 KẾT LUẬN …………………………………………………………………48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Toán Tiểu học MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Vai trò môn Toán - Môn Toán môn học không trang bị cho học sinh kiến thức toán học xác mà hình thành học sinh phương pháp suy luận tư làm việc khoa học, logic - Môn toán cung cấp cho học sinh Tiểu học kiến thức ban đầu, sở cho trình học tập, sớm hình thành rèn luyện kĩ năng, tư logic giúp học sinh nắm vững kiến thức toán học, tạo cho học sinh niềm tin, niềm vui học tập 1.2 Vị trí toán diện tích - Các kiến thức toán học đưa vào dạy cho học sinh Tiểu học gồm nội dung số học, đại lượng phép đo đại lượng, yếu tố hình học giải toán có lời văn Các nội dung kiến thức có mối liên hệ mật thiết, hỗ trợ bổ sung cho góp phần phát triển toàn diện lực toán học học sinh Tiểu học Trong đó, toán diện tích hình nói riêng chiếm số lượng tương đối lớn mảng toán hình học Những toán diện tích thường đa dạng nội dung phương pháp giải Các toán trình bày sách giáo khoa mà trình bày nhiều tài liệu tham khảo khác có kì thi học sinh giỏi bậc Tiểu học 1.3 Sự cần thiết nguyên lí Dirichlet - Ứng dụng nguyên lí Dirichlet ứng dụng nhiều vào việc chứng minh toán số học, đại số, tổ hợp, hình học,… Trong đó, thực tế nhiều toán diện tích phát biểu đơn giản để giải chúng, cần hiểu biết sâu sắc kiến thức tổ hợp hình học Sử dụng nguyên lý Dirichlet để giải toán diện tích nói riêng toán SVTH: Nguyễn Thị Huyền Trang Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Toán Tiểu học hình học tổ hợp nói chung phương pháp kết hợp tổ hợp hình học Nhờ có ứng dụng nguyên lí Dirichlet mà nhiều toán khó lĩnh vực hình học tổ hợp đặc biệt toán diện tích giải cách chọn vẹn cho lời giải hay - Nguyên lí Dirichlet nhà toán học Peter Guster Lijeune Dirichlet (1805-1859) người Đức đưa lần vào năm 1834 Nguyên lí Dirichlet công cụ hiệu sắc bén để chứng minh nhiều kết sâu sắc toán học Dùng nguyên lí Dirichlet nhiều trường hợp người ta dễ chứng minh tồn đối tượng với tính chất xác định Sử dụng nguyên lí Dirichlet không đòi hỏi nhiều kiến thức khả tính toán mà chủ yếu đòi hỏi sáng tạo việc đưa mô hình cụ thể linh hoạt cách tư Đó điểm mạnh khó việc ứng dụng nguyên lí Dririchlet vào toán diện tích Xuất phát từ lý trên, để thấy hay, hiệu làm thành cách thức để vận dụng vào trình giảng dạy sau giúp em học sinh có phương pháp giải toán diện tích , em định lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào giải toán diện tích” hướng dẫn thầy giáo Phạm Thanh Tâm Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu sở lí luận đưa vào thực tiễn trình giảng dạy môn hình học để tổng hợp đưa ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào giải toán diện tích Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài - Đối tượng: nguyên lí Dirichlet toán diện tích có ứng dụng nguyên lí Dirichlet để giải - Phạm vi nghiên cứu: số toán diện tích giải nguyên lí Dirichlet SVTH: Nguyễn Thị Huyền Trang Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Toán Tiểu học Nhiệm vụ nghiên cứu - Nêu nội dung nguyên lí Dirichlet - Nêu ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào việc giải toán diện tích - Hệ thống lại số dạng tập diện tích có ứng dụng nguyên lí Dirichlet để giải Phương pháp nguyên cứu - Nghiên cứu sở lí luận, sở khoa học nhằm đưa nhìn tổng quát nội dung nguyên lí Dirichlet nhận diện toán giải nguyên lí Dirichlet - Phân tích tổng hợp hệ thống dạng tập có ứng dụng nguyên lí Dirichlet Giả thuyết khoa học - Nếu xác định ứng dụng nguyên lí Dirichlet hệ thống lại dạng tập góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán, đặc biệt môn Hình học bồi dưỡng học sinh giỏi Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo phụ lục, nội dung khóa luận trình bày hai chương: - Chương 1: Diện tích hình - Chương 2: Ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào giải toán diện tích SVTH: Nguyễn Thị Huyền Trang Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Toán Tiểu học NỘI DUNG CHƯƠNG DIỆN TÍCH CỦA MỘT HÌNH 1.1 Khái niệm hình diện tích hình 1.1.1 Khái niệm hình a) Hình chữ nhật A B Hình chữ nhật ABCD có: - góc đỉnh A, B, C, D đề góc vuông - cạnh gồm: cạnh dài AB CD, cạnh ngắn AD BC D Hai cạnh dài có độ dài nhau, viết là: AB = CD C Hai cạnh ngắn có độ dài nhau, viết là: AD = BC Hình chữ nhật có góc vuông, có hai cạnh dài hai cạnh ngắn Độ dài cạnh dài gọi chiều dài, độ dài cạnh ngắn gọi chiều rộng A b) Hình vuông B Hình vuông ABCD có: - góc đỉnh A, B, C, D đề góc vuông - cạnh có độ dài nhau: AB = BC = CD = DA C D Hình vuông có góc vuông cạnh c) Hình tròn M Hình tròn tâm O, bán kính OM đường kính AB Nhận xét: Trong hình tròn: Tâm O trung điểm đường kính AB Độ dài đường kính gấp lần dồ dài bán kính SVTH: Nguyễn Thị Huyền Trang A B O Khoá luận tốt nghiệp đại học M B C P B C J3 J E A Chuyên ngành: Toán Tiểu học E F F J1 D N J2 J4 A Q D H.2.5 Khi d cắt đường trung bình EF J Theo giả thiết, ta có: = = = Ở đây, E F trung điểm AB CD tương ứng Gọi P Q tương ứng với trung điểm BC AD Gọi J1, J2, J3, J4 điểm cho J1, J2 nằm EF J3, J4 nằm PQ thỏa mãn: = = = = Khi đó, từ lập luận suy đường thẳng có tính chất thỏa mãn yêu cầu toán phải qua điểm J1, J2, J3, J4 Vì có 13 đường thẳng nên theo nguyên lí Dirichlet tồn đường thẳng qua điểm số điểm J1, J2, J3, J4 Vậy số 13 đường thẳng cho có đường thẳng qua điểm, hay chúng đồng quy Từ đây, toán chứng minh SVTH: Nguyễn Thị Huyền Trang 35 Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Toán Tiểu học Bài toán 8: Trong hình chữ nhật có kích thước 1×2 ta lấy 6n2 +1 điểm (n số nguyên dương) Chứng minh tồn hình tròn với bán kính chứa không số điểm cho Chứng minh: Ta chia cạnh hình chữ nhật thành n đoạn 2n đoạn nhau, đoạn có độ dài Nối điểm chia đường thẳng song song với cạnh hình chữ nhật ta n × 2n = 2n2 hình vuông nhỏ có cạnh Do có 6n2 +1 điểm có 2n2 hình vuông nhỏ nên theo nguyên lí Dirichlet tồn hình vuông chứa điểm Vì hình vuông có cạnh nội tiếp đường tròn bán kính tròn tâm có bán kính đường tròn chứa đường nên suy tồn hình bán kính chứa không số điểm cho Bài toán 9: Cho hình tròn (C) có diện tích 8, ta đặt 17 điểm phân biệt, nằm hình tròn Chứng minh tìm ba điểm tạo thành tam giác có diện tích nhở Chứng minh: Chia hình tròn (C) thành hình quạt Do đó, hình quạt có diện tích SVTH: Nguyễn Thị Huyền Trang 36 Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Toán Tiểu học Theo nguyên lí Dirichlet tồn nhất hình quạt (a) chứa ba số 17 điểm cho H.2.6 Tam giác có ba đỉnh ba điểm nằm trọn vẹn hình quạt (a) diện tích nhỏ diện tích hình quạt, tức nhỏ Vậy ta có điều chứng minh Bài toán 10: Trong hình vuông có cạnh Cho 33 điểm Chứng minh điểm cho tìm ba điểm lập thành tam giác có diện tích không lớn Chứng minh: Chia hình vuông cạnh thành 16 hình vuông nhỏ Theo nguyên lí Dirichlet có hình vuông nhỏ cạnh chứa điểm 33 điểm cho Ta chứng minh điểm lập thành tam giác có diện tích không lớn SVTH: Nguyễn Thị Huyền Trang 37 Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Toán Tiểu học Giả sử ba điểm ba điểm A, B, C nằm hình vuông DEFG có cạnh Ta xét hai trường hợp sau: D D E E A A M H H K B C C B G F G F b) a) H.2.7 Trường hợp 1: Có cạnh tam giác nằm cạnh hình vuông Giả sử cạnh AB tam giác nằm cạnh DG hình vuông Kẻ đường cao CH (H.2.7.a) Ta có: SABC = CH.AB ≤ CH.DG ≤ ED.DG = Trường hợp 2: Không có cạnh tam giác nằm cạnh hình vuông Qua B ta kẻ đường thẳng song song với cạnh hình vuông cắt cạnh AC M Gọi AH, CK đường cao tam giác ABM tam giác CBM (H.2.7.b) Ta xét: SABC = ≤ AH.BM + CK.BM = BM.ED ≤ DG.ED = Vậy trương hợp có SABC ≤ SVTH: Nguyễn Thị Huyền Trang BM.(AH + CK) 38 Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Toán Tiểu học Bài toán 11: Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = 14cm Trong hình vuông có đánh dấu 76 điểm phận biệt, Chứng minh có 76 điểm cho nằm đường tròn có bán kính 2cm Chứng minh: Chia hình vuông cho thành 25 hình vuông nhỏ có cạnh Do có 76 điểm phân biệt mà có 25 hình vuông nên theo nguyên lí Dirichlet tồn hình vuông nhỏ chứa điểm số 76 điểm Vì hình vuông nội tiếp đường tròn có bán kính: R= H.2.8 Do < nên dĩ nhiên đường tròn đồng tâm với đường tròn có bán kính 2cm Vì vậy, suy tồn hình tròn bán kính 2cm chứa 76 điểm cho SVTH: Nguyễn Thị Huyền Trang 39 Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Toán Tiểu học Bài toán 12: Cho 1000 điểm M1, M2, M3, , M1000 mặt phẳng Vẽ đường tròn bán kính tùy ý Chứng minh tồn điểm S đường tròn cho: SM1 + SM2 + + SM1000 ≥ 1000 Chứng minh: Xét đường kính S1S2 tùy ý đường tròn Ở đây, S1S2 hai đầu đường kính Vì S1S2 = nên ta có: M2 M1 S1 S2 M1000 H.2.9 Cộng vế 1000 bất đắng thức ta có: (S1M1 + S1M2 + + S1M1000) + (S2M1 + S2M2 + + S2M1000) ≥ 2000 (2.4) Từ (2.4) theo nguyên lí Dirichlet suy hai tổng vế trái (2.4) có tổng lớn 1000 Giả sử (S1M1 + S1M2 + + S1M1000) ≥ 1000 SVTH: Nguyễn Thị Huyền Trang 40 Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Toán Tiểu học Khi lấy S ≡ S1 ta có điều phải chứng minh Bài toán 13: Trong tam giác có cạnh băng lất 17 điểm Chứng minh 17 điểm có điểm mà có khoảng cách chúng không vượt Chứng minh: Ta chia tam giác thành 16 tam giác có cạnh Do có 17 điểm mà lại có 16 tam giác có cạnh nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tam giác có cạnh chứa điểm số 17 điểm cho Khoảng cách hai điểm không không vượt Ta chứng minh khoảng cách hai điểm tam giác không lớn cạnh tam giác Ta kí hiệu điểm K, L nằm tam giác ABC A L K C B E H.2.10 Khi ta có: không nhở 600 Chẳng hạn Một hai góc lại tam giác KAL ⇒ Gọi E giao AK BC Ta có: AE > AK SVTH: Nguyễn Thị Huyền Trang 41 Khoá luận tốt nghiệp đại học Trong tam giác BAE có Chuyên ngành: Toán Tiểu học (vì góc tam giác ACE) nên AB > AE Suy ra: AB > KL Ta có điều phải chứng minh Bài toán 14: Cho hình vuông cạnh 10 Bên hình vuông ta đánh dấu 201 điểm bất kì, phân biệt Chứng minh tìm tam giác mà đỉnh điểm đánh dấu có diện tích không lớn (Nếu ba điểm đánh dấu thẳng hàng ta coi tam giác tạo ba điểm có diện tích 0) Chứng minh: Ta chia hình vuông ban đầu thành 100 hình vuông nhỏ đường thẳng song song với hai cạnh liên tiếp hình vuông Mỗi hình vuông nhỏ có cạnh Vì điểm đánh dấu nằm hình vuông ban đầu nên điểm phải thuộc vào hình vuông nhỏ Do có 201 điểm nên theo nguyên lí Dirichlet có hình vuông nhỏ chứa không điểm Giả sử A, B, C ba điểm thuộc hình vuông MNPQ có MN=1 Tương tự toán 10, ta dễ dàng chứng minh tam giác ABC có Bài toán 15: Cho hình bình hành ABCD, kẻ 17 đường thẳng cho đường thẳng chia ABCD thành hình thang có tỉ số diện tích Chứng minh 17 đường cho có đường thẳng đồng quy SVTH: Nguyễn Thị Huyền Trang 42 Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Toán Tiểu học Chứng minh: Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Do ABCD hình bình hành nên ta có: MN // AD // BC PQ // AB // CD Gọi d 17 đường cho Nếu d ∩ AB = E, d ∩ PQ = L LP, LQ đường trung bình hình thang AEFD, EBCF Ta có: Hoặc: Suy ra: Hoặc: Trên PQ lấy L1, L2 thỏa mãn Khi đó, L ≡ L1 L ≡ L2 Nghĩa d ∩ AB d ∩ CD d phải qua L1 L2 Tương tự, MN lấy K1, K2 thỏa mãn: Do d cắt AD bà BC d phải qua K1 K2 SVTH: Nguyễn Thị Huyền Trang 43 Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Toán Tiểu học Như vậy, đường 17 đường cho phải qua điểm L1, L2, K1, K2 Theo nguyên lí Dirichlet 17 đường có đường thẳng qua điểm bốn điểm L1, L2, K1, K2 hay đường thẳng đồng quy Bài toán 16: Bên hình tròn bán kính lấy 10 điểm Chứng minh tồn điểm có khoảng cách nhỏ Chứng minh: Đầu tiên ta nghĩ đến việc chia chia hình tròn thành hình quạt nhau, cách chia không giải toán tồn hai điểm hình quạt có khoảng cách lớn Từ nhận thấy không cần phải chia hẹp dài thế, ta chia sau: Một hình tròn bán kính đồng tâm với hình tròn cho hình vành khăn (H.2.11) C A O B D H.2.11 Theo nguyên lí Dirichlet tồn hai điểm thuộc phần SVTH: Nguyễn Thị Huyền Trang 44 Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Toán Tiểu học Nếu hai điểm thuộc hình vành khăn, ta chứng minh khoảng cách lớn hai điểm thuộc hình vành khăn Dễ dàng có: AC = < AD2 = OA2 + OD2 – 2.OA.OD.cos450 ⇒ AD < CD2 = OC2 + OD2 – 2.OC.OD.cos450 ⇒ CD < Vậy ta có điều phải chứng minh Bài toán 17: Trong hình vuông có diện tích ta đặt đa giác có diện tích Chứng minh tìm hai đa giác mà diện tích phần chung chúng không nhỏ Chứng minh: Gọi ba đa giác M1, M2, M3 Kí hiệu diện tích hình học phẳng A Khi ta có: M1 M2 M3 H.2.12 Khi ta có: SVTH: Nguyễn Thị Huyền Trang 45 Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Toán Tiểu học (2.5) Theo giả thiết ta có: (2.6) Để ý nằm hình vuông có diện tích 6, nên từ (2.5) (2.6) ta có bất đẳng thức sau: 6≥9Hay: ≥3+ Do (2.7) ≥ nên từ (2.7) ta có: ≥3 (2.8) Từ (2.8) theo nguyên lí Dirichlet suy tồn ba số: lớn Không giảm tổng quát, giả sử ≥ Điều nghĩa hai tam giác M1 M2 có diện tích phần chung chúng không nhỏ Từ toán chứng minh 2.3 Một số toán đề nghị 1) Trong hình vuông cạnh 15 đặt 20 hình vuông nhỏ cạnh đôi không cắt Chứng minh hình vuông lớn đặt hình tròn bán kính cho không cắt hình vuông 2) Trong mặt phẳng cho ba đường bán kính 0,5 Hỏi ba đường có phủ hết hình vuông có cạnh không? SVTH: Nguyễn Thị Huyền Trang 46 Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Toán Tiểu học 3) Trên mặt phẳng cho 2013 điểm Biết khoảng cách 2013 điểm tồn hai điểm cách nhỏ Chứng minh tồn hình bán kính chứa không 1007 điểm cho 4) Trong hình vuông có cạnh 1m, người ta gieo vào cách tùy ý 51 điểm Chứng minh có điểm số 51 điểm cho nằm hình vuông cạnh dài 0,2m (kể trường hợp nằm cạnh hình vuông) 5) Một hình lập phương có cạnh 15 chứa 11000 điểm Chứng có hình cầu bán kính chứa điểm số 11000 điểm cho 6) Trong hình chữ nhật 3x4 đặt điểm Chứng minh số tìm hai điểm có khoảng cách chúng không lớn 7) Cho bảng kích thước 2n × 2n ô vuông Người ta đánh dấu vào 3n ô vuông bảng Chứng minh chọn n hàng n cột bảng cho ô đánh dấu nằm n hàng n cột SVTH: Nguyễn Thị Huyền Trang 47 Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Toán Tiểu học KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận tốt nghiệp đại học về: ''Ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào giải toán diện tích" Khóa luận gồm vấn đề sau: Chương I: Diện tích hình - Hệ thống hóa kiến thức hình - Các phương pháp giải toán diện tích - Đẳng hợp – mối quan hệ đẳng hợp đẳng diện Chương II: Ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào giải toán diện tích - Hệ thống hóa kiến thức nguyên lí Dirichlet - Chúng sử dụng nguyên lí Dirichlet vào giải toán diện tích Nguyên lí Dirichlet công cụ hiệu sắc bén để giải toán hình học tổ hợp nói chung, toán diện tích hình nói riêng Trên đây, không đưa khái niệm, định lí, tính chất mà trình bày nội dung thuộc đề tài dạng tập minh họa Đặc biệt, toán diện tích nội dung quan trọng chương trình Toán Tiểu học Do đó, rèn luyện cho học sinh kĩ giải toán hình công việc cần thiết giáo viên tiểu học Tôi mong muốn nhận ý kiến nhận xét, đóng góp ý kiến quý báu thầy cô bạn để đề tài hoàn thiện SVTH: Nguyễn Thị Huyền Trang 48 Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Toán Tiểu học TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Điển, Một số chuyên đề hình học tổ hợp, NXB Giáo dục Hà Nội, 2005 [2] Phạm Đình Thực, Giảng dạy yếu tố hình học Tiểu học, NXB Giáo dục, 2002 [3] Trần Diên Hiển, Thực hành giải toán Tiểu học (tập 2), NXB Đại học Sư phạm, 2002 [4] Đỗ Trung Hiệu- Lê Tiến Thành, Tuyển tập đề thi học sinh giỏi bậc Tiểu học môn Toán, NXB Giáo dục, 2005 SVTH: Nguyễn Thị Huyền Trang 49 ... tổng hợp đưa ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào giải toán diện tích Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài - Đối tượng: nguyên lí Dirichlet toán diện tích có ứng dụng nguyên lí Dirichlet để giải - Phạm... học CHƯƠNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀO GIẢI BÀI TOÁN DIỆN TÍCH 2.1 Nguyên lí Dirichlet Nguyên lí Dirichlet gọi Nguyên tắc nhốt thỏ vào lồng” Nguyên tắc đồ vật vào ngăn kéo” Nguyên tắc... dung nguyên lí Dirichlet nhận diện toán giải nguyên lí Dirichlet - Phân tích tổng hợp hệ thống dạng tập có ứng dụng nguyên lí Dirichlet Giả thuyết khoa học - Nếu xác định ứng dụng nguyên lí Dirichlet